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2014年全国高考试卷解析几何部分汇编(上)


2014 年全国高考试卷解析几何部分汇编(上)
1. (2014 安徽理 10)
uuu r r r 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 a , 点 Q 满足 OQ ? 2 a ? b . 曲 b ,a ? b =1 ,a ? b ? 0 , uuu r r r uuu r 0 ? ? 2 π ,区域 ? ? P | 0 ≤ r ≤ PQ ≤ R,r ?

R .若 C ∩? 线 C ? P | OP ? a cos ? ? b sin ?,≤

?

?

?

?

?

?

为两段分离的曲线,则( A. 1 ? r ? R ? 3 C. r ≤ 1 ? R ? 3 【解析】 A

) B. 1 ? r ? 3 ≤ R D. 1 ? r ? 3 ? R

根据题意不妨设 a ? (1, 0) , b ? ? 0 , 1?
?OQ ? 2 a ? b ? ( 2, 2) ,

?

?

OP ? a cos? ? b sin ? ? (cos?, sin ? ) ,
? PQ ?

?

2 ? cos ?, 2 ? sin ?

??

( 2 ? cos? )2 ? ( 2 ? sin ? )2

π? ? ? 5 ? 4sin ? ? ? ? (0 ≤ ? ? 2π) . 4? ?

?1≤ PQ ≤ 3 .

易知曲线 C 为单位圆, 又 区域 ? ?| P | 0 ? r ≤ PQ ≤ R,r ? R | , 且 C ∩? 为两段分离的曲线, 结合图形可知, ? r,R? ? , 3] 且端点不重合, ?[1
?1 ? r ? R ? 3 .故选 A.

2.

(2014 安徽理 14)

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B b2 两点.若 AF1 ? 3 F1B ,AF2 ⊥ x 轴,则椭圆 E 的方程为________.
设 F1,F2 分别是椭圆 E : x2 ? 【解析】 x2 ?
3 2 y ?1 2 不妨设点 A 在第一象限,

.又 AF2 ⊥ x 轴, ∴A(c,b2 ) (其中 c2 ? 1 ? b2, 0 ? b ?1 ,c ? 0 )

? 5c b2 ? y2 25c2 b4 AF1 ? 3 F1B ,∴ 由 AF1 ? 3F1B 得 B ? ? ,? ? , 代 入 x2 ? 2 ? 1 得 ? 2 ?1 ,又 3? 9 9b b ? 3
c 2 ? 1 ? b2, ∴ b2 ?

2 . 3
3 2 y ?1. 2
y A

故椭圆 E 的方程为 x2 ?

F B

O

F2

x

3.

(2014 安徽理 19) 如图,已知两条抛物线 E1 : y 2 ? 2 p1 x( p1 ? 0) ,和 E2 : y 2 ? 2 p2 x( p2 ? 0) ,过原点 O 的两条直 线 l1 和 l2 , l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点, l2 与 E1,E2 分别交于 B1,B2 两点. ⑴ 证明: A1 B1 ∥ A2 B2 ; ⑵ 过 O 作直线 l (异于 l1,l2 )与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点.记 △A1 B1C1 与 △ A2 B2C2 的面积分 别为 S1 与 S2 ,求
S1 的值. S2
y A2 l2 O l1 B1 B2 A1 x E2 E1

(19) 【解析】 ⑴ 证明:设直线 l1,l2 的方程分别为 第 y? k1 x题图 ,y ? k2 x(k1,k2 ≠ 0) ,则

? ? 2p 2p ? ? y ? k1 x, 由? 2 得 A1 ? 21 , 1 ? . k1 ? ? ? k1 ? y ? 2 p1 x, ? ? 2p 2p ? ? y ? k1 x, 由? 2 得 A2 ? 22 , 2 ? . k1 ? ? ? k1 ? y ? 2 p2 x,

? 2p 2p ? ? 2p 2p ? 同理可得 B1 ? 21 , 1 ?,B2 ? 22 , 2 ? . k2 ? k2 ? ? k2 ? k2 ? 2p 2p 2p 2p ? ? 1 1 1 1? 所以 A1 B1 ? ? 21 ? 21 , 1 ? 1 ? ? 2 p1 ? 2 ? 2 , ? ? , k1 k2 k1 ? ? k2 ? k2 k1 k2 k1 ? ? 2p 2p 2p 2p ? ? 1 1 1 1? A2 B2 ? ? 22 ? 22 , 2 ? 2 ? ? 2 p2 ? 2 ? 2 , ? ? , k1 k2 k1 ? ? k2 ? k2 k1 k2 k1 ? p 故 A1 B1 ? 1 A2 B2 ,所以 A1 B1 ∥ A2 B2 . p2
⑵ 由⑴知 A1 B1 ∥ A2 B2 ,同理可得 B1C1 ∥ B2C2,C1 A1 ∥C2 A2 . 所以 △A1 B1C1 ∽△A2 B2C2 .

S ? A1 B1 因此 1 ? ? S2 ? A2 B2 ?

? ? ? ?

2

又由⑴中的 A1 B1 ? 故 4.
S1 p12 ? 2 . S2 p2

A1 B1 p1 p A2 B2 知 ? 1. p2 p2 A2 B2

(2014 安徽文 3) 1 抛物线 y ? x 2 的准线方程是( 4



A. y ? ?1 【解析】 A 由y?

B. y ? ?2

C. x ? ?1

D . x ? ?2

5.

1 2 p 焦点在 y 轴正半轴上, 且 2p ? 4 , 即p?2, 因此准线方程为 y ? ? ? ?1 . x 得 x2 ? 4 y , 4 2 (2014 安徽文 6)
? 1 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 有公共点, 过点 P ? 3 , 则直线 l 的倾斜角的取值范围是 (

?

?



π? ? A. ? 0 , ? 6? ?

π? ? B. ? 0 , ? 3? ?

π? ? , ? C. ? 0, 6? ?

π? ? D. ? 0 , ? 3? ?

【解析】 D 过 P 点作圆的切线 PA 、PB ,连结 OP ,如图所示.
y 1 B 1 O

3

1

x

P

A

1
2

显然, 直线 PA 的倾斜角为 0 , 又 OF ? 由对称性知,直线 PB 的倾斜角为
π? ? 是 ? 0 , ? .故选 D. 3? ?

?? 3?

? ?? 1

?

2

OA ? 1 , PA ? 3 , 因此 ?OPA ? 2 ? ,

π , 6

π .若直线 l 与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围 3

6.

(2014 安徽文 21) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :
A, B 两点, | AF1 |? 3 | BF1 |

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 a 2 b2

⑴ 若 | AB |? 4, △ABF2 的周长为 16,求 | AF2 | ; ⑵ 若 cos ?AF2 B ?
3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

【解析】 ⑴ 由 AF1 ? 3 F1B ,AB ? 4 ,得 AF1 ? 3 , F1 B ? 1 . 因为 △ ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4 a ? 16 , AF1 ? AF2 ? 2a ? 8 . 故 AF2 ? 2a ? AF1 ? 8 ? 3 ? 5 . ⑵ 设 F1B ? k ,则 k >0 且 AF1 ? 3k , AB ? 4k . 由椭圆定义可得 AF2 ? 2a ? 3k , BF2 ? 2a ? k . 在 △ ABF2 中,由余弦定理可得
AB ? AF2 ? BF2 ? 2 AF2 ? BF2 cos ?AF2 B ,
2 2 2

即 ? 4k ? ? ? 2a ? 3k ? ? ? 2a ? k ? ?
2 2 2

6 ? 2a ? 3k ?? 2a ? k ? . 5

化简可得 ? a ? k ?? a ? 3k ? ? 0 ,而 a ? k>0 ,故 a ? 3k .

于是有 AF2 ? 3k ? AF1 , BF2 ? 5k . 因此 BF2 ? F2 A ? AB ,可得 F1 A ? F2 A ,
2 2 2

△AF1 F2 为等腰直角三角形.

