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向量法解立体几何习题


向量法解立体几何 1、四川 19. (本小题共 l2 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° , AB=AC=AA1=1,延长 A1C1 至点 P,使 C1P=A1C1,连接 AP 交棱 CC1 于 D. (Ⅰ)求证:PB1∥平面 BDA1; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值; 2. ( 全 国 大 纲 文 ) 如 图 , 四 棱 锥 S

? A B C D 中 , AB∥CD, B C ? C D , 侧 面 S A B 为 等 边 三 角 形 ,
A B ? B C ? 2, C D ? S D ? 1 .

(I)证明: S D ? 平面 SAB; (II)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。 3、重庆文. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分) 如题(20)图,在四面体 A B C D 中,平面 ABC⊥平面 A C D ,
A B ? B C , A C ? A D ? 2, B C ? C D ? 1

(Ⅰ)求四面体 ABCD 的体积;

(Ⅱ)求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值。 4、. (湖北文)如图,已知正三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 2 , 点 E 在侧棱 A
A
1

上,点 F 在侧棱 B (II) ? C1 E ;

B

1

上,且 AE ? 2 2 , B F ?

2



(I) 求证: CF

求二面角 E ? CF ? C1 的大小。
N

5、(2006 年高考题)如图 1, l 1 、 l 2 是互相垂直的异面直线, M 、 上, C 在 l 2 上, AM
? MB ? MN

是它们的公垂线,点 A 、 B 在 l 1

。证明: AC

? NB



6、如图,直三棱柱 A1B1C1—ABC 中,D、E 分别是 BC、A1B1 的中点. (1)证明:BE//平面 A1DC1; (2)若 AB=BC=AA1=1,∠ABC=90°求二面角 B1—BC1—E 的正切值. 7、 、如图,四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAD 垂直于底面 ABCD , ? ADC
M

? ? BCD ? 90

0

, PA

? PD ? AD ? 2 BC ? 2 , CD ?

3

,

在棱 PC 上, N 是 AD 的中点,二面角 M
PM MC

? BN ? C

为 30 0 。

(1)求

的值; (2)求直线 PB 与平面 BMN 所成角的大小。
? ABCD

8、如图,在四棱锥 S
SA ?

中,底面 A B C D 为平行四边形,
7 , ? BAD ? 120 , E
?

平面 A B C D , A B
?

? 2, A D ? 1, S B ?

在棱 S D 上,且 S E

? 3ED



(I)求证: S D

平面 A E C ; (II)求直线 A D 与平面 S C D 所成角的大小
? A ' B ' C ' 中,四边形 BCC ' B ' 为菱形, ? BCC ' ? 60
o

9、如图所示,三棱柱 ABC
ABC ?

, ? ABC 为等边三角形,面
A E B B' A'

面 BCC ' B ' , E 、 F 分别为棱 AB 、 CC ' 的中点; (Ⅰ)求证: EF // 面 A ' BC ' ;(Ⅱ)求二面角 C ? AA '? B 的大小。

C

F

C'

1 四川 19 如图,以 A1 为原点,A1B1,A1C1,A1A 所 在直线分别为 x 轴, 轴,z 轴建立空间直角坐标系 y A1-B1C1A, A0,0 则 ),0(
1

故 DS ? AD , DS ? BS , 又 AS ? BS ? S , 所以 S D ? 平面 SAB。 (II)设平面 SBC 的法向量 a 则a
? (m , n, p ) ,

B ,

1

(1, 0, 0 )

C ,

1

(0,1, 0 )

B , (1, 0,1) ,

P (0, 2, 0 )


1

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? B S , a ? C B , a ? B S ? 0, a ? C B ? 0 .

(Ⅰ)在△PAA1 中有 C ∴AB
1

D ?

1 2

A A1 ,即 D (0 ,1,

1 2

)



????

? (1, 0,1)

,AD
1

???? ?

? (0,1, x )

,B

???? P ? ( ? 1, 2 , 0 ) . 1

又 BS

??? ?

? (1, ?

3 2

,

3 2

??? ? ), C B ? (0 , 2 , 0 ),

设平面 BA1D 的一个法向量为 n

? (a, b, c) , 1 ???? ? n 1 ? A1 B ? a ? c ? 0 , 1 ? 则 ? ????? 令 c ? ? 1 ,则 n1 ? (1, , ?1) 1 2 ? n 1 ? A1 D ? b ? c ? 0 . ? 2



? 3 3 p ? 0, ?m ? n ? 故? 2 2 ?2n ? 0. ?

…………9

???? 1 ∵ n1 ? B1 P ? 1 ? ( ? 1) ? ? 2 ? ( ? 1) ? 0 ? 0 2



取 p=2 得 a

??? ? ? ( ? 3 , 0, 2 ), 又 A B ? ( ? 2, 0, 0 )



∴PB1∥平面 BA1D, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面 BA1D 的一个法向量
n 1 ? (1, 1 2
2

??? ? ??? ? AB ? a ? c o s A B , a ? ??? ? | AB | ? | a |

21 7

.

