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人教版必修1高一数学:精品教案(全套打包,150页)


人教版高中数学必修 1 精品教案(整套) 课题:集合的含义与表示(1) 课 型:新授课

教学目标: (1) 了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特 征; (2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; (3) 掌握常用数集及其记法; 教学重点:掌握集合的基本概念; 教学难点:元素与集合的关系; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月 15

日 8 点,高一年级在体育馆集 合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还 是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问 题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而 不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合 (宣布课题) ,即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P2-P3 内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的 东西的全体,人们

能意识到这些东西, 并且能判断一个给定的东西是否属于 这个总体。 2. 一般地,我们把研究对象统称为元素(element) ,一 些元素组成的总体叫集合(set) ,也简称集。 3. 思考 1: 判断以下元素的全体是否组成集合, 并说明理 由: (1) 大于 3 小于 11 的偶数; (2) 我国的小河流; (3) 非负奇数; (4) 方程 x2 ? 1 ? 0 的解; (5) 某校 2007 级新生; (6) 血压很高的人; (7) 著名的数学家; (8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点 (9) 全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具 体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集 合的互不相同的个体(对象) ,因此,同一集合中

不应重复出现同一元素。 (3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无 关。 (4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to) A,记作:a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作:a ? A 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集 合,则有 3∈A 4 ? A,等等。 6.集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母 A, B,C?表示,集合的元素用小写的拉丁字母 a,b,c,?表 示。 7.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R; (二)例题讲解: 例 1.用“∈”或“ ? ”符号填空:

(1)8 (3)-3

N; Z;

(2)0 (4)
2

N; Q; A,

(5) A 为所有亚洲国家组成的集合, 设 则中国 美国 A,印度 A,英国 A。

例 2. 已知集合 P 的元素为 1, m, m2 ? 3m ? 3 , 求实数 m 的值。

若 3∈P 且-1 ? P,

(三)课堂练习: 课本 P5 练习 1; 归纳小结: 本节课从实例入手, 非常自然贴切地引出集合与集合的概 念,并且结合实例对集合的概念作了说明,然后介绍了常用 集合及其记法。 作业布置: 1.习题 1.1,第 1- 2 题; 2.预习集合的表示方法。 课后记:

课题:集合的含义与表示(2) 课 型:新授课

教学目标: (1)了解集合的表示方法; (2)能正确选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法 或描述法) 描述不同的具体问题, 感受集合语言的意义和作 用; 教学重点:掌握集合的表示方法; 教学难点:选择恰当的表示方法; 教学过程: 一、复习回顾: 1.集合和元素的定义;元素的三个特性;元素与集合的 关系;常用的数集及表示。 2.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什 么?有何关系 二、新课教学

(一) .集合的表示方法 我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合,但 这将给我们带来很多不便, 除此之外还常用列举法和描述 法来表示集合。

(1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括 号“ ? ? ”括起来表示集合的方法叫列举法。

如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?; 说明:1.集合中的元素具有无序性,所以用列举法表 示集合时不必考 虑元素的顺序。 2.各个元素之间要用逗号隔开; 3.元素不能重复; 4.集合中的元素可以数,点,代数式等; 5. 对于含有较多元素的集合, 用列举法表示时, 必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略 号,象自然数集N用列举法表示为
?1, 2,3, 4,5,......?

例 1. (课本例 1)用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合; (3)由 1 到 20 以内的所有质数组成的集合; (4)方程组 ? ?
x ? 2 y ? 0; ?2 x ? y ? 0.

的解组成的集合。

思考 2: (课本 P4 的思考题)得出描述法的定义: (2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来, 写在花括号{ }内。

具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一 般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式: ? x ? A
p( x)

?

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x︳直角三角形},?; 说明: 1.课本 P5 最后一段话; 2.描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合,只要不 引起误解, 集合的代表元素也可省略, 例如: {x︳整数}, 即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必

写{全体整数}。下列写法{实数集},{R}也是错误的。 例 2. (课本例 2)试分别用列举法和描述法表示下列集 合: (1)方程 x2—2=0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合; (3)方程组 ? ?
x ? y ? 3; ? x ? y ? ?1.

的解。

思考 3: (课本 P6 思考) 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题 确定采用哪种表示法, 要注意,一般集合中元素较多或有 无限个元素时,不宜采用列举法。 (二) .课堂练习: 1.课本 P6 练习 2; 2.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 3. 集合 A={x| 4 ∈Z, x∈N}, 则它的元素是
x?3



4.已知集合 A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y= x 2 +1,x∈A},则集合 B 用列举法表示是 归纳小结: 本节课从实例入手,介绍了集合的常用表示方法,包括列 举法、描述法。 作业布置: 1. 2. 习题 1.1,第3.4 题; 课后预习集合间的基本关系.

课后记:

课题:集合间的基本关系 课 型:新授课

教学目标: (1)了解集合之间的包含、相等关系的含义; (2)理解子集、真子集的概念; (3)能利用 Venn 图表达集合间的关系; (4)了解空集的含义。 教学重点:子集与空集的概念;能利用 Venn 图表达集合间 的关系。 教学难点:弄清楚属于与包含的关系。 教学过程: 一、复习回顾: 1.提问:集合的两种表示方法? 如何用适当的方法表示

下列集合? (1)10 以内 3 的倍数; (2)1000 以内 3 的倍数 2.用适当的符号填空: 0 N; Q; -1.5 R。 思考 1:类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间 是否有类似的“大小”关系呢? 二、新课教学 (一). 子集、空集等概念的教学: 比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1,2,3} , B ? {1,2,3,4,5} ; (2) C ? {汝城一中高一 班全体女生} , D ? {汝城一中高一 班全体学生} ; (3) E ? {x | x是两条边相等的三角形} , F ? {x x是等腰三角形} 由学生通过观察得结论。 1. 子集的定义: 对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集 合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是 集合 B 的子集(subset) 记作: 。
A ? B(或B ? A)

读作: 包含于 A (is contained in) 或 B 包含 B, (contains) A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:
B A

如: (1)中 A ? B 2. 集合相等定义: 如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则 集合 A 与集合 B 中的元素是一样的, 因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。

如(3)中的两集合 E ? F 。 3. 真子集定义: 若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) 。记作: A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 如: (1)和(2)中 A B,C D; 4. 空集定义: 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作:? 。 用适当的符号填空: ? ?; ? ?0? ; 0 ??? ; ?0? ??? 思考 2:课本 P7 的思考题 5. 几个重要的结论: (1) 空集是任何集合的子集; (2) 空集是任何非空集合的真子集; (3) 任何一个集合是它本身的子集; (4) 对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 说明: 1. 注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与 集合是“包含于” “不包含于”的关系; 2. 在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 (二)例题讲解: 例 1.填空: (1) 2 . N; N; A; {2} ? (2) .已知集合 A={x|x 2 -3x+2=0},B={1,2},C= {x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 例 2. (课本例 3)写出集合 {a, b} 的所有子集,并指出哪些是 它的真子集。

例 3.若集合 A ? ? x x 2 ? x ? 6 ? 0? , B ? ? x mx ? 1 ? 0? , B 值。 (m=0 或 1 或- 1 )
3 2

A,求 m 的

例 4.已知集合 A ? ? x ?2 ? x ? 5? , B ? ? x ?m ? 1 ? x ? 2m ? 1? 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 (m?3)

(三)课堂练习: 课本 P7 练习 1,2,3 归纳小结: 本节课从实例入手,非常自然贴切地引出子集、真子集、 空集、相等的概念及符号;并用 Venn 图直观地把这种关系 表示出来;注意包含与属于符号的运用。 作业布置: 1. 2. 课后记: 习题 1.1,第 5 题; 预习集合的运算。

课题:集合的基本运算㈠ 课 型:新授课

教学目标: (1)理解交集与并集的概念; (2)掌握交集与并集的区别与联系; (3)会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们 解决一些简单问题。 教学重点:交集与并集的概念,数形结合的思想。 教学难点: 理解交集与并集的概念、 符号之间的区别与联系。 教学过程:

一、复习回顾: 1.已知 A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则 A S; {x|x∈S 且 x ?A}= 。 2.用适当符号填空: 0 {0}; 0 Φ; Φ {x|x 2 +1=0,x∈R} {0} {x|x<3 且 x>5}; {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5} ; {x|x>-3} {x>2} 二、新课教学 (一). 交集、并集概念及性质的教学: 思考 1.考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关 系: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数}, C ? ?x x 是实数? ; 由学生通过观察得结论。 6. 并集的定义: 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集(union set) 。记作:A ∪B(读作: 并 B”,即 “A )
A ? B ? ? x x ? A, 或x ? B?

用 Venn 图表示:

这样,在问题(1) (2)中,集合 A,B 的并集是 C,即 A? B = C 说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B ∪A

B

A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B = ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 7. 交集的定义: 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的 集合,叫作集合 A、B 的交集(intersection set) ,记作 A∩B (读“A 交 B” )即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

常见的五种交集的情况:
A(B) A B A B A B

B A

讨论: A∩B

A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩Ф = B∩A

A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B = ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 (二)例题讲解: 例 1. (课本例 5) 设集合 A ? ? x ?1 ? x ? 2? , B ? ? x 1 ? x ? 3? , A∪B. 求 变式:A={x|-5≤x≤8}

例 2. (课本例 7)设平面内直线 l1 上点的集合为 L1,直线 l2 上 点的集合为 L2,试用集合的运算表示 l1 , l2 的位置关系。

例 3.已知集合 A ? ? x x 2 ? mx ? m 2 ? 19 ? 0? ,
C ? z z 2 ? 2z ? 8 ? 0

B ? y y2 ? 5y ? 6 ? 0

?

?

?

?

是 否 存 在 实 数

m , 同 时 满 足

A ? B ? ?, A ? C ? ? ?

(m=-2)

(三)课堂练习:

课本 P11 练习 1,2,3 归纳小结: 本节课从实例入手,引出交集、并集的概念及符号;并用 Venn 图直观地把两个集合之间的关系表示出来, 要注意数轴 在求交集和并集中的运用。 作业布置: 3. 4. 课后记: 习题 1.1,第 6,7; 预习补集的概念。

课题:集合的基本运算㈡ 课 型:新授课

教学目标: (1)掌握交集与并集的区别,了解全集、补集的意义, (2)正确理解补集的概念,正确理解符号“ CU A ”的涵义; (3)会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具

体问题。 教学重点:补集的有关运算及数轴的应用。 教学难点:补集的概念。 教学过程: 一、复习回顾: 1. 提问:.什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别是怎 样的? 2. 提问:什么叫交集、并集?符号语言如何表示? 3. 交集和补集的有关运算结论有哪些? 4. 讨论:已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B 与 R 有何关系? 二、新课教学 思考 1. U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有 何关系? 由学生通过讨论得出结论: 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 (一). 全集、补集概念及性质的教学: 8. 全集的定义: 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所 有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),记作 U, 是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 补集的定义: 对于一个集合 A, 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素 组成的集合,叫作集合 A 相对于全集 U 的补集 (complementary set) ,记作: CU A , 读作: 在 U 中的补集” “A ,即 C A ? ? x x ?U , 且x ? A? 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集) 9.
U

讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析
A ? CU A ? ?, CUU ? ?, A ? CU A ? U , CU ? ? U CU (CU A) ? A

巩固练习(口答) : ① . U={2,3,4} , A={4,3} , B= φ , 则 CU A = , ; CU B = ②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0}, 则 CU A = ; ③ . 设 U = { 三 角 形 } , A = { 锐 角 三 角 形 } , 则 CU A = 。 (二)例题讲解: 例 1 . ( 课 本 例 8 ) 设 集 U ? ? x是小于9的正整数? , x ? ?A , 2 , , ? B CU A , CU B . 5 3 4 ? ,,1 ? , 3? ,求

6

例 2. 设全集 U ? ? x x ? 4? , 集合A ? ? x ?2 ? x ? 3? , B ? ?x ?3 ? x ? 3? , CU A , 求
A ? B , A ? B, CU ( A ? B), (CU A) ? (CU B), (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) 。

(结论: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) )

例 3.设全集 U 为 R,A ? ? x x 2 ? px ? 12 ? 0? , 若
(CU A) ? B ? ?2? , A ? (CU B) ? ?4? ,求 A ? B 。

B ? x x2 ? 5x ? q ? 0

?