从而 c ? 评析

2 c 2 a ,所以椭圆 E 的离心率 e ? ? . 2 a 2

本题考查椭圆的定义,余弦定理解三角形等知识,同时考查方程的思想,解题时利用

条件列出方程是关键,解方程是难点. 7. (2014 北京理 11) 设双曲线 C 经过点 (2 , 2) ,且与 方程为______. 【解析】

y2 ? x 2 ? 1具有相同渐近线,则 C 的方程为_____;渐近线 4

8.

x2 y 2 ? ? 1 ; y ? ?2 x 3 12 y2 双曲线 ? x2 ? 1 的渐近线为 y ? ?2 x ,故 C 的渐近线为 y ? ?2 x 4 y2 设C : ? x2 ? m 并将点 (2 ,2) 代入 C 的方程,解得 m ? ?3 4 y2 x2 y 2 故 C 的方程为 ? x2 ? ?3 ,即 ? ?1 3 12 4 (2014 北京理 19) 已知椭圆 C : x2 ? 2 y 2 ? 4 ,
⑴求椭圆 C 的离心率. ⑵设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 y ? 2 上, 且 OA ? OB , 试判断直线 AB 与 圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.

【解析】 ⑴ 椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1, 4 2
c 2 ? ; a 2

a ? 2 , b ? 2 ? 则 c ? 2 ,离心率 e ?

⑵ 直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切.证明如下: 法一: 设点 A ? B 的坐标分别为 ? x0 ? y0 ? ? ? t ? 2 ? ,其中 x0 ? 0 . 因为 OA ⊥ OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ? 当 x0 ? t 时, y0 ? ?
2 y0 . x0

t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2

故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 .圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 . 此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? 即 ? y0 ? 2? x ? ? x0 ? t ? y ? 2x0 ? ty0 ? 0 . 圆心 O 到直线 AB 的距离 d ?
y0 ? 2 ?x ? t? , x0 ? t

2 x0 ? ty0

? y0 ? 2 ?

2

? ? x0 ? t ?

2



2 2 又 x0 ? 2 y0 ? 4 ,t ? ?

2 y0 ,故 x0
2 4 ? x0 x0 4 2 x0 ? 8 x0 ? 16 2 2 x0

2 x0 ? d?
2 0 2 0

2 2 y0 x0

4 y2 x ? y ? 20 ? 4 x0

?

? 2.

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 法二: 由题意知,直线 OA 的斜率存在,设为 k ,则直线 OA 的方程为 y ? kx , OA ⊥ OB , ① 当 k ? 0 时, A ? ?2 ? 0 ? ,易知 B ? 0 ? 2? ,此时直线 AB 的方程为 x ? y ? 2 或 ? x ? y ? 2 ,原 点到直线 AB 的距离为 2 ,此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切;
1 ② 当 k ? 0 时,直线 OB 的方程为 y ? ? x , k

? ? y ? kx 2 2k ? ? 2 2k ? ? ?? 联立 ? 2 得点 A 的坐标 ? ? 或?? ?; 2 2 2 2 1 ? 2k ? ? 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 1 ? 2k
1 ? ?y ? ? x 联立 ? k 得点 B 的坐标 ? ?2k ? 2? , ? ?y ? 2

? 2 2k ? ? 由点 A 的坐标的对称性知,无妨取点 A ? ? 进行计算, 2 1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2k 2k ?2 2 k ? 1 ? 2k 2 1 ? 2 k x ? 2k ? ? 于是直线 AB 的方程为: y ? 2 ? ? ? x ? 2k ? , 2 1 ? k 1 ? 2k 2 ? 2k 1 ? 2k 2
即 k ? 1 ? 2k 2 x ? 1 ? k 1 ? 2k 2 y ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 原点到直线 AB 的距离 d ?
2k 2 ? 2 ? 2,

?

? ?

?

?k ?

1 ? 2k

2

? ? ?1 ? k
2

1 ? 2k

2

?

2

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 综上知,直线 AB 一定与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 法三: ① 当 k ? 0 时, A ? ?2 ? 0 ? ,易知 B ? 0 ? 2? ,此时 OA ? 2 ? OB ? 2 ,

AB ? 22 ? 22 ? 2 2 ,原点到直线 AB 的距离 d ?
此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切;
1 ② 当 k ? 0 时,直线 OB 的方程为 y ? ? x , k

OA ? OB AB

?

2? 2 2 2

? 2,

设 A ? x1 ? y1 ? ? B ? x2 ? y2 ? ,则 OA ? 1 ? k 2 x1 , OB ? 1 ? ? ?k ? y2 ? 2 1 ? k 2 ,
2

? ? y ? kx 2 2k ? ? 2 2k ? ?? 联立 ? 2 得点 的坐标 A ? ? 或?? 2 2 2 2 1 ? 2k ? ? 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 1 ? 2k

? ?; ?

于是 OA ? 1 ? k 2 xA ?

2 1? k2 1 ? 2k
2
2

, OB ? 2 1 ? k 2 ,

AB ?

4 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

? 4 ?1 ? k

??

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2



所以 d ?

OA ? OB AB

? 2 1? k2 2 1 ? 2 k ? ? 2 ,直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切; 2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

2 1? k2

综上知,直线 AB 一定与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切 9. (2014 北京文 7) 0) , (m , 0)(m ? 0) .若圆 C 上存在点 P ,使得 已知圆 C: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 和两点 A(?m ,
?APB ? 90? ,则 m 的最大值为(

) C.5 D.4

A.7 【解析】 B 10. (2014 北京文 10)

B.6

0) , 设双曲线 C 的两个焦点为 (? 2 , 一个顶点是 (1 , 则 C 的方程为____________. 0) , ( 2, 0) ,

【解析】 x2 ? y 2 ? 1 11. (2014 北京文 19) 已知椭圆 C : x2 ? 2 y 2 ? 4 . ⑴ 求椭圆 C 的离心率; ⑵ 设 O 为原点.若点 A 在直线 y ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长度 的最小值. 【解析】 ⑴ 由题意,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2 所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 2 ,从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 .因此 a ? 2 , c ? 2 .
故椭圆 C 的离心率 e ?
c 2 ? . a 2

⑵ 设点 A , B 的坐标分别为 ? t , 2? , ? x0 ,y0 ? ,其中 x0 ≠ 0 . 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 , 2y 即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ? 0 . x0
2 2 又 x0 ? 2 y0 ?4,

所以 AB ? ? x0 ? t ? ? ? y0 ? 2?
2 2
2 2 ? x0 ? y0 ?

2

? 2y ? 2 ? ? x0 ? 0 ? ? ? y0 ? 2 ? x0 ? ?

2

2 2 2 2 4 ? x0 4 ? x0 4 y0 2 ? x ? ? ?4 ? 4 0 2 2 x0 2 x0

?

?

?

2 x0 8 2 ? 2 ? 4 ? 0 ? x0 ≤ 4? . 2 x0 2 x0 8 2 2 2 ? 2 ≥ 4 ? 0 ? x0 ≤ 4 ? ,且当 x0 ? 4 时等号成立,所以 AB ≥ 8 . 2 x0

因为

故线段 AB 长度的最小值为 2 2 .

12. (2014 大纲理 6) 已知椭圆 C :
3 x2 y 2 .过 F2 的直线 l 交 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 2 3 a b

C 于 A 、 B 两点,若 △ AF1 B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为(

) D.

A.

x y ? ?1 3 2

2

2

B.

x ? y2 ? 1 3

2

C.

x y ? ?1 12 8

2

2

x2 y 2 ? ?1 12 4

【解析】 A 13. (2014 大纲理 9) 已知双曲线 C 的离心率为 2, 焦点为 F1 、F2 , 点 A 在 C 上, 若 | F1 A |? 2 | F2 A | , 则 cos ?AF2 F1 ? ( A.
1 4

) B.
1 3

C.

