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江苏省海安高级中学高一数学期中试卷201511


江苏省海安高级中学高一数学期中试卷
编制:王忠
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.设 A ? ? ?1,3? , B ? ? 2, 4 ? ,则 A ? B ? 【答案】[2,3] 2.已知函数 f ? x ? ? ax3 ? 2x 的图像过点 ? ?2,5? ,则 f ? 2 ? ? 【

答案】-5 3.若 log2 3 ? log3 4 ? log4 m ? log3 27 ,则 m= 【答案】 2 2 4.设 a,b,c 都是不等于 1 的正数,且 ab≠1,则 a log c b 【答案】= 5.若函数 y ? a x ? a ? 0且a ? 1? 在区间 ?0,1? 上的最大值与最小值之和为 3,则实数 a 的值为 ▲ . 【答案】2 6.若函数 y ? 2x ? m 的图像经过第一、二、三象限,则实数 m 的取值范围是 【答案】 ? ?1,0?
2 7.函数 f ? x ? ? 3x ? ln ? x ? 1? 的定义域为 1? x















ga bl o c . (填>、=、<)









【答案】 ? ?1,1? 8. 若方程 7 x2 ? ? m ? 13? x ? m ? 2 ? 0 的一个根在区间 ? 0,1? 上,另一根在区间 ?1, 2 ? 上,则实 数 m 的取值范围为 ▲ . 【答案】-4<m<-2 9. 某车站有快、慢两种车,始发站距终点站 7.2 km,慢车到终点站需 16 min ,快车比慢车 晚发车 3 min ,且行驶 10 min 后到达终点站.则两车相遇时距始发站 ▲ km. 【答案】3.6 10.设 ?? ?2, ?1, 1 , 1, 2, 3 ,则使 y ? x? 为奇函数且在 ? 0, ?? ? 上单调递减的 ? 值为 2 ▲ . 【答案】-1 11.设集合 An ? ?1, 2,3,?, n? ,若 M 是 An 的子集,把 M 中所有元素的和称为 M 的“容量”

?

?

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(规定空集的容量为 0) ,若 M 的容量为奇(偶)数,则称 M 为 An 的奇(偶)子集.当 n=4 时, An 所有奇子集的个数为 【答案】8 12.给定 k ? N? ,定义函数 f: N? ? N? 满足:对任意大于 k 的正整数 n, f ? n ? ? n ? k .设 k=2,且 n≤2 时, 2≤f ? n ?≤3 ,则不同的函数 f 的个数为 【答案】4 ▲ . ▲ .

13.设 A ? Z ,且 A ? ? ,从 A 到 Z 的两个函数 f ? x ? ? x2 ? 1和 g ? x ? ? 3x ? 5 .若对于 A 中 的任意一个 x,都有 f ? x ? ? g ? x ? ,则满足条件的集合 A 有 【答案】3 14.已知函数 f ? x ? ? ▲ 个.

x ?1 ? x ?1 ,函数 g ? x ? ? ax2 ? 2x ? 1 .若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰好有 2 2 个不同的零点,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

【答案】 ? ??,0 ? ? 0, 9 4

? ?

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文 字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设全集是实数集 R,集合 A ? ?x ?1<x<3? , B ? ?x m ? 2<x<m ? 2? . (1)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围; (2)若 2 ? B ,求 A ? B . 【答案】 (1) 若 A ? B ? ? ,则有 m-1≥3 或 m+1≤-1 即 m≥4 或 m≤-2 所以 m 的取值范围为 m≥4 或 m≤-2. (2) ∵ 2 ? B ∴0<m<4 当 0<m≤1 时, A ? B ? ? ?1, m ? 2 ? 当 1<m<4 时, A ? B ? ? m ? 2,3?
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16. (本小题满分 14 分)
2 ? ??? ① ?x ? x ? 2 ? 0 已知关于 x 的不等式组 ? 2 ? ? 2 x ? ? 2k ? 5 ? x ? 5k ? 0 ??? ②

(1)求解不等式②; (2)若此不等式组的整数解集 M 中有且只有一个元素,求实数 k 的取值范围及相应的 集合 M. 【答案】 (1)由②得

? 2x ? 5?? x ? k ?<0

∴当 ?k< ? 5 即 k> 5 时, x ? ?k, ?5 2 2 2 当 ?k = ? 5 即 k = 5 时, x ? ? 2 2

?

? ?

