koorio.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

格致高三数学三模(理)


格致中学
高三年级

二〇一四届高考模拟考试试题
数学(理科) 试卷 (共 4 页)

(测试 120 分钟内完成,总分 150 分,试后交答题卷) 友情提示:昨天,你既然经历了艰苦的学习,今天,你必将赢得可喜的收获! 祝你:诚实守信,沉着冷静,细致踏实,自信自强,去迎接胜利!
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 。把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

x?5 ? 1 已知集合 A ? x x ? 2 , B ? ? ? 0 ? ,则 A ? B ? ?x x ? 1 ? ?
2 若函数 y ? f ( x) 与 y ? ex?2 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? 3 已知角 ? 的终边上的一点的坐标为 P (sin 4 已知 z 和

?

?

. . .

2? 2? , cos ) ,则角 ? 的最小正值为 3 3
.

z?3 都是纯虚数,那么 z ? 1? i

5 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点恰好是双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点,则 p ? _______ . 6 设 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 tan(a2 ? a8 ) 的值为
2

.
2

7 设整数 m 是从不等式 x ? 2 x ? 8 ? 0 的整数解的集合 S 中随机抽取的一个元素,记随机变量 ? ? m ,则

? 的数学期望 E? ?

.

8 对于空间中的三条直线,有以下四个条件:①三条直线两两相交;②三条直线两两平行; ③三条直线共点;④两直线相交,第三条平行于其中一条与另个一条相交. 其中使这三条直线共面的充分条件有 个. . 9 圆 ? ? sin ? ? cos? (? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的圆心的极坐标是 10 已知 F1 , F2 分别是椭圆 则

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 是椭圆上的任意一点, 16 12
.

| PF1 ? PF2 | 的取值范围是 PF1

11 把 实 数 a 、 b 、 c 、 d 排 形 成 如 ?

?a b? ? 的形式,称之为二行二列矩阵.定义矩阵的一种运算 ?c d ?

? a b ? ? x ? ? ax ? by ? ?a b? ? ??? ? ? ? ? , 该运算的几何意义为平面上的点 ? x, y ? 在矩阵 ? ? 的作用下变换成点 ?c d ? ? c d ? ? y ? ? cx ? dy ?

? ax ? by, cx ? dy ? ,若曲线 x2 ? 4xy ? 2 y 2 ? 1 在矩阵 ?
的值为____________.
?

?1 a? 2 2 ? 的作用下变换成曲线 x ? 2 y ? 1 ,则 a ? b b 1 ? ?

12 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? x( x ? N ) , an?2 ? an?1 ? an , 若前 2014 项中恰好含有 667 项为 0 ,
1

则 x 的值为

.

13 在面积为 2 的 ?ABC 中, E , F 分别是 AB , AC 的中点,点 P 在直线 EF 上, 则 PC ? PB ? BC 的最小值是
2

.

14 设函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ??? x ? 2014 ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2014 ,( x ? R ) , 下列四个命题中真命题的序号是 (1) f ( x) 是偶函数; (3) f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; 二、选择题:(每题 5 分,共 20 分) 15 如果 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x ? m x ? n ? 0 的一个根,则圆锥曲线
2

. (2)不等式 f ( x) ? 2013 ? 2014 的解集为 ? ; (4)方程 f (a2 ? 5a ? 6) ? f (a ? 2) 有无数个实根.

x2 y2 ? ? 1 的焦点 m n

坐标是(

)

A. (? 1, 0)

B. (0, ? 1)

C. (? 3, 0)

D. (0, ? 3)

16 某金店用一杆不准确的天平 (两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买 10 g 黄金,售货员先将 5 g 的砝码放 在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将 5 g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡 后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( )

A. 大于 10 g

B. 小于 10 g

C. 大于等于 10 g

D. 小于等于 10 g

17 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有 10 位同学参加,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其他班有 5 位.若 采取抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的 3 位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的 2 位 同学没有被排在一起的概率为 ( )

A.

1 10

B.
x

1 20
x x

C.

1 40

D.

