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2014年高三数学大一轮复习配套课件(浙江专用·人教版A)第六章 数列6.3


数学

浙(理)

§6.3

等比数列及其前n项和
第六章 数 列

基础知识·自主学习
要点梳理
1.等比数列的定义 如果一个数列 从第2项起,每一项
难点正本 疑点清源

1.等比数列的特征
从等比数列的定义看, 等比数列的

任意项都是 非零的,公比 q 也是非 零常数.

与它的前一项比等于同一常数(不 为零) , 那么这个数列叫做等比数列,
这个常数叫做等比数列的 公比 ,

q 表示. 通常用字母____
2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1, 公比为

qn-1 q,则它的通项 an= a1·
基础知识 题型分类

.
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

3.等比中项 2.等比数列中的函数观点 若 G2=a· 那么 G 叫做 a 与 b 利用函数、方程的观点 b (ab≠0) , 的等比中项. 和方法,揭示等比数列 4.等比数列的常用性质 的特征及基本量之间 n- m q (1)通项公式的推广:an=am· ,(n, 的关系.在借用指数函 m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l, 数讨论单调性时,要特 al=am· an . m,n∈N*),则 ak· 别注意首项和公比的 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列, 大小. ? ? ?1? ? ?an? ? 2 ? ? ? 则{λan}(λ≠0), a ,{an},{an· bn}, b ? ? ? ? n? ? ? n? ? 仍是等比数列.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1- q 1-q 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成
难点正本 疑点清源

3.两个防范
(1) 由 an + 1 = qan , q≠0 并不能立即断言{an}为等 比数列,还要验证 a1≠0. (2) 在 运 用 等 比 数 列 的 前 n 项和公式时,必须 注意对 q=1 与 q≠1 分 类讨论,防止因忽略 q =1 这一特殊情形导致 解题失误.
思想方法 练出高分

qn 等比数列,其公比为____.
基础知识 题型分类

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
2n
51

解析

2
2

D

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高

Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高

Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

(1)由 S1,S3,S2 成等差数列,列 方程求出 q. (2)由 a1-a3=3 求出 a1, 再由通项 和公式求出 Sn.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高

Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. 解 (1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). (1)求{an}的公比 q; 由于 a1≠0,故 2q2+q=0. (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 1 又 q≠0,从而 q=- . 2
(2)由已知可得
? 1? a1-a1?-2?2=3.故 ? ?

a1=4.

从而

? 1? 4[1-?-2?n] ? 1? ? 8? ? ? ?1-?- ?n?. Sn= = ? 1? 3? ? 2? ? ? ? 1- -2 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高

Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

等比数列基本量的运算是等比数 列中的一类基本问题,数列中有 五个量 a1,n,q,an,Sn,一般 可以“知三求二”, 通过列方程(组) 可迎刃而解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 q∈(0,1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=21, 求 n 的值. 32 解 (1)∵a3· a4=a1· a6= 9 ,又 a1+a6=11, 32 2 故 a1,a6 可看作方程 x -11x+ =0 的两根, 9 32 1 又 q∈(0,1),∴a1= ,a6= , 3 3
a6 1 1 ∴q =a =32,∴q=2, 1 32 ?1?n-1 1 ?1?n-6 ? ? ? ? ∴an= 3 · =3· . ?2? ?2?
5

32 等比数列 {an}满足: a1+ a6= 11 , a3· a4 = ,且公比 9

1? 64? (2)由(1)知 Sn= ?1-2n?=21,解得 n=6. 3? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 2 (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 2 (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

注意巧用性质,减少计算.如: 对于等比数列{an}, 若 m+n=p +q (m、n、p、q∈N*),则 am· an =ap· aq;若 m+n=2p(m,n, p∈N*),则 am· an=a2 p.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 解 2 (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

a5 (1)设公比为 q,则 =q3, a2 1 即 q3=- , 8 ? 1? - 1 n-5 ∴q=-2,∴an=a5· q =?-2?n 4. ? ?
(2)∵a3a4a5=8,又 a3a5=a2 4, ∴a3 4=8,a4=2.
5 ∴a2a3a4a5a6=a4 =25=32.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 2

在解决等比数列的有关问题时,

(2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 要注意挖掘隐含条件,利用性质, 的值.
特别是性质“若 m+n=p+q,则

am· an=ap· aq”,可以减少运算量, 提高解题速度.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5, ( A ) C.6 D.4 2

a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于 A.5 2
解析

B. 7

把 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 看成一个整体,则由题意,知它们

分别是一个等比数列的第 1 项,第 4 项和第 7 项,这里的第 4 项刚 好是第 1 项与第 7 项的等比中项.因为数列{an}的各项均为正数, 所以 a4a5a6= ?a1a2a3?· ?a7a8a9?= 5×10=5 2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2

(2)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,且 S3=8,S6=7,

7 -8 则 a4+a5+?+a9=________.

