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高二数学排列组合综合应用问题(4)


例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任 意取出4只,试求满足如下条件各有多少种情况: (1)4只鞋子恰有两双; (2) 4只鞋子没有成双的; (3) 4只鞋子只有一双。

分析:
2 C10 ? 45 (1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有

(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 C10 方

法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 种 4 1 1 1 1 1 有 C2 种取法,所以一共有 C10C2C2C2C2 ? 3360 种取法.

3 (3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C10 种 1 取法,3双鞋中取出1双有 C3 种方法,另2双鞋中各取1只 1 1 3 1 1 1 C2C2种方法故共有 C10C3C2C2 ? 1440 种取法. 有

C C C C ? 1440
1 10 2 9 1 2 1 2

C (C ? 9) ? 1440
1 10 2 18

引入:前面我们已经学习和掌握了排列组合问题 的求解方法,下面我们要在复习、巩固已掌握的方 法的基础上,学习和讨论排列、组合的综合问题。 和应用问题。 问题:解决排列组合问题一般有哪些方法?应注 意什么问题? 解排列组合问题时,当问题分成互斥各类时,根 据加法原理,可用分类法;当问题考虑先后次序时, 根据乘法原理,可用位置法;上述两种称“直接 法”,当问题的反面简单明了时,可通过求差排除法, 采用“间接法”;另外,排列中“相邻”问题可采 用捆绑法;“分离”问题可用插空法等。 解排列组合问题,一定要做到“不重”、“不漏”。

例1:12 人按照下列要求分配,求不同的分法种数。 ①分为三组,一组5人,一组4人,一组3人; ②分为甲、乙、丙三组,甲组5人,乙组4人,丙组3人; ③分为甲、乙、丙三组,一组5人,一组4人,一组3人;

④分为甲、乙、丙三组,每组4人;
⑤分为三组,每组4人。 ⑥分成三组,其中一组2人,另外两组都是 5人。
答案 ①C125.C74.C33 ④C124.C84.C44 ② C125.C74.C33 ⑤ C124.C84.C44 A33 ③ C125.C74.C33.A33

⑥C12

2. C10

5.C 5 5 A22

例2:求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排,2女相邻; ② 6男2女排成一排,2女不能相邻; ③4男4女排成一排,同性者相邻; ④4男4女排成一排,同性者不能相邻。

例3:某乒乓球队有8男7女共15名队员,现进行混合 双打训练,两边都必须要1男1女,共有多少种不同的搭 配方法。
分析:每一种搭配都需要2男2女,所以先要选出2男2女,有 C82.C72种;

然后考虑2男2女搭配,有多少种方法? 男女----------男女
① Aa-------------Bb ② Ab-------------Ba ③ Bb-------------Aa ④ Ba-------------Ab 先组后排

显然: ①与③; ②与④在 搭配上是一样的。所以只有2 种方法,所以总的搭配方法 有2 C82.C72种。

练习:

1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演,

出场安排甲,乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种?

A ? C A A ? A A (种)
6 8 1 2 1 4 5 8 2 4 4 8

二.排列组合应用问题
(一).有条件限制的排列问题 例1:5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 ①a,e必须排在首位或末位,有多少种排法? ②a,e既不在首位也不在末位,有多少种排法? ③ a,e排在一起多少种排法? ④ a,e不相邻有多少种排法? ⑤ a在e的左边(可不相邻)有多少种排法? 解: ① (解题思路)分两步完成,把a,e排在首末两 端有A22种,再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。 由乘法共有A22. A33=12(种)排法。

优先法

解: ② 先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位,有A32种,然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种,由乘法原理: 共有A32. A33=36种排列.

间接法: A55- 4A44+2A33(种)排法。

(二)有条件限制的组合问题:

例2:已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
求含有5个元素,且其中至少有两个是偶数的子集的个 数。
解法1:5个元素中至少有两个是偶数可分成三类: ①2个偶数,3个奇数;②3个偶数,2个奇数;③4个偶数, 1个奇数。所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105
解法2:从反面考虑,全部子集个数为P95,而不符合条件 的有两类: ①5 个都是奇数;②4个奇数,1个偶数。所以 共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105

(三)排列组合混合问题:

例3:从6名男同学和4名女同学中,选出3名男同学和2 名女同学分别承担A,B,C,D,E 5项工作。一共有 多少种分配方案。

解1:分三步完成,1.选3名男同学有C63种,2.选 2名女同学有C42种,3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种,根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).

例3:从6名男同学和4名女同学中,选出3名男同 学和2名女同学分别承担A,B,C,D,E5项工作。 一共有多少种分配方案。 解2:把工作当作元素,同学看作位置,1.从5种 工作中任选3种(组合问题)分给6个男同学中的3人 (排列问题)有C53.A63种,第二步,将余下的2个工作分给 4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63. A42=14400(种). 亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配 方案有C52 . A42.A63=14400(种).

例4.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三 张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问 可以组成多少个三位数?

解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有2(A2 + C1 C1 C1 ) 8 2 7 7 种方法; 1 2 ②若不取6,则有 C7 A 7 种方法,
2 2(A2 + C1 C1 C1 )+ C1 A 7 =602 根据分类计数原理,一共有 8 2 7 7 7 种方法

排列组合应用题与实际是紧密相连的,但思 考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为 具体的桥梁,是解题的重要思考方法之一。 “具体排”可以帮助思考,可以找出重复,遗 漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方 法是“ 想透,排够不重不漏” 是很有道理的。
解排列组合应用题最重要的是,通过分析构想设计合理的 解题方案,在这里抽象与具体,直接法与间接法,全面分类 与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。

典型例题
1. 4名优等生被保送到3所学校,每所学校至少 得1名,则不同的保送方案总数为( A )。 2 3 (A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 C A
4 3

2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了,则可能 出现的错误的种数是( B ) 3 2 (A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 C5 A2 ? 1 3.小于50000且含有两个5,而其它数字不重复的五位数 有( B )个。 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 (A) A4 A4 A8 (B) C4C4 A8 (C) C4C4 C8 (D) C4C8 A4

练 习
3. 15 人按照下列要求分配,求不同的分法种数。
5 5 5 3 C15C10C5 / A3 (1)分为三组,每组5人,共有______________

种不同的分法。 (2)分为甲、乙、丙三组,一组7人,另两组各 7 4 4 3 2 4人,共有___________________种不同的分法。 C15C8 C4 A3 / A2 (3)分为甲、乙、丙三组,一组6人,一组5人,一组 6 5 4 3 4人,共有___________________种不同的分法。 C15C9 C4 A3 4. 8名同学选出4名站成一排照相,其中甲、乙两人都 4 1 3 1 3 2 2 C64 A4 ? C2C7 A2 A3 ? C62 A2 A2 不站中间两位的排法有______________________种。 5. 某班有27名男生13女生,要各选3人组成 班委会和团支部每队3人,3人中2男1女,共有 4 2 2 1 2 C27C13C4 C2 A2 _____________________ 种不同的选法。


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