1 120

18 设函数 f ( x) ? a ? b ? c ,其中 c ? a ? 0, c ? b ? 0 . 若 a, b, c 是 ?ABC 的三条边长,则下列结论中正确的是 ①对一切 x ? ? ??,1? 都有 f ? x ? ? 0 ; ②存在 x ? R ,使 xa , b , c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x
?

(

)

③若 ?ABC 为钝角三角形,则存在 x ? ?1, 2? ,使 f ( x) ? 0 .

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

三、解答题:(本大题共 74 分) 19(本小题 12 分) 如图,棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形,且 AB // CD ,
2

?BAD ? 90? , PA ? AD ? DC ? 2 , AB ? 4 .
(1)求证: BC ? PC ; (2)求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值.

P

A D B C

20(本小题 14 分) 设 ?ABC 三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 C ? (1)求角 A 的大小; (2)如图,在 ?ABC 的外角 ?ACD 内取一点 P ,使得 PC ? 2 .过点 P 分别作直线 CA, CD 的垂线 PM , PN , 垂足分别是.设 ?PCA ? ? ,求 PM ? PN 的最大值及此时 ? 的取值.

?
3

, a cos A ? b cos B .

21(本小题 14 分)定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f ( x) |? M 成立, 则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ? x ? 的上界.
?1? ?1? 已知函数 f ? x ? ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? . ?2? ?4?
x x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上是否为有界函数,请说明理 由; (2)若函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

3

23( 本小题 16 分 ) 在平面直角坐标系 xoy 中 , 已知三点 O (0, 0) , A(?1,1) , B (1,1) , 曲线 C 上任意—点

M ( x, y ) 满足: MA ? MB ? 4 ? 1 OM ? (OA ? OB) .
2
(1)求曲线 C 的方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的任意一点,过原点的直线 l 与曲线相交于 M , N 两点,若直线 PM , PN 的斜率都存 在,并记为 k PM , k PN .试探究 k PM ? k PN 的值是否与点 P 及直线 l 有关,并证明你的结论; (3)设曲线 C 与 y 轴交于 D, E 两点,点 Q(0, m) 在线段 DE 上,点 P 在曲线 C 上运动. 若当点 P 的坐标为 (0, 2) 时, QP 取得最小值,求实数 m 的取值范围.

???? ????

???? ? ??? ? ??? ?

??? ?

23(本小题 18 分)已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2013 ,公比 q ? ? 记为 Tn . (1)证明: S2 ? Sn ? S1 ; (2)求 n 为何值时, Tn 取得最大值;

1 ,数列 {an } 前 n 项和记为 Sn ,前 n 项积 2

(3)证明:若数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若所有这些等差数列 的公差按从小到大的顺序依次记为 d1 , d2 ,?, dn ,则数列 {dn } 为等比数列.

参考答案
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) x?5 ? 1 已知集合 A ? x x ? 2 , B ? ? ? 0 ? ,则 A ∩ B = ?x x ? 1 ? ?

?

?

.解析: ?x ? 2 ? x ? 1?. .

x?2 2 若函数 y ? f ( x) 与 y ? e 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ?

解析:由 y ? e

x?2

得 x ? 2 ? ln y ,从而 x ? ln y ? 2 ,所以 y ? e
4

x?2

的反函数 f ( x) ? ln x ? 2,( x ? 0) .

3 已知角 ? 的终边上的一点的坐标为 P (sin 4 已知 z 和

2? 2? , cos ) ,则角 ? 的最小正值为 3 3
.解析: 3i .

. 11? . 6

z?3 都是纯虚数,那么 z ? 1? i

5 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点恰好是双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点,则 p ? _______ .解析: 4 . 6 设 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 tan(a2 ? a8 ) 的值为
2

.解析: ? 3 .
2

7 设整数 m 是从不等式 x ? 2 x ? 8 ? 0 的整数解的集合 S 中随机抽取的一个元素,记随机变量 ? ? m ,则

? 的数学期望 E? ?

.解析: 5 .

8 对于空间中的三条直线,有以下四个条件:①三条直线两两相交;②三条直线两两平行; ③三条直线共点;④两直线相交,第三条平行于其中一条与另个一条相交. 其中使这三条直线共面的充分条件有 个.解析: 1 个. .答案: ( 2 , 3? ) . 2 4

9 圆 ? ? sin ? ? cos? (? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的圆心的极坐标是

解析:极坐标方程两边乘以 ? ,化成直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? y ? x , 所以圆心的直角坐标为 ( ?

