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2015年静安、青浦、宝山数学高三二模(理)(官方版)


静安区、青浦区、宝山区 2014 学年第二学期高三年级教学质量检测

数学试卷(理科)

2015.04.

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
<

br />1.已知抛物线 y 2 ? 2 px 的准线方程是 x ? ?2 ,则 p ? . 2.已知扇形的圆心角是 1弧度,半径为 5cm ,则此扇形的弧长为

3 ? 4i ( i 为虚数单位)的模为 i 4.函数 y ? 2 x ? 2 x ? 1 的值域为 ? 2 0 ?? x ? ? ?2 ? 5.若 ? ?? ? ? ? ? ,则 x ? y ? ? ?1 3 ?? y ? ? 10 ?
3.复数
9

cm .

. . .

1 1? ? 6.在 ? x ? 2 ? 的展开式中, 3 的系数是 x x ? ?
7.方程 lg ( 3 sin x ) ? lg ( ? cos x ) 的解集为

. .

8.射击比赛每人射 2 次,约定全部不中得 0 分,只中一弹得 10 分,中两弹得 15 分,某人每次射击的

4 ,则他得分的数学期望是 分. 5 2 2 9.过圆 x ? y ? 4x ? my ? 0 上一点 P(1,1) 的切线方程为 . π? ? 11π 10.在极坐标系中,点 P(2, )到直线 ? sin ? ? ? ? ? 1 的距离等于 . 6 6? ? 11.把一个大金属球表面涂漆,共需油漆 2.4 公斤.若把这个大金属球熔化制成 64 个大小都相同的小金属球,
命中率均为 不计损耗,将这些小金属球表面都涂漆,需要用漆 公斤.

12.设 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量, AB ? (a ?1)e1 ? e2 , AC ? be1 ? 2e2 , a ? 0, b ? 0 .

1 2 ? 的最小值是 . a b 13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ,等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Bn ,若 a3 ? b3 , a4 ? b4 ,
若 A, B, C 三点共线,则

A5 ? A3 a ? a3 . ? 7 ,则 5 ? B4 ? B2 b5 ? b3 1 1 ? kx ? b 恒成立,当且仅当 x ? 时取等号,则 k ? 14.已知:当 x ? 0 时,不等式 3 1? x




二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编号上, 填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.
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E

D

15.如图,ABCDEF 是正六边形,下列等式成立的是( (A) AE ? FC ? 0 (C) FC ? FD ? FB (B) AE ? DF ? 0 (D) FD ? FB ? 0


F C

A

B

16.已知偶函数 f ( x ) 的定义域为 R ,则下列函数中为奇函数的是(



(A) sin[ f ( x)] (B) x ? f (sin x) (C) f ( x) ? f (sin x) (D) [ f (sin x)]2 17.如图所示是一个循环结构的算法,下列说法不正确的是( (A)① 是循环变量初始化,循环就要开始 (B)② 为循环体 (C)③ 是判断是否继续循环的终止条件 (D)输出的 S 值为 2,4,6,8,10,12,14,16,18. 18.定义:最高次项的系数为 1 的多项式 p( x) ? xn ? an-1xn-1 ? ... ? a1x ? a0 ( n ? N * )的其余系数 )

p( x) ? 0 的根叫代数整数.下列各数不是代数整数的是( ai ( i? 0 , 1, ? ? ?n , ? 均是整数,则方程 1)
(A)



2 2

(B) 3

(C)

1? 5 2

(D) ?

1 3 ? i 2 2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤.

B1

C1

19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AA 1 ? BC ? AB ? 2 , AB ⊥BC . (1)求四棱锥 A1 ? BCC1B1 错误!未指定书签。的体积; (2)求二面角 B1 ? A1C ? C1 的大小.

A1

B A

C

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2

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数. (1)若 f ( x) ? cos x ? sin x ,且 ? ?
x (2)设 f ( x) ? 2 ?

