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2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】专题4


专题 4 数列、推理与证明 第1讲
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. ( 2015 · 海 南 省 高 考 模 拟 测 试 题 · 12 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知

数列(B 卷)

? a7 ? 1?
是(

3

? 2012( a7 ? 1) ? 1 , ? a2006 ? 1? ? 2012( a2006 ? 1) ? ?1 ,则下列结论正确的
3

) B. S2012 ? 2012 , a2012 ? a7 D. S2012 ? 2012 , a2012 ? a7

A. S2012 ? ?2012 , a2012 ? a7 C. S2012 ? ?2012 , a2012 ? a7

2. (2015·开封市高三数学(理)冲刺模拟考试·6)已知 {an } 为正项等比数列,Sn 是它的 前 n 项和.若 a1 ? 16 ,且 a4 与 a7 的等差中项为 A.29 B.31

9 ,则 S5 的值 ( 8

) D.35

C.33

3.(2015 济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·7)数列 ?an ? 共有 11 项,a1 ? 0, a11 ? 4, 且

ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2,...,10) ,则满足该条件的不同数列的个数为(
A. 100 B. 120 C. 140

) D. 160

4.(2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·4)等比数列 {an } 中, a3 ? 9 ,前 3 项和 为 S3 ? 3 A. 1

?

3

0

x 2 dx ,则公比 q 的值是( )
B.-

1 2

C. 1 或-

1 2

D. -1 或-

1 2

5.(2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·5)

6. (2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·6)设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 8a2 ? a5 ? 0 ,则下列式子中数值不能确定的是( A. ) D.

a5 a3

B.

S5 S3

C.

a n ?1 an

S n ?1 Sn

7.(2015· 北京市东城区综合练习二· 3) 已知 {an } 为各项都是正数的等比数列, 若 a4 ? a8 ? 4 , 则 a5 ? a6 ? a7 ? ( (A) 4 (C) 16 ) (B) 8 (D) 64

* 8. (2015· 厦门市高三适应性考试· 7) 已知数列 {an } 满足: 当 p ? q ? 11 p, q ? N , p ? q

?

?

时, a p ? aq ? 2 p ,则 {an } 的前 10 项和 S10 ? (



A.31

B.62

C.170
为等差数列, 满足

D.1023


9. (2015· 6)数列 北京市西城区高三二模试卷· 则数列 A. 前21 项的和等于( B.21 )

C.42

D.84

10. (2015.芜湖市高三 5 月模拟·5)

11. (江西省九江市 2015 届高三第三次模拟考试·8)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

a1 ? 1, a2 ? 2 ,且对于任意 n ? 1, n ? N ? ,满足 Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? 1) ,则 S10 的值为(
A.91 B.90 C.55 D.54



12 . ( 2015 ·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试· 4 )已知 ?an ? 为等差数列 , 若

a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为(
A. ?



1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

二、非选择题( 40 分) 13.(2015·开封市高三数学(理)冲刺模拟考试·16)设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9, an=an-1+an-2-an-3 (n=4,5, ……),则 a2015 = .

14.(2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·15)

15. (2015 · 哈 尔 滨 市 第 六 中 学 高 三 第 三 次 模 拟 考 试 · 13) 已 知 等 差 数 列 {a n } 中 ,

a1 ? a3 ? a8 ?

5? ,那么 cos(a3 ? a5 ) ? 4

.

16. (2015 ·海淀区高三年级第二学期期末练习· 9) 若等比数列 {an } 满足 a2 a6 ? 64 ,
2 2 a3a4 ? 32 ,则公比 q ? _____; a12 ? a2 ? ? ? an ?



17.(2015·陕西省咸阳市高考模拟考试(三) ·15)

18. (2015·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·11)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , 公比 q ? 2 ,若 ?an ? 前 n 项和 Sn ? 127 ,则 n 的值为 .

19.(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·17) (本题满分 10 分)已知数列{ an }的首项

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 .
(1)求证: ?an ?1 ? 是等比数列; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Sn .