1 1 2 3? , ) ,再化成极坐标为 ( , ) . 2 2 2 4

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 是椭圆上的任意一点, 10 已知 F1 , F2 分别是椭圆 16 12


| PF1 ? PF2 | 的取值范围是 PF1
PF1 ? PF2 PF1 ? PF1 ? (8 ? PF1 ) PF1 ?

.答案: [0, 2] .

解析:

PF1 ? (8 ? PF1 ) 8 ? 2? , PF1 PF1

因为 2 ? PF1 ? 6 且函数 y ? 2 ?

8 8 2 8 |? [0, 2] . ? ,故 | 2 ? 在 x ?[2,6] 上单调递增,所以 -2 ? 2 ? PF1 PF1 3 x

11 把 实 数 a 、 b 、 c 、 d 排 形 成 如 ?

?a b? ? 的形式,称之为二行二列矩阵.定义矩阵的一种运算 ?c d ?

? a b ? ? x ? ? ax ? by ? ?a b? ? ??? ? ? ? ? , 该运算的几何意义为平面上的点 ? x, y ? 在矩阵 ? ? 的作用下变换成点 ?c d ? ? c d ? ? y ? ? cx ? dy ?

? ax ? by, cx ? dy ? ,若曲线 x2 ? 4xy ? 2 y 2 ? 1 在矩阵 ?
的值为____________.答案: ?2 .

?1 a? 2 2 ? 的作用下变换成曲线 x ? 2 y ? 1 ,则 a ? b b 1 ? ?

解析:因为点 ( x, y ) 在矩阵的作用下变成点 ( x ? ay, bx ? y) . 所以曲线 x ? 4 xy ? 2 y ? 1在矩阵的作用下变成曲线
2 2

5

? 1 ? 4b ? 2b 2 ? 1 ?a ? ?2 . ( x ? ay) ? 4( x ? ay)(bx ? y) ? 2(bx ? y) ? 1 与 x ? 2 y ? 1比较得 ? ?2a ? 4ab ? 4 ? 4b ? 0 ? ? ? b?0 ? a 2 ? 4a ? 2 ? ?2 ?
2 2 2 2

12 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? x( x ? N ? ) , an?2 ? an?1 ? an , 若前 2014 项中恰好含有 667 项为 0 , 则 x 的值为 . 答案: 8 或 9 .

提示:先试探性的写出一个值,然后分析数列中项的情况,进而做出推理验证. 13 在面积为 2 的 ?ABC 中, E , F 分别是 AB , AC 的中点,点 P 在直线 EF 上, 则 PC ? PB ? BC 的最小值是
2

.答案: 2 3 .
2

解析:问题可转化为:已知 ?PBC 的面积为 1 ,求 PC ? PB ? BC 的最小值. 由题设知, ?PBC 的面积为 1 ,以 B 为原点, BC 所在直线为 x 轴,过点 B 与直线 BC 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,设 C (a, 0), P(t , )(a ? 0) ,则 PB ? ( ?t , ? ), PC ? ( a ? t , ? ), ∴ PC ? PB ? BC ? ?t (a ? t ) ? 当且仅当 t ? 14 设函数 下列四个命题中真命题的序号是 (1) f ( x) 是偶函数; (3) f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; 解析:(1)(2)(4). 提示:特殊到一般,分别画出 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ( x ? R ) 和 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ( x ? R ) 的草图,就可以 类比猜想出 f ( x) 的图像,根据图像数形结合不难得出结论. 二、选择题:(每题 5 分,共 20 分) 15 如果 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x ? m x ? n ? 0 的一个根,则圆锥曲线
2

2 a

??? ?

? 2 ??? a

2 a

??? ? ??? ? ??? ?2

4 a 2 4 3a 2 2 ? a ? ( t ? ) ? 2? ? 0?2 3 , a2 2 a 4

2 4 16 a 时取等号,∴ PC ? PB ? BC 的最小值是 2 3 . ,a ? 2 3

, . (2)不等式 f ( x) ? 2013 ? 2014 的解集为 ? ; (4)方程 f (a2 ? 5a ? 6) ? f (a ? 2) 有无数个实根.