2 4

D.

2 3

【解析】 A 14. (2014 大纲理 15 文 16) 直线 l1 和 l2 是圆 x2 ? y 2 ? 2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为 ?1 , 3? ,则 l1 与 l2 的夹角的正切值等 于____________. 4 【解析】 3 15. (2014 大纲理 21 文 22) 已知抛物线 C :y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F , 直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P , 与 C 的交点为 Q ,
5 | PQ | . 4 ⑴ 求 C 的方程; N 两点, ⑵ 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相交于 M 、 且 A、 B 两点, M 、 B 、 N 四点在同一圆上,求 l 的方程 8 【解析】 ⑴ 设 Q ? x0, 4 ? 代入 y 2 ? 2 px 得 x0 ? p 8 p p 8 | QF |? ? x0 ? ? . 所以 | PQ |? , p 2 2 p

且 | QF |?

由题设得

p 8 5 8 ? ? ? ,解得 p ? ?1 (舍)或 P ? ?2 2 p 4 p

所以 C 的方程为 y 2 ? 4 x . ⑵ 依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x ? my ? 1? m ? 0? . 代入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 . 设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 4m,y1 y2 ? ?4 . 故 AB 的中点为 D 2m2 ? 1.2m . | AB |? m2 ? 1 | y1 ? y2 |? 4 ? m2 ? 1? . 又 l ? 的斜率为 ?m ,所以 l ' 的方程为 x ? ? 将上式代入 y 2 ? 4 x ,并整理得 y 2 ?
1 y ? 2m ? 3 m

?

?

4 y ? 4 ? 2m2 ? 3? ? 0 . m 4 设 M ? x3,y3 ?,N ? x4,y4 ? ,则 y3 ? y4 ? ? , y3 y4 ? ?4 2m2 ? 3 . m

?

?

2? ? 2 ? ?, 故 MN 的中点 为 E ? 2 ? 2m 2 ? 3 , m? ?m

| MN |? 1 ?

4 ? m2 ? 1? 2m2 ? 1 1 . | y ? y | ? 3 4 m3 m2
1 | MN | , 2

由于 MN 垂直平分 AB , 故 A 、M 、B 、N 四点在同一圆上的等价于 | AE |?| BE |?
1 1 从而 | AB |2 ? | DE |2 ? | MN |2 . 4 4
2 2 4 ? m2 ? 1? ? 2m2 ? 1? 2? ? 2 ? ? 即 4 ? m ? 1? ? ? 2m ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? m? ? m m4 ? ? 2 2 2

化简得 m 2 ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?1 . 所求直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 16. (2014 大纲文 9) 已知椭圆 C :
3 x2 y 2 .过 F2 的直线 l 交 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 2 3 a b

C 于 A 、 B 两点,若 △ AF1 B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为(

) D.

A.

x y ? ?1 3 2

2

2

B.

x ? y2 ? 1 3

2

C.

x y ? ?1 12 8

2

2

x2 y 2 ? ?1 12 4

【解析】 A 17. (2014 大纲文 11) x2 y 2 双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 3 ,则 C 的焦距 a b 等于( ) A.2 B. 2 2 【解析】 C 18. (2014 福建理 6) C. 4 D. 4 2

直线 l∶y ? kx ? 1 与圆 O∶x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,则“ k ? 1 ”是“ △OAB 的面积为 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【解析】 A 19. (2014 福建理 9)
2

1 ”的 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

设 P,Q 分别为 x2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆 A. 5 2 【解析】 D 20. (2014 福建理 19)
2 2

x2 则 P,Q 两点间的最大距离是 ( ? y 2 ? 1 上的点, 10
C. 7 ? 2 D. 6 2
y l l1 A



B. 46 ? 2

已知双曲线 E :

x y ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) 的两条渐近线分别为 a 2 b2 l1∶y ? 2 x,l2∶y ? ?2 x .

⑴ 求双曲线 E 的离心率; ⑵ 如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A, B 两点 ( A, B 分别在第一,四象限) ,且 △OAB 的面积恒为 8,试 探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E ? 若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

O B l2

x

【解析】 解法一: ⑴ 因为双曲线 E 的渐近线分别为 y ? 2 x,y ? ?2 x , 所以
c2 ? a2 b ? 2, ? 2 .所以 a a

从而双曲线 E 的离心率
e? c ? 5. a

⑵ 由⑴ 知,双曲线 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1. a2 4a2

设直线 l 与 x 轴相交于点 C .
y l l1 A

当 l ⊥ x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则 OC ? a, AB ? 4a , 又因为 △OAB 的面积为 8,
O

C x B

1 所以 OC ? AB ? 8 , 2 1 因此 a ? 4a ? 8 ,解得 a ? 2 , 2

此时双曲线 E 的方程为

x y ? ? 1. 4 16

2

2

l2

x2 y 2 ? ? 1. 4 16 x2 y 2 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E : ? ? 1 也满足条件. 4 16
若存在满足条件的双曲线 E ,则 E 的方程只能为 设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,依题意,得 k ? 2 或 k ? ?2 ,
? m ? 则 C ? ? ,0 ? .记 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) . k ? ?

? y ? kx ? m, 2m 2m 由? 得 y1 ? ,同理得 y2 ? 2?k 2?k ? y ? 2x

由 S△OAB ?

1 OC ? y1 ? y2 得, 2 1 m 2m 2m ? ? ? ? 8 ,即 m2 ? 4 4 ? k 2 ? 4(k 2 ? 4) . 2 k 2?k 2?k

? y ? kx ? m 2m 2m 由? 得 y1 ? ,同理得 y2 ? y ? 2 x 2 ? k 2 ?k ?

因为 4 ? k 2 ? 0 ,

所以 ? ? 4k 2 m ? 4(4 ? k 2 )(m2 ? 16) ? ?16(4k 2 ? m2 ? 16) , 又因为 m2 ? 4(k 2 ? 4) , 所以 ? ? 0 ,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E ,且 E 的方程为 解法二:⑴ 同解法一. ⑵ 由⑴ 知,双曲线 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 16

x2 y 2 ? ?1. a2 4a2

设直线 l 的方程为 x ? my ? t , A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .
1 1 依题意得 ? ? m ? , 2 2
? x ? my ? t, 2t ?2t 由? 得 y1 ? ,同理得 y2 ? . y ? 2 x 1 ? 2 m 1 ? 2m ?

设直线 l 与 x 轴相交于点 C ,则 C (t,0) . 由 S△OAB ?
1 2t 2t 1 ? ?8, OC ? y1 ? y2 ? 8 ,得 t ? 2 1 ? 2m 1 ? 2m 2

所以 t 2 ? 4 1 ? 4m2 ? 4(1 ? 4m2 ) .
? x ? my ? t, ? 由 ? x2 得, (4m2 ? 1) y 2 ? 8mty ? 4(4t 2 ? a2 ) ? 0 . y2 ? ? 1 ? 2 4a 2 ?a

因为 4m2 ? 1 ? 0 ,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当
? ? 64m2t 2 ? 16(4m2 ? 1)(t 2 ? a2 ) ? 0 ,

即 4m2 a 2 ? t 2 ? a 2 ? 0 ,即 4m2 a2 ? 4(1 ? 4m2 ) ? a2 ? 0 ,即 (1 ? 4m2 )(a2 ? 4) ? 0 , 所以 a 2 ? 4 . 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E ,且 E 的方程为 解法三:⑴ 同解法一. ⑵ 当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m,A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) . 依题意得 k ? 2 或 k ? ?2 ,

x2 y 2 ? ? 1. 4 16

? y ? kx ? m, 由? 2 得, (4 ? k 2 ) x2 ? 2kmx ? m2 ? 0 , 2 4 x ? y ? 0 ?