?
2

,求 g ( x) 的解析式,并写出 g ( x) 的递增区间;

1 ,若 g ( x) 的最小值为 6,求常数 ? 的值. 2x

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某公园有个池塘,其形状为直角 ?ABC , ?C ? 90 , AB 的长为 2 百米, BC 的长为 1 百米. (1)若准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB 、 BC 、 CA 上取点 D、E、F ,如图(1), 使得 EF //AB , EF ? ED ,在 ?DEF 内喂食,求当 ?DEF 的面积取最大值时 EF 的长; (2)若准备建造一个荷塘,分别在 AB 、 BC 、 CA 上取点 D、E、F ,如图(2),建造 ?DEF 连廊 (不考虑宽度)供游客休憩,且使 ?DEF 为正三角形,记 ?FEC ? ? ,求 ?DEF 边长的最小值 及此时 ? 的值.(精确到 1 米和 0.1 度) A A
0

F D C E
图(1)

D F B C E
图(2)

B

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3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 7 分.

x2 ? y 2 ? 1 ,设 AB 是过椭圆 C 中心 O 的任意弦, 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C 的方程为 8
l 是线段 AB 的垂直平分线, M 是 l 上与 O 不重合的点. (1)求以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程; (2)若 MO ? 2OA ,当点 A 在椭圆 C 上运动时,求点 M 的轨迹方程; (3)记 M 是 l 与椭圆 C 的交点,若直线 AB 的方程为 y ? kx(k ? 0) ,当△ AMB 面积取最小值时, 求直线 AB 的方程.

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23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 设 ?an ? 是公比为 q(q

? 1) 的等比数列,若 ?an ? 中任意两项之积仍是该数列中的项,

那么称 ?an ? 是封闭数列. (1)若 a1

? 2,q ? 3 ,判断 ?an ? 是否为封闭数列,并说明理由;
? ?1 ,使 a1 ? q
m

(2)证明 ?an ? 为封闭数列的充要条件是:存在整数 m (3)记 ? n 是数列 ?an ? 的前 n 项之积, bn 存在这样的封闭数列 ?an ? ,使 lim ? 若不存在,说明理由.



? log 2 ?n ,若首项为正整数,公比 q ? 2 ,试问:是否

?1 1 1 ? 11 ? ? ??? ? ? ? ,若存在,求 ?an ? 的通项公式; n ?? b bn ? 9 ? 1 b2

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5

3 区 2014 学年第二学期高三二模质量抽测(理)
参考答案及评分标准 2015.04 说明: 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行 评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答 在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定 后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 4 ; 2. 5 ; 3. 5 ; 4. ?1, ?? ? ; 5. 2 ; 6. 126 ; 10. 3 ? 1

7. { x | x ? 2 k ? ? 11. 9.6 ;

5? , k ?Z} 6
12. 4 ;

8. 12.8 ; 13. ?

9. x ? 2 y ? 1 ? 0 ; 14. ?

4 5

9 16

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.

A

;16.

B

; 17. D

;18.

A .

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分. 解:(1)因为 AB ⊥BC ,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,所以 AB ? BCC1B1 , 从而 A1B1 是四棱锥 A1 ? BCC1B1 的高. ……………………………………2 分 四棱锥 A1 ? BCC1B1 错误!未指定书签。的体积为 V ?

1 8 ? 2 ? 2 ? 2 ? 错误!未指定书 3 3

签。…………………………4 分 (2)如图(图略),建立空间直角坐标系. 则 A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2), B1(0,0,2),C1(0,2,2), …………………………………………………6 分 设 AC 的中点为 M,? BM ? AC, BM ? CC1 ,

? BM ? 平面A1C1C, 即BM ? (1,1,0) 是平面 A1C1C 的一个法向量.
设平面 A1B1C 的一个法向量是 n ? ( x, y, z) , AC ? (?2,2,?2), A1 B1 ? (?2,0,0) …8 分

? n ? A1 B1 ? ?2x ? 0, n ? A1C ? ?2x ? 2 y ? 2z ? 0,
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令 z=1,解得 x=0,y=1.? n ? (0,1,1) , …………………………………………9 分 设法向量 n 与 BM 的夹角为 ? ,二面角 B1—A1C—C1 的大小为 ? ,显然 ? 为锐角.

| n ? BM | 1 ? ? , 解得? ? . 3 | n | ? | BM | 2 ? ? 二面角B1 ? A1C ? C1的大小为 . ………………………………………………12 分 3 cos? ?| cos ? |?
20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 解:(1)? f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

? f ( x ? ? ) ? cos x ? sin x ;? g ( x) ? cos2 x ……4 分

递增区间为 ? ? ? k? , ? ? k? ? ,( k ? Z )(注:开区间或半开区间均正确) ………………6 分 (2)? g ( x) ? ? 2 x ?

?1 ?2

? ?

1 ? ? x ?? 1 ? 2 ? x ?? x ? ? 2 ? ? 2 2 1 1 g ( x) ? 2? ? ? 2 x ? ? ? 2? ? ? 2 2 2? ? ? 2 x ?
?

? ?