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标 m n

是(

D.

) A. (? 1,

0)

B. (0, ? 1)

C. (? 3, 0)

D. (0, ? 3)

16 某金店用一杆不准确的天平 (两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买 10 g 黄金,售货员先将 5 g 的砝码放 在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将 5 g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡 后又给顾客,则顾客实际所得黄金 (

A

)

A. 大于 10 g

B. 小于 10 g

C. 大于等于 10 g

D. 小于等于 10 g

解答:设两边的臂长分别是 l1 , l2 ,二次称得的黄金重量分别是 m1 , m2 (m1 ? m2 ) .
6

则有杠杆原理得 ?

? 5l1 ? m1l2 ? m1 ? m2 ? 25 ,从而 m1 ? m2 ? 2 m1m2 ? 10 . ?m2l1 ? 5l2

17 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有 10 位同学参加,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其他班有 5 位.若 采取抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的 3 位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的 2 位 同学没有被排在一起的概率为 (

B

)

A.

1 10

B.

1 20

C.

1 40

D.

1 120

10 2 3 解析: 10 位同学总参赛次序 P 10 .一班 位同学恰好排在一起 ,而二班的 位同学没有排在一起的方法数为 3 6 2 3 6 2 2 5 先将一班 3 人捆在一起 P 3 ,与另外 人全排列 P 6 ,二班 位同学不排在一起,采用插空法 P 7 ,即 P 3 P 6 P 7 .
3 6 2 P 1 3 P 6 P 7 . ? 10 P 20 10

∴所求概率为

18 设函数 f ( x) ? a x ? b x ? c x ,其中 c ? a ? 0, c ? b ? 0 . 若 a, b, c 是 ?ABC 的三条边长,则下列结论中正确的是 ①对一切 x ? ? ??,1? 都有 f ? x ? ? 0 ; ②存在 x ? R ,使 xa x , b x , c x 不能构成一个三角形的三条边长; ③若 ?ABC 为钝角三角形,则存在 x ? ?1, 2? ,使 f ( x) ? 0 .
?

(

D

)

P

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③
D

A B C

三、解答题:(本大题共 74 分) 19(本小题 12 分)

如图,棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形,且 AB // CD ,

?BAD ? 90? , PA ? AD ? DC ? 2 , AB ? 4 .
(1)求证: BC ? PC ; (2)求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值. 解析:∵ AP ? 平面 ABCD , ?BAD ? 90 .∴以 A 为原点, AD, AB, AP 分别为 x, y , z 轴,
?

(0,0, 2) . 建立空间直角坐标系.∵ PA ? AD ? DC ? 2 , AB ? 4 .∴ B(0, 4,0), D(2,0,0), C(2, 2,0), P
(1)∴ (2)∵ ∵ 20(本小题 14 分) 设 ?ABC 三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 C ? (1)求角 A 的大小;
7

,所以 BC ? PC . ,设平面 APC 法向量 n ? ( x, y, z ) ,∴ ,∴

?

.

.即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为

10 . 5

?
3

, a cos A ? b cos B .

(2)如图,在 ?ABC 的外角 ?ACD 内取一点 P ,使得 PC ? 2 .过点 P 分别作直线 CA, CD 的垂线 PM , PN , 垂足分别是.设 ?PCA ? ? ,求 PM ? PN 的最大值及此时 ? 的取值. 解析:(1)由 a cos A ? b cos B 及正弦定理可得
A P

sin A cos A ? sin B cos B ,
即 sin 2 A ? sin 2 B ,又 A ? (0, ? ), B ? (0, ? ) , 所以有 A ? B 或 A ? B ? 又因为 C ?
M B α C

?
2

.

N

D

?
3

,得 A ? B ?

2? ? ? ,与 A ? B ? 矛盾,所以 A ? B ,因此 A ? . 3 3 2

(2)由题设,得在 Rt ?PMC 中, PM ? PC ? sin ?PCM ? 2sin ? ; 在 Rt ?PNC 中, PN ? PC ? sin ?PCN ? 2sin[? ? (? ? 所以, PM ? PN ? 2sin ? ? 2sin(? ? 因为 ? ? (0,

?