?,

(答案: ?2, 3, 4? )

(三)课堂练习: 课本 P11 练习 4 归纳小结: 补集、全集的概念;补集、全集的符号;图示分析(数 轴、Venn 图) 。 作业布置: 习题 1.1A 组,第 9,10;B 组第 4 题。 课后记:

课题:集合复习课 课 型:新授课

教学目标: (1)掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质; (2)掌握集合的有关术语和符号; (3)运用性质解决一些简单的问题。 教学重点:集合的相关运算。 教学难点:集合知识的综合运用。 教学过程: 一、复习回顾: 1. 提问:什么叫集合?元素?集合的表示方法有哪些? 2. 提问:什么叫交集?并集?补集?符号语言如何表示? 图形语言如何表示? 3. 提问:什么叫子集?真子集?空集?相等集合?有何性 质? 3. 交集、并集、补集的有关运算结论有哪些? 4. 集合问题的解决方法:Venn 图示法、数轴分析法。 二、讲授新课: (一) 集合的基本运算: 例 1: U=R, 设 A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求 A∩B、 A∪B、 C U A 、C U B、 (C U A)∩(C U B)、(C U A)∪(C U B)、C U (A∪B)、C U (A∩ B)。 (学生画图→在草稿上写出答案→订正)

说明:不等式的交、并、补集的运算,用数轴进行分析,注 意端点。 例 2:全集 U={x|x<10,x∈N ? },A ? U,B ? U,且(C U B) ∩A={1,9},A∩B={3}, U A)∩(C U B)={4,6,7},求 A、 (C B。

说明:列举法表示的数集问题用 Venn 图示法、观察法。 (二)集合性质的运用: 例 3:A={x|x 2 +4x=0},B={x|x 2 +2(a+1)x+a 2 -1=0}, 若 A∪

B=A,求实数 a 的值。

说明:注意 B 为空集可能性;一元二次方程已知根时,用代 入法、韦达定理,要注意判别式。 例 4:已知集合 A={x|x>6 或 x<-3},B={x|a<x<a+3},若 A ∪B=A,求实数 a 的取值范围。

(三)巩固练习: 1.已知 A={x|-2<x<-1 或 x>1},A∪B={x|x+2>0},A∩ B={x|1<x≦3},求集合 B。 2. P={0,1}, M={x|x ? P}, P 与 M 的关系是 则 。

3.已知 50 名同学参加跳远和铅球两项测验,分别及格人数 为 40、31 人,两项均不及格的为 4 人,那么两项都及格 的为 人。 4.满足关系{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}的集合 A 共有 个。

5.已知集合 A∪B={x|x<8,x∈N},A={1,3,5,6},A∩ B={1,5,6},则 B 的子集的集合一共有多少个元素? 6.已知 A={1,2,a},B={1,a 2 },A∪B={1,2,a},求所有可 能的 a 值。 7.设 A={x|x 2 -ax+6=0},B={x|x 2 -x+c=0},A∩B= {2},求 A∪B。 8.集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0, 1},求 p、q。 9. A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B。 10.已知 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时, 求实数 m 的取值范围。 归纳小结: 本节课是集合问题的复习课, 系统地归纳了集合的有关概 念,表示方法及其有关运算,并进一步巩固了 Venn 图法和 数轴分析法。 作业布置: 5. 6. 课本 P14 习题 1.1 B 组题; 阅读 P14~15 材料。

课后记:

课题:函数的概念(一) 课 型:新授课

教学目标: (1) 通过丰富实例, 学习用集合与对应的语言来刻画函数, 体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的三要素; (3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来 刻画函数。 教学难点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来 刻画函数。 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论: 放学后骑自行车回家, 在此实例中存在哪些变量? 变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义:

在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,对于 x 的每 一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时 y 是 x 的 函数,x 是自变量,y 是因变量。 表示方法有:解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课: (一)函数的概念: 思考 1: (课本 P15)给出三个实例: A.一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高为 845 米,且炮弹距地面高度 h(米)与时间 t(秒)的变化 规律是 h ? 130t ? 5t 。 B.近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层 空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变 化情况。 (见课本 P15 图) C.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额) 反映一个国家人民生活质量的高低。 “八五”计划以来 我们城镇居民的恩格尔系数如下表。 (见课本 P16 表) 讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别 是什么?两个变量之间存在着怎样的对应关系? 三个实例有什么共同点? 归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在数集 B 中 都与唯一确定的 y 和它对应,记作:
2

f : A?B

函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯 一确定的数 f ( x) 和它对应, 那么称 f A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) ,记作:
:

y ? f ( x), x ? A

其中, 叫自变量, 的取值范围 A 叫作定义域 x x (domain) , 与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值 域(range) 。显然,值域是集合 B 的子集。 (1)一次函数 y=ax+b (a≠0)的定义域是 R,值域也是 R;

(2)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0)的定义域是 R,值域是 B; 当 a>0
? 4ac ? b 2 ? ? ? B ? ?y y ? 时,值域 ? ;当 4a ? ? ? ?

a﹤0 时,值域

? 4ac ? b 2 ? ? ? B ? ?y y ? ?。 4a ? ? ? ?

(3)反比例函数

y?

? y y ? 0? 。

k (k ? 0) x

的 定 义 域 是 ? x x ? 0? , 值 域 是

(二)区间及写法: 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: (1) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示 为[a,b]; (2) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示 为(a,b) ; (3) 满足不等式 a ? x ? b或a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半 闭区间,表示为 ? a, b ? , ? a, b? ; 这里的实数 a 和 b 都叫做相应区间的端点。 (数轴表示见 课本 P17 表格) 符号“∞”读“无穷大”“-∞”读“负无穷大”“+ ; ; ∞”读“正无穷大” 。我们把满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的 集合分别表示为 ? a, ?? ? , ? a, ?? ? , ? ??, b? , ? ??, b ? 。 巩固练习: 用区间表示 R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} (学生做,教师订正) (三)例题讲解: 例 1.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,求 f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。

变式:求函数 y ? x

2

? 2 x ? 3,

x ?{?1,0,1,2} 的值域

例 2.已知函数 f ( x) ?
3

x?3 ?

1 , x?2

(1) 求 f (?3), f ( 2 ), f ? f ? ?3? ? 的值; (2) 当 a>0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。

(四)课堂练习: 1. 用区间表示下列集合:

? x x ? 4? , ?x x ? 4且x ? 0? , ?x x ? 4且x ? 0, x ? ?1? , ?x x ? 0或x ? 2?
2

2. 已知函数 f(x)=3x 2 +5x-2,求 f(3)、 f(的值; 3. 课本 P19 练习 2。 归纳小结:

)、 f(a)、 f(a+1)

函数模型应用思想;函数概念;二次函数的值域;区间 表示 作业布置: 习题 1.2A 组,第 4,5,6; 课后记:

课题:函数的概念(二) 课 型:新授课

教学目标: (1)会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间” 的符号表示; (2)掌握复合函数定义域的求法; (3)掌握判别两个函数是否相同的方法。 教学重点:会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点:复合函数定义域的求法。 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:什么叫函数?其三要素是什么?函数 y= 3x 与 y=
x
2

3x 是不是同一个函数?为什么? 2. 用区间表示函数 y=ax+b a≠0) y=ax 2 +bx+c a≠0) ( 、 ( 、 y= k (k≠0)的定义域与值域。
x

二、讲授新课: (一)函数定义域的求法: 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给 出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,那么函数的定 义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 例 1:求下列函数的定义域(用区间表示) ⑴ f(x)= x2 ? 3 ; ⑵ f(x)= 2 x ? 9 ; ⑶ f(x)= x ? 1 - x ;
x ?2

2? x

学生试求→订正→小结:定义域求法(分式、根式、组 合式)

说明:求定义域步骤:列不等式(组) → 解不等式(组)

*复合函数的定义域求法: (1)已知 f(x)的定义域为(a,b) ,求 f(g(x))的定义域; 求法:由 a<x<b,知 a<g(x)<b,解得的 x 的取值范围即是 f(g(x))的定义域。 (2)已知 f(g(x))的定义域为(a,b) ,求 f(x)的定义域; 求法:由 a<x<b,得 g(x)的取值范围即是 f(x)的定义域。 例 2.已知 f(x)的定义域为[0,1],求 f(x+1)的定义域。

例 3.已知 f(x-1)的定义域为[-1,0],求 f(x+1)的定义域。

巩固练习: 1.求下列函数定义域: (1) f ( x) ? 1 ? x ? 1 ;
x?4

(2) f ( x) ?

1 1? 1 x

2. (1)已知函数 f(x)的定义域为[0,1],求 f ( x 2 ?1) 的定义域; (2)已知函数 f(2x-1)的定义域为[0,1],求 f(1-3x)的定义 域。 (二)函数相同的判别方法: 函数是否相同,看定义域和对应法则。 例 5. (课本 P18 例 2)下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1) y ? ( x )2 ; (2) y ? 3 x3 ; (3) y ?
x2



(4)

y?

x2 x



(三)课堂练习: 1.课本 P19 练习 1,3; 2.求函数 y=-x 2 +4x-1 ,x∈[-1,3) 的值域。 归纳小结: 本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的 方法。 作业布置: 习题 1.2A 组,第 1,2; 课后记:

课题:函数的表示法(一) 课 型:新授课

教学目标: (1) 掌握函数的三种表示方法 (解析法、 列表法、 图像法) , 了解三种表示方法各自的优点; (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表 示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。 教学重点:会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。 教学难点:分段函数的表示及其图象。 教学过程:

一、复习准备: 1.提问:函数的概念?函数的三要素? 2.讨论:初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生 活中的例子说明. 二、讲授新课: (一)函数的三种表示方法: 结合课本 P15 给出的三个实例,说明三种表示方法的适 用范围及其优点: 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系, 如 1.2.1 的实例(1) ; 优点:简明扼要;给自变量求函数值。 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系,如 1.2.1 的实例(2) ; 优点:直观形象,反映两个变量的变化趋势。 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系,如 1.2.1 的实例(3) ; 优点:不需计算就可看出函数值,如股市走势图; 列车 时刻表;银行利率表等。 例 1. (课本 P19 例 3)某种笔记本的单价是 2 元,买 x (x∈ {1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用三种表示法 表示函数 y=f(x) .

例 2: (课本 P20 例 4)下表是某校高一(1)班三位同学在 高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表: 第一 第二 第三 第四 第五 第六 次 次 次 次 次 次 98 87 91 92 88 95 甲 90 76 88 75 86 80 乙 68 65 73 72 75 82 丙 班平 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 均分 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做 一个分析.

(二)分段函数的教学: 分段函数的定义: 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有 着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数,如以下

的例 3 的函数就是分段函数。 说明: (1) .分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函 数问题时,首先要确定自变量的数值属于哪个区间段, 从而选取相应的对应法则;画分段函数图象时,应根据 不同定义域上的不同解析式分别作出; (2) .分段函数只是一个函数,只不过 x 的取值范围不同 时,对应法则不相同。 例 3: (课本 P21 例 6)某市“招手即停”公共汽车的票价按 下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的俺公里计算) 。 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票 价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。

例 4.已知 f(x)= ? ?

2 x ? 3, x ? ( ??,0)

2 ?2 x ? 1, x ? [0,??)

,求 f(0)、f[f(-1)]的值

(三)课堂练习: 1.课本 P23 练习 1,2; 2.作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y(元) 。试用 三种方法表示此实例中的函数。 3. 某水果批发店, 100kg 内单价 1 元/kg, 500kg 内、 100kg 及以上 0.8 元/kg,500kg 及以上 0.6 元/kg。试用三种 方法表示批发 x 千克与应付的钱数 y(元)之间的函数 y=f(x)。 归纳小结: 本节课归纳了函数的三种表示方法及优点;讲述了分段 函数概念;了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、 曲线或射线。 作业布置: 课本 P24 习题 1.2 A 组第 8,9 题; 课后记:

课题:函数的表示法(二) 课 型:新授课

教学目标: (1)了解映射的概念及表示方法; (2)掌握求函数解析式的方法:换元法,配凑法,待定系 数法,消去法,分段函数的解析式。 教学重点:求函数的解析式。 教学难点:对函数解析式方法的掌握。 教学过程: 一、复习准备: 1.举例初中已经学习过的一些对应,或者日常生活中的一 些对应实例: 对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的点 P 和它对应; 对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对 (x,y)和它对应; 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与 它对应; 2.讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点? 3.导入:函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将 其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合” , 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关 系,即映射(mapping) 。 二、讲授新课: (一) 映射的概念教学: 定义:

一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确 定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f : A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) 。记作:
f : A?B

讨论:映射有哪些对应情况?一对多是映射吗? 例 1. (课本 P22 例 7)以下给出的对应是不是从 A 到集合 B 的映射? (1) 集合 A={P | P 是数轴上的点},集合 B=R,对应关系 f: 数轴上的点与它所代表的实数对应; (2) 集 合 A={P | P 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 点 } , B= ?( x, y) x ? R, y ? R? ,对应关系 f: 平面直角坐标系中的点 与它的坐标对应; (3) 集合 A={x | x 是三角形},集合 B={x | x 是圆},对应关 系 f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4) 集合 A={x | x 是新华中学的班级},集合 B={x | x 是新 华中学的学生},对应关系:每一个班级都对应班里的 学生。

例 2.设集合 A={a,b,c},B={0,1} ,试问:从 A 到 B 的映 射一共有几个?并将它们分别表示出来。

(二)求函数的解析式: 常见的求函数解析式的方法有待定系数法, 换元法, 配凑

法,消去法。 例 3.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求函数 f(x)的解析式。 (待定系数法)

例 4.已知 f(2x+1)=3x-2,求函数 f(x)的解析式。 (配凑法或 换元法)

例 5.已知函数 f(x)满足 f ( x) ? 2 f ( 1 ) ? x ,求函数 f(x)的解析式。
x

(消去法)

例 6.已知 f ( x) ?

x ? 1 ,求函数

f(x)的解析式。

(三)课堂练习: 1.课本 P23 练习 4; 2.已知 3.已知 归纳小结: 本节课系统地归纳了映射的概念, 并进一步学习了求函数 解析式的方法。 作业布置: 7. 8. 课后记: 课本 P24 习题 1.2B 组题 3,4; 阅读 P26 材料。
1 ? x 1 ? x2 ,求函数 f(x)的解析式。 f( )? 1 ? x 1 ? x2 1 1 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,求函数 f(x)的解析式。 x x

4.已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? x ?1 ,求函数 f(x)的解析式。

课题:函数的表示法(三) 课 型:新授课

教学目标: (1)进一步了解分段函数的求法; (2)掌握函数图象的画法。 教学重点:函数图象的画法。 教学难点:掌握函数图象的画法。 。 教学过程: 一、复习准备: 1.举例初中已经学习过的一些函数的图象,如一次函数, 二次函数,反比例函数的图象,并在黑板上演示它们的 画法。 2. 讨论:函数图象有什么特点? 二、讲授新课: 例 1.画出下列各函数的图象: (1) f ( x) ? 2x ? 2  2 ? x ? 2) (? (0 (2) f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 3   ? x ? 3) ;

例 2. (课本 P21 例 5)画出函数 f ( x) ? x 的图象。

例 3.设 x ? ? ??, ?? ? ,求函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 3 x 的解析式,并画出 它的图象。

变式 1:求函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 3 x 的最大值。

变式 2:解不等式 2 x ? 1 ? 3 x

? ?1。

例 4.当 m 为何值时,方程 x2 ? 4 x ? 5 ? m 有 4 个互不相等的实 数根。

变式:不等式 x2 ? 4 x ? 5 ? m 对 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围。

(三)课堂练习: 1.课本 P23 练习 3; 2.画出函数 归纳小结: 函数图象的画法。 作业布置: 课本 P24 习题 1.2A 组题 7,B 组题 2; 课后记:
?1 (0 ? ,  ? x ? 1) 的图象。 f ( x) ? ? x ? x,  ? 1) (x ?