解析 根据等比数列的性质,知 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列, 1 2 即 8,7-8,S9-7 成等比数列,所以(-1) =8(S9-7).解得 S9=7 . 8 1 7 所以 a4+a5+?+a9=S9-S3=78-8=-8.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】

已知数列{an}的前 n 项和

为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn= an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等 比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】

已知数列{an}的前 n 项和

(1)由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1= n+1 转化成 an 与 an+1 的递推关系, 再构造数列{an-1}. (2)由 cn 求 an 再求 bn.

为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn= an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等 比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

探究提高

【例 3 】 已知数列 { a 的前 (1) 证明 ∵an+S = , n 项和 n}n n ∴an+1+Sn+1=n+1. 为S n,数列{bn}中,b1=a1,bn= ②-①得 an+1-an+an+1=1, a n- n-1 (n≥2),且 an+Sn=n. ∴ 2aa n+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, a - 1 an1 n+1c (1) 设 = 1∴ ,求证: cn}是等 n ∴ =- , {an-1}{ 是等比数列. an-1 2 1 比数列; 又 a1+a1=1,∴a1= , 2 1 1 (2) 求数列 {ba ∵首项 c1= -1,∴c1=- ,公比 q= . n} 1的通项公式. 2 2 又 cn=an-1,
1 1 ∴{cn}是以- 为首项, 为公比的等比数列. 2 2
基础知识 题型分类 思想方法





练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】 已知数列{an}的前 ? 1? n ?1项和 ? - ?1? n 1 ? ? ? ?n, (2)解 由(1)可知 cn=?-2?· =- ? ? ?2? ?2? 为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn= ?1? ∴an=cn+1=1-?2?n. ? ? an+Sn=n. an-an-1 (n≥2),且 ?1? ? ?1? - ? n ∴当 ≥ 2a 时, b 1-?2? -?1-?2?n 1? (1) 设n c ,求证: {- cn }是等 n=an-an 1= n= n-1 ? ? ? ? ? ? 比数列; ?1? - ?1? ?1? n 1 n =?2? -?2? =?2?n. ? ? ? ? ? (2)?求数列 { bn}的通项公式. ?1? 1 又 b1=a1= 代入上式也符合,∴bn=?2?n. 2 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】

已知数列{an}的前 n 项和

注意判断一个数列是等比数列的方 法, 另外第(2)问中要注意验证 n=1 时是否符合 n≥2 时的通项公式, 能合并的必须合并.

为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn= an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等 比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1,求证:{an}是 等比数列,并求出通项公式.

证明 ∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1.
∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an. ∴an+1=2an,又∵S1=2a1+1=a1,
∴a1=-1≠0.又由 an+1=2an 知 an≠0,

an+1 ∴ a =2.∴{an}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列. n
∴an=-1×2n-1=-2n-1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(14 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(14 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

设等差数列的三个正数,利用等比数列的性质解出公差 d,从而求出 数列{bn}的首项、公比;利用等比数列的定义可解决第(2)问.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(14 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒
3分

(1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d, 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5.
所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d.

依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2.
基础知识
6分

5 由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22,解得 b1=4.
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(14 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

5 5 n-1 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 bn= · 2 =5· 2n-3. 4 4 8分 5 n 4?1-2 ? 5 5 n-2 (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2 -4,即 Sn+4=5· 2n-2. 12分 1-2 5 Sn+1+4 5· 2n-1 5 5 所以 S1+4=2, =2. 5 =5· 2n-2 Sn+ 4 ? 5? 5 14分 因此?Sn+4?是以2为首项,2 为公比的等比数列. ? ?

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(14 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤: 第一步:设等比数列、等差数列的基本量;
第二步:根据条件列方程,解出基本量; 第三步:根据公式求通项或前 n 项和;

第四步:根据定义证明等差、等比数列;对于等比数列,一定 要说明首项非零.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(14 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,需要认真 计算,灵活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面:一是计 算出现失误,特别是利用因式分解求解方程的根时,不注意对根的符 号进行判断;二是不能灵活运用等差 (比 )数列的基本性质转化已知条 件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.等比数列的判定方法有以下几种: an+1 (1)定义: =q (q 是不为零的常数,n∈N*)?{an} an 是等比数列.

方 法 与 技 巧

(2)通项公式:an=cqn

-1

(c、q 均是不为零的常数,

n∈N*)?{an}是等比数列.
2 (3)等比中项法:an an+2(an· an+1· an+2≠0,n∈N*) +1=an·

?{an}是等比数列.
2.方程观点以及基本量(首项和公比 a1,q)思想仍然是 求解等比数列问题的基本方法:在 a1,q,n,an,Sn 五个量中,知三求二.

3.在求解与等比数列有关的问题时,除了要灵活地运用 定义和公式外,还要注意性质的应用,以减少运算量 而提高解题速度.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况.