)] ? 2sin(? ? ) ; 3 3

?

?

) ? 2 3 sin(? ? ) 3 6

?

2? ? ? 5? ? 1 ) ,所以 ? ? ? ( , ) ,从而有 sin(? ? ) ? ( ,1] , 3 6 6 6 6 2

即 2 3 sin(? ? 于是,当 ? ?

?
6
?

) ? ( 3, 2 3] .

?
6

?
2

?? ?

?
3

时,PM+PN PM ? PN 取得最大值 2 3 .

21(本小题 14 分)定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f ( x) |? M 成立, 则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ? x ? 的上界.
?1? ?1? 已知函数 f ? x ? ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? .(1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ?2? ?4?
x x

? ??,0? 上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.
?1? ?1? 解析:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ? ? ? ? ? . ?2? ? 4?
x x

∵ f ( x) 在 ? ??,0 ? 上递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 3 ,即 f ( x) 在 ? ??,1? 的值域为 ? 3, ?? ? , 故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M 成立.∴函数 f ? x ? 在 ? ??,1? 上不是有界函数.
?1? ?1? ?1? (2)由题意知, f ( x) ? 3 在 ?1, ?? ? 上恒成立. ?3 ? f ( x) ? 3 , ?4 ? ? ? ? a ? ? ? ? 2 ? ? ? , 4 2 ? ? ? ? ? 4?
x x x

?1? ?1? x ∴ ?4 ? 2 ? ? ? ? a ? 2 ? 2 ? ? ? 在 ?0, ?? ? 上恒成立, ?2? ? 2?
x

x

x

8



x x ? ? ?1? ? ?1? ? x x ??4 ? 2 ? ? ? ? ? a ? ?2 ? 2 ? ? ? ? . ?2? ? ? 2? ? ? ? max ? ? min ? ?

1 1 设 2 x ? t , h(t ) ? ?4t ? , p(t ) ? 2t ? ,由 x ? ?0, ?? ? 得 t ? 1 , t t
∴ h (t ) 在 ?1, ?? ? 上递减, p (t ) 在 ?1, ?? ? 上递增,
h (t ) 在 ?1, ?? ? 上的最大值为 h(1) ? ?5 , p (t ) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 p (1) ? 1 .

∴实数 a 的取值范围为 ? ?5,1? . 23( 本小题 16 分 ) 在平面直角坐标系 xoy 中 , 已知三点 O (0, 0) , A(?1,1) , B (1,1) , 曲线 C 上任意—点

M ( x, y ) 满足: MA ? MB ? 4 ? 1 OM ? (OA ? OB) .(1)求曲线 C 的方程;
2
(2)设点 P 是曲线 C 上的任意一点,过原点的直线 l 与曲线相交于 M , N 两点,若直线 PM , PN 的斜率都存 在,并记为 k PM , k PN .试探究 k PM ? k PN 的值是否与点 P 及直线 l 有关,并证明你的结论; (3)设曲线 C 与 y 轴交于 D, E 两点,点 Q(0, m) 在线段 DE 上,点 P 在曲线 C 上运动. 若当点 P 的坐标为 (0, 2) 时, 取得最小值,求实数 m 的取值范围.

???? ????

???? ? ??? ? ??? ?

解析:(1)由题意可得, MA ? MB ? (?1 ? x,1 ? y ) ? (1 ? x,1 ? y ) ? (?2 x,2 ? 2 y ) , 所以 | MA ? MB |? (?2 x) 2 ? (2 ? 2 y ) 2 ? 又4?