课题:函数及其表示复习课 课 型:复习课

教学目标: (1)会求一些简单函数的定义域和值域; (2)掌握分段函数、区间、函数的三种表示法; (3)会解决一些函数记号的问题. 教学重点:求定义域与值域,解决函数简单应用问题。 教学难点:对函数记号的理解。 教学过程: 一、 基础习题练习: (口答下列基础题的主要解答过程 → 指 出题型解答方法) 1.说出下列函数的定义域与值域: y ? 8 ; y ? x ? 4 x ? 3 ;
2

3x ? 5

1 ; y? 2 x ? 4x ? 3

2.已知 f ( x) ?

1 ,求 f ( 2) , x ?1

f ( f (3)) ,

f ( f ( x)) ;

3.已知

? 0 ( x ? 0) ? f ( x) ? ? ? ( x ? 0) , ? x ? 1( x ? 0) ?

(1)作出 f ( x) 的图象; (2)求 f (1),  f (?1),  f (0),  f { f [ f (?1)]} 的值 二、讲授典型例题: 例1.已知函数 f (x) =4x+3,g(x)=x 2 , 求 f[f(x)],f[g(x)], g[f(x)],g[g(x)].

例 2.求下列函数的定义域: (1) y ? ( x ? 1) ;
0

x ?x

(2) y ?

x2 ? 4 ; x2 ? 2x ? 3

例3.若函数 y ?

(a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ?

2 的定义域为R,求实数 a ?1

a 的取值范围.

( a ? ?1,9? )

例4. 中山移动公司开展了两种通讯业务: “全球通” ,月 租 50 元,每通话 1 分钟,付费 0.4 元; “神州行”不缴月租, 每通话 1 分钟,付费 0.6 元. 若一个月内通话 x 分钟,两种 通讯方式的费用分别为 y , y (元) . (1) .写出 y , y 与 x 之间的函数关系式? (2) 一个月内通话多少分钟, . 两种通讯方式的费用相同? (3) .若某人预计一个月内使用话费 200 元,应选择哪种 通讯方式?
1 2

1

2

三.巩固练习: 1.已知 f (x) =x 2 ?x+3 ,求:f(x+1), f( 1 )的值;
x

2.若 f ( x ? 1) x ? 2 x ,求函数 f ( x) 的解析式; ? 3. 设二次函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f (x) =0 的两实根平方和 为 10,图象过点(0,3),求 f (x) 的解析式. 4.已知函数 f ( x) ? 范围. 归纳小结: 本节课是函数及其表示的复习课, 系统地归纳了函数的有 关概念,表示方法. 作业布置: 9. 课本 P24习题 1.2 B 组题1,3;
3x ? 1 的定义域为R,求实数 ax ? ax ? 3
3 2

a 的取值

10. 预习函数的基本性质。 课后记:

课题:单调性与最大(小)值 (一) 课 型:新授课 教学目标: 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握 增(减)函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究 函数的性质。 教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和 判别。 教学难点:理解概念。 教学过程: 一、复习准备: 1.引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能 否发现变化中保持不变的特征呢? 2. 观 察 下 列 各 个 函 数 的 图 象,并探讨下列变化规律: ①随 x 的增大, 的值有什么 y 变化? ②能否看出函数的最大、最小值? ③函数图象是否具有某种对称性? 3. 画出函数 f(x)= x+2、f(x)= x 2 的图像。 (小结描点法的步 骤:列表→描点→连线) 二、讲授新课: 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念: ①根据 f(x)=3x+2、 f(x)=x 2 (x>0)的图象进行讨论: 随 x 的增大,函数值怎样变化? 当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样? ②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎 样的增大或减小的性质? ③定义增函数: 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,

都 有 f(x1)<f(x2) , 那 么 就 说 f(x) 在 区 间 D 上 是 增 函 数 (increasing function) ④探讨:仿照增函数的定义说出减函数的定义;→ 区间局 部性、取值任意性 ⑤定义:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数, 就说 f(x)在这一区间上具有 (严格的) 单调性, 区间 D 叫 f(x) 的单调区间。 ⑥讨论:图像如何表示单调增、单调减? 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什 么关系? ⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 2.教学增函数、减函数的证明: 例 1.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每个涨价 1 元,其销售量减少 10 个,为了 赚到最大利润,售价应定为多少?

1、 例题讲解 例1 (P29 例 1) 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它 是增函数还是减函数?

例 2: (P29 例 2)物理学中的玻意耳定律 p ? k (k 为正常数) ,
V

告诉我们对于一定量的气体,当其体积 V 增大时,压强 p 如 何变化?试用单调性定义证明.

例 3.判断函数 y ?

2 在区间[2,6] x ?1

上的单调性

三、巩固练习: 1.求证 f(x)=x+ 1 的(0,1)上是减函数,在[1,+∞]上是增函数。
x

2.判断 f(x)=|x|、y=x 3 的单调性并证明。

3.讨论 f(x)=x 2 -2x 的单调性。

推广:二次函数的单调性

4.课堂作业:书 P32、 2、3、4、5 题。

四、小结: 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式 的符号。 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; →计 算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简→判断差的符号→下结论。 五、作业:P39、1—3 题 课后记:

课题: 单调性与最大(小)值 (二) 课 型:新授课 教学目标: 更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方 法,理解函数的最大(小)值及其几何意义. 教学重点:熟练求函数的最大(小)值。 教学难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数 的最大(小)值。 教学过程: 一、复习准备: 1.指出函数 f(x)=ax 2 +bx+c (a>0)的单调区间及单调性,并 进行证明。 2. f(x)=ax 2 +bx+c 的最小值的情况是怎样的? 3.知识回顾:增函数、减函数的定义。 二、讲授新课: 1.教学函数最大(小)值的概念: ① 指出下列函数图象的最高点或最低点,→ 能体现函数值 有什么特征? f ( x) ? ?2 x ? 3 , f ( x) ? ?2 x ? 3 x ?[?1,2] ; f ( x) ? x ? 2 x ? 1 , f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2 2

x ?[?2,2]

② 定义最大值:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;存在 x0∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) ③ 探讨:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value) 的定义.

→ 一些什么方法可以求最大(小)值?(配方法、图象 法、单调法) → 试举例说明方法. 2、 例题讲解:

例 1(学生自学 P30 页例 3)

例 2. (P31 例 4)求函数 y ? 最小值.

2 在区间[2,6] x ?1

上的最大值和

例 3.求函数 y ? x ?

1 ? x 的最大值

探究: y ?

3 的图象与 y ? 3 的关系? x?2 x

(解法一:单调法;

解法二:换元法)

三、巩固练习: 1. 求下列函数的最大值和最小值: (1) y ? 3 ? 2 x ? x , x ?[? 5 , 3 ] ;
2

2 2

(2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 |

2.一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经 理得到一些定价和住房率的数据如右:欲使每天的的营业额 最高,应如何定价?(分析变化规律→建立函数模型→求解 最大值) 房价 住房率 (元) (%) 160 55 140 65 120 75 100 85

3、

求函数 y ? 2 x ?

x ? 1 的最小值.

四、小结: 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与 常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间 上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值. 五、作业:P39 页 A 组 5、B 组 1、2 后记:

课题:奇偶性 课 型:新授课 教学要求:理解奇函数、偶函数的概念及几何意义,能熟练 判别函数的奇偶性。 教学重点:熟练判别函数的奇偶性。 教学难点:理解奇偶性。 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:什么叫增函数、减函数? 2.指出 f(x)=2x 2 -1 的单调区间及单调性。 →变题:|2x 2 - 1|的单调区间 3.对于 f(x)=x、f(x)=x 2 、f(x)=x 3 、f(x)=x 4 ,分别比较 f(x) 与 f(-x)。 二、讲授新课: 1.教学奇函数、偶函数的概念: ①给出两组图象: f ( x) ? x 、 f ( x) ? 1 、 f ( x) ? x ; f ( x) ? x 、 f ( x) ?| x | .
3 2

x

发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数 值方面的特征 ② 定义偶函数:一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有 f (?x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 叫偶函数(even function). ③ 探究:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function)的 定义. (如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ) , 那么函数 f ( x) 叫奇函数。 ④ 讨论:定义域特点?与单调性定义的区别?图象特点? (定义域关于原点对称;整体性)

⑤ 练习: 已知 f(x)是偶函数, 它在 y 轴左边的图像如图所示, 画出它右边的图像。 (假如 f(x)是奇函数呢?) 1. 教学奇偶性判别: 例 1.判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) ? x2 (2) f ( x) ? x
3

x ?[?1, 2]

? x2 x ?1

例 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x4
f ( x) ? 1 x2

(2) f ( x) ? x5

(3) f ( x) ? x ? 1
x

(4)


?1 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ? g ( x) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? 2 ?

(5)

(6) y ?

1? x2 ? x2 ?1

4、教学奇偶性与单调性综合的问题: ①出示例:已知 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,问 f(x)的(-∞,0)上的单调性。 ②找一例子说明判别结果(特例法) → 按定义求单调性, 注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。 (小结:设 →转化→单调应用→奇偶应用→结论) ③变题:已知 f(x)是偶函数,且在[a,b]上是减函数,试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调性,并给出证明。 三、巩固练习: 1、判别下列函数的奇偶性: f(x)=|x+1|+|x-1| 、f(x)= 32 、f(x)=x+ 1 、 f(x)= x 2 、
x

x

1? x

f(x)=x 2 ,x∈[-2,3]

2.设 f(x)=ax 7 +bx+5,已知 f(-7)=-17,求 f(7)的值。

3.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)-g(x)= f(x)、g(x)。

1 ,求 x ?1

4.已知函数 f(x),对任意实数 x、y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 试判别 f(x)的奇偶性。(特值代入)

5.已知 f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上是( )函数,且最 值是 。

四、小结 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常 有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶 性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称, 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,需要学生结 合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. 五、作业 P39 页 A 组 6、B 组 3 后记:

课题:函数的基本性质运用 课 型:练习课 教学目标: 掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶 性) ,能应用函数的基本性质解决一些问题。 教学重点:掌握函数的基本性质。 教学难点:应用性质解决问题。 教学过程: 一、复习准备: 1.讨论:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、 减函数、最大值、最小值? 2.提问:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函 数、最大值、最小值的定义? 二、教学典型习例: 1.函数性质综合题型: ①出示例 1:作出函数 y=x 2 -2|x|-3 的图像,指出单调区 间和单调性。 分析作法: 利用偶函数性质, 先作 y 轴右边的, 再对称作。 →学生作 →口答 → 思考:y=|x 2 -2x-3|的图像的图像如何作?→ ②讨论推广:如何由 f ( x) 的图象,得到 f (| x |) 、 | f ( x) | 的图象? ③出示例 2:已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数, 证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数 分析证法 → 教师板演 → 变式训练

④讨论推广:奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关 系? (偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关 于原点对称的区间上单调性一致) 2. 教学函数性质的应用: ①出示例 :求函数 f(x)=x+ 1 (x>0)的值域。
x

分析: 单调性怎样?值域呢?→小结: 应用单调性求值域。 → 探究:计算机作图与结论推广 ②出示例:某产品单价是 120 元,可销售 80 万件。市场调 查后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万件,写出销售金 额 y(万元)与 x 的函数关系式, 并求当降价多少个元时, 销售 金额最大?最大是多少? 分析:此题的数量关系是怎样的?函数呢?如何求函数 的最大值? 小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关 最大值和最大值问题。

2.基本练习题: 1、判别下列函数的奇偶性:y=
? ? x 2 ? x ( x ? 0) ? ? 2 ? x ? x ( x ? 0) ?