当 ?k> ? 5 即 k< 5 时, x ? ? 5 , ?k 2 2 2 (2)由①得 x ? ? ??, ? 1? ? ? 2, ? ??

?

当 ?k< ? 5 时,整数解集 M 只能为 M = ??3? 2 则应满足 ?4≤ ? k< ? 3 ,即 k ? ? 3, 4? 当 ?k> ? 5 时,整数解集 M 只能为 M = ??2? 2
2? 则应满足足 ?2 ? ? k≤3 时,即 k ? ? ?3, 4? 时, M = ??3? ; 综上所述:当 k ? ? 3, 2 ? 时, M = ??2? . 当 k ? ? ?3,

17. (本小题满分 14 分) 小张在淘宝网上开一家商店, 他以 10 元每条的价格购进某品牌积压围巾 2000 条.定价前,小张先搜索了淘宝网上的其它网店,发现: A 商店以 30 元每条的价 格销售,平均每日销售量为 10 条;B 商店以 25 元每条的价格销售,平均每日销售 量为 20 条.假定这种围巾的销售量 t(条)是售价 x(元) ( x ? N? )的一次函数, 且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响.
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(1)试写出围巾销售每日的毛利润 y(元)关于售价 x(元) ( x ? N? )的函数关系式 (不必写出定义域) ,并帮助小张定价,使得每日的毛利润最高(每日的毛利润为每日 卖出商品的进货价与销售价之间的差价) ; (2)考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为 200 元/天(只要围巾没有售完,均须支 付 200 元/天,管理、仓储等费用与围巾数量无关) ,试问小张应该如何定价,使这批 围巾的总利润最高(总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用)? 【答案】
?k ? 30 ? b ? 10 设 t=kx+b,∴ ? ,解得 k=-2,b=70,∴t=70-2x. ?k ? 25 ? b ? 20

(1) y ? ? x ? 10? ? t ? ? x ? 10?? 70 ? 2x ? ? ?2x2 ? 90x ? 700 当 90 ? 22 ? 1 时,即围巾定价为 22 元或 23 元时,每日的利润最高. 2?2 2 (2) 设售价 x(元)时总利润为 z(元) , ∴ z ? 2000 ? ? x ? 10 ? ? 200 ? 2000 70 ? 2 x
? 2000 ? ? 25 ? ? 35 ? x ? ? 100 ? 35 ? x ?

?

100 ? ? 10000 元. ????≤2000 ? ???25 ? 2 ?35 ? x ? ? 35 ?x? ?

当 35 ? x ? 100 时,即 x=25 时,取得等号. 35 ? x 故小张的这批围巾定价为 25 元时,这批围巾的总利润最高.

18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 5 ? a> 1? . (1)若 f ? x ? 的定义域和值域均为 ?1, a? ,求实数 a 的值; (2)若函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ??, 2? 上是减函数,且对任意的 x1 , x2 ? ?1,1 ? a? ,总有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ≤4 成立,求实数 a 的取值范围;
(3)若函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1,3? 上有零点,求实数 a 的取值范围.

【答案】 (1) f ? x ? 对称轴为 x=a,所以 x ? ?1, a? 时, f ? x ? 为减函数;
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? ? f ?1? ? 1 ? 2a ? 5 ? a ∴? 2 2 ? ? f ? a ? ? a ? 2a ? 5 ? 1

∴a=2 (2) 因为 f ? x ? 在 ? ??, 2? 上为减函数,所以对称轴 x=a≥2,所以 a≥2; 而? ?? a ? 1? ? a ? ? ? 1,所以 x ? ?1, a ? 1? ,

f ? x ?max ? f ?1? ? 6 ? 2a ; f ? x ?min ? f ? a ? ? 5 ? a2 ;
则对任意 x1, x2 ? ?1, a ? 1? ,
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ≤ f ? a ? ? f ?1? ? a 2 ? 2a ? 1 ? ? a ? 1? ≤4
2

∴-1≤a≤3 又 a≥2 ∴2≤a≤3 (3)∵ f ? x ? 在 ?1,3? 上有零点 ∴ f ? x ? ? 0 在 ?1,3? 上有实数解
2 ∴ 2a ? x ? 5 ? x ? 5 在 ?1,3? 上有实数解 x x