失 误 与 防 范

2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数 列,还要验证 a1≠0.

3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q =1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊 情形而导致解题失误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 ( A.2 B.4 C.8 D.16

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 ( B ) A.2 B.4 C.8 D.16

解 析
由 anan+1=16n,知 a1a2=16,a2a3=162,

后式除以前式得 q2=16,∴q=± 4. ∵a1a2=a2 1q=16>0,∴q>0,∴q=4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.等比数列 an 中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,则 an 等于 ( A.(-2)n C.(-2)n
-1

)

B.-(-2)n

-1

D.-(-2)n

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.等比数列 an 中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,则 an 等于 ( A ) A.(-2)n C.(-2)n
-1

B.-(-2)n

-1

D.-(-2)n

解 析
∵|a1|=1,∴a1=1 或 a1=-1.
∵a5=-8a2=a2· q3,∴q3=-8,∴q=-2.
又 a5>a2,即 a2q3>a2,∴a2<0.而 a2=a1q=a1· (-2)<0, ∴a1=1.故 an=a1· (-2)n 1=(-2)n 1.
- -

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等 比数列,则 Sn 等于 A.2n 1-2


( B.3n D.3n-1

)

C.2n

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等 比数列,则 Sn 等于 A.2n 1-2


( C ) B.3n D.3n-1

C.2n

解 析
由已知得数列 {an}的前三项分别为 2,2q,2q2.又 (2q+ 1)2 = 3(2q2+1),整理得 2q2-4q+2=0,解得 q=1,Sn=2n.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.在等比数列{an}中, a3=7, 前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为( 1 A.1 B.- 2 1 1 C.1 或- D.-1 或 2 2

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.在等比数列{an}中, a3=7, 前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为( C ) 1 A.1 B.- 2 1 1 C.1 或- D.-1 或 2 2

解 析
2 ? ?a1q =7, 根据已知条件? 2 ? ?a1+a1q+a1q =21.

1+q+q2 得 =3. q2

1 整理得 2q -q-1=0,解得 q=1 或 q=-2.
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. 在等比数列{an}中, a1+a2=30, a3+a4=60, 则 a7+a8=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. 在等比数列{an}中, a1+a2=30, a3+a4=60, 则 a7+a8=________. 240

解 析
∵a1+a2=a1(1+q)=30,a3+a4=a1q2(1+q)=60,
∴q2=2,∴a7+a8=a1q6(1+q)=[a1(1+q)]· (q2)3 =30×8=240.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6. 在数列{an}中, 已知 a1=1, an=2(an-1+an-2+?+a2+a1) (n≥2, n∈N*),这个数列的通项公式是_____________________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6. 在数列{an}中, 已知 a1=1, an=2(an-1+an-2+?+a2+a1) (n≥2, ? n=1 ?1, an=? n-2 * ? 2 × 3 , n≥2 . n∈N ),这个数列的通项公式是_____________________ ?

解 析
由已知 n≥2 时,an=2Sn-1 当 n≥3 时,an-1=2Sn-2
an ①-②整理得 =3 (n≥3), an-1 ? n=1, ?1, ? ∴an= n-2 ? 2 × 3 , n≥2. ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

① ②

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2

-2 . 成等差数列,则 q 的值为________ 解 析
由已知条件得 2Sn=Sn+1+Sn+2,
an+2 即 2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即 =-2. an+1

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列 {bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的 前 n 项和 Tn.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列 {bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的 前 n 项和 Tn.

解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, ? ?a1+d=2 则由已知得? .∴a1=0,d=2. ? ?a1+4d=8 ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q2=a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. b1?1-qn? 1×?1-2n? ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2n-1. 1-q 1-2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知数列{an}的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn= 1 (a +1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式. 6 n

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知数列{an}的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn= 1 (a +1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式. 6 n

1 解 因为 Sn= (an+1)(an+2), 6 1 所以当 n=1 时,有 S1=a1= (a1+1)(a1+2), 6 解得 a1=1 或 a1=2; 1 当 n≥2 时,有 Sn-1=6(an-1+1)(an-1+2). ①-②并整理,得(an+an-1)(an-an-1-3)=0 (n≥2).

解 析





因为数列{an}的各项均为正数,所以 an-an-1=3 (n≥2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知数列{an}的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn= 1 (a +1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式. 6 n

解 析
当 a1=1 时,an=1+3(n-1)=3n-2,此时 a2 4=a2a9 成立.
当 a1=2 时,an=2+3(n-1)=3n-1,此时 a2 4=a2a9 不成立.