, ? 1)

. 为平面 AA1D 的一个法向量.∴
? 1 1? 3 2 ? 2 3

又n

? (1, 0, 0 )

故 AB 与平面 SBC 所成的角为 a rc s in

21 7

.

c o s ? n1 , n 2 ? ?

n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 |



故二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值为 .
3

2

2. (全国大纲文)20 以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C —xyz。 设 D(1,0,0) ,则 A(2,2,0) 、B(0,2, 0) 。 又设 S ( x , y , z ), 则 x ? 0, y ? 0, z ? 0 . ( I )
??? ? ??? ? A S ? ( x ? 2, y ? 2, z ), B S ? ( x , y ? 2, z )

3(重庆文)2011 解法二: (I)如答(20)图 2,设 O 是 AC 的中点,过 O 作 OH⊥AC,交 AB 于 H,过 O 作 OM⊥AC,交 AD 于 M,由平面 ABC⊥平面 ACD,知 OH⊥OM。因此以 O 为 原点,以射线 OH,OC,OM 分别为 x 轴,y 轴, 轴的正半轴, z 可建立空间坐标系 O—xyz. 已知 AC=2,故点 A,C 的坐标分别为 A(0, —1,0) ,C(0,1,0) 。 设 点 B 的 坐 标 为
??? ? ???? ???? B ( x1 , y 1 , 0 ),由 A B ? B C , | B C | ? 1 ,有


? x1 ? y 1 ? 1, ? ? 2 2 ? x1 ? ( y 1 ? 1) ? 1, ?
2 2

??? ? D S ? ( x ? 1, y , z )



由|

??? ? ??? ? A S |? | B S | 得
2 2 2

( x ? 2) ? ( y ? 2) ? z

?

x ? ( y ? 2) ? z ,
2 2 2

? 3 ? x1 ? ? 2 解得 ? ?y ? 1 , ? 1 ? 2

? 3 , ? x1 ? ? , ? 2 ( 舍 去 ). ? ?y ? 1 ? 1 ? 2
3 1 , , 0 ). 2 2

故 x=1。 由| D S
??? ? | ? 1得 y ? z ? 1,
2 2

即点 B 的坐标为 B (
2 2

又由 | B S 即 y2 于
S( 1 2 ?

??? ?

| ? 2 得 x ? ( y ? 2 ) ? z ? 4,
2


3 .





D



坐 有





? z ? 4 y ? 1 ? 0, 故 y ?
2

1 2

???? ???? D (0, y 2 , z 2 ),由 | C D | ? 1, | A D | ? 2,

,z ?

…………3 分

2


? 1

? ( y 2 ? 1) ? z 2 ? 1, ? ? 2 2 ? ( y 2 ? 1) ? z 2 ? 4 , ?
2 2



3 2

? A

?

??? ? ? ? ??? ??? ? ? 1 3 ??? ??? D S ? (0 , , ), D S ? A S ? 0 , D S ? B S ? 0 . 2 2

3 ? y ? , ? 2 4 ? 解得 ? ? z ? 15 ? 2 ? 4

3 ? , y ? , ? 2 4 ? ( 舍 去 ). ? 15 , ? z2 ? ? ? ? 4

? S

?

3 2

即点 D 的坐标为 D ( 0 ,

3 4

,

15 4

). 从而△ACD



(Ⅰ) C 1 E

???? ?

? (0, ? 2, ?

??? ? 2 ), C F ? ( 3 , ? 1,

2)

AC 上的高为 h
??? ? 又 | A B |?

? | z 2 |?

15 4

.

???? ??? ? ? C1 E ? C F ? 0 ? 2 ? 2 ? 0
? C F ? C1 E .

3 2 1 2 ( ) ? ( ? 1) ? 2 2

???? 3 , | B C |? 1 .

(Ⅱ)C E 积

??? ?

? (0, ? 2, 2
? ( x, y, z )

2)

,设平面 CEF 的一个法


V ?


1 3 ? 1 2





ABCD
5 8 .





向量为 m

??? ? ???? ? | AB | ? | BC | h ?

(II) (I) AB 由 知 设非零向量 n
??? ? 则由 n ? A B
3 2 3 2

??? ?

? (

3 3 , ,0 ) , 2 2

???? A (, ,? D 0

??? ? ??? ? ??? ? ? m ? C E ? 0, ? 由 m ? C E , m ? C F , 得 ? ???? ? m ? C F ? 0, ?
7 1 5 ) . 4 4

即?

??2 y ? 2 ?