1? x



1? x



y=

(变式训练:f(x)偶函数,当 x>0 时,f(x)=….,则 x<0 时, f(x)=? )

2、求函数 y=x+

2 x ? 1 的值域。

3、判断函数 y= x ? 2 单调区间并证明。
x ?1

(定义法、图象法; 推广:

cx ? d ax ? b

的单调性)

4、讨论 y= 1 ? x 2 在[-1,1]上的单调性。 再讨论符号情况。 )

(思路:先计算差,

三、巩固练习: 2 1.求函数 y= ax ? b 为奇函数的时, b、 所满足的条件。 a、 c (c=0)
x?c

2.已知函数 f(x)=ax 2 +bx+3a+b 为偶函数, 其定义域为[a-1,2a], 求函数值域。

3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,如何 f(2-a)-f(a-3)<0。 求 a 的范围。

4. 求二次函数 f(x)=x 2 -2ax+2 在[2,4]上的最大值与最小值。

四、小结: 本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认 识,综合运用函数性质解题 五、作业 P44 页 A 组 9、10 题 B 组 6 题 后记:

课题:指数与指数幂的运算(一) 课 型:新授课

教学目标: 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概 念及表示方法. 理解根式的概念 教学重点:掌握 n 次方根的求解. 教学难点:理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:正方形面积公式?正方体的体积公式?( a 2 、 a 3 ) 2、回顾初中根式的概念:如果一个数的平方等于 a,那么这 个数叫做 a 的平方根;如果一个数的立方等于 a,那么这个 数叫做 a 的立方根. → 记法:
a,
3

a

二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景: ① 探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入 指数函数的必要性. 实例 1.某市人口平均年增长率为 1.25℅, 1990 年人口数为 a 万,则 x 年后人口数为多少万? 实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次(8 次)

计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进行对折 x 次后,问对折后的面积与厚度? ② 书 P52 问题 1. 国务院发展研究中心在 2000 年分析,我 国未来 20 年 GDP(国内生产总值)年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍? 书 P52 问题 2. 生物死亡后, 体内碳 14 每过 5730 年衰减 一半(半衰期) ,则死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 与死亡时 碳 14 的关系为 P ? ( 1 )
2
t 5730

. 探究该式意义?

③小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问 题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算: ① 复习实例蕴含的概念: (?2) ? 4 , ?2 就叫 4 的平方根;33 ? 27 , 3 就叫 27 的立方根. 探究:(?3)4 ? 81 , ?3 就叫做 81 的?次方根, 依此类推,若 xn ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根. ② 定义 n 次方根: 一般地, xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.( n 若 th root ),其中 n ? 1 , n ? ?? 简记: n a . 例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 ③ 讨论:当 n 为奇数时, n 次方根情况如何? , 例如: 3 27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 , 记: x ? a 当 n 为偶数时, 正数的 n 次方根情况? 例如: (?3)4 ? 81 , 81 的 4 次方根就是 ?3 , 记: ? a 强调:负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0, 即.
2

n

n

n

0 ?0

④ 练习: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ; b3 ? a , 则 a 的 3 次 方根为 . ⑤ 定义根式:像 n a 的式子就叫做根式(radical), 这里 n 叫 做根指数(radical exponent), a 叫做被开方数(radicand). ⑥ 计算 ( 2 3)2 、 4 、 (?2) → 探究: ( n a )n 、 n a n 的意义及结 果? (特殊到一般) 结论: ( n a )n ? a . 当 n 是奇数时, n a n ? a ;当 n 是偶数时,
3 3
n n

n

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

3、例题讲解 (P5O 例题 1) :求下列各式的值
(1)
(4)
3

(?8)3

(2)

(?10) 2

(3)

4

(3 ? ? ) 4

( a ? b) 2

三、巩固练习: 1. 计算或化简:
5

?32 ; 3 a 6

(推广:

np

a mp ? n a m

, a ? 0).

2、 化简:

5?2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2

;2

3 ? 3 1.5 ? 6 12

3、 求值化简:

3

( ? a )3



4

(? 74 );

6

( 3 ? 6 ); ?

2

(a ? b) 2 ( a ? b )

四、小结:

1 . 根 式 的 概 念 : 若
x是a的n次方根,n为奇数时,x= n a ,

n > 1



n ? N*

, 则

n 为偶数时, x ? ? n a ;

2

















?a (a ? 0) n为奇数时,( n a )n , n为偶数时,n a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

五、 作业:书 P59 、 1 题.

六,后记

课题:指数与指数幂的运算(二) 课 型:新授课 教学目标: 使学生正确理解分数指数幂的概念,掌握根式与分数指 数幂的互化,掌握有理数指数幂的运算. 教学重点:有理数指数幂的运算. 教学难点:有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: 什么叫根式? →根式运算性质:( n a )n =?、n a n =?、 a =? 2. 计算下列各式的值: ( 2 ?b )2 ; ( 3 ?5)3 ; 2 34 , 5 a10 , 3 79 二、讲授新课: 1. 教学分数指数幂概念及运算性质:
np mp


3

引 例 : a>0 时 ,
2 2 3

5

a ? (a ) ? a ? a
10 5 2 5 2

10 5



3

a12 ? ?



→ a ??. ② 定义分数指数幂:
a 2 ? (a 3 ) 3 ? a 3
m n

规定 a ③
n

? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1) ; a
n m *

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

am

练 习 : A. 将 下 列 根 式 写 成 分 数 指 数 幂 形 式 : (a ? 0, m, n ? N ?n ? 1) ; 2 35 ; 3 54
2 2 ? 4 ? 5

27 3 ; 6 3; a 2. 55 ; B. 求值 ④ 讨论: 的正分数指数幂? 0 的负分数指数幂?⑤ 指出: 0 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广 到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推 广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质: a ? 0, b ? 0, r, s ? Q a r · a r ? a r ? s ; (a r ) s ? a rs ; (ab) r ? a r a s . 2. 教学例题:

(1)(P51,例 2) 、

解:① ② ③

83 ? (23 ) 3 ? 2
25
? 1 2

2

2

3?

2 3

? 22 ? 4
1 2?( ? ) 2

? (52 )

?

1 2

?5

? 5?1 ?

1 5

1 ( )?5 ? (2?1 )?5 ? 2?1?( ?5) ? 32 2

16 ? 3 2 4?( ? 3 ) 4 ④ ( ) ? ( ) 4 ? ( 2 )?3 ? 27 81 3 3 8

(2)(P51,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式( a 、 >0) 解: a3.
a ? a3 ? a 2 ? a
2
1 3? 1 2

? a2
2 3

7

a2 ? 3 a2 ? a2 ? a 3 ? a
1 a3

2?

? a3
4 1 2

8

a ? a ? a 3 ? a 3 ? (a 3 ) 2 ? a 3

4

3、无理指数幂的教学 3 2 的结果?→定义:无理指数幂.(结合教材 P58 利用逼近的 思想理解无理指数幂意义) 无理数指数幂 a? (a ? 0,?是无理数) 是一个确定的实数.实数指数 幂的运算性质? 三、巩固练习: 1、练习:书 P54 1、2、3 题.

2

2、求值: 27 3 ;

16

?

4 3

;

3 ( ) ?3 ; 5

(

25 ? 3 ) 49

2

3、化简: (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ; (m 4 n8 )16

2

1

1

1

1

5

1

3

4.

1 (2n ?1 ) 2 ? ( ) 2 n ?1 2 计算: n ?2 48

的结果

5. 若 a3 ? 3,

a10 ? 384, 求a3 ? [(

a10 1 n ?3 ) 7 ] 的值 a3

四. 小结: 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运 算性质是一致的.

五、作业:书 P59 2、4 题. 后记:

课题 指数与指数幂的运算(三) 课 型:练习课 教学目标: n 次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式 与分数指数幂的运算. 教学重点:掌握根式与指数幂的运算. 教学难点:准确运用性质进行计算. 教学过程: 一、复习提问: (学生回答,老师板演) 1. 提问:什么叫做根式? 运算性质? 2. 提问:分数指数幂如何定义?运算性质? 3. 基础习题练习: (口答下列基础题) ① n为 时, n xn ?| x |? ?........... ?
?
3

( x ? 0) ( x ? 0)
4

.
6

② 求下列各式的值: 4 x 8 ; 6 a 2b 4

26

;

16 ;

81 ;

6

(?2) 2



15

? 32 ;

二、教学典型例题: 例 1. 52,例 4)计算下列各式(式中字母都是正数) (P (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b3 ) ? (?3a 6 b 6 ) (2) (m
1 4
2 1 1 1 1 5

n )

?

3 8 8

例 2. 52 例 5)计算下列各式 (P (1) ( 3 25 ? (2)
a2 a.3 a2
125) ? 4 25

(a >0)

例 3..已知

1 a2

?a

?

1 2

=3,求下列各式的值: ; (2) a 2 ? a ?2 ; (3)
3 a2 1 a2

(1) a

? a ?1

?a ?a

? ?

3 2 1 2



三、巩固练习: 1. 化简: ( x
1 2

? y ) ? (x ? y ) .

1 2

1 4

1 4

2. 已知 f ( x) ? ? x ,

x1 ? x2 ? 0 ,试求

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 的值

3. 用根式表示 (m 4 n

1

?

2 3)

, 其中 m, n ? 0 .

4. 已知 x+x-1=3,求下列各式的值: (1) x 2 ? x

1

?

1 2

3

, (2) x 2 ? x 2 .

?

3

5. 求值: 25 2 ;

3

2 27 3

;

(

36 2 ) ; 49

3

(

25 ? 2 ) ; 4

3

4

3

81? 9 2

;

2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

6. 已知 x ? a?3 ? b?2 , 求 4 x 2 ? 2a ?3 x ? a ?6 的值.

7.从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 1 升,然后用水填满,再
3

倒出 1 升,又用水填满,这样进行 3 酒精的升数为多少?

5 次,则容器中剩下的纯

四、小结: 1. 熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础.

2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数 指数幂后再计算. 五,作业 化简: (1) ( (2) (3)
9) 3 ( 3 102 ) 2 ? 1002
5

?

2

9

3? 2 2 ? 3? 2 2
a a

a a

后记:



课题: 指数函数及其性质(一) 型:新授课

教学目标: 使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实 生活及其他学科的联系;理解指数函数的的概念和意义,能 画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质. 教学重点:掌握指数函数的的性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指 数函数的性质. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的? 2. 提问:有理指数幂的运算法则可归纳为几条? 二、讲授新课: 1.教学指数函数模型思想及指数函数概念: ① 探究两个实例: A.细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个分裂成 8 个,如此下去,如果 第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细胞个数 y 与次数 x 的函数 关系式是什么? B.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的 残留量是原来的 84%,那么以时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? ② 讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什么?指 数是什么? ③ 定 义 : 一 般 地 , 函 数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫 做 指 数 函 数 (exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. ④讨论:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什么情况 呢?→ 举例:生活中其它指数模型? 2. 教学指数函数的图象和性质: ① 讨论:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究 指数函数性质的内容和方法吗? ② 回顾:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数 的性质.
x

研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性. ③ 作图: 在同一坐标系中画出下列函数图象: y ? ( 1 ) x , y ? 2
x

2

(师生共作→小结作法) ④ 探讨:函数 y ? 2 与 y ? ( 1 ) x 的图象有什么关系?如何由 y ? 2
x

x

2

的图象画出 y ? ( 1 ) x 的图象?根据两个函数的图象的特
2

征,归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为 3 或 1/3 等后? ⑤ 根据图象归纳:指数函数的性质 (书 P56) 3、例题讲解 例 1: 56 例 6)已知指数函数 f ( x) ? a x ( a >0 且 a ≠1) (P 的图象过点(3,π ) ,求 f (0),
f (1), f (?3)的值.

例 2: 56 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (P (1)1.72.5 与 1.73

( 2 ) 0.8?0.1 与 0.8?0.2 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1

例 3:求下列函数的定义域: (1) y ? 2 x?4
4

(2) y ? ( 2 )|x|
3

三、巩固练习: 4、 P58 1、2 题

5、

函数 y ? (a

2

? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 的值为

.

3、 比较大小: a ? 0.8

0.7

, b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 ;

10 , 0.4?2.5 , 2?0.2 , 2.51.6 .

4、探究:在[m,n]上, f ( x) ? a

x

(a ? 0且a ? 1) 值域?