因为 4 ? k 2 ? 0,? ? 0 ,所以 x1 x2 ? 又因为 △OAB 的面积为 8, 所以 所以 所以

?m2 , 4 ? k2

1 4 又易知 sin∠AOB ? , OA ? OB ? sin∠AOB ? 8, 2 5 2 2 2 2 化简 x1 x2 ? 4 x1 ? y12 ? x2 ? y2 ? 8, 5

?m2 ? 4 ,即 m2 ? 4(k 2 ? 4) . 4 ? k2 x2 y 2 由⑴ 得双曲线 E 的方程为 2 ? 2 ? 1 , a 4a ? x ? kx ? m, ? 由 ? x2 得, (4 ? k 2 ) x2 ? 2kmx ? m2 ? 4a2 ? 0 , y2 ? ? 1 ? 2 4a 2 ?a
因为 4 ? k 2 ? 0 ,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当
? ? 4k 2 m ? 4(4 ? k 2 )(m2 ? 4a2 ) ? 0 ,

即 (k 2 ? 4)(a2 ? 4) ? 0 ,所以 a 2 ? 4 , 所以双曲线 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 16

当 l ⊥ x 轴时,由 △OAB 的面积等于 8 可得 l : x ? 2 , 又易知 l : x ? 2 与双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个公共点. 4 16 x2 y 2 ? ? 1. 4 16


综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E ,且 E 的方程为

21. (2014 福建文 6) 2 已知直线 l 过圆 x2 ? ? y ? 3? ? 4 的圆心,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 l 的方程是 ( A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0 【解析】 D 22. (2014 福建文 21) 1) 的距离比它到直线 y ? ?3 的距离小 2. 已知曲线 Γ 上的点到点 F (0,

⑴ 求曲线 Γ 的方程; ⑵ 曲线 Γ 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A ,直线 y ? 3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M , N , 以 MN 为直径作圆 C ,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B ,试探究:当点 P 在曲线 Γ 上运动 (点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论. 【解析】 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运算 求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与 转化思想,满分 12 分.

解法一: ⑴ 设 S ( x,y ) 为曲线 Γ 上任意一点,
1) 的距离与它到直线 y ? ?1 的距离相等, 依题意,点 S 到 F (0, 1) 为焦点、直线 y ? ?1 为准线的抛物线, 所以曲线 Γ 是以点 F (0,

所以曲线 Γ 的方程为 x 2 ? 4 y . 解法二: ⑴ 设 S ( x,y ) 为曲线 ? 上任意一点, 则 y ? (?3) ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 依题意,点 S ( x,y ) 只能在直线 y ? ?3 的上方,所以 y ? ?3 , 所以 ( x ? 0)2 ? ( y ? 1)2 ? y ? 1 . 化简得,曲线 Γ 的方程为 x 2 ? 4 y . ⑵ 当点 P 在曲线 Γ 上运动时,线段 AB 的长度不变,证明如下: 由⑴ 知抛物线 Γ 的方程为 y ? 设 P( x0,y0 )( x0 ≠ 0) ,则 y0 ? 由 y' ?
1 x ,得切线 l 的斜率 2 1 x0 , 2 1 2 x , 4 1 2 x0 , 4
M B C P F A O x y

N

k ? y ' |x ? x0 ?

1 1 1 2 所以切线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 y ? x0 x ? x0 . 2 2 4

1 1 2 ? ? ? y ? x0 x ? x0, ? 1 由? 2 4 得 A ? x0,0 ? . 2 ? ? ? ?y ? 0 1 1 2 ? ?1 ? 6 ? y ? x0 x ? x0, 由? 3? . 2 4 得 M ? x0 ? , x0 ?2 ? ? ?y ? 3
?1 ? 3 又 N (0,3) ,所以圆心 C ? x0 ? , 3? , x0 ?4 ?

半径 r ?

1 1 3 . MN ? x0 ? 2 4 x0

AB ?

?1 ?1 ?1 3 ?? 3? AC ? r ? ? x0 ? ? x0 ? ? ? ? 32 ? ? x0 ? ? ? 6 . x0 ? ? x0 ? ?2 ? ?4 ?4 ?
2 2

2

2

所以点 P 在曲线 ? 上运动时,线段 AB 的长度不变. 23. (2014 广东理 4) 若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线

A.焦距相等 【解析】 A 24. (2014 广东理 20) 5 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个焦点为 ( 5 , 0) ,离心率为 . 3 a b ⑴ 求椭圆 C 的标准方程; ⑵ 若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方 程. ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?a ? 3 x2 y 2 ? c 5 【解析】 ⑴ ? ?? ? ? ?1; ? 9 4 3 ?b ? 2 ? a ? c? 5 ? ⑵ 设切点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
4x x1 x y1 y ? ? 1 ? 4x1 x ? 9 y1 y ? 36 , k PA ? ? 1 , 9 y1 9 4 4x x2 x y2 y ? ? 1 ? 4 x2 x ? 9 y2 y ? 36 , k PB ? ? 2 , 9 y2 9 4

x2 y2 x2 y2 ? ? 1与曲线 ? ? 1 的() 25 9 ? k 25 ? k 9 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等

PA 方程: PB 方程:

由 PA 与 PB 垂直得 kPA ? kPB ? ?1 ? 16 x1 x2 ? 81y1 y2 ? 0

……①

AB 方程:

x0 x y0 y 4x 4 ? ?1? y ? ? 0 x ? ,椭圆方程: 4 x2 ? 9 y 2 ? 36 , 9 4 9 y0 y0

2 2 2 联立得到: (9 y0 ? 4x0 ) x2 ? 72x0 x ? 324 ? 81y0 ? 0,

于是 x1 ? x2 ?
x1 x2 ?

72 x0 , 2 2 9 y0 ? 4 x0

……②

2 324 ? 81 y0 2 2 9 y0 ? 4 x0

……③

① 式?
16 x1 x2 ? 81(? 4 x0 x1 4 4x x 4 2 ? )(? 0 2 ? ) ? 0 ? y0 x1 x2 ? (9 ? x0 x1 )(9 ? x0 x2 ) ? 0 9 y0 y0 9 y0 y0

2 2 ? ( x0 ? y0 ) x1 x2 ? 9x0 ( x1 ? x2 ) ? 81 ? 0 ,

再代入② 、③ ,得到:
2 2 ( x0 ? y0 )? 2 324 ? 81y0 72 x ? 9 x0 ? 2 0 2 ? 81 ? 0 2 2 9 y0 ? 4 x0 9 y0 ? 4 x0

2 4 2 2 2 2 ? 117 y0 ? 9 y0 ? 9 x0 y0 ? 0 ? x0 ? y0 ? 13 .

25. (2014 广东文 8)

若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线

A.实半轴长相等 C.离心率相等 【解析】 D 26. (2014 广东文 20) 5 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5 , . 0) ,离心率为 3 a b ⑴ 求椭圆 C 的标准方程; ⑵ 若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程. 【解析】 ⑴ 由题意得 c ? 5 ,∵e ? ∴a ? 3 , ∴b ? a 2 ? c2 ? 2 , ∴ 椭圆 C 的标准方程为
c 5 ? , a 3

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1 的( 16 ? k 5 16 5 ? k B.虚半轴长相等 D.焦距相等



x2 y 2 ? ? 1. 9 4

⑵ 当过 P 点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为 k1 、 k 2 , 则过 P 点的切线方程可设为
y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ? y ? kx ? y0 ? kx0 ,

? y ? kx ? y0 ? kx0 ? 由 ? x2 y 2 ? ?1 ? 4 ?9
2 消去 y ,有 ? 4 ? 9k 2 ? x 2 ? 18k ? y0 ? kx0 ? x ? 9 ?? y0 ? kx0 ? ? 4 ? ? 0 , ? ? 2 2 2 ? ? ??? ?18k ? y0 ? kx0 ? ? ? ? 4 ? 4 ? 9k ? ? 9 ?? y0 ? kx0 ? ? 4 ? ? 0 ,

2 2 整理得 9 ? x0 k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ?4?0,

?