2 z ? 0, 2z ? 0

可 取 m ? (0 ,

2 ,1)

? ( l , m , n ) 是平面 ABD 的法向量,

? 3x ? y ? ?

设 侧 面

BC1

的 一 个 法 向 量 为

有 (1)

???? ???? ? ??? ? n ,由 n ? B C , n ? C C 1 , 及 C B ? ( 3 , ? 1, 0 ) CC ? ( 0 , 0 , 3 2 ), 可取 n ? (1, 3 ,0 )

l?

m ? 0.

1

由 n ? A D ,有
7 4 m ? 1 5 n ? 0. 4

????

设二面角 E—CF—C1 的大小为 θ,于是由 θ 为 锐角可得
cos ? ? |m ?n | |m |?|n | ? 6 3?2 ? 2 2

,所以 ? ? 4 5 ?

(2)

取 m ? ? 1 , 由 ( 1 ),( 2 ), 可 得
l ? 3, n ? 7 15 15 , 即 n ? ( 3 , ? 1, 7 15 15 ).

即所求二面角 E—CF—C1 的大小为 4 5 ? 。 5(2006 年高考题)证明:建立如图 1 所示空 间直角坐标系
M ? xyz

,令

MN ? 1

,则有

A ? ? 1, 0 , 0 ?, B ?1, 0 , 0 ?, N ? 0 ,1, 0 ? 。

显然向量 k 而

? (0, 0,1) 是平面

ABC 的法向量, 从 ∵ MN 是 l 1 与 l 2 的公垂线, l 1
? l2 ,

7 cos ? n, k ? ?

1 5 15 ? 49 15 1? 49 7 1 0 9 , 109

∴ l 2 ⊥平面 ABN , ∴ l 2 ∥ z 轴。 故可设 于是 AC ∵
C ? 0 ,1, m ? ,

z l2 C l1 A N y

3?1?

故 ta n ? n , k ? ?

2 15 109 ? , 7 7

? ?1,1, m ?, NB ? ?1, ? 1, 0 ? 。 AC ? NB ? 1 ? ? ? 1 ? ? 0 ? 0

M B

109

即二面角 C—AB—D 的平面角的正切值为
2 15 7 .


x

图1 ∴ AC ? NB 。 6 【解析】 I) ( 证明: A1C1 的中点 F, 取 连结 EF, DF
?E



4. (湖北文解法 2: 建立如图所示的空间直角坐标系, 则由已知可得

中 A1B1 的中点

? EF // B 1 C 1 且 EF ?

1 2

B1C 1

又? 四边形 BCC1B1 是矩形, D 是 BC 的中点,
? EF // BD , 且 EF ? BD
? 四边形

? BE //

EFDB 是平行四边形, DF 4分

? DF ? 面 A DC 1 , BE ? 平面 A1 DC 1 A (0, 0, 0 ), B ( 3 ,1, 0 ), C (0, 2, 0 ), C 1 (0, 2, 3 2 ), E (0, 0, 2 2 ), F ( 3 ,1, 2 ) 1

6分 (2)以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系
? BE // 面 A1 DC 1 B ? xyz , AB ? BC ? AA 1 ? 1



PM MC



可得 C 1 (1, 0 ,1), E ( 0 , 则 BE
? (0, 1 2 ,1), BC

1 2
1

,1 )

7分 8分
? ( x1 , y 1 , z 1 )

3.……………………………………………… ……………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) n=( 3,0,3)为面 MBN 的法 , 向量,……………………………8 分 设直线 PB 与平面 MBN 所成的角为 θ , →= 由 PB (0, 3,- 3),得 → 3 3 6 ________ PB sin θ =|→·n|= = , | PB ||n| 6×2 3 4
6 3

? (1, 0 ,1)

设平面 BEC1 的法向量为 n 1 由?
? n ? BE ? 0 ? 1 ? n 1 ? BC ?
1

? 0

可得 ?

? y1 ? ? 2 z1 ? x1 ? ? z1

令 z 1 ? 1, 则 n 1 ? ( ? 1, ? 2 ,1) 又由 AB ? 平面 B1BC1, 则平面 B 1 BC 1 的法向量 n 2
? cos ? n 1 , n 2 ??

? BA ? ( 0 ,1, 0 )
? ?2 6 ? ?

n1 ? n 2 | n 1 || n 2 |

所 以 直 线 PB 与 平 面 MBN 所 成 的 角 为 arcsin 6 .………………………………12 分 4

(注:公式、结果各一分) 由图可知二面角 B1—BC1—E 小于 90°所以二面 角 B1
? BC
1

? E

的大小为 arccos
? BC ? E

6 3

.
2 2

10 分

∴二面角 B 1

1

的正切值为

8:依题意易知 C A ? A D , SA ? 平面 ACD.以 A 为坐标原点, SA ? AC、AD、SA 分别
SA ?
SA ?