四、小结 1、理解指数函数 y ? a x (a ? 0), 注意a ? 1与0 ? a ? 1两种情况。 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目, 培养数型结合与分类讨论的数学思想 . 五、作业 P59 习题 2.1 后记: A 组第 5、7、8 题

课题:指数函数及其性质(二) 课 型:新授课 教学目标: 熟练掌握指数函数概念、图象、性质;掌握指数形式的 函数定义域、值域,判断其单调性;培养学生数学应用意识
王新敞
奎屯 新疆

教学重点:掌握指数函数的性质及应用. 教学难点:理解指数函数的简单应用模型. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: 指数函数的定义?底数 a 可否为负值?为什么? 为什么不取 a=1?指数函数的图象是 2. 在同一坐标系中, 作 出函数图象的草图: y ? 2 , y ? ( 1 ) x ,y ? 5 ,y ? ( 1 ) x , y ? 10 , y ? ( 1 ) x
x x x

2

5

10

3. 提问:指数函数具有哪些性质? 二、讲授新课: 1.教学指数函数的应用模型: ① 出示例 1:我国人口问题非常突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口.因此,中国的人口 问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口 已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快 增长,实行计划生育成为我国一项基本国策. (Ⅰ)按照上述材料中的 1%的增长率, 2000 年起, 年后 从 x 我国的人口将达到 2000 年的多少倍? (Ⅱ)从 2000 年起到 2020 年我国的人口将达到多少? (师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结: 从特殊到一般的归纳法) ② 练习: 2005 年某镇工业总产值为 100 亿,计划今后每年 平均增长率为 8%, 经过 x 年后的总产值为原来的多少倍? → 变式:多少年后产值能达到 120 亿? ③ 小结指数函数增长模型:原有量 N,平均最长率 p,则经

过时间 x 后的总量 y=? →一般形式: 2. 教学指数形式的函数定义域、值域: ① 讨论:在[m,n]上, f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域? ② 出示例 1. 求下列函数的定义域、值域:y ? 2
x

x

?1; y ? 3

5 x ?1

;

. 讨论方法 → 师生共练 → 小结:方法(单调法、基本 函数法、图象法、观察法)
y ? 0.4

1 x ?1

② 出示例 2. 求函数 y ?

2? x ?

1 2

的定义域和值域. 求值域先从那里开始研

讨论:求定义域如何列式? 究? 3、例题讲解 例 1 求函数 y ? 2 性、奇偶性.

?1 的定义域和值域,并讨论函数的单调 2 ?1
x x

例 2(P57 例 8)截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿, 如果今后,能将人口年平均均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?

例 3、已知函数 y ? 9 x ? 2 ? 3 x ? 2, x ? ?1,2? ,求这个函数的值域

三、巩固练习: 1、P58、3 2、 一片树林中现有木材 30000m3,如果每年增长 5%,经过 x 年树林中有木材 ym3,写出 x,y 间的函数关系式,并利用 图象求约经过多少年,木材可以增加到 40000m3
y ? bx
Y= 3 ? 2 ?1 2 ( ) 与(0.4)2 5

3. 比较下列各组数的大小:

;(

3 0.76 ?0.75 ) 与( 3) . 3

四、小结 本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住 a >1 或 0< a <时 y ? a x 的图象, 在此基础上研究其性质 .本节课还 涉及到指数型函数的应用,形如 y ? ka x (a>0 且 a ≠1). 五、作业 6、 P59、9

7、

设 y1 ? a3 x?1 , y2 ? a ?2 x , 其中 a >0, a ≠1,确定 x 为何值时,

有: ① y1 ? y2 后记: ② y1 > y2



课题:对数与对数运算 (一) 型:新授课

教学目标:

理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数 式与指数式的相互化. 教学重点:掌握对数式与指数式的相互转化. 教学难点:对数概念的理解. 教学过程: 一、复习准备: 1.问题 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭 (1)取 4 次,还有多长?(2)取多少次,还有 0.125 尺? (得到: ( 1 )4 =?, ( 1 ) x =0.125 ? x=?)
王新敞
奎屯 新疆

2

2

2.问题 2:假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每 年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍? ( 得到: (1 ? 8%) =2 ? x=? ) 问题共性:已知底数和幂的值,求指数 怎样求呢?例如: 课本实例由 1.01x ? m 求 x 二、讲授新课: 1. 教学对数的概念: ① 定义:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为 底 N 的对数(logarithm). 记作 x ? log N , 其中 a 叫做对数的底数, 叫做真数 → 探 N 究问题 1、2 的指化对 ② 定 义 : 我 们 通 常 将 以 10 为 底 的 对 数 叫 做 常 用 对 数 (common logarithm) 并把常用对数 log N 简记为 lgN 在科 , 学技术中常使用以无理数 e=2.71828??为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对数, 并把自然对数 log N 简记作 lnN → 认识:lg5 ; lg3.5; ln10; ln3 ③ 讨论: 指数与对数间的关系 ( a ? 0, a ? 1 时,a x ? N ? x ? log N ) 负数与零是否有对数? (原因:在指数式中 N > 0 ) log 1 ? ? , log a ? ? log N g n ④:对数公式 a a ? N , l o a a ? n
x
王新敞
奎屯 新疆

a

王新敞
奎屯

新疆

10

王新敞
奎屯

新疆

e

王新敞
奎屯

新疆

a

a

a

2. 教学指数式与对数式的互化:

① 出示例 1. 将下列指数式写成对数式: 53 ? 125 ; 2?7 ?
3a ? 27 ; 10?2 ? 0.01

1 ; 128

(学生试练 → 订正→ 注意:对数符号的书写,与真 数才能构成整体) ② 出 示 例 2. 将 下 列 对 数 式 写 成 指 数 式 : log 32 ? ?5 ;
1 2

lg0.001=-3; ln100=4.606 (学生试练 → 订正 → 变式: log 3、例题讲解

1 2

32 ? ?

lg0.001=? )

例 1(P63 例 1)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数 式. (1)54=645 (4)log 1 16 ? ?4
2

(2)2?6 ?

1 64

(3)( 1 )m ? 5.73
3

(5)log10 0.01 ? ?2

(6)loge 10 ? 2.303

例 2: 63 例 2)求下列各式中 x 的值 (P (1) 64 x ? ? 2 log
3
? ln e2 ? x
log (2) x 8 ? 6

(3) lg100 ? x

(4)

三、巩固练习: 1. 课本 64 页练习 1、2、3、4 题

2.计算:

log 9 27 ; log3 243 ; log 3 81 ; log (2?
4

3)

(2 ? 3) ; log 3 4 625 .
5

3.求 alog b?log c?log N的值(a,b,c ? R + , 且不等于 1,N>0).
a b c

4.计算 3

log3 5

? 3

log3

1 5

的值.

四. 小结: 对数的定义: ab ? N ? b ? log a N (a >0 且 a ≠1)

1 的对数是零,负数和零没有对数 对数的性质 :
l oaa? g 1 a >0

且 a ≠1

a loga N ? N
五.作业:P74、1、2 后记:

课题:对数与对数运算(二) 课 型:新授课 教学目标: 掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和 过程;能较熟练地运用法则解决问题. 教学重点:运用对数运算性质解决问题 教学难点:对数运算性质的证明方法 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:对数是如何定义的? → 指数式与对数式的互
王新敞
奎屯 新疆

化: a x ? N ? x ? log N 2. 提问:指数幂的运算性质? 二、讲授新课: 1. 教学对数运算性质及推导:
a

① 引例: 由 a a ? a ,如何探讨 log MN 和 log M 、log N 之间的 关系? 设 log M ? p , log N ? q ,由对数的定义可得:M= a p ,N= a q ∴MN= a p a q = a p ? q ∴ log a MN=p+q,即得 log a MN= log a M + log a N
p q p?q
a a a
王新敞
奎屯 新疆

a

a

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

② 探讨:根据上面的证明,能否得出以下式子? 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 M log (MN)= log M +log N ; loga = loga M - loga N ; log M = nlog M
n
a a a

N

a

a

(n ? R )

③ 讨论:自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路? (运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并 利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指 数式化成对数式 ) ④ 运用换底公式推导下列结论: loga bn ? n loga b ; log b ? 1
王新敞
奎屯 新疆

m

m

a

log b a

2. 教学例题: 例 1. 判断下列式子是否正确, a >0 且 a ≠1, >0 且 a ≠ ( x 1, x >0, x > y ) , (1) log a x ? log a y ? log a ( x ? y) (3) log a
x ? log a x ? log a y y

(2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (4) log a xy ? log a x ? log a y (6) log a x ? ? log a 1
x

(5) (log a x)n ? n log a x (7) n log a x ? 1 log a x
n

例 2( P65 例 3 例 4):用 log a x , log a y , log a z 表示出(1) (2)小题,并求出(3)(4)小题的值. 、 (1) log a xy
z
lg 5 100

(2) log a

x2 y
3

8

(3) log z (47 ? 25 )

(4)

三、巩固练习: 1、P681、2、3 3. 设 lg 2 ? a , lg3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log 12 . 变式:已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771, lg6、 求 lg12、 lg 的值.
5

3

3、计算: lg14 ? 2lg 7 ? lg 7 ? lg18 ;
3

lg 243 ; lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 lg1.2 lg 9

.

4. 试求 lg

2

2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 的值

5. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3

a

1 1 1 ? 4b ? 6c ,求证: ? ? c a 2b

四 、小结: 对数运算性质及推导;运用对数运算性质;换底公式. 五、作业:P743、4、5 后记:

课题:对数与对数运算(三) 课 型:新授课 教学目标: 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题,加强数学 应用意识的训练,提高解决应用问题的能力. 教学重点:用对数运算解决实践问题. 教学难点:如何转化为数学问题 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:对数的运算性质及换底公式? 2. 已知 log 2 3 = a, log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 3. 问题:1995 年我国人口总数是 12 亿,如果人口的年自然 增长率控制在 1.25℅, 问哪一年我国人口总数将超过 14 亿? (答案: 12 ? (1 ? 0.0125) ? 14 → 1.0125 ? 7 → x ? lg 7 ? lg 6 ? 12.4 )
x

x

6

lg1.0125

二、讲授新课: 1. 教学对数运算的实践应用: 让学生自己阅读思考 P67~P68 的例 5,例 6 的题目,教师点拨思考: ① 出示例 1 20 世纪 30 年代,查尔斯.里克特制订了一种表 明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等 级, 地震能量越大, 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这 就是我们常说的里氏震级 M,其计算公式为: M ? lg A ? lg A , 其中 A 是被测地震的最大振幅,A 是 “标准地震” 的振幅 (使 用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的 偏差).
0

0

(Ⅰ)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震 仪记录的地震最大振幅是 20,此时标准地震的振幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (Ⅱ)5 级地震给人的振感已比较明显,计算 7.6 级地震 最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍?(精确到 1) ② 分析解答:读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如 何利用对数知识? ③ 出示例 2 当生物死亡后, 它机体内原有的碳 14 会按确定 的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个 时间称为“半衰期” .根据些规律,人们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系.回答下列问题: (Ⅰ)求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P,并 用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学过 的何种函数? (Ⅱ)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该生物 死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指 出是我们所学过的何种函数? (Ⅲ)长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原始量 的 76.7%,试推算古墓的年代? ④分析解答:读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用 思想 ⑤探究训练:讨论展示并分析自己的结果,试分析归纳,能 总结概括得出什么结论? 结论:P 和 t 之间的对应关系是一一对应;P 关于 t 的指 数函数 P ? (5730 1 ) x ;
2

8、 例题选讲 例 1、已知: log18 8 ? a,18 b ? 5, 求 log 36 45 (用含 a,b 的式子表示)

例 2、计算 log 2

1 1 1 ? log 3 ? log 5 25 8 9

例 3,已 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y) 求 log

2

x 的值 y

三、巩固练习: 1. 计算: 51?log 3 ;
0.2

log4 3 ? log9 2 ? log 1 4 32
2

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奎屯

新疆

2. 我国的 GDP 年平均增长率保持为 7.3%,约多少年后我国 的 GDP 在 1999 年的基础上翻两翻?

3 . P68、4 四、小结: 初步建模思想 (审题→设未知数→建立 x 与 y 之间的关系→) ; 用数学结果解释现象 五、作业 P749、11、12 后记:

课题:对数函数及其性质(一) 课 型:新授课 教学目标: 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关 系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的 函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函 数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意 识.用联系的观点分析问题. 教学重点:对数函数的图象和性质 教学难点:对数函数的图象和性质及应用 教学过程: 一、复习准备: 1. 画出 y ? 2 、 y ? ( 1 ) x 的图像,并以这两个函数为例,说说指
x

2

数函数的性质. 2. 根据教材 P73 例,用计算器可以完成下表: 碳 14 的含量 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 P 生物死亡年 数t 讨论:t 与 P 的关系?(对每一个碳 14 的含量 P 的取值, 通过对应关系 t ? log 1 P ,生物死亡年数 t 都有唯一的值与
5730

2

之对应,从而 t 是 P 的函数) 二、讲授新课: 1.教学对数函数的图象和性质:

① 定义:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y=log x 叫做对数 函数(logarithmic function). 自变量是 x; 函数的定义域是(0,+∞) ② 辨析: 对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义, 注意辨别,如: y ? 2log x , y ? log (5x) 都不是对数函数,而只能 称其为对数型函数;对数函数对底数的限制 (a ? 0 ,且 a ? 1) .
a
2 5

③ 探究:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研 究对数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性 质. 研究内容: 定义域、 值域、 特殊点、 单调性、 (小) 最大 值、奇偶性. ④ 练习:同一坐标系中画出下列对数函数的图象
y ? log 0.5 x

y ? log 2 x ;

⑤ 讨论:根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质? 列表归纳:分类 → 图象 → 由图象观察(定义域、值 域、单调性、定点) 引申:图象的分布规律?