?

∴k1k2 ?

2 4 ? y0 x ≠ ?3? , 2 ? 0 9 ? x0

由已知得 k1k2 ? ?1 , ∴
2 4 ? y0 ? ?1 , 2 9 ? x0

2 2 2 2 ∴x0 ? y0 ? 13 ,即此时点 P 的轨迹方程为 x0 ? y0 ? 13 .

当两条切线中有一条垂直于 x 轴时,此时两条切线方程应分别为 x ? 3 , y ? 2 或 x ? ?3 , y ? 2 或 x ? 3 y ? ?2 或 x ? ?3 , y ? ?2 ,
2? 或 ? ?3 , 2 ? 或 ?3 , ? 2? 或 ? ?3 , ? 2 ? ,均满足方程 P 点坐标为 ? 3 ,
2 2 x0 ? y0 ? 13? x0 ≠ ?3? .

2 2 综上所述,所求 P 点的轨迹方程为 x0 ? y0 ? 13 .

27. (2014 湖北理 9) 已知 F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A. 【解析】 A 解法一:设椭圆方程为
x2 y 2 ? ? 1(a1>b1>0) ,离心率为 e1 , 双曲线的方程为 a12 b12

π ,则椭圆和双 3

) D. 2

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a2> 0, b2> 0) ,离心率为 e2 ,它们的焦距为 2c ,不妨设 P 为两曲线在第一象限的 2 a2 b2

? PF1 ? PF2 ? 2a1 , ? PF1 ? a1 ? a2 , ? ? 交点, F1 , 解得 ? F2 分别为左,右焦点,则易知 ? ? ? ? PF1 ? PF2 ? 2a2 , ? PF2 ? a1 ? a2 .
在 △F1PF2 中,由余弦定理得
(a1 ? a2 )2 ? (a1 ? a2 )2 ? 2(a1 ? a2 ) ? (a1 ? a2 )cos60?= 4c2 ,
2 整理得 a12 ? 3a2 ? 4c 2 ,所以

2 a12 3a2 1 3 ? ? 4 ,即 2 ? 2 ? 4 . 2 2 e1 e2 c c

?1 ? 3? 3? 设 a ? ? , ? , b ? ?1 , ? , ?e e ? ? 3 ? 2 ? ? 1 ? ?
? 1 1 ? ? a? b ≤a?b ? e1 e2 1 1 4 3 1 3 1 4 4 3 ? 2 ? 1? ? 4 ? ? , 故 ? 的最大值是 . 2 e1 e2 3 e1 e2 3 3 3

解法二:不妨设 P 在第一象限, PF1 ? m , PF2 ? n . 在 △PF1 F2 中,由余弦定理得 m2 ? n2 ? mn ? 4c 2 . 设椭圆的长轴长为 2a1 , 离心率为 e1 , 双曲线的实轴长为 2a2 , 离心离为 e2 , 它们的焦距为 2c , 则
1 1 a1 ? a2 ? ? ? e1 e2 c
2

m?n m?n 2 ? 2 4m 2 4 2 2 ? m .? ? 1 ? 1 ? ? m ? ? , ? ? 2 2 2 2 c m ? n ? mn ? n ? c c n ? e1 e2 ? ? ? ? ?1 ?m? m

?1 1? n 4 3 3 ?n? 易知 ? ? ? ? 1 的最小值为 .故 ? ? ? ? .故选 A. 3 4 ?m? m ? e1 e2 ?max

评析 本题考查了椭圆、双曲线的定义、方程和性质;考查了利用不等式和函数求最值的基 本方法.本题对运算能力的要求较高. 28. (2014 湖北理 12) 直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 C : x2 ? y 2 ? 1 分成长度相等的四段弧,则 a 2 ? b2 ? ________. 【解析】 2
?a ? 1 ?a ? ?1 , 2 或? 由题意知直线 l1 和 l2 与单位圆 C 所在的位置如图.因此 ? 故 a ? b2 ? 1 ? 1 ? 2 . b ? ? 1 b ? 1 , ? ?

y 1 1 O 1 1 x

评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想 方法.正确画出图形求出 a 和 b 的值是解题的关键. 29. (2014 湖北理 21 文 22) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1 , 0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹 为C . ⑴ 求轨迹为 C 的方程 ⑵ 设斜率为 k 的直线 l 过定点 P ? ?2 , 1? ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点, 三个公共点时 k 的相应取值范围.
y) ,依题意得 MF ? x ? 1, 【解析】 ⑴ 设点 M ( x , 即 ( x ? 1)2 ? y2 ? x ? 1,

化简整理得 y 2 ? 2( x ? x) .
?4 x , x ≥ 0 , 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? ? x<0 . ?0 ,

⑵ 在点 M 的轨迹 C 中,记 C1∶y 2 ? 4 x , C2∶y ? 0( x< 0) , 依题意,可设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) .
? y ? 1 ? k ( x ? 2) , 由方程组 ? 2 可得 ky 2 ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 y ? 4 x , ?


1 . 4

(ⅰ )当 k ? 0 时,此时 y ? 1 .把 y ? 1 代入轨迹 C 的方程,得 x ?
?1 ? 1? . 故此时直线 l ∶ y ? 1 与轴迹 C 恰好有一个公共点 ? , ?4 ?

(ⅱ )当 k ? 0 时,方程① 的判别式为 ? ? ?16(2k 2 ? k ? 1) . ② 设直线 l 与 x 轴的交点为 ( x0 , 0) ,则 由 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,令 y ? 0 , 得 x0 ? ?
2k ? 1 . k



0, ??< 1 (a)若 ? 则由② ③ 解得 k<? 1 或 k> . 0, 2 ? x0<
? 1) 即当 k ? (?? , ?1 ? ? ? ? 时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共 ? , 2 ? ?

点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.
?? ? 0 , ? ?>0 , 1? 1 ? (b)若 ? 或? 则由② ③ 解得 k ? ? ?1 , ? 或 - ≤ k<0 . 0 2? 2 ? ? x0 ≥ 0 , ? x0<
1? ? 即当 k ? ? ?1 , ? 时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 2? ?

? 1 ? 0 ? 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. 当 k ? ?? , ? 2 ? ? 1 ? 0? 故当 k ? ? ? , ? 2 ? 1? ? ??1 , ? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 2? ?

0, ??> 1 1 (c)若 ? 则由② ③ 解得 ?1<k<? 或 0<k< . x < 0 , 2 2 ? 0
1? ? ? ? 即当 k ? ? ?1 , 2? ? 1? ? ? ? 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公 ?0, 2? ?

共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.
?1 ? ? 1) ? , ? ?? 综上可知,当 k ? (?? , ?2 ?
? 1 ? 0? 当 k ? ?? , ? 2 ? 1? ? ? ? 当 k ? ? ?1 , 2? ?

?0? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点;

1? ? ??1 , ? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点; 2? ? ? 1? ? 0 , ? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. ? 2?