专题 4 数列、推理与证明 第1讲
1.【答案】D 【命题立意】本题旨在考查函数的单调性,等差数列求和. 【解析】构造函数 f(x)=(x-1)3+2012(x-1) ,则 f′(x)=3(x-1)2+2012>0,则函 数 y=f(x)在 R 上单调递增,而由 f(a7)>f(a2012)可得 a7>a2012,可以排除选项 A、B;把 题中两式对应相加可得(a7-1)3+2012(a7-1)+(a2006-1)3+2012(a2006-1)=0,分解 因式可得(a7+a2006-2)[(a7-1)2-(a7-1) (a2006-1)+(a2006-1)2]+2012(a7+a2006 -2)=0,即(a7+a2006-2)[(a7-1)2-(a7-1) (a2006-1)+(a2006-1)2+2012]=0,由
2 2 于 (a7-1) - (a7-1) (a2006-1) + (a2006-1) >0, 则只有 a7+a2006-2=0 成立, 即 a7+a2006=2,

数列(A 卷)答案与解析

故 S2012=

2012 ( a1 ? a2012 ) 2012 (a7 ? a2006 ) = =2012. 2 2

2.【答案】B 【命题立意】本题旨在考查等比数列的通项与求和公式. 【解析】由题可得 a4+a7=

9 9 1 ×2,即 a1q3+a1q6= ,解得 q= (由于数列是正项等比数列, 8 4 2

负值舍去) ,故 S5= 3.【答案】B

a1 (1 ? q 5 ) =31. 1? q

【命题立意】本题考查数列知识,考查组合知识的运用,确定数列中 1 的个数是关键. 【解析】∵|ak+1-ak|=1,∴ak+1-ak=1 或 ak+1-ak=-1,设有 x 个 1,则有 10-x 个-1 ∴a11-a1=(a11-a10)+(a10-a9)+…+(a2-a1) ,∴4=x+(10-x) (-1) ? ,∴x=7
7 ∴这样的数列个数有 C10 =120.

4.【答案】C 【命题立意】本题旨在考查等比数列,定积分。

? a1 (1 ? q 3 ) S ? ? 27 1 1 33 ? 3 1? q 【解析】 S3 ? 3 ? x 可得 q ? 1或 ? . ? 27 ,则由 ? 2 3 0 ?a ? a q 2 ? 9 1 ? 3

5.【答案】B 【命题立意】本题重点考查等差数列的通项公式和裂项相消法求和,难度中等. 【 解 析 】 因 为 a4 ? a8 ? 22 , a3 ? 5 , 所 以 a1 ? 2d ? 5, 2a1 ? 10d ? 22 , 解 得

a1 ? 1, d ? 2, an ? 2n ?1 ,又因为
前 20 项和 S n ? 6.【答案】D

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,所以其 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

20 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? . 41 2 3 3 4 39 41

【命题立意】 此题考查等比数列的性质, 运用等比数列的通项公式及前 n 项和公式化简求 值. 【解析】由 8a2 + a5 = 0 ,得到

a5 = q3 = -8 ,故选项 A 正确; a2

解得:q=-2,则

a n+1 = q = -2 ,故选项 C 正确; an

a1[1-(-2)5 ] S 11 1+ 2 则 5 = = ,故选项 B 正确; 3 S3 a1[1-(-2) ] 3 1+ 2 a1[1-(-2)n+1 ] S 1-(-2)n+1 1+ 2 而 n+1 = ,所以数值不能确定的是选项 D.故选 D = a1[1-(-2)n ] 1-(-2)n Sn 1+ 2
7.【答案】B 【命题立意】本题重点考查等比数列的性质,难度较小. 【解析】因为 a4 ? a8 ? 4 , an ? 0 ,所以 a6 ? 2, a5 ? a6 ? a7 ? a6 ? 8 .
3

8.【答案】B 【命题立意】本题旨在考查数列的前n项和的求法. 【解析】由题 S10 ? a1 ? a2 ? ?a10 ? a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? ?? a5 ? a6

?

? ?

?

?

?

? 21 ? 22 ? ? ? 25 ? 62 .故选:B
9.【答案】 B 【命题立意】本题旨在考查等差数列的性质及前 n 项和。 【解析】由已知得 a2 ? a20 ? 2 ,则 a1 ? a21 ? 2 ,所以 S 21 ? 10.【答案】C 【命题立意】本题旨在考查等差数列. 【解析】由题意得 a1 ? 8d ?

21(a1 ? a 21 ) ? 21 .故选 B 2

1 (a1 ? 11d ) ? 6 ,可得 a1 ? 5d ? 12 ,所以 2

S11 ? 11a1 ?