2、总结出的表格 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右 边 (2)函数图象都经过 (1,0)点 函数的性质 (1)定义域是(0,+∞)

(2)1 的对数是 0

x (3) 从左往右看, a > (3)当 a >1 时, y ? log a 是 当

1 时, 图象逐渐上升, 增函数,当 当 0< a <1 时,图象逐渐 下降 . (4)当 a >1 时,函数 图象在(1,0)点右边 的纵坐标都大于 0,在 (1,0)点左边的纵坐 标都小于 0. 当 0< a <1 时,图象正好相反,在 (1,0)点右边的纵坐 标都小于 0,在(1,0) 点左边的纵坐标都大于 0. 2. 教学例题 例 1: (P71 例 7)求下列函数的定义域 (1) y ? log a x 2 (2) y ? log a (4 ? x) ≠1) (4)当 a >1 时
x >1,则 log a x >0

0< a <1 时,y ? log a x 是减函数.

0< x <1, log a x <0 当 0< a <1 时
x >1,则 log a x <0

0< x <1, log a x <0

( a >0 且 a

例 2. (P72 例 8)比较下列各组数中的两个值大小 (1) log 2 3.4 , (2) log0.3 1.8 , (3) loga 5.1, 三.巩固练习: 1、P73 页 3、4 题
log 2 8.5

log 0.3 2.7 log a 5.9

( a >0,且 a ≠1)

2.求下列函数的定义域:

y ? log0.2 (? x ? 6) ; y ? 3 log 2 x

.

3.比较下列各题中两个数值的大小: log 2 3和log 2 3.5 ; log0.3 4和log0.2 0.7 ;log0.7 1.6和log0.7 1.8 ;

log2 3和log3 2 .

4. 已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: log 3 m< log 3 n ; log 0.3 m> log 0.3 n ; log a m> log a n (a> 1)

5. 探究:求定义域 y ?

log 2 (3x ? 5) ; y ? log0.5 4 x ? 3 .

四.小结: 对数函数的概念、图象和性质; 求定义域;利用单调性比大 小. 五、作业 P74 页 7、8、10 后记:

课题: 对数函数及其性质(二) 课 型:新授课 教学目标: 了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对 数函数的图象和性质;学习反函数的概念,理解对数函数和 指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的 两个函数的图象性质. 教学重点与难点:理解反函数的概念 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图象和性质? 2. 比较两个对数的大小: log10 7 与 log10 12 ; log 0.7 与 log0.5 0.8 3. 求函数的定义域 y ? ?1 ? log3 2 x??1 ; y ? loga (2x ? 8) 二、讲授新课: 1. 教学对数函数模型思想及应用: ① 出示例题(P72 例 9) :溶液酸碱度的测量问题:溶液酸 碱度 pH 的计算公式 pH ? ? lg[ H ? ] ,其中 [ H ? ] 表示溶液中氢离子
0.5

的浓度,单位是摩尔/升. (Ⅰ)分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系? (Ⅱ)纯净水 [ H ? ] ? 10?7 摩尔/升,计算纯净水的酸碱度. ②讨论:抽象出的函数模型? 如何应用函数模型解决问 题? → 强调数学应用思想 2.反函数的教学: ① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变 量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函 数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function) ② 探究:如何由 y ? 2 x 求出 x? ③ 分析:函数 x ? log2 y 由 y ? 2 x 解出,是把指数函数 y ? 2 x 中的自 变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用 x 表示 自变量,y 表示函数,即写为 y ? log 2 x . 那么我们就说指数函数 y ? 2 x 与对数函数 y ? log 2 x 互为反 函数 ④ 在同一平面直角坐标系中, 画出指数函数 y ? 2 x 及其反函数 y ? log 2 x 图象,发现什么性质? ⑤ 分析:取 y ? 2 x 图象上的几个点,说出它们关于直线 y ? x 的 对称点的坐标,并判断它们是否在 y ? log 2 x 的图象上,为什 么? ⑥ 探究:如果 P0 ( x0 , y0 ) 在函数 y ? 2 x 的图象上,那么 P0 关于直 线 y ? x 的对称点在函数 y ? log 2 x 的图象上吗,为什么? 由上述过程可以得到什么结论?(互为反函数的两个函数 的图象关于直线 y ? x 对称)

3、例题讲解 例 1、求下列函数的反函数 (1) y ? 5x (2) y ? log 0.5 x

例 2、求函数 log 1 ( x 2 ? 6 x ? 17) 的定义域、值域和单调区间
2

三、巩固练习: 1 练习:求下列函数的反函数: y ? 3 ; y ? log x (师生共练 → 小结步骤:解 x ;习惯表示;定义域)
x
6

2.求下列函数的反函数: y= ( ≠1,x>0)

2) x (x∈R);

y= log a

x 2

(a>0,a

3. 己知函数 f ( x) ? a x ? k 的图象过点 (1, 其反函数 y ? 3) 的图象过(2,0)点,求 f ? x ? 的表达式.

f -1 ? x ?

4.教材 P75、B 组 1、2

四、小结: 函数模型应用思想;反函数概念;阅读 P73 材料 五、作业 P74 页、9、12 后记:

课题 :幂函数 课 型:新授课 教学目标: 通过具体实例了解幂函数的图象和性质,体会幂函数的 变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 教学重点:从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括其性质. 教学过程: 一、新课引入: (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 ,这里 S 是 a 的函数; (2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 ,这里 a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a 3 ,这里 V 是 a 的函数; ( 4 ) 某 人 ts 内 骑 车 行 进 了 1 km , 则 他 骑 车 的 平 均 速 度 v ? t ?1km/ s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数. 观察上述五个函数,有什么共同特征?(指数定,底变) 二、讲授新课: 1、教学幂函数的图象与性质 ① 给出定义:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数, 其中 ? 为常数. ② 练:判断在函数 y ? 1 , y ? 2x , y ? x
2 3

1

x

? x, y ? 1 中,哪几个函数是幂

函数?

③ 作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ; (5) y ? x 3 . ④ 引导学生观察图象,归纳概括幂函数的的性质及图象变 化规律: (Ⅰ)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过 点(1,1) ; (Ⅱ) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上 是增函数.特别地,当 ? ? 1时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象上凸; (Ⅲ)? ? 0 时, 幂函数的图象在区间 (0,??) 是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋 原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴 半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无 地逼近 x 轴正半轴. 上 向 正 限

1

2、教学例题: 例 1(P78 例 1) .证明幂函数 f ( x) ? 证:任取 x1 , x2 ?[0, ??), 且x 1 < x2 则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x2

x在[0, ??] 上是增函数

= = 因 x1 ? x2 <0, 所以 f ( x1 ) ?

( x 1 ? x2 )( x 1 ? x2 ) x 1 ? x2

x 1 ? x2 x 1 ? x2

x 1 ? x2

>0

f ( x2 ) ,即 f ( x) ? x在[0, ? ?] 上是增函数.

例 2. 比较大小: (a ? 1)1.5 与 a1.5 ; (2 ? a2 ) 3 与 2 ;1.1 2 与 0.9 2 . 、

?

2

?

2 3

?

1

?

1

三、巩固练习: 1、论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据 图象说明函数的单调性.
2

2. 比较下列各题中幂值的大小: 2.3 与 2.4 ; 0.31 与 0.35 ;
( 2)
? 3 2

3 4

3 4

6 5

6 5

与(

3)

?

3 2

.

四、小结: 提问方式 :

(1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎 样描述的? (2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗? 五、作业 P79 页 1、2、3 题 六、课后记:

课题:基本初等函数习题课 课 型:复习课 教学要求: 掌握指数函数、对数函数的概念,会作指数函数、对数 函数的图象, 并能根据图象说出指数函数、 对数函数的性质, 了解五个幂函数的图象及性质. 教学重点:指数函数的图象和性质. 教学难点:指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质. 2. 求 下 列 函 数 的 定 义 域 :
y ? log a (1 ? x)2 (a ? 0, 且a ? 1)

y ?8

1 2 x ?1



?1? y ? 1? ? ? ? 2?

x



log log 3. 比较下列各组中两个值的大小: 6 7与 log 7 6 ; 3 ?与 log 2 0.8 ;

1.012.7 与1.013.5

二、典型例题: 例 1:已知 log54 27 = a ,54b=3,用 a, b表示 log108 81 的值 解法 1:由 54b =3 得 log54 3 =b ∴ log108 81=
log 54 81 = log54 27 ? log54 3 ? a ? b ? a ? b log 54 108 log 54 2 ? 1 2 ? log 54 27 2 ? a

解法 2:由 log54 27 ? a 得 54 ? 27 设 x ? log108 81, 则108x ? 81 所以 (542 ? 27?1 ) x ? 3 ? 27 即: (542 ? 54? a ) x ? 54b ? 54a 所以 542 x?ax ? 54a ?b ,即2 x ? ax ? a ? b 因此得: x ? a ? b
2?a

例 2、函数 y ?

log 1 x ? 2 的定义域为
2

.

例 3、函数 y ? ( 1 ) x ?3 x?2 的单调区间为
2

2

. 的奇偶性

例 4、已知函数 f ( x) ? log a 1 ? x (a ? 0且a ? 1) .判断 f (x)
1? x

并予以证明.

例 5、按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r ,设本利和为 y 元,存期为 x ,写出本利和 y 随存期 x 变化 的函数解析式. 如果存入本金 1000 元, 每期利率为 2.25%, 试计算 5 期后的本利和是多少(精确到 1 元)?(复利是 一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起 算做本金,再计算下一期的利息. ) (小结:掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性 质,会用函数性质解决一些简单的应用问题. )

三、 巩固练习: 1.函数 y ? log (?4x ? 5) 的定义域为
3

.,值域为

.

2. 函数 y ? 2 ? x ?3 x?2 的单调区间为
2

.

3. 若点 (2, 1 ) 既在函数 y ? 2 ax?b 的图象上,又在它的反函数的图
4

象上,则 a =______, b =_______

4. 函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点

.

5. 计算 0.064

?

1 3

? ? ?? ?

4? 3 ? ? ?? 2 ? 5?

0

?

?

?

4 3

1

? 16 ?0.75 ? 0.01 2 ?

.

6. 求下列函数的值域:
y?5
1 2? x

;

?1? y?? ? ?3?

1? x

;

?1? y ? ? ? ?1 ?2?

x

;

y ? 1? 2x

四、小结 本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能 力 五、课后作业: 教材 P82 复习参考题 A 组 1——8 题 课后记:

课题:方程的根与函数的零点 课 型:新授课

教学目标 1.理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点 与相应方程要的关系,掌握零点存在的判定条件. 2.通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函 数值之积的特点,找到连续函数在某个区间上存在零点的判 断方法.

教学重点、难点 重点: 零点的概念及存在性的判定. 难点: 零点的确定. 学法与教学用具 1. 学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主

学习、思考、交流、讨论和概括,从而完成本节课的教 学目标。 2. 教学用具:投影仪。

教学过程 (一)创设情景,揭示课题 1、提出问题:一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根与 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的 二次函数的图象: (用投影仪给出) ①方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ②方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 ③方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3
2 2

1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根 与图象和 x 轴交点坐标的关系,引出零点的概念.

生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出 结论,并进行交流. 师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又 怎样? (二) 互动交流 研讨新知

函数零点的概念: 对于函数 y ? 数y?
f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函

f ( x)( x ? D) 的零点.

函数零点的意义: 函数 y ?
f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数

y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标.

即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ?
? 函数 y ? f (x) 有零点.
f (x) 的图象与 x 轴有交点

函数零点的求法: 求函数 y ?
f (x) 的零点:

①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它

与函数 y ? 零点.

f (x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出

1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中 的思想方法. 生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的 意义探索其求法: ①代数法; ②几何法. 2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况, 并进行交流,总结概括形成结论. 二次函数的零点: 二次函数
y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) .

(1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函 数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2) △=0, 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根 (二重根) , 二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零 点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图 象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 3.零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象:

① 在区间 [?2,1] 上有零点______;
f (?2) ? _______, f (1) ? _______,

. f (?2) · f (1) _____0(<或>=) ② 在区间 [2,4] 上有零点______; . f (2) · f (4) ____0(<或>=) (Ⅱ)观察下面函数 y ?
f (x) 的图象

① 在区间 [a, b] 上______(有/无)零点; . f (a) · f (b) _____0(<或>=) ② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; . f (b) · f (c) _____0(<或>=) ③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; . f (c) · f (d ) _____0(<或>=) 由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间 上是否存在零点? 4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考. 师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的 函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系. 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零 点存在的条件,并进行交流、评析.

