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2013届广西高三数学信息试题(文) (二)PDF版(答案详解)


    届 高 三 数 学 信 息 卷  二 
本试卷分第  卷  选择题  和第  卷  非选择题  两部分  共! 考试用时 ! " #分$ % # 分钟 $

第 卷 选择题  共& # 分
一 选择题  本大题共 ! 每小题 " 分  共& 在每小题给出的四个选项中  只有一项是符合题目要求的  % 小题  #分$   是      成立的 !! "'! "(! "(% '# 充分非必要条件 )! 充要条件 +! 必要非充分条件 *! 既不充分也不必要条件 ,!

已知过点 # 和 %  的直线与直线 % 则实数 $ 的值为 %! (% $ $ &. '(!'# 平行  )! # *! (/ +! % ,! ! #

已知 # 是单位圆上  圆心在坐标原点 ( 任意一点  且射线 ( 到( 0! & # 绕 ( 点逆时针旋转 0 # 1 % 交单位圆 于 ' # #  则& 点% & ' ' % % #( % 的最大值为 )! % 槡 0 槡 *! % +! ! ! ,! %

下列命题为真命题的是 -! $ ) 是不重合的两条直线    为不重合的两个平面  如果 $ 那么 )# )! ) 是异面直线  $! )"    如果 $ 那么 $ 与 相交 *! ) 是异面直线  $! )"   如果 $ 那么 $# +! ) 共面  $! )# )   如果 $! 那么 $# ,! $# )! )# )     ! 2 展开式中含 的项的系数为 若 则 "' "! &(  & % / # " & )! % ! *! % ( +! ! % (% ,!

&% &% 已知 $# 则# &! % * 的重心为 +  # %'" # *'0 +% *' ! & )! ( 0 *! (/ +! / ! & ,! 0

 的最小正周期是   函数 ,   2! & '3 4 5 &.  '# ( ()   若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函   0 0 则函数 , 数 &   关于点  )! # 对称 ! % "   关于点  +! # 对称 ! % 关于直线 &'  对称 *! ! % 对称 关于直线 &'" ,! ! %

& 的最大值为 已知 &'# 则 % /! & .! )! ! *! % +! ! 0 ,! %

高 三  数 学 广 西 文   信 息 二 * 第 ! 页 共 - 页 

已知正项数列) 中" 首项" 且)# " 则" 6 ! " !且前) 项的和 %槡 )+, " % )* !' ) 满足 ) 槡 )(! ( )(! 槡 )' ) )(! ! / !' )! & 0 / *! & 0 6 +! & # ,! & !

将一个白球 " 两个相同的红球 " 三个相同的黄球摆放成一排 " 则白球与黄球不相邻的放法有 ! #! )! ! #种 *! ! %种 +! ! -种 ,! ! &种

% % & 0" % 双曲线' 与抛物线 '' !& 有一个公共焦点 /" 双曲线上过点 / 且垂 直实轴的 弦长为%槡 则双曲 线 ! !! % ( % '! / 0 " .

的离心率等于 )! % %0 *! 槡 0 0% +! 槡 % ,! 0 槡

0 已知函数 ,! " 若 ,! 与 0! 的交点在直线 ''& 的两侧 " 则实数1 的取值范围是 ! %! &# ' 与0! &# '& . 1 &# &# & ! + )! (&" # ! # *! (&" & ! +! -" .7 # ! # ,! (-" -

第  卷答题卡
题号 答案 ! % 0 " & 2 / 6 ! # ! ! ! %

第 卷! 非选择题 " 共6 # 分#
二 填空题  本大题共 - 小题  每小题 " 分  共% 把答案填在横线上  #分!
% 设 #' ) * " * " 若 #.%" 则实数" 的取值范围是 ***** ! ! 0 ! & & ( &( % # %' ) & &( "' # ( ) (

某校有初中学生 ! 高中学生 6 教师 ! 现分层抽样 " 抽取一个容量为 ) 的样本 进行调 查 " 如果 ! -! # # #人" # #人" # #人! 则整个抽样过程中 " 教师甲被抽到的概率为 ***** ! 从高中学生抽取 "人"

&(% '.0-# 0
已知变量 &, 若目标函数 2' ! "! &(0 " & 取到最大值只有唯一 整数解&' (0" ' 满足约束条件/ '.0)#" '( ''#" 1 '(!)# 则实数 " 的取值范围为 ***** ! 观察下列等式 ! &!
% ! '!" % % ! (% '(0" % % % ! (% .0 '&" % % % % ! (% .0 ('(! #"

.
% % % % ).! % 由以上等式推测到一个一般的结论 对于 )+, " # ! (% .0 (. . .! (! ) ' **** !