11?10 d ? 11a1 ? 55d ? 11(a1 ? 5d ) ? 11?12 ? 132 . 2

11.【答案】A 【命题立意】本题旨在考查数列的通项公式、等差数列的概念、判断、求和公式等知识。 【解析】当 n ? 2 时, S3 ? S1 ? 2(S2 ? 1) ,即 3 ? a3 ? 1 ? 2 ? 4 ,解得 a3 ? 4 当 n ? 1 , n ? N ? 时, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? 1) , Sn?2 ? Sn ? 2(Sn?1 ? 1) ,两式相减得

an?2 ? an ? 2an?1 故数列 {an } 从第二项起是首项为 2,公差为 2 的等差数列,
? S10 ? 1 ? 2 ? 9 ?
12.【答案】A 【命题立意】本题重点考查等差数列的性质,难度较小. 【解析】 因为 a1 ? a5 ? a9 ? 3a5 ? ? , 所以 a5 ? 13.【答案】8057 【命题立意】本题旨在考查归纳推理及其应用,数列的通项. 【解析】由于 a1=1,a2=4,a3=9,则 a4=a3+a2-a1=12,a5=a4+a3-a2=17,a6=a5+a4-a3=20, a7=a6+a5-a4=25,…,归纳可知 an=an-2+8,即数列{an}的奇数项、偶数项均是以公差为 8 的 等差数列,则 a2015=a1+1007d=8057. 14.【答案】 5 【命题立意】本题重点考查等比数列通项公式和前 n 项公式,难度中等.

9?8 ? 2 ? 91 ,故选 A. 2

?
3

, cos(a2 ? a8 ) ? cos 2a5 ? cos

2? 1 ?? . 3 2

【 解 析 】 因 为 Sm?1 ? 45, Sm ? 93 , 所 以 am ? Sm ? S? 9 3 ?4 5 ? 4, 8同 理 得 m 1 ?

am?1 ? Sm?1 ? Sm ? 189 ? 93 ? 96 ,公比 q ? 2 ,
a1 (1 ? 2m?1 ) a1 (1 ? 2m ) ? 45, Sm ? ? 93 ,两式相除得 2m ? 32 ,即 m ? 5 . 又 Sm?1 ? 1? 2 1? 2
15.【答案】 ?

3 2
5? 5? ,则 a1 ? 3d ? , 4 12

【命题立意】本题旨在考查等差数列及三角函数的诱导公式。 【解析】由 a1 ? a3 ? a8 ? 3(a1 ? 3d ) ?

所以 cos(a3 ? a5 ) ? cos(2a1 ? 6d ) ? cos

5? ? 3 。 ? ? cos ? ? 6 6 2

16.【答案】 2 ,

4n ? 1 3

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式,前 n 项和公式及性质. 【解析】 Q a2 a6 ? a3a5 ? 64,? q ?

a3a5 ? 2, a12 ? 1,?{an 2 } 是 a12 ? 1 为首项, 4 为公比 a3a4

1 ? 4n 4n ? 1 ? 的等比数列, a ? a ? ? ? a ? . 1? 4 3
2 1 2 2 2 n

17.【答案】184. 【命题立意】观察表格并理解点在函数图像上的意义. 【 解 析 】 由 题 意 可 知 x1 ? 1, x2 ? 3, x3 ? 5, x4 ? 6, x5 ? 1, x6 ? 3,…… , 所 以

x1 + x2 + x …… 3+
18.【答案】7

+x5 ? ? 1 0 + 1. 5 0= 1 5

2 + 1 + 3 = 1 8 4

【命题立意】本题重点考查等比数列的前 n 项和公式,难度较小. 【解析】因为 a1 ? 1, q ? 2, S n ? 127 ,所以

1 ? 2n ? 127 ,得 2n ? 128 ? 27 ,得 n ? 7 . 1? 2

19.【答案】 (1)略 ; (2) (n ? 1)2

n ?1

?

n2 ? n ?2 2

【命题立意】 本题重点考查了等比数列的定义、 等比数列的求和公式、 错位相减求和等知识, 属于中档题. 【解析】 (1)∵ an?1 ? 2an ? 1 , ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 则

an?1 ? 1 ? 2 为常数,∴ ?an ?1? 是等比数列 an ? 1

---------------------------5 分

(2)∵ a1 ? 1 ,可得 an ? 1 ? 2 n ,∴ an ? 2 n ? 1 , -----------------------6 分 则 nan ? n ? 2n - n ,

设Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n,则 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n ?1 Tn ? ?2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 2(1 ? 2n ) ?? ? n ? 2n ?1 1? 2 ? (n ? 1)2n ?1 ? 2 ? Sn ? (n ? 1)2n ?1 ? n2 ? n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 2


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