师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条 件的作用. (三) 、巩固深化,发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题 例1. 求函数 f(x)= ? x 2 ? 2x ? 3 的零点个数。 问题: (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? (2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数 的单调性具有什么特性? 例 2.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图 象. 师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以 借助计算机或计算器来画函数的图象,结合图象对函数 有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图 象确定零点所在的区间,然后利用函数单调性判断零点 的个数. 2.P88 页练习第二题的(1)(2)小题 、 (四) 、归纳整理,整体认识 1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些, 所涉及

到的主要数学思想又有哪些; 2. 在本节课的学习过程中, 还有哪些不太明白的地

方,请向老师提出。 (五) 、布置作业 P88 页练习第二题的(3)(4)小题。 、 课后记:

课题:用二分法求方程的近似解(1) 课 型:新授课

教学目标 理解二分法求解方程的近似解的思想方法,会用二分法 求解具体方程的近似解;体会程序化解决问题的思想,为算 法的学习作准备。 教学重点、难点 重点:用二分法求解函数 f(x)的零点近似值的步骤。 难点:为何由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值 为 a(或 b)? 教学设想 (一) 、创设情景,揭示课题 提出问题: (1)一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可 以用来求解放程 ㏑ x+2x-6=0 的根;联系函数的零点与相 应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求她的根呢? (2)通过前面一节课的学习,函数 f(x)=㏑ x+2x-6

在区间内有零点;进一步的问题是,如何找到这个零点呢? (二) 、研讨新知 一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量 的缩小,那么在一定的精确度的要求下,我们可以得到零点 的近似值;为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小 零点所在的范围。 取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f(2.5)≈- 0.084,因为 f(2.5)*f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内; 再取区间 (2.5, 的中点 2.75, 3) 用计算器算得 f(2.75) ≈0.512,因为 f(2.75)*f(2.5)<0,所以零点在(2.5,2.75) 内; 由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)越来越小,所 , , 以零点所在范围确实越来越小了;重复上述步骤,那么零点 所在范围会越来越小,这样在有限次重复相同的步骤后,在 一定的精确度下,将所得到的零点所在区间上任意的一点作 为零点的近似值,特别地可以将区间的端点作为零点的近似 值。例如,当精确度为 0.01 时,由于∣2.5390625-2.53125 ∣=0.0078125<0.01,所以我们可以将 x=2.54 作为函数 f(x)=㏑ x+2x-6 零点的近似值,即方程㏑ x+2x-6=0 近 似值。 这种求零点近似值的方法叫做二分法。 1.师:引导学生仔细体会上边的这段文字,结合课本

上的相关部分,感悟其中的思想方法. 生:认真理解二分法的函数思想,根据课本上二分法的 一般步骤,探索求法。 2.为什么由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a (或 b)? 先由学生思考几分钟,然后作如下说明: 设函数零点为 x0,则 a<x0<b,则: 0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0; 由于︱a - b ︳< ? ,所以 ︱x0 - a ︳<b-a< ? ,︱x0 - b ︳<∣ a-b∣ <? , 即 a 或 b 作为零点 x0 的近似值都达到了给定的精确 度? 。 ㈢、巩固深化,发展思维 1. 学生在老师引导启发下完成下面的例题
x

例 2. 借助计算器用二分法求方程 2 +3x=7 的近似 解(精确到 0.01) 问题:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的? 引导学生在方程右边的常数移到左边,把左边的式子令 为 f(x),则原方程的解就是 f(x)的零点。借助计算机或计 算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后 利用二分法求解.

(四) 、归纳整理,整体认识 在师生的互动中,让学生了解或体会下列问题: (1) (2) (3) 本节我们学过哪些知识内容? 你认为学习“二分法”有什么意义? 在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的

地方? (五) 、布置作业 P92 习题 3.1A 组第 4 题,第 5 题。 课后记:

课题:用二分法求方程的近似解(2) 课 型:新授课

教学目标 继续了解函数的零点与对应方程根的联系,理解在函数 的零点两侧函数值乘积小于 0 这一结论的实质;通过探究、 思考,培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能 力。 教学重点 “在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解.

教学难点 “在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解. 教具准备 多媒体课件、投影仪. 教学过程 一、创设情景,引入新课 师:观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象(如下图) , 我们发现函数 f(x)=x2-2x-3 在区间[-2,1]上有零点. 计算 f(-2)与 f(1)的乘积,你能发现这个乘积有什么特 点?在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢?

引导学生探究,可以发现,在区间[-2,1]的端点 上,f(-2)>0, f(1)<0,即 f(-2) ·f(1)<0,函数 f(x)=x2-2x- 3 在区间(-2,1)内有零点 x=-1,它是方程 x2-2x-3=0 的一个根.同样,在区间[2,4]的端点上,f(2)<0,f (4)>0,即 f(2) ·f(4)<0,函数 f(x)=x2-2x-3 在 (2,4)内有零点 x=3,它是方程 x2-2x-3=0 的另一个根. 我们能从二次函数的图象看到零点的性质: 1.二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二

重零点) ,函数值变号. 例如,函数 y=x2-x-6 的图象在零点-2 的左边时,函 数值取正号,当它通过第一个零点-2 时,函数值由正变负, 再通过第二个零点 3 时,函数值又由负变正. 2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 师: 对任意函数, 结论也成立吗?同学们可以任意画几个 函数图象,观察图象,看看是否得出同样的结论. 二、讲解新课 1.零点的性质 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线,并且有 f(a) · f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在 c∈(a,b) ,使得 f(c)= 0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 求方程 f(x)=0 的实数根,就是确定函数 y=f(x)的零 点.一般地,对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0 来说, 我们可以将它与函数 y=f(x)联系起来,利用函数的性质找 出零点,从而求出方程的根. 2.应用举例 【例 1】 教科书 P88 例 1. 本例是考查函数零点的个数.通过它要让学生认识到函 数的图象及其基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中

的重要作用. (1)函数 f(x)=lnx+2x-6 的图象可以让学生利用计 算器或计算机画出.通过观察教科书上的图 3.1-3, 发现函数 的图象与 x 轴有一个交点, 从而对函数有一个零点形成直观 的认识. (2)教科书上的表 3-1,可以让学生用计算器或计算 机得出,使学生通过动手实践获得对表 3-1 的认同感.通过 观察表 3-1,结合图象 3.1-3,不难得出函数的一个零点在 区间(2,3)内. (3)要说明函数仅有一个零点,除上述理由外,还必 须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增(减)函数的定 义证明函数在(0,+∞)上是增函数,也可以由 g(x)=lnx、 h(x)=2x-6 在(0,+∞)上是增函数,说明函数 f(x)=g (x)+h(x)在(0,+∞)上是增函数. 【例 2】 已知函数 f(x)=ax2+bx+1 具有以下性质: ①对任意实数 x1≠x2, f x1) (x2) 满足 x1+x2=2; 且( =f 时, ②对任意 x1、 2∈ x (1, +∞) 总有 f x1 ? x2 ) , ( >
2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) . 2

则方程 ax2+bx+1=0 根的情况是 A.无实数根 C.有两个异号实根 根





B.有两个不等正根 D. 有 两 个 相 等 正

方法探究: (1)本题由条件①,知函数 f(x)的对称轴

为 x=1;由条件②,知函数 f(x)是凸函数,即 a<0;再由 函数 f(x)的表达式,知 f(x)的图象过点(0,1).根据这 三点,可画出函数 f(x)的草图,如下图,发现函数 f(x) 与 x 轴交点的位置,可知 f(x)=0 有两个异号实根,故应选 C.

(2)由条件②,知函数 f(x)的图象开口向下,即 a <0.又由 x1x2= 1 <0,可知 f(x)=0 有两个异号实根,故应
a

选 C. 方法技巧:解析(2)的求解过程明显比解析(1)简捷, 但却不如解析(1)直观,用数形结合思想解题可以使问题 变得直观清晰,便于理解.但不难发现,如果解析(1)中的 三个函数语言之中有 1 个没有转化(或错误地转化)为图形 语言,那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题,要注意 由数到形,由形到数转化过程的等价性. 【例 3】 研究方程|x2-2x-3|=a(a≥0)的不同实根的 个数. 方法探究:纯粹从解方程角度来考虑,必须研究两个方 程, 讨论相当麻烦.从函数图象角度分析, 只需研究函数 y=|x2 -2x-3|与 y=a 的图象的交点的个数. 解:设 y=|x2-2x-3|和 y=a,利用 Excel、图形计算器或

其他画图软件,分别作出这两个函数的图象,它们的交点的 个数,即为所给方程实根的个数.如下图,当 a=0 或 a>4 时, 有两个实根;当 a=4 时,有三个实根;当 0<a<4 时,有四 个实根.

方法技巧:有关实根个数的题目,通常都采用数形结合 思想.做这类题目,必须遵循两个步骤:一是构造两个熟悉的 函数,二是画出图象,关键点画图要准确. 三、课堂练习 教科书 P88 练习题 1.(1) (2)

四、课堂小结 1.本节学习的数学知识: 零点的性质:在函数的零点两侧函数值乘积小于 0;零 点的确定. 2.本节学习的数学方法: 归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想. 五、布置作业 教科书 P92 习题 3.1 补充题: 1.定义在区间[-c,c]上的奇函数 f(x)的图象如下 1、2、3.

图所示,令 g(x)=af(x)+b,则下列关于函数 g(x)的叙 述正确的是

A.若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称 B.若 a=-1,-2<b<0,则函数 g(x)有大于 2 的零点 C.若 a≠0,b=2,则函数 g(x)有两个零点 D.若 a≥1,b<2,则函数 g(x)有三个零点 2.方程 x2-2mx+m2-1=0 的两根都在(-2,4)内,则 实数 m 的取值范围为________. 3.已知二次函数 f(x)=x2+2(p-2)x+3p,若在区间[0, 1]内至少存在一个实数 c,使得 f(c)>0,则实数 p 的取 值范围是________. 课后记:

课题:几类不同增长的函数模型 课 型:新授课

教学目标: 结合实例体会直线上升、指数爆炸、 对数增长等不同增长 的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 教学重点、难点: 1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型,比较常数函

数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合 实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增 长的含义. 2.教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题.

学法与教学用具: 1. 学法:学生通过阅读教材,动手画图,自主学习、思 考,并相互讨论,进行探索. 2.教学用具:多媒体. 教学过程: (一)引入实例,创设情景. 教师引导学生阅读例 1,分析其中的数量关系,思考应当 选择怎样的函数模型来描述;由学生自己根据数量关系,归 纳概括出相应的函数模型,写出每个方案的函数解析式,教 师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. (二)互动交流,探求新知.

1. 观察数据,体会模型. 教师引导学生观察例 1 表格中三种方案的数量变化情况, 体会三种函数的增长差异,说出自己的发现,并进行交流. 2. 作出图象,描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象, 分析 三种方案的不同变化趋势,并进行描述,为方案选择提供依 据. (三)实例运用,巩固提高. 1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素,使学生认识 到要做出正确选择除了考虑每天的收益,还要考虑一段时间 内的总收益. 学生通过自主活动,分析整理数据,并根据其 中的信息做出推理判断,获得累计收益并给出本例的完整解 答,然后全班进行交流. 2. 教师引导学生分析例 2 中三种函数的不同增长情况对 于奖励模型的影响,使学生明确问题的实质就是比较三个函 数的增长情况,进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛 应用,体会它们的增长差异. 3.教师引导学生分析得出:要对每一个奖励模型的奖金 总额是否超出 5 万元, 以及奖励比例是否超过 25%进行分析, 才能做出正确选择,学会对数据的特点与作用进行分析、判 断。 4.教师引导学生利用解析式,结合图象,对例 2 的三个

模型的增长情况进行分析比较,写出完整的解答过程. 进一 步认识三个函数模型的增长差异,并掌握解答的规范要求. 5.教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析,探究
n n 幂函数 y ? x( n >0) 指数函数 y ? a( a >1) 对数函数 y ? loga x 、 、

( a >1)在区间(0,+∞)上的增长差异,并从函数的性质 上进行研究、论证,同学之间进行交流总结,形成结论性报 告. 教师对学生的结论进行评析,借助信息技术手段进行验 证演示. 6. 课堂练习 教材 P98 练习 1、2,并由学生演示,进行讲评。 (四)归纳总结,提升认识. 教师通过计算机作图进行总结,使学生认识直线上升、 指 数爆炸、对数增长等不同函数模型的含义及其差异,认识数 学与现实生活、与其他学科的密切联系,从而体会数学的实 用价值和内在变化规律. (五)布置作业 教材 P107 练习第 2 题 收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、 指数函 数、对数函数的实例,对它们的增长速度进行比较,了解函 数模型的广泛应用,并思考。有时同一个实际问题可以建立 多个函数模型,在具体应用函数模型时,应该怎样选用合理 的函数模型.