7(Ⅰ)建立如图所示的坐标系 N—xyz,其中

为 x , y , z 轴建立 空间直角坐标系, 则易得

N (0,0,0),A (1,0,0),B (0, 3,0),C (-1,
3,0),D (-1,0,0),P (0,0, 3). -λ 3λ 设→=λ →(λ >0),则 M ( PM MC , , 1+λ 1+λ 3 ),于是 1+λ → =(0, 3,0), → =( -λ , 3λ , NB NM 1+λ 1+λ 3 ),………………………………3 分 1+λ 设 n=(x,y,z)为面 MBN 的法向量,则→·n NB =0,→·n=0, NM ∴ 3y=0,-λ x+ 3λ y+ 3z=0,取 n= ( 3,0,λ ), 又 m=(0,0,1)为面 BNC 的法向量,由二面 角 M-BN-C 为 30?,得 |m·n| λ |cos ?m , n?|= = =cos 30?= |m||n| 3+λ 2 3 ,解得 λ =3, 2 (

SA ?

A ? 0, 0, 0 ? , C

?


3 , 0, 0 , D ? 0,1, 0 ? , S 0, 0,

?

?

3

?,






SE : ED ? 3

? 3 3 ? E ? 0, , ,…………………3 ? 4 4 ? ? ? ?



易 得

??? ???? ? ?S D ? ? 0 C A ? , ? ? ? ??? ??? ? ? 0 E A ?S D ?

从 而

SD ?

平 面

ACE.……………………6 分 (Ⅱ)设平面 S C D 的法向量为 n 则
???? ? n ? D C ? 3 x ? y ? 0, ? ??? ? ? ?n ? SD ? y ? 3z ? 0. ?

? ? x, y, z ?

, 令

z ?1

, 得

n ? 1,

?

3 ,1

? ,…………9 分

3 ???? 0? ? ? ? ? AD ? n 2 ???? ? | A D || n | 1? 5 15 5


???? cos ? A D , n ??

?

,……………11 分 所 以
a rc s in

AD
15 5

与 平 面

S C D 所

成 角 大 小 为

.………………12 分

9、取 BC 中点 O ,连接 AO

, OC ' ,

由题可得 AO ? BC ,又因为面 ABC ? 面 BCC ' B ' , 所 以 AO ? 面 BCC ' B ' , 又 因 为 菱 形 BCC ' B ' 中
? BCC ' ? 60
o



所以 C ' O ? BC . 可以建立如图所示的空间直角坐标系┅┅┅┅2 分 不 妨 设
BC ? 2
3)







C (1, 0 , 0 )


A

z A' E B O B'

C ' (0,

3 ,0 ) A ( 0 ,0 ,

, B ( ? 1, 0 , 0 ) , A ' ( ? 1,
1 2 3 2 1 2 3 2

3,

3)

B ' (?2,

3 , 0 ) 所以 E ( ?

,0 ,

), F (

,

,0 )

所以

C x F C'

y

EF ? (1,

3 2

,?

3 2

), BC ' ? (1,

3 , 0 ), BA ' ? ( 0 ,

3,

3)



┅┅┅┅┅┅┅4 分 设面 A ' BC 的一个法向量为 n
? a ? 3b ? 0 ? ? 3b ? 3c ? 0
? ? (a, b, c)

,则

,不妨取 a

?

3

,则 ,又因为 EF ?

? ( a , b , c ) ? ( 3 , ? 1,1) ,所以 EF ? n ? 0

面 A ' BC ' ,所以 EF // 面 A ' BC '. ┅┅┅7 分 (Ⅱ) (Ⅰ) 由 可得 AB 设面
AA ' B

? ( ? 1, 0 , ? 3 ), AA ' ? ( ? 1,

3 ,0 ) ,

的 一 个 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y 1 , z 1 ) , 则 , 不 妨 取
x1 ? 3

?

? ? x1 ? ? ? ? x1 ?

3 z1 ? 0 3 y1 ? 0

, 则

( x 1 , y 1 , z 1 ) ? ( 3 ,1, ? 1)

.┅┅┅┅┅┅┅8分
3 , 0 ) ,设面 AA ' C
? x2 ? ?? x2 ?

又 AC

? (1, 0 , ? 3 ), AA ' ? ( ? 1,

的一 ,

个法向量为 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则 ? 不妨取 x 2
?

?

3z2 ? 0 3y2 ? 0

3

,则 ( x 2 , y 2 , z 2 )

? ( 3 ,1,1) .┅┅┅┅

┅┅┅10分 所以
? ? c o s ? n 1 , n 2 ?? ? ? n1 ? n 2 3 ? ? ? | n1 | ? | n 2 | 5

,因为二面角

C ? AA ' ? B
arccos 3 5

为锐角, 所以二面角 C ? AA '? B 的大小为

┅┅┅┅┅┅┅12 分


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