评析 本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了数形结合的方法,灵活地利用差别式是 0) 就会造成错解而失分. 求解的关键.盲目利用抛物线的定义而漏掉射线 y ? 0( x< 30. (2014 湖北文 8) b 是关于 t 的方程 t 2 cos? ? t sin? ? 0 的两个不等实根,则过 A? a, 设 a, a2 ? , B ?b, b2 ? 两点的直 线与双曲线

A.0 D.3 【解析】 A 31. (2014 湖北文 17) 0) ( b ? ?2) 和常数 ? 满足:对圆 O 上任意一 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 和点 A ? ?2, 0? ,若定点 B (b , 点 M ,都有 | MB |? ? | MA | ,则 ⑴b ? ; ⑵? ? . 1 1 【解析】 ⑴? ;⑵ 2 2 32. (2014 湖南理 15) 如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a ,b ? a ? b ? ,原点 O 为 AD 的中点,抛物 线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 经过 C , F 两点,则
y G

x2 y2 ? ? 1 的公共点的个数为( cos2 ? sin 2 ? B .1 C.2



b ? ____________. a
F

A O B

D C

E

x

【解析】 2 ? 1

?a 2 ? pa a ? ?a ? ?a ? ? a ?, F ? ? b, b ? ,则 ? 2 由题可得 C ? , ?a ? ? ? 2 ? 1 ,故填 2 ? 1 . b ?2 ? ?2 ? ?b ? 2 p ? 2 ? b ? ? ? ?

33. (2014 湖南理 16)

在平面直角坐标系中, O 为原点, A ? ?1 , 0 ? , B 0 , 则 OA ? OB ? OD 的最大值是____________.

?

3 , C ? 3 , 0? ,动点 D 满足 | CD |? 1 ,

?

【解析】 7 ? 1 动点 D 的轨迹为以 C 为圆心的单位圆,则设为 ?3 ? cos?, sin? ? ?? ??0, 2π ?? , 则 OA ? OB ? OD ?

?3 ? cos? ? 1?

2

? sin ? ? 3

?

?

2

? 8 ? 2 2cos? ? 3 sin ? ,

?

?

因为 2cos? ? 3 sin ? 的最大值为 7 ,所以 OA ? OB ? OD 的最大值为 8 ? 2 7 ? 7 ? 1 . 34. (2014 湖南理 21) 如图, O 为坐标原点,椭圆 C1 : 为 e1 ;双曲线 C2 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 a 2 b2

3 x2 y 2 .且 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F3 , F4 ,离心率为 e2 .已知 e1e2 ? 2 2 a b

| F2 F4 |? 3 ? 1 .
⑴ 求 C1 , C2 的方程;
Q 两点时, ⑵ 过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB , 当直线 OM 与 C2 交于 P , M 为 AB 的中点,

求四边形 APBQ 面积的最小值.
y A P M F2 F3 B Q F1 O F4 x

【解析】 ⑴ 由题可得 e1 ? 1 ? 因为 e1e2 ? 所以 1 ?

b2 b2 , e ? 1 ? ,且 F1F2 ? 2 a2 ? b2 , 2 a2 a2

3 ,且 F2 F4 ? a2 ? b2 ? a2 ? b2 , 2

b2 b2 3 ? 1 ? ? ,且 a2 ? b2 ? a2 ? b2 ? 3 ? 1 ? a ? 2b 且 b ? 1 ? a ? 2 , a2 a2 2

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的方程为 ? y 2 ? 1 . 2 2 ⑵ 由⑴ 可得 F1 ? ?1 , 0 ? ,因为直线 AB 不垂直于 y 轴,所以设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 ,联
所以椭圆 C1 方程为 立直线与椭圆方程可得 ? m2 ? 2? y2 ? 2my ? 1 ? 0 ,则 yA ? yB ?
2m m ,则 yM ? 2 , 2 m ?2 m ?2

因为 M ? xM , yM ? 在直线 AB 上,所以 xM ? 直线 PQ 的方程为 y ?

m2 ?2 . ?1 ? 2 2 m ?2 m ?2

yM m m2 4 2 x ? ? x ,代入双曲线方程,可得 x 2 ? , ,且 y ? xM 2 2 ? m2 2 ? m2

2 ? m2 ? 0 ,从而 PQ ? 2 x 2 ? y 2 ? 2

m2 ? 4 . 2 ? m2

设点 A 到直线 PQ 的距离为 d ,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d , 所以 2d ?
mxA ? 2 y A ? mxB ? 2 yB m2 ? 4



B 在 PQ 的异侧,所以 2d ? 因为 A ,

mxA ? 2 y A ? mxB ? 2 yB m2 ? 4

?m ?

2

? 2 ? y A ? yB m2 ? 4



又 y A ? yB ?

2 2 m2 ? 1 2 2 1 ? m2 ,因此 . 2 d ? m2 ? 2 m2 ? 4

于是四边形 APBQ 的面积为
S? 1 2 2 1 ? m2 3 1 PQ ? 2d ? ? 2 2 ?1 ? ≥2 2 ? 2 ,当且仅当 m2 ? 0 即 m ? 0 时 2 2 2 2?m 2 2?m

S 取得最小值 2 .

35. (2014 湖南文 6) 若圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? m ? 0 外切,则 m ? ( A. 21 【解析】 C 36. (2014 湖南文 10) B. 19 C. 9

) D. ?11

在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 原 点 , A ? ?1 , 0? , B 0 , 3 , C ?3 , 0? , 动 点 D 满 足
CD ? 1 ,则 OA ? OB ? OD 的取值范围是(

?

?


? D. ? ? 7 ? 1 , 7 +1?

A. ? 4 , 6?

? B. ? ? 19 ? 1 , 19+1?

2 7? C. ? ?2 3 , ?

【解析】 D 37. (2014 湖南文 14) 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F ?1 ,0? 的距离和到直线 x ? ?1 的距离相等.若机器 人接触不到过点 P ? ?1, 0 ? 且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是___________. 【解析】 ? ?? , ? 1?

?1,

? ??

38. (2014 湖南文 20)
O 为坐标原点, 如图, 双曲线 C1 :

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0) C : ? ? 1(a2 ? b2 ? 0) 均 和椭圆 1 1 2 a12 b12 a2 2 b2 2

过点 P (

2 3 , 1) ,且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. 3

⑴ 求 C1 , C2 的方程;
B 两点,与 C2 只有一个公共点,且 | OA ? OB |?| AB | ? ⑵ 是否存在直线 l ,使得 l 与 C1 交于 A ,

证明你的结论.

y

P

O

x

【解析】 ⑴ 设 C2 的焦距为 2c2 ,由题意知 2c2 ? 2 , 2a1 ? 2 ,从而 a1 ? 1 , c2 ? 1 .
2

?2 3? ?2 3 ? 1 y 因为点 P ? 在双曲线 x 2 ? 2 ? 1 上,所以 ? ? 2 ? 1 ,故 b12 ? 3 . , 1 ? ? ? ? ? 3 ? b1 ? ? ? 3 ? b1
?2 3? ?2 3? 2 2 由椭圆的定义知 2a2 ? ? ? 3 ? ? ? ?1 ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ?1 ? 1? ? 2 3 . ? ? ? ?
2 2 2 于是 a2 ? 3 , b2 ? a2 ? c2 ? 2 ,故 C1 , C2 的方程分别为 x2 ?

2

图5

2

2

y2 y 2 x2 ?1, ? ?1 3 2 3

⑵ 不存在符合题设条件的直线. ( i)若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x ? 2 或
x?? 2 .

当 x ? 2 时,易知 A

?

2,

3 ,B

?

?

2, ? 3 ,

?

所以 OA ? OB ? 2 2 , AB ? 2 3 , 此时, OA ? OB ? AB . 当 x ? ? 2 时,同理可知, OA ? OB ? AB . (ii)若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,
? y ? kx ? m, ? 由 ? 2 y2 得 3 ? k 2 x2 ? 2kmx ? m2 ? 3 ? 0 . ?1 ?x ? 3 ?

?

?

当 l 与 C1 相交于 A , B 两点时,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 , x 2 是上述方程的 两个实根,从而 x1 ? x2 ?

m2 ? 3 2km , . x x ? 1 2 3 ? k2 k2 ? 3
3k 2 ? 3m2 k2 ? 3

于是, y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 ?

? y ? kx ? m, ? 由 ? y 2 x2 得 2k 2 ? 3 x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 6 ? 0 ? ? 1 ? 2 ?3

?

?