1 ? ? ? x 1? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? ? ? 2 ? 2 ? ? x ? ,………8 分 2 ? ? 2 ?2 ? ? ? 1 ? 2? ? ? ? 2 ? 6 …………………10 分 2
所以 ? ? log 2 2 ? 3 ………………………14 分

解得 2 ? 2 ? 3 ………………………12 分

?

?

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 解:(1)设 EF ? x ,则 CE ?
S?DEF ?
3? x? x x ,故 BE ? 1 ? ,所以 DE ? ?1 ? ? ,……2 分 2 2 2 2 ? ?

3 ? x? x ?1 ? ? , x ? (0, 2) ,……………………………………………………4 分 4 ? 2?
2

3 x? x? 3 1? x x? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 当且仅当 x ? 1 时等号成立,即 ? S?DEF ?max ? 因为 S?DEF ? .…………6 分 2 2? 2? 2 4? 2 2? 8 ? ?? (2)在 Rt ?ABC 中, ?A ? 300 ,设 ?FEC ? ? , ? ? ? 0, ? , ? 2?

则 ?EFC ? 900 ? ? , ?AFD ? 1800 ? 600 ? (900 ? ? ) ? 300 ? ? ,…………………………8 分 所以 ?ADF ? 1800 ? 300 ? (300 ? ? ) ? 1200 ? ? 设 CF ? x ,则 AF ? 3 ? x ,在 ?ADF 中, 又由于 x ? EF sin ? ? DF sin ? ,所以 化简得 DF ? 此时 tan ? ?
3 2sin ? ? 3 cos ? ? 3 7
DF 3?x ? ,………………10 分 0 sin 30 sin(1200 ? ? )

DF 3 ? DF sin ? ? ………………………11 分 0 sin 30 sin(1200 ? ? )

? 0.65 百米=65 米………………………………13 分

3 , ? ? 40.90 , ? ? 49.10 …………………………………………………14 分 2 解法 2:设等边三角形边长为 EF ? ED ? DF ? y ,
在△ EBD 中, ?B ? 60 , ?EDB ? ? ,…………………………………………8 分 由题意可知 CE ? y cos ? ,…………………………………………………………9 分
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y 1 ? y cos ? ,……………………………………11 分 ? sin 60 sin ? 3 3 ? ? 0.65 ,………………………………………………13 分 即y? 2sin ? ? 3 cos ? 7

则 EB ? 1 ? y cos ? ,所以

3 , ? ? 40.90 , ? ? 49.10 …………………………………………………14 分 2 22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 7 分. 解:(1)椭圆一个焦点和顶点分别为 ( 7,0),(2 2,0) ,………………………1 分
此时 tan ? ?
2 y2 所以在双曲线 x 2 ? 2 ? 1 中, a 2 ? 7 , c 2 ? 8 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 , a b 2 x 因而双曲线方程为 ? y 2 ? 1 .……………………………………………………4 分 7

(2)设 M ( x ,y ) , A(m ,n) ,则由题设知: OM ? 2 OA , OA ? OM ? 0 .
? x 2 ? y 2 ? 4(m2 ? n2 ) , 即? ………5 分 ?mx ? ny ? 0 ,
2

?m 2 ? 1 y 2 , ? 4 解得 ? ……………………7 分 2 1 ? n ? x 2. ? 4

y 2 m 2 因为点 A(m ,n) 在椭圆 C 上,所以 ? x ?1, ? n2 ? 1 ,即… 8 2 8 2 2 2 2 x y x y 亦即 ? ? 1 .所以点 M 的轨迹方程为 ? ? 1 .…………………9 分 4 32 4 32 (3)(方法 1)因为 AB 所在直线方程为 y ? kx(k ? 0) .

?? ??
2

? x2 2 8k 2 8 ? ? y ? 1, 2 解方程组 ? 8 得 xA2 ? , , y ? A 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 ? y ? kx , ? 32(1 ? k 2 ) 8 8k 2 8(1 ? k 2 ) 2 2 所以 OA2 ? xA2 ? yA2 ? , . AB ? 4 OA ? ? ? 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 ? x2 ? y 2 ? 1, ? 8k 2 8(1 ? k 2 ) 8 ?8 又? 解得 xM 2 ? 2 , yM 2 ? 2 ,所以 OM 2 ? 2 .………… 11 分 k +8 k +8 k +8 ? y ? ? 1 x, ? k ? 1 32(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 ) 1 由于 S△ AMB 2 ? AB2 ? OM 2 ? ? ? 2 4 4 1 ? 8k 2 k +8 64(1 ? k 2 )2 392 256 ? ?8? ? ……………………………………………14 分 8 (1 ? 8k 2 )(k 2 +8) 8k 2 ? 2 ? 65 81 8k 2 2 64(1 ? k ) 64(1 ? k 2 )2 256 或? ,当且仅当 1 ? 8k 2 ? k 2 ? 8 时等号成立,即 k=1 时等号成立, ? ? 2 2 2 2 2 81 81 1 ? 8k ? k +8 (1 ? k ) 4 2 此时△ AMB 面积的最小值是 S△ AMB= 16 .……………………………………… 15 分 9 AB 所在直线方程为 y ? x . ………………………………………………… 16 分 ? ? x)(? ? R,? ? 0) , (方法 2)设 M ( x,y ) ,则 A(? y,

