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向量的应用


最小二乘法估计及其应用 毕业论文 GRADUATE THESIS 最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识, 并在参数估计、 系统辨 识以及预测、预报等众多领域得到极为广泛的应用。然而,最小二乘法因其抽象、难懂常常 不能被准确理解。 本文探讨了最小二乘法的基本原理及其各种变形的拟合方法, 其中包括:yi 一元线性最小二乘法拟合、多元性性拟合、多项式拟合、非线性拟

合和可化为线性拟合的非 线性拟合, 并且给出了加权最小二乘法的方法, 运用实例来展示最小二乘法在实践中的应用, 在此基础上给出了几种最小二乘法程序的设计原理。 关键词 最小二乘法,线性拟合,曲线拟合,应用实例 Abstract Least square used to estimate parameters and identify system of regression model,by the point of error fitting.And it has widely application in the parameters estimate,system identification,prediction forecasting and other fields. However, the least square method because of its abstract and difficult,often can not be accurately understanding.The least square method’s principle and the various kinds of fitting methods such as the linear least square fitting,linear fitting,polynomial fitting,and of linear fitting and nonlinear fitting and gives the method of weighted least squares method,and the use of examples to show the least squares method application in practice,on the basis of several least-squares procedure design principle. Keywords:least square method ;linear fitting; curve fitting;applicationexamples





摘要 ·············································· (1) ABSTRACT
··········································

(1)

第 1 章 绪论 ········································· (1) 第2章 最小二乘法
···································

(1)

2.1 最小二乘法的定义································· (2) 2.2 最小二乘法的统计学原理 ···························· (2) 第 3 章 最小二乘法的应用
·······························

(7)

3.1 曲线拟合 ······································· (7) 3.1.1 一元线性拟合································· (7) 3.1.2 多元线性拟合································· (7) 3.1.3 多项式拟合
·································· ·························· ·····················

(8) (8) (9)

3.1.4 非线性最小二乘法拟合

3.1.5 可化为线性拟合的非线性拟合

3.2 加权最小二乘法 ···································· (7) 3.2.1 加权最小二乘法定义
·····························

(7)

3.2.2 加权最小二乘法原理 ···························· (7) 第 4 章 应用最小二乘法解决的实际问题 ······················ (7) 4.1 一元线性拟合实例 ······························· (8) 4.2 多项式拟合实例································· (8) 4.3 非线性拟合 ······································ 4.4 可化为线性拟合的非线性拟合
·························

第 5 章最小二乘法程序设计 ······························· (7) 5.1 程序设计原理
·································· ·····················

(8) (8)

5.1.1 一元线性拟合的程序设计原理 5.1.2 多元线性拟合的程序设计原理

·······················

5.2 MATLAB 对最小二乘法的实现 ·························· 5.2.1 用 Matlab 实现曲线拟合
·························

(8)

5.2.2 实例 ·········································

结论 ············································· (10) 参考文献
·········································

(10)

谢辞 ············································· (10) 附录 ············································· (10)
第 1 章 绪论 最小二乘法是一个比较古老的方法,早在十八世纪,首先创立并成功地应用于天文观测 和大地测量工作中。 虽然勒让德独立地运用最小二乘法是与高斯同时的, 但人们一般都认为 高斯在 1795 年(18 岁)首先应用了最小二乘法。高斯创造了最小二乘法,使他能够用望远 镜的观测结果来估算行星的轨道运动。 目前有三个领域的发展越来越广泛地运用于最小二乘法,对最小二乘法估计理论和实 用都带来了深刻的影响。这三个领域的发展是:近代统计估计理论的概念、矩阵符号表示法 和近代线性代数的概念以及大型数字计算机的应用。 在每个领域中,对于最小二乘法的应用,其观测值不可能是完善无误的。观测精度总 是存在一个极限值,超过这个极限值,不是表达量的数学模型时失效,就是测量仪器的分辨 力失效,或者两者都失效。超过这个精度极限值,重复观测结果之间不会彼此符合。 例如,如果我们用米标尺和肉眼多次观测工作台的长度,那么极限精度很可能为毫米。 如果我们把测量结果记录到最接近的 0.1 毫米,那么它们将是不一致的。

我们所希望的精度,往往超过我们所实施的观测的极限精度。在这种情况下,我们不 可能知道我们所观测的物理量的真值。 我们只能对真值做一个估计。 我们希望这个估值是唯 一的(即是用某种标准方法来求定估值,当给定同样的观测结果时,这个方法得到同样的估 值) ,而且我们希望知道固执的优度如何。 处理不一致的数据的科学方法叫做统计学,确定唯一估值以及其优度的方法叫做统计 估计法,最小二乘法是使不符值的平方和为最小的一种统计估计法。 应当着重指出,还有其他的方法也能得到唯一的估值。例如,使不符值的绝对值的和 为最小的估计值,或使最大的不符值为最小的估值法。但与最小二乘法相比,这些方法至少 有下述三个缺点。第一,最小二乘法适用于涉及到线性和非线性数学模型的问题,而其他两 种方法仅适用于线性问题,其原因在于受到了基本连续性和科微性的限制。第二,最小二乘 法估计与一个统计量(算术平方值)发生关系,这个统计量往往比与其它两种方法关联的两 个统计量 (它们分别是中位数和众列数) 更重要。 最后, 最小二乘法普遍地应用于许多领域, 使得它成为获得唯一估计值的标准方法。 本文将对最小二乘法以及在现在社会生活中应用进行叙述。第二章介绍最小二乘法定 义以及原理, 第三章将讨论曲线拟合, 第四章将举例来进一步说明最小二乘法在实际中的应 用,第五章将分析最小二乘法的程序设计原理,以及用 matlab 来实现曲线拟合。 本章主要介绍了最小二乘法的背景和统计学与最小二乘法,是我们了解了最小二乘法 与统计学其他统计数据方法相比较最小二乘法的优点,最后对本文主要内容进行了介绍。 第 2 章 最小二乘法 2.1 最小二乘法的定义


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