4x2 ? 4 y2 ? 8 y ? 4 ,

1 1 OM ? (OA ? OB) ? 4 ? ( x, y ) ? (0,2) ? 4 ? y , 2 2

所以 4 x 2 ? 4 y 2 ? 8 y ? 4 ? 4 ? y ,即

x2 y2 ? ? 1. 3 4

(2)因为过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M , N 关于坐标原点对称, 所以可设 P ( x, y ), M ( x0 , y0 ), N (? x0 ,? y0 ) . 因为 P, M , N 在椭圆上,所以有
2 y 2 ? y0 4 ?? . 2 2 3 x ? x0

x2 y2 ? ? 1 , ………① 3 4

x2 0 3

?

y2 0 4

? 1 , ………②

①-②得

又 k PM ?

y ? y0 y ? y0 , k PN ? , x ? x0 x ? x0

所以 k PM ? k PN ?

2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 4 ? ? 2 ? ? ,故 k PM ? k PN 的值与点 P 的位置无关,与直线 l 也无关. 2 x ? x0 x ? x0 3 x ? x0

(3)由于 P ( x, y ) 在椭圆 C 上运动,故 ? 2 ? y ? 2 ,且 x 2 ? 3 ?

3 2 y .因为 4
.

,

所以

9

由题意,点 P 的坐标为 (0,2) 时,

取得最小值,即当 y ? 2 时,

取得最小值,而 ? 2 ? y ? 2 .故有

4m ? 2 .解得 m ?

1 . 2

又椭圆 C 与 y 轴交于 D、E 两点的坐标为 (0,2) 、 (0,?2) ,而点 Q 在线段 DE 上, 即 ? 2 ? m ? 2 ,亦即

1 1 ? m ? 2 ,所以实数 m 的取值范围是 [ ,2] . 2 2
1 ,数列 {an } 前 n 项和记为 Sn ,前 n 项积记为 Tn . 2

23.已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2013 ,公比 q ? ?

(1)证明: S2 ? Sn ? S1 ;(2)判断 Tn 与 Tn ?1 的大小,并求 n 为何值时, Tn 取得最大值; (3)证明:若数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若所有这些等差数列 的公差按从小到大的顺序依次记为 ,则数列 {dn } 为等比数列.

é ? 1 ? n-1 ù a2 ê1 - ? - ÷ ú n-1 é ù ê è 2? ú ? = S - 1 a ê1 - ? - 1 ? ú ? S ,当 n ? 1 时,等号成立; 解:(1)∩ S n = S1 + ? 1 3 1ê ? ? 1? è 2÷ ? ú 1 ? ? 1- ? - ÷ è 2?
? ? 1? a3 ?1 ? ? ? ? ? ? 2? 同理 Sn ? S2 ? ? ? 1? 1? ? ? ? ? 2?
n?2

? ? n?2 ? ? ? S ? 1 a ?1 ? ? ? 1 ? ? ? S ,当 n ? 2 时,等号成立;? S ? S ? S . 2 n 1 2 1? 2 ? ? ? 6 ? ? ? 2? ? ?

(2)∩

Tn+1 Tn

=

a1 × a2 ××××× an × an+1 a1 × a2 ××××× an

= an+1 =

2013 2013 2013 < 1 < 10 , .又∩ 11 n 2 2 2

? 当 n ? 10 时, Tn?1 ? Tn ;当 n ? 11 时, Tn?1 ? Tn .? 当 n ? 11 时, Tn 取得最大值,
又∩

T10 < 0, T11 < 0, T9 > 0, T12 > 0 ,∴ Tn 的最大值是 T9 和 T12 中的较大者,
3

10 é T12 ? 1? ù 又∩ = a10 × a11 × a12 = ê 2013 × ? - ÷ ú > 1 ,?T12 ? T9 .因此当 n ? 12 时, Tn 最大. T9 è 2? ú ê ? ?

? 1? (3)∩ an = 2013 × ? - ÷ è 2?

n-1

,? an 随 n 增大而减小, an 奇数项均正,偶数项均负,

①当 k 是奇数时,设 ?an ? 中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak ?1 , ak ?2 , ak ,

? 1? ? 1? 则 ak ?1 ? ak ? a1 ? ? ? ? a1 ? ? ? ? 2? ? 2?

k

k ?1

a ? 1? , 2ak ? 2 ? 2a1 ? ? ? ? 1 k 2 ? 2?

k ?1

?

a1 , 2k
?
k ?1

1? ? ak ?1 ? ak ? 2ak ?2 ,因此 ak ?1 , ak ?2 , ak 成等差数列,公差 dk ? ak ? 2 ? ak ?1 ? a1 ?? ?? ? ?? 2 ? ?

k ? 1 ? ? 3a ? ? ? ? ? ? k ?11 ; ? 2? ? ? 2

②当 k 是偶数时,设 ?an ? 中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak , ak ?2 , ak ?1 ,

10

则 ak ?1 ? ak ? a1 ? ?