∴ 5≤a≤3 19. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知函数 f ? x ? ? log n x (n>1)的图像上的两点 A,B, 过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 M ? a,0? , N ? b,0 ? (b>a>1) ,线段 BN,AM 分别 与函数 g ( x) ? log m x (m>n>1)的图像交于点 C,D,且 AC 与 x 轴平行. (1)当 a=2,b=4,n=3 时,求四边形 ABCD 的面积; (2)当 b=a 2 时,直线 BD 经过点 ?1,0 ? ,求实数 a 的值; (3)已知 h ? x ?=a x , ? ? x ?=b x ,若 x1 , x2 为区间 ? a, b ? 内任意两个变量,且 x1<x2 ; 求证: h ? ? f ? x2 ?? ? <? ? ? f ? x1 ?? ?. y B A D O
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C N x

1

M

【答案】 (1) 由题意得 A ? 2,log3 2 ? , B ? 4,log3 4 ? , C ? 4,logm 4? ; 因为 AC 与 x 轴平行 所以 logm 4 ? log3 2 所以 m=9 ∴ AD ? log3 2 ? log9 2 ? log9 2 ; BC ? log3 4 ? log9 4 ? log9 4 log9 2 ? log9 4 则 S ABCD ? AD ? BC ? MN ? ? 2 ? log9 8 2 2 (2) 由题意得 A? a,logn a ? , B ? b,log n b ? , C ? b,logm b ? ; ∵AC 与 x 轴平行 ∴ log m b ? log n a ∵ b ? a 2 ,∴ m ? n2 ∵直线 BD 经过点 ?1,0 ? ∴ DM ? BN a ? 1 a2 ? 1 logm a logn b 即 ? 2 a ?1 a ?1 ∴a=3 (3) 证明:因为 a ? x1 ? x2 ? b ,且 n ? 1 所以 logn a ? logn x1 ? log n x2 ? logn b 又因为 a ? 1 , b ? 1 所以 alogn x2<alogn b , blogn a<blogn x1 又因为 logn b ? logn a ? log n a ? log n b 所以 logn alogn b ? logn blogn a 所以 alogn b ? blogn a 所以 alogn x2 ? blogn x1 即 h? ? f ? x2 ?? ? <? ? ? f ? x1 ?? ? 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 y ? f ? x ? ,若在定义域内存在 x0 ,使得 f ? ? x0 ? ? ? f ? x0 ? 成立,则称 x0 为 函数 y ? f ? x ? 的局部对称点. (1)若 a、 b ? R 且 a≠0,证明:函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? a 必有局部对称点; (2)若函数 f ? x ? ? 2x ? c 在定义域 ? ?1,2? 内有局部对称点,求实数 c 的取值范围; (3)若函数 f ? x ? ? 4x ? m ? 2x?1 ? m2 ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1)由 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? a 得 f ? ?x ? ? ax2 ? bx ? a
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代入 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 得, ax 2 ? bx ? a ? ax 2 ? bx ? a ? 0 , 得到关于 x 的方程 ax2 ? a ? 0 ( a ? 0 ) , 其中 △ ? 4a2 ,由于 a ? R 且 a ? 0 ,所以 △ ? 0 恒成立 所以函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? a ( a ? 0 )必有局部对称点 (2)方程 2 x ? 2? x ? 2c ? 0 在区间 [?1,1] 上有解,于是 ?2c ? 2 x ? 2? x 设 t ? 2 x ( ?1≤x≤1 ) , 1 ≤t≤2 , 2
?2c ? t ? 1 t

?

? ?

?

其中 2≤t ? 1≤ 5 t 2

所以 ? 5 ≤c≤ ? 1 4 (3) f ? ?x ? ? 4? x ? m ? 2? x?1 ? m2 ? 3 , 由于 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,所以 4? x ? m ? 2? x ?1 ? m2 ? 3 ? ? 4 x ? m ? 2 x ?1 ? m2 ? 3 于是 4 x ? 4? x ? 2m 2 x ? 2? x ? 2 m2 ? 3 ? 0 (*)在 R 上有解 令 2 x ? 2? x ? t ( t≥2 ) ,则 4x ? 4? x ? t 2 ? 2 , 所以方程(*)变为 t 2 ? 2mt ? 2m2 ? 8 ? 0 在区间 [2, ??) 内有解,需满足条件:

?

?

?

?

?

? ?

?

?△ ? 4m2 ? 8 m2 ? 4 ≥0 ? ? ? 2m ? 4 8 ? m 2 ? ≥2 ? ? 2

?

?

?

?

? ??2 2≤m≤2 2 即? , ? ?1 ? 3≤m≤2 2
化简得 1 ? 3≤m≤2 2

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