?

?

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8

因为点 A 在椭圆 C 上,所以 ? 2 ( y 2 ? 8 x 2 ) ? 8 ,即 y 2 ? 8 x 2 ?

8

(i)+(ii)得 x2 ? y 2 ? 8 1 ? 12 ,………………………………………………11 分 9 ? 2 所以 S?AMB ? OM ? OA ?| ? | ( x ? y 2 ) ? 8 | ? | ? 1 ≥ 16 .……………………………14 分 9 9 ?

?

?

?2

(i)又 x 2 ? 8 y 2 ? 8 (ii)

?

?

16 . 又k ?0 9 AB 所在直线方程为 y ? x .………………………………………………… 16 分 23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分.

当且仅当 ? ? ?1(即 k AB ? ?1 )时, ? S?AMB ?min ?

解:(1) ?an ? 不是封闭数列,因为 an ? 2 ? 3n?1 ,………………………… 1 分 对任意的 m, n ? N ? ,有 an ? am ? 4 ? 3m?n?2 ,……………………………… 2 分 若存在

p ,使得 an ? am ? a p ,即 3 p ?m?n?1 ? 2 , p ? m ? n ? 1 ? log3 2 ,

该式左边为整数,右边是无理数,矛盾.所以该数列不是封闭数列………………………………… 4 分 解得 a1 ? qk ?s ?t ?1 .故存在 m ? k ? s ? t ? 1? Z ,使 a1 ? q m ,…… 6 分 下面证明整数 m ? ?1 . 对 q ? 1 ,若 m ? ?1 ,则取 p ? ?m ? 2 ,对 a1 , a p ,存在 au 使 a1a p ? au , 即 q m ? q p ?1 ? qu ?1 , q?1 ? qu ?1 ,所以 u ? 0 ,矛盾,故存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? q m .………… 8 分 (充分性)若存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? q m ,则 an ? q n?m?1 ,
n (n ?1) 2

(2)证明:(必要性)任取等比数列的两项 as , at ? s ? t ? ,若存在 ak 使 as at ? ak ,则 a1 ? qs ?t ?2 ? qk ?1 ,

对任意 s, t ? N * ,因为 as at ? q( s ?t ?m?1)?m?1 ? as ?t ?m?1 ,所以 ?an ? 是封闭数列. ……… 10 分

n(n ? 1) ,……………11 分 2 m 因为 ?an ? 是封闭数列且 a1 为正整数,所以,存在整数 m ? 0 ,使 a1 ? 2 , 1 1 1 1 n( n ? 1) lim( ? ? ? ) b ? n 若 a1 ? 1 ,则 bn 没有意义…12 分 2 ,此时 b1 不存在.所以 n?? b1 b2
(3)由于 ? n ? a1 ? a2 ??? an ? a1n ? 2 ,所以 bn ? n log 2 a1 ?

1 1 1 11 n( n ? 1) lim( ? ? ? ) ? 2 ? n ?? b1 b2 bn 9 ,………………… 13 分 2 ,所以 1 2 1 1 1 11 n( n ? 3) ? lim( ? ? ? ) ? b ? 若 a1 ? 4 ,则 n bn 9 ,………… 16 分 2 ,于是 bn n(n ? 3) ,所以 n?? b1 b2 1 2 n( n ? 3) ? b ? 若 a1 ? 4 ,则 n 2 ,于是 bn n(n ? 3) , 1 1 1 11 lim( ? ? ? ) ? n ?? 所以 b1 b2 bn 9 ,…………………………………… 17 分

b ? 若 a1 ? 2 ,则 n

综上讨论可知: a1 ? 4 , an ? 4 ? 2n?1 ,(n ? N * ) ,该数列是封闭数列.……… 18 分

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