所以 a1=2 舍去.故 an=3n-2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1. 已知{an}是首项为 1 的等比数列, 若 Sn 是{an}的前 n 项和, 且 28S3 ? ?1? ? ? =S6,则数列 a ?的前 4 项和为 ( ) ? ? n? ? 15 40 40 15 A. 或 4 B. 或 4 C. D. 8 27 27 8

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1. 已知{an}是首项为 1 的等比数列, 若 Sn 是{an}的前 n 项和, 且 28S3 ? ?1? ? ? =S6,则数列 a ?的前 4 项和为 ( C ) ? ? n? ? 15 40 40 15 A. 或 4 B. 或 4 C. D. 8 27 27 8

解 析

设数列{an}的公比为 q.

当 q=1 时,由 a1=1,得 28S3=28×3=84.

而 S6=6,两者不相等,因此不合题意. 28?1-q3? 1-q6 当 q≠1 时,由 28S3=S6 及首项为 1,得 = .解得 1-q 1-q
q=3.所以数列{an}的通项公式为 an=3n 1.


? ?1? ? ? 所以数列 a ?的前 ? n? ? ?

1 1 1 40 4 项和为 1+ + + = . 3 9 27 27
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 1 2 2 2.已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的 2 m 等比数列,则 n 等于 ( ) 3 3 2 2 A. B. 或 C. D.以上都不对 2 2 3 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 1 2 2 2.已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的 2 m 等比数列,则 n 等于 ( B ) 3 3 2 2 A. B. 或 C. D.以上都不对 2 2 3 3

解 析
设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根, 1 不妨设 a<c<d<b,则 a· b=c· d=2,a= ,故 b=4,根据等比 2 9 数列的性质,得到:c=1,d=2,则 m=a+b= ,n=c+d 2 9 m 3 m 2 =3 或 m=c+d=3,n=a+b= ,则 n = 或 n = . 2 2 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和 分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-Y) D.Y(Y-X)=X(Z-X) ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和 分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-Y) D.Y(Y-X)=X(Z-X) ( D )

解 析
对于含有较多字母的选择题,可以取满足条件的数字代替字 母,代入验证,若能排除三个选项,则剩下的唯一选项就一定 正确;若不能完全排除,则可以取其他数字继续验证排除.

取等比数列为 1,2,22,23,24,?,令 n=1,得 X=1,Y=3, Z=7.代入验算,只有选项 D 成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,an+1>an,且 a3+2 是 a2 与 a4 的等差中项,则数列{an}的通项公式是_________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5
n

6

7

4.已知等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,an+1>an,且 a3+2 是 a2

an=2 . 与 a4 的等差中项,则数列{an}的通项公式是_________ 解 析
因为 a3+2 是 a2 与 a4 的等差中项,

所以 2(a3+2)=a2+a4. 因为 a2+a3+a4=28,所以 2(a3+2)+a3=28. 所以 a3=8,a2+a4=20. 设数列{an}的公比为 q, a =32, ? 2 ? ? ? 1 ?a1q =8, ?a1=2, 则? 解得? 或? 1 3 ? ? q=2. ?a1q+a1q =20. ?q=2, ? ? 因为数列{an}满足 an+1>an,所以 a1=2,q=2.
所以数列{an}的通项公式为 an=2n.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在等比数列{an}中,若 a9+a10=a (a≠0),a19+a20=b,则 a99+ a100=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在等比数列{an}中,若 a9+a10=a (a≠0),a19+a20=b,则 a99+ b9 a8 a100=________.

解 析
因为{an}是等比数列,所以 a9+a10,a19+a20,?,a99+ b9 a100 成等比数列,从而得 a99+a100= 8. a

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?+ x100=1,则 lg(x101+x102+?+x200)=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?+

100 x100=1,则 lg(x101+x102+?+x200)=________. 解 析
由 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*), xn+1 得 lg xn+1-lg xn=1,∴ x =10, n

∴数列{xn}是公比为 10 的等比数列,∴xn+100=xn· 10100,
∴x101+x102+?+x200=10100(x1+x2+x3+?+x100) =10100,∴lg(x101+x102+?+x200)=lg 10100=100.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

解 析
解 (1)由已知有 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得 d=2 (∵d>0). ∴an=1+(n-1)· 2=2n-1. 又 b2=a2=3,b3=a5=9,∴数列{bn}的公比为 3,

∴bn=3· 3n 2=3n 1.
- -

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

解 析
c1 c2 cn (2)由 + +?+b =an+1 得 b1 b2 n cn-1 c1 c2 当 n≥2 时,b +b +?+ =an. bn-1 1 2 cn 两式相减得:n≥2 时,b =an+1-an=2. n n-1 ∴cn=2bn=2· 3 (n≥2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.
c1 又当 n=1 时, =a2,∴c1=3. b1 ? ?n=1? ?3 ∴cn=? n-1 . ? 3 ?n≥2? ?2· 6-2×32 013 ∴c1+c2+c3+?+c2 013=3+ =3+(-3+32 013)=32 013. 1-3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析


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