? 1? ? 1? ? ? a1 ? ? ? ? 2? ? 2?

k

k ?1

??

a1 ? 1? , 2ak ?2 ? 2a1 ? ? ? k 2 ? 2?

k ?1

??

a1 . 2k
k ?1

? 1? ∴ ak ?1 ? ak ? 2ak ?2 ,因此 ak , ak ?2 , ak ?1 成等差数列,公差 dk ? ak ? 2 ? ak ? a1 ?? ?? ? ?? 2 ? ?
综上可知, ?an ? 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列, 且 dk ?

? 1? ? ?? ? ? 2?

k ?1

? 3a1 ? ? k ?1 , ? 2 ?

3a1 d , ∵ n ?1 ? 2 ,∴数列 ?dn ? 为等比数列. k ?1 2 dn

11


赞助商链接
推荐相关:

2014届格致中学高考数学三模答题(理科)答卷纸

2014届格致中学高考数学三模答题(理科)答卷纸_数学_高中教育_教育专区。上海2014年三模卷格致中学题号 一二 二〇一四届高考模拟考试答题纸 高三年级 数学(理科)...


2018届格致中学高三月考数学试卷

暂无评价|0人阅读|0下载 | 举报文档 2018届格致中学高三月考数学试卷_高三数学...{1,2,3,4,5} , B ? {x || x ? 3 |? 1} ,则 A ? B ? 2....


上海市格致中学2016届高三上学期摸底数学试卷(理科)

上海市格致中学2016届高三上学期摸底数学试卷(理科)_...推 理能力与计算能力,属于中档题. 二、选择题(本...“实系数一元二次方程 x +x+c=0 有虚根”是...


上海格致中学高三数学复习题型整理分析:专题8 空间图形

暂无评价|0人阅读|0下载上海格致中学高三数学复习题型整理分析:专题8 空间图形...要掌握平面的基本性质,特别注意:不 共线的三点确定一个平面.考察点和平面的...


上海市格致中学2016届高三上学期摸底数学试卷【解析版...

暂无评价|0人阅读|0下载|举报文档上海市格致中学2016届高三上学期摸底数学试卷...把原不等式等价转化为 x +2x﹣3>0,由此能求出不等 2 式 +2x>0 的解集...


上海格致中学高三数学复习题型整理分析:专题6 排列

暂无评价|0人阅读|0下载上海格致中学高三数学复习题型整理分析:专题6 排列_数学...[举例]对于问题:从 3 位男同学,5 位女同学这 8 位同学中选出 3 人参加...


2012-2013学年 - 上海 - 格致中学 - 高三 - 名校试卷(...

格致中学 - 高三 - 名校试卷(第一次测验) - 理科 - 数学_数学_高中教育_...1 i 2a ? x 3、不等式 ? 0 ( a ? 1 )的解集为___。 x ? a2 ?...


上海市格致中学2011学年度第二学期高考模拟考试数学文...

上海市格致中学2011学年度第二学期高考模拟考试数学文科试卷(三模) 格致中学 二〇一一学年度第二学期高考模拟考试高三年级 数学(理科)试卷(共 4 页) (测试 120...


福建省福州市格致中学鼓山校区2016届高三(上)期末数学...

省福州市格致中学鼓山校区高三(上)期 末数学试卷(...(a) + ,而且﹣6≤a≤3,利用二次函数的性质求...(a)<1+t﹣1=t, 同理 1<f(b)<t,1<f(c)...


上海格致中学高三数学复习题型整理分析:专题2 不等式

上海格致中学高三数学复习题型整理分析:专题2 不等式 - 第二部分 17、 基本不等式 a ? b ? 2 ab , ab ? ( 不等式 a?b 2 ) 要记住等号成立的条件与 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com