课后记:

课题: 函数模型的应用实例(Ⅰ) 课 型:新授课

教学目标: 能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用 一次函数、二次函数模型解决实际问题. 教学重点与难点: 1.教学重点:运用一次函数、二次函数模型解决一些实 际问题. 2. 教学难点:将实际问题转变为数学模型. 学法与教学用具 1. 学法:学生自主阅读教材,采用尝试、讨论方式进行 探究. 2. 教学用具:多媒体 教学过程

(一)创设情景,揭示课题 引例: 大约在一千五百年前, 大数学家孙子在 《孙子算经》 中记载了这样的一道题: “今有雏兔同笼,上有三十五头, 下有九十四足,问雏兔各几何?”这四句的意思就是:有若 干只有几只鸡和兔?你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同 笼”问题的吗?你有什么更好的方法?老师介绍孙子的大胆 解法:他假设砍去每只鸡和兔一半的脚,则每只鸡和兔就变 成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样, “独脚鸡”和“双脚兔” 脚的数量与它们头的数量之差,就是兔子数,即:47-35= 12;鸡数就是:35-12=23. 比例激发学生学习兴趣,增强其求知欲望. 可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题. (二)结合实例,探求新知 例 1. 某列火车众北京西站开往石家庄,全程 277km,火 车出发 10min 开出 13km 后,以 120km/h 匀速行驶. 试写出 火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式,并 求火车离开北京 2h 内行驶的路程. 探索: 1)本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范围怎样; 2)所涉及的变量的关系如何? 3)写出本例的解答过程. 老师提示:路程 S 和自变量 t 的取值范围(即函数的定义

域) ,注意 t 的实际意义. 学生独立思考,完成解答,并相互讨论、交流、评析. 例 2.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价 20 元,茶 杯每只定价 5 元,该商店制定了两种优惠办法: 1)本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描 述? 2)本例涉及到几个函数模型? 3)如何理解“更省钱?” ; 4)写出具体的解答过程. 在学生自主思考, 相互讨论完成本例题解答之后, 老师小 结:通过以上两例,数学模型是用数学语言模拟现实的一种 模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出 来,并用数学语言来表达,这一过程称为建模,是解应用题 的关键。数学模型可采用各种形式,如方程(组) ,函数解 析式,图形与网络等 . 课堂练习 1 某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租

为 20 元,每天都客满. 公司欲提高档次,并提高租金,如果 每间客房日增加 2 元, 客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑 其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金 总收入最高? 引导学生探索过程如下: 1)本例涉及到哪些数量关系?

2)应如何选取变量,其取值范围又如何? 3)应当选取何种函数模型来描述变量的关系? 4) “总收入最高”的数学含义如何理解? 根据老师的引导启发,学生自主,建立恰当的函数模型, 进行解答,然后交流、进行评析. [略解:] 设客房日租金每间提高 2 x 元,则每天客房出租数为 300 -10 x ,由 x >0,且 300-10 x >0 得:0< x <30 设客房租金总上收入 y 元,则有:
y =(20+2 x )(300-10 x )

=-20( x -10)2 + 8000(0< x <30) 由二次函数性质可知当 x =10 时, ymax =8000. 所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时,客户 租金总收入最高,为每天 8000 元. 课堂练习 2 要建一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无

盖水池, 如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,试求应当怎样设计,才能使水池总造价最低?并求此最 低造价. (三)归纳整理,发展思维. 引导学生共同小结,归纳一般的应用题的求解方法步骤: 1) 合理迭取变量,建立实际问题中的变量之间的函数

关系,从而将实际问题转化为

函数模型问题: 2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答; 3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解; 4)在将实际问题向数学问题的转化过程中,能画图的要 画图,可借助于图形的直观 性,研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时,注意实际问 题对变量范围的限制. (四)布置作业 作业:教材 P107 习题 3.2(A 组)第 3 、4 题:

课后记:

课题: 函数模型的应用实例(Ⅱ) 课 型:新授课

教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际 问题, 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方 法,对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、 教学重点 重点:利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解 决实际问题. 难点:将实际问题转化为数学模型,并对给定的函数模 型进行简单的分析评价. 三、 学法与教学用具 1. 学法:自主学习和尝试,互动式讨论. 2. 教学用具:多媒体 四、 教学设想 (一)创设情景,揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定 的,但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立. 对 于已给定数学模型的问题,我们要对所确定的数学模型进行 分析评价,验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. (二)实例尝试,探求新知 例 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系

如图所示. 1)写出速度 v 关于时间 t 的函数解析式; 2)写出汽车行驶路程 y 关于时间 t 的函数关系式,并作图 象; 3)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; 4)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数 为 2004km,试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s 与 时间 t 的函数解析式,并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的, 需要利用问题中的数据 及其蕴含的关系建立数学模型,此例分段函数模型刻画实际 问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题, 把握函数 模型的特征. 注意培养学生的读图能力, 让学生懂得图象是函数对应关 系的一种重要表现形式. 例 2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人 口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据. 早 在 1798, 英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增 长模型:
y ? y0 e rt

其中 t 表示经过的时间,y0 表示 t ? 0 时的人口数,r 表示人口的 年均增长率.

下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 年份 人数 年份 人数 1950 1951 1952 1953 1954

55196 56300 57482 58796 60266 1955 1956 1957 1958 1959

61456 62828 64563 65994 67207

1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率(精确到 0.0001) ,用马尔萨斯人口增长模型 建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型 与实际人口数据是否相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将 达到 13 亿? 探索以下问题: 1)本例中所涉及的数量有哪些? 2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的, 确定这种模型需要几个因素? 3)根据表中数据如何确定函数模型? 4)对于所确定的函数模型怎样进行检验,根据检验结果 对函数模型又应做出如何评价? 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口 数,用的是何种计算方法? 本例的题型是利用给定的指数函数模型 y ? y0ert 解决实际 问题的一类问题,引导学生认识到确定具体函数模型的关键

是确定两个参数 y0 与 t . 完成数学模型的确定之后, 因为计算较繁, 可以借助计算 器. 在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时, 可 引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象,并由 表中数据作出散点图,通过比较来确定函数模型与人口数据 的吻合程度,并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种 形式. 引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测, 实质上是通过求一个对数值来确定 t 的近似值. 课堂练习:某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的 数量分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件,为了估计以后每个 月的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该 产品的月产量 t 与月份的 x 关系,模拟函数可以选用二次函数
c 或函数 y ? abx ? c(其中 a, b, 为常数 ) .已知 4 月份该产品的产量为

1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明 理由. 探索以下问题: 1) 本例给出两种函数模型, 如何根据已知数据确定它们? 2)如何对所确定的函数模型进行评价? 本例是不同函数的比较问题, 要引导学生利用待定系数法 确定具体函数模型.

引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是 4 月份产量 的吻合程度,这也是对函数模评价的依据. 本例渗透了数学思想方法,要培养学生有意识地运用. 三. 归纳小结,发展思维. 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题 的方法; 1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之 间的关系; 2)利用待定系数法,确定具体函数模型; 3)对所确定的函数模型进行适当的评价; 4)根据实际问题对模型进行适当的修正. 通过以上三题的练习, 师生共同总结出了利用拟合函数解 决实际问题的一般方法,指出函数是描述客观世界变化规律 的重要数学模型,是解决实际问题的重要思想方法. 利用函 数思想解决实际问题的基本过程如下:
收 集 数 据 画 散 点 图 选 择 函 数 模 型 求 函 数 模 型 检 验

符合

实际

不符合实际 从以上各例体会到:根据收集到的数据,作出散点图,然

后通过观察图象,判断问题适用的函数模型,借助计算器或 计算机数据处理功能,利用待定系数法得出具体的函数解析 式,再利用得到的函数模型解决相应的问题,这是函数应用 的一个基本过程. 图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时,经常需要将函数对应关系的一种形式向另一 种转化. (四)布置作业:教材 P107 习题 3.2(A 组)第 6 题.

课题:第三章单元复习 课 型:复习课

教学目标 了解方程的根与函数零点的关系,理解函数零点的性质, 掌握二分法,会用二分法求方程的近似解,了解直线上升、 指数爆炸、对数增长,会进行指数函数、对数函数、幂函数 增长速度的比较,能熟练进行数学建模,解决有关函数实际 应用问题。 教学重点 应用函数模型解决有关实际问题. 教学难点 二分法求方程的近似解,指数函数、对数函数、幂函数 增长速度的比较. 教具准备 多媒体、课时讲义. 教学过程 一、知识回顾 (一)第三章知识点 1.函数的零点,方程的根与函数的零点,零点的性质. 2.二分法,用二分法求函数零点的步骤. 3.几类不同增长的函数模型(直线上升、指数爆炸、对 数增长) ,指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.

4.函数模型,解决实际问题的基本过程. (二)方法总结 1.函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,因此, 求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题. 2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛,求解 此类问题常有三种途径: (1)利用求根公式; (2)利用二次函数的图象; (3)利用根与系数的关系. 无论利用哪种方法,根的判别式都不容忽视,只是由于 二次函数图象的不间断性,有些问题中的判别式已隐含在问 题的处理之中. 3.用二分法求函数零点的一般步骤: 已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个 变号零点 x0 的近似值 x,使它与零点的误差不超过正数ε , 即使得|x-x0|≤ε . (1)在 D 内取一个闭区间[a,b] ? D,使 f(a)与 f (b)异号,即 f(a) ·f(b)<0. 令 a0=a,b0=b. (2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的横坐标 为 x0=a0+ 1 (b0-a0)= 1 (a0+b0).
2 2

计算 f(x0)和 f(a0). 判断:①如果 f(x0)=0,则 x0 就是 f(x)的零点,计 算终止; ②如果 f(a0) ·f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0] 内,令 a1=a0,b1=x0; ③如果 f(a0) ·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0] 内,令 a1=x0,b1=b. (3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的横坐标 为 x1=a1+ 1 (b1-a1)= 1 (a1+b1).
2 2

计算 f(x1)和 f(a1). 判断:①如果 f(x1)=0,则 x1 就是 f(x)的零点,计 算终止; ②如果 f(a1) ·f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1] 上,令 a2=a1,b2=x1. ③如果 f(a1) ·f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1] 上,令 a2=x1,b2=b1. ?? 实施上述步骤,函数的零点总位于区间[an,bn]上, 当|an-bn|<2ε 时,区间[an,bn]的中点 xn= 1 (an+bn).
2

就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y=f (x)的近似零点与真正零点的误差不超过ε .

4.对于直线 y=kx+b(k≥0) ,指数函数 y=m·ax(m>0, a>1) ,对数函数 y=logbx(b>1) , (1)通过实例结合图象初步发现:当自变量变得很大 时,指数函数比一次函数增长得快,一次函数比对数函数增 长得快. (2)通过计算器或计算机得出多组数据结合函数图象 (图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会: 直线上升,其增长量固定不变; 指数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上升所 无法企及的.随着自变量的不断增大, 直线上升与指数增长的 差距越来越大,当自变量很大时,这种差距大得惊人,所以 “指数增长”可以用“指数爆炸”来形容. 对数增长,其增长速度平缓,当自变量不断增大时,其 增长速度小于直线上升. 5.在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1) ,y=logax (a>1) ,y=xn(n>0)都是增函数,但是它们的增长速度不 同,而且不在同一个‘档次’上,随着 x 的增大,y=ax(a >1)的增长速度越来越快,会远远超过 y=xn(n>0)的增 长速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此, 总会存在一个 x0,当 x>x0 时,ax>xn>logax. 6.实际问题的建模方法. (1)认真审题,准确理解题意.

(2)从问题出发,抓准数量关系,恰当引入变量或建 立直角坐标系.运用已有的数学知识和方法, 将数量关系用数 学符号表示出来,建立函数关系式. (3)研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意 义作出解答. 必须说明的是: (1)通过建立函数模型解决实际问题,目的是通过例 题培养同学们应用数学的意识和分析问题的能力. (2)把实际问题用数学语言抽象概括,从数学角度来 反映或近似地反映实际问题所得出的关于实际问题的数学 描述,即为数学模型. 7.建立函数模型,解决实际问题的基本过程:

二、例题讲解 【例 1】 作出函数 y=x3 与 y=3x-1 的图象, 并写出方程 x3=3x-1 的近似解.(精确到 0.1)

解: 函数 y=x3 与 y=3x-1 的图象如下图所示.在两个函数图象 的交点处,函数值相等.

因此,这三个交点的横坐标就是方程 x3=3x-1 的解. 由图象可以知道,方程 x3=3x-1 的解分别在区间(-2, -1)(0,1)和(1,2)内,那么,对于区间(-2,-1) 、 、 (0,1)和(1,2)分别利用二分法就可以求得它精确到 0.1 的近似解为 x1≈-1.8,x2≈0.4,x3≈1.5. 【例 2】 分别就 a=2, 5 和 a= 1 画出函数 y=ax, a= y=logax
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的图象,并求方程 ax=logax 的解的个数. 思路分析:可通过多种途径展示画函数图象的方法. 解:利用 Excel、图形计算器或其他画图软件,可以画 出函数的图象,如下图所示.

根据图象,我们可以知道,当 a=2,a= 5 和 a= 1 时,方
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程 ax=logax 解的个数分别为 0,2,1. 【例 3】 根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作 报告,1999 年上海完成 GDP(国内生产总值)4035 亿元,

2000 年上海市 GDP 预期增长 9%,市委、市政府提出本市常 住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%, GDP 与人口均 若 按这样的速度增长,则要使本市人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍,至少需________年.(按:1999 年本市常住人口 总数约为 1300 万) 思路分析:抓住人均 GDP 这条线索,建立不等式. 解:设需 n 年,由题意得 化简得
(1 ? 9%) n (1 ? 0.08%) n 4035? (1 ? 9%) n 13000000? (1 ? 0.08%)
n



2 ? 4035 , 13000000

≥2,解得 n>8.

答:至少需 9 年. 三、课堂练习 教科书 P112 复习参考题 A 组 1~6 题. 四、课堂小结 1.函数与方程的紧密联系,体现在函数 y=f(x)的零点 与相应方程 f(x)=0 的实数根的联系上. 2.二分法是求方程近似解的常用方法,应掌握用二分法 求方程近似解的一般步骤. 3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.指 数函数、对数函数以及幂函数就是常用的现实世界中不同增 长规律的函数模型. 五、作业布置 教科书 P112 复习参考题 A 组 7,8,9. B 组 1,2

课后记:


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