因为直线 l 与 C2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式
? ? 16k 2 m2 ? 8? 2k 2 ? 3?? m2 ? 3? ? 0 .

化简,得 2k 2 ? m2 ? 3 ,因此

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?

m2 ? 3 3k 2 ? 3m2 ?k 2 ? 3 ? ? 2 ?0, k2 ? 3 k2 ? 3 k ?3

于是 OA ? OB ? 2OA ? OB ? OA ? OB ? 2OA ? OB , 即 | OA ? OB |2 ?| OA ? OB | ,故 | OA ? OB |?| AB | . 综合(i) , (ii)可知,不存在符合题设条件的直线. 39. (2014 江苏理 9) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 截得的弦长为_______. 【解析】
2 55 5
2 2

2

2

2

2

∵ 圆心 (2, ?1) 到直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离 d ?

?3 5

?

3 5
9 2 55 ? 5 5

∴ 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 截得的弦长为 2 4 ? 40. (2014 江苏理 17) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 顶点 B ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, a 2 b2

的坐标为 ? 0 , b ? ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A ,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C ,连 结 F1C .
?4 1? ⑴ 若点 C 的坐标为 ? , ? ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; ? 3 3?
y B C

⑵ 若 F1C ? AB ,求椭圆离心率 e 的值.
16 1 16 1 ? 4 1? 【解析】 ⑴∵C ? , ? ,∴ 92 ? 92 ? 1 ,即 2 ? 2 ? 9 3 3 a b a b ? ?

F1 O

F2 A

x

∵BF22 ? b2 ? c2 ? a2 ,∴a 2 ? ∴ 椭圆方程为

? 2?

2

? 2 ,∴b 2 ? 1
(第17题)

x2 ? y2 ? 1 2

b ⑵ 设焦点 F1 ? ?c,0 ? , F2 ? c, 0 ? ,∵B ? 0, b ? ,∴ 直线 AB : y ? ? x ? b c

? x2 y 2 ? ?1 ? 1? 2 ? a 2 b2 ? 1 与椭圆方程联立得 ? ,整理得 ? 2 ? 2 ? x 2 ? x ? 0 c ? c ?a ?y ? ? b x ? b ? c ?

解得 x ? 0 或 x ? ∵A ?

2a2 c a2 ? c2
? ? ,且 A、 C 关于 x 轴对称 ?

? 2a 2 c 2a 2 b , b ? 2 2 a2 ? c2 ?a ?c

∴C ?

? 2a 2 c ? 2a 2 b , 2 ? b? 2 2 2 ?a ?c a ?c ?

2a 2 b ?b 2 2 a 2 b ? bc 2 ? 2 ∴k F1C ? a ?2 c 2a c 3a c ? c 3 ? c a2 ? c2 ∵ AB ? CF1



a 2b ? bc 2 ? b ? ? ? ? ? ? ?1 3a 2 c ? c3 ? c ?

由 b2 ? a 2 ? c 2 得

5 c2 1 ? ,即 e= 2 5 a 5

41. (2014 江西理 9) 在平面直角坐标系中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线
2 x + y - 4 = 0 相切,则圆 C 面积的最小值为()

4 3 5 A. π B. π C. (6 ? 2 5)π D. π 5 4 4 【解析】 A 由题意得以 AB 为直径的圆 C 过原点 O ,圆心 C 为 AB 的中点, 设 D 为切点,要使圆 C 的面积最小,只需圆的半径最短,也只 需 OC ? CD 最 小 , 其 最 小 值 为 OE ( 过 原 点 O 作 直 线 2 x ? y ? 4? 0 的垂线,垂足为 E )的长度,由点到直线的距离

y 4

B C

D E

公式得 OE ?

4

4 ? 2 ? , ∴ 圆 C 面积的最值为 π ? 故选 A. ? ? π. 5 ? 5? 5

2

O

A

2

x

42. (2014 江西理 15)
1 x2 y 2 过点 M (1 , 1) 作斜率为 ? 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A , B ,若 M 是线段 2 a b AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于______.

【解析】

2 2

设 A ? x1,y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 ① 、② 两式相减并整理得

2 2 x12 y12 x2 y2 ? ? 1 ? ?1② ① , a2 b2 a2 b2

y1 ? y2 b 2 x ? x2 ?? 2 ? 1 x1 ? x2 a y1 ? y2

b2 2 1 b2 2 b2 1 把已知条件代入上式得, ? ? ? 2 ? ,∴ 2 ? ,故椭圆的离心率 e ? 1 ? 2 ? a 2 2 a 2 a 2

43. (2014 江西理 20)
x2 ? y 2 ? 1? a ? 0? 的右焦点 F ,点 A, B 分别在 C 的两条渐近线上, a2 AF ? x 轴, AB ? OB , BF ∥ OA ( O 为坐标原点) . ⑴ 求双曲线 C 的方程; xx ⑵ 过 C 上一点 P ? x0 , y0 ?? y0 ? 0? 的直线 l : 02 ? y0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M ,与直线 a

如图,已知双曲线 C :

x?

MF 3 相交于点 N .证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. NF 2

y A F x

O B

【解析】 ⑴ 设 F ? c , 0? ,因为 b ? 1 ,所以 c ? a2 ? 1 .
c ? 1 1 ?c 直线 OB 的方程为 y ? ? x ,直线 BF 的方程为 y ? ? x ? c ? 解得 B ? , ? ? . 2a ? a a ?2

又直线 OA 的方程 y ?

c? 1 ? x ,则 A ? c , ? , k AB a a ? ?

c ? c ? ??? ? a ? 2a ? 3 ? ? . c a c? 2

3 ? 1? 又因为 AB ? OB ,所以 ? ? ? ? ? ?1 ,解得 a 2 ? 3 , a ? a?

x2 ? y2 ? 1 . 3 xx ⑵ 由⑴ 知 a ? 3 ,则直线 l 的方程为 0 ? y0 y ? 1? y0 ? 0? , 3 x x?3 即y? 0 . 3 y0
故双曲线 C 的方程为
? 2x ? 3 ? 因为直线 AF 的方程为 x ? 2 ,所以直线 l 与 AF 的交点为 M ? 2 , 0 ?. 3 y0 ? ?

3 ? ? x0 ? 3 ? ? 3 3 2 直线 l 与直线 x ? 的交点为 N ? , ? 3 y0 ? 2 ?2 ? ?
| MF |2 则 ? | NF |2

? 2 x0 ? 3? 2 ? 3 y0 ?

2

?3 ? x0 ? 3 ? ? 1 ?2 ? ? 2 4 ? 3 y0 ?

2

?

? 2 x0 ? 3?

2

2 9 y0 9 2 ? ? x0 ? 2 ? 4 4

? 2 x ? 3? 4 ? ? 2 0 3 3 y0 ? 3 ? x0 ? 2 ?2
2

因为 P ? x0,y0 ? 是 C 上一点,则
2

2 x0 2 ? y0 ? 1 代入上式得 3

? 2x0 ? 3? | MF |2 4 4 ? 2 x ? 3? 4 ? ? 2 ? ? 2 0 ? 2 2 | NF | 3 x0 ? 3 ? 3 ? x0 ? 2? 3 4 x0 ? 12 x0 ? 9 3
2

所求定值为 44. (2014 江西文 9)

| MF | 2 2 3 ? ? . | NF | 3 3

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A .若以 C 的右焦 a 2 b2 点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、 O 两点( O 为坐标原点) ,则双曲线 C 的方程为( )
过双曲线 C : A.

x2 y 2 ? ?1 4 12

B.

x2 y 2 ? ?1 7 9

C.

x2 y 2 ? ?1 8 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

【解析】 A 45. (2014 江西文 14) x2 y 2 B 两点, F2 , 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点为 F1, 作 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A, a b F1 B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ? F1 B ,则椭圆 C 的离心率等于________.

