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2008TICupIndividualSheet


2008 年上海市 T I 杯高二年级数学竞赛
个人赛试题 (2008 年 5 月 25 日上午 9:00~10:30) 题 号 得 分
准考证号









总 分

评卷人 复卷人 一,填空题(共 8 小题,前 4 小题每题 6 分,后 4 小题每题 9 分,满分 60 分)

性别

1,方程 55 + x5 + 75 + x 5 + 85 = 54748 的正实数解为
2,计算: 1) 627953481 + 672935481 = (
线

. ; .

(2 )
年级

254817369 152843769 =

3,过点(3,8)(4,30)(5,72)(6,140)的三次函数 y = ax3 + bx 2 + cx + d , , ,

的表达式是


.

4,设分别投掷 A,B 两个骰子所得的点数顺次为 a,b,则使得关于 x 的二次

(a, 共有 b) 方程 x 2 2(a 3) x b 2 + 9 = 0 有实数解的数对
姓名

个.

5,若一个三位正整数的平方的最后三位数与原数相同,则满足条件的所有三 位数为 .


6,函数 y = 3 4 x + 2 x + 1 的最大值为

.

7,某一时刻,在地球北极 N 处观察到月球 M 正好在地平线方向上,同时在地 球赤道 P 处观察月球 M 在天顶偏北 57′ 的方向上,已知地球半径 R=6370 km,又假定地球球心 O,点 N,P,M 在同一平面上,则此时月球 M 到地
学校

球表面的最短距离是
N

km(精确到 103 km) .
M 57 /

O

P

8, s (m) 表示正整数 m 的各位数码的和, s (1) + s (2) + + s (2008) = 记 则

.

1

解答以下三题必须写出解题的必要步骤. 二, (本题满分 20 分) 求出所有的正整数 n,使得
n n n n 2 + 3 + 4 + 5 = 69 ,

其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. 【解】

2

三, (本题满分 20 分) 如图,圆 O 的一条弦的弦心距为 OH=2008,在两 个弓形内分别作两个正方形 ABCD, A1 B 1C1 D1 ,其中点 A, D, A1, B 1 都在圆弧上, 点 B, C , C1 , D1 都在这条弦上,求这两个正方形的边长的差(大边减小边) . 【解】
A D

O C1 B B1 H A1 D1 C

3

四, (本题满分 20 分)已知在直角坐标系上有一个以点 A(2008,525)为 圆心,1 为半径的圆盘(包括圆周)G,且抛物线 y 2 = 2 px 的图像恰好与圆盘 G 有公共点,求 p 的取值范围(精确到 0.001) . 【解】

装 订 线

4

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