【解析】

3 3
y

46. (2014 江西文 20) 2) 任作一直线与 如图,已知抛物线 C : x 2 ? 4 y ,过点 M (0,
C 相交于 A, B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交

于点 D ( O 为坐标原点) . ⑴ 证明:动点 D 在定直线上; ⑵ 作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴)与直线 y ? 2 相交于点
N1 ,与⑴中的定直线相交于点 N 2 ,证明:
| MN2 |2 ? | MN1 |2 为定值,并求此定值.

M B O D

A x

【解析】 ⑴ 证明:依题意可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入 x 2 ? 4 y ,得 x 2 ? 4 ? kx ? 2 ? , 即 x 2 ? 4kx ? 8 ? 0 . 设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x2 ,y2 ? , 则有 x1 x2 ? ?8 , 直线 AO 的方程为 y ?
y1 x ,直线 BD 的方程为 x ? x2 . x1

解得交点 D 的坐标为 ? x2 ,
?

?

y1 x2 ? ?, x1 ?
y1 x1 x2 ?8 y1 ? ? ?2 . 4 y1 x12

注意到 x1 x2 ? ?8 及 x12 ? 4 y1 ,则有 y ? 因此 D 点在定直线 y ? ?2 上 ? x ? 0? .

⑵ 依题设知,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y ? ax ? b ? a ? 0? ,代入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? 4 ? ax ? b ? ,即 x 2 ? 4ax ? 4b ? 0 ,由 △? 0 得 ? 4a ? ? 16b ? 0 ,化简整理得 b ? ?a 2 .
2

故切线 l 的方程可写为 y ? ax ? a 2 . 分 别 令
y ? 2、y ? ?2



N1、N 2









?2 ? ? 2 ? N1 ? ? a ,2 ?、N2 ? ? ? a ,? 2 ? , a a ? ? ? ?

则 MN 2 ? MN1 ? ? ? a ? ? 42 ? ? ? a ? ? 8 ,即 MN2 ? MN1 为 ?a ? ?a ? 定值 8. 47. (2014 辽宁理 10) 已知点 A ? ?2 ,3? 在抛物线 C : 过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B , y 2 ? 2 px 的准线上, 记 C 的焦点为 F ,则直线 BF 的斜率为() 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 3 【解析】 D 48. (2014 辽宁理 15 文 15) x2 y 2 已知椭圆 C : ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A , 9 4 B ,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? ______ . 【解析】 12 49. (2014 辽宁理 20) 圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切

2

2

?2

?

2

?2

?

2

2

2

点为 P (如图) ,双曲线 C1 : ⑴ 求 C1 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a 2 b2

⑵ 椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A , B 两点,若以 线段 AB 为直径的圆过点 P ,求 l 的方程.
y

P

O

x

【解析】 ⑴ 设切点坐标为 ( x0,y0 ) ? x0 ? 0 , y0 ? 0 ? .则切线斜率为 ?
y ? y0 ? ? x0 ( x ? x0 ) . y0

x0 ,切线方程为 y0

即 x0 x ? y0 y ? 4 . 此 时 , 两 个 坐 标 轴 的 正 半 轴 与 切 线 围 成 的 三 角 形 面 积 为
S? 1 4 4 8 ? ? ? . 2 x0 y0 x0 y0

2 2 由 x0 ? y0 ? 4 ≥ 2x0 y0 知当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 有最大值.即 S 有最小值.

因此点 P 的坐标为 ( 2,2) .
2 ?2 ? 2 ? 2 ?1 由题意知 ? a b ?a 2 ? b 2 ? 3a 2 ?

解得 a 2 ? 1 , b2 ? 2 .故 C1 方程为 x2 ?

y2 ?1. 2
x2 y2 ? 2 ?1. 其中 b1 ? 0 . 2 3 ? b1 b1

⑵ 由⑴ 知 C2 的焦点坐标为 (? 3, ( 3,0 ) . 由此设 C2 的方程为 0) . 由 P( 2,2) 在 C2 上,得
2 2 ? 2 ?1. 2 3 ? b1 b1

解得 b12 ? 3 .因此 C2 方程为

x2 y 2 ? ?1 6 3

显然, l 不是直线 y ? 0 .设 l 的方程为 x ? my ? 3 .点 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .
? x ? my ? 3 ? 由 ? x2 y 2 得 (m2 ? 2) y 2 ? 2 3my ? 3 ? 0 .又 y1,y2 是方程的根.因此 ? ? 1 ? 3 ?6

? 2 3m y1 ? y2 ? ? 2 ? ? m ?2 ? ? y y = ?3 ? 1 2 m2 ? 2 ?

① ②

由 x1 ? my1 ? 3 . x2 ? my2 ? 3 .得
? 4 3 ③ ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? 2 ? m ?2 ? 2 ? x ? x ? m2 y y ? 3m( y ? y ) ? 3 ? 6 ? 6m 1 2 1 2 1 2 ? m2 ? 2 ?



因 AP ? ( 2 ? x1 ,

2 ? y1 ) . BP ? ( 2 ? x2 ,

2 ? y2 ) .由题意知 AP ? BP ? 0 .


所以 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0 将① ,② ,③ ,④ 代入⑤ 式整理得 2m2 ? 2 6 ? 4 6 ? 11 ? 0 . 解得 m?

?3 6 ? 3 6 6 ?1 或 m ? ? ?1 , 因 此 直 线 l 的 方 程 为 x ? ? 或 ? 2 ? 1? ?y? 3?0 2 2 ? ?

? 6 ? . x?? ? 2 ? 1? ?y? 3?0 ? ?

50. (2014 辽宁文 8) y 2 ? 2 px 的准线上, 已知点 A(?2,3) 在抛物线 C : 记 C 的焦点为 F , 则直线 AF 的斜率为 ( A. ?
4 3



B.-1

C. ?

3 4

D. ?

1 2

【解析】 C 51. (2014 辽宁文 20) 圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个 三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P (如图) . ⑴ 求点 P 的坐标; ⑵ 焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ,且与直线 l : y ? x+ 3 交于 A , B 两点,若 ?PAB 的面积为 2,求 C 的标准 方程. 【解析】 ⑴ 设切点坐标为 ? x0 , y0 ? ( x0 ? 0 , y0 ? 0) ,则 x x 切线斜率为 ? 0 ,切线方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? x0 ) . y0 y0

y P

O

x

即 x0 x ? y0 y ? 4 , 此 时 , 两 个 坐 标 轴 的 正 半 轴 与 切 线 组 成 的 三 角 形 面 积 为
S? 1 4 4 8 ? ? ? . 2 x0 y0 x0 y0

2 2 ? y0 ? 4 ≥ 2x0 y0 知当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 有最大值,即 S 有最小值. 由 x0

因此点 P 的坐标为( 2 ,
2 2

. 2)

⑵ 设 C 的标准方程为

x y ? ? 1(a ? b ? 0) .点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .由点 P 在 C 上知 a 2 b2

? x2 y 2 ?1 2 2 ? ? 得 b2 x? ? 4 3x ? 6 ? 2b2 ? 0 ,又 x1 , x2 是方程的根,因此 ? 2 ? 1 ,并由 ? a 2 b 2 2 a b ?y ? x ? 3 ?

? 4 3 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? b ? 2 ? x x ? 6 ? 2b 1 2 2 ? b ?

由 y1 ? x1 ? 3 , y2 ? x2 ? 3 ,得 AB ? 2 x1 ? x2 ? 2 ? 由点 P 到直线 l 的距离为
2 2

48 ? 24b 2 ? 8b 4 . b2

3 2

及 SΔ PAB ?

1 3 ? | AB |? 2 得 b4 ? 9b2 ? 18 ? 0 , 解得 b 2 ? 6 或 3, 2 2

因此 b ? 6 , a ? 3 (舍)或 b2 ? 3 , a2 ? 6 . 从而所求 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 6 3


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