(高 三 & 数 学 !广 西 !文 # #& 信 息 二 '* 第 % 页 !共 - 页 #

三 解答题  本大题共 & 小题  共2 解答应写出文字说明  证明过程或演算步骤  #分! ! 本小题满分 ! ! 2! # 分# ! 4 5 #(%# % 3( . 在 $# 如果3 % * 中" #, %, * 的对边分别为", ., 3" ' ! ! 3 4 5 #.%# % 3 ! # 求3 ! 4 5 # 的值 / 9 3 # 的值 ! # 求 8 % ! %.* 8 9 3 %

! 本小题满分 ! ! /! % 分# 甲有一个装有 & 个红球 " 乙有一个装 有 " 个 红 球 " 两人各自从自己的箱 . 个 黑 球 的 箱 子" ' 个黑球的箱子 " 并约定 所取两球同色时甲胜 " 异色时乙胜 ! 子里任取一球比较颜色 " &" "" .+, # ! '" ! # 当 &' 求甲获胜的概率 / ! "'0" .'% 时 " ''0" ! # 当 &' 这个游戏规则公平吗 0 请说明理由 ! % "" .时" ''

! 本小题满分 ! ! 6! % 分# 如图 " 底面为平行四边形的四棱柱 # " % * 4(# 5 % 5 * 5 4 5" 4 5 42底面 # % * 4" %'& # 1 # %'% #4" 44 5 34# '0 #4" 6, / 分别是 # %, 4 5 6 的中点 ! ! # 求证 ! 4 /2* 6/ # 求二面角 #(6 ! % /(* 的余弦值 !

(高 三 & 数 学 !广 西 !文 # #& 信 息 二 '* 第 0 页 !共 - 页 #

! 本小题满分 ! % #! % 分#
% &% ' 已知椭圆 * 的方程为 !' 离 心 率7' ! " 设 #! , " 右 .'## #" .# %! "" ## /! , /% 分 别 是 椭 圆 的 左 , % . % '! " % " .

0 焦点且 -$/%#% '槡 ! % ! # 求椭圆 * 的方程 / ! &% &% ! # 过/ 顶 点 在 坐 标 原 点 的 抛 物 线 交 于 8, 设/ 若 + 1 " 求 % 9 两 点" 8 '/ 9" %" 0+ ! 的直线 与 以 / % 焦 点" ! ! 8 9 面积的取值范围 ! $/ %

! 本小题满分 ! % !! % 分# 0 % 已知函数 ,! &# '(& . " & (-" "+! ! # 当 "'0 时 " 求 ,! 的最大和最小值 / ! &# ! # 若存在 & " 使得 ,! 求 " 的取值范围 ! % #" .7 # & '#" #+ ! ##

! 本小题满分 ! % %! % 分# 0 已知函数 , ! # " &# '& ( ) &(! &'# )+, ! )! ! # 求函数 , 的极值 / ! &# 0! ! # 判断函数 , 在区间 ! 上零点的个数 " 并给予证明 ! % &# )" ).!# )! 槡 槡

(高 三 & 数 学 !广 西 !文 # #& 信 息 二 '* 第 - 页 !共 - 页 #

高三  数学  广西  文  信息  二  参考答案
一 选择题 !$ )********%$ *********0$ +********-$ +********"$ +********&$ ) 2$ , 二 填空题 /$ ) 6$ + ! #$ * ! !$ * ! %$ *

 ! ! ) ).! ).!      ! 0! (7  (! -! ****! "! .7  &! (! ****! ****! % # % % 提示  " ! " % 是$ ! " ! " % 成立的充分非必要条件 # 故选 )! !! :! "(! "(% '## ; "'! 或 %# ;$ "'! "(! "(% '# -($ 依题意得 : 故选 *! '(%# %! ;$'(/# # %' $ .% 如图 # 由三角函数的定义 # 设& 则' ! " # 0! 9 3 4 5 # 1 # .0 # '8 % '3 ! 0 槡 ! " 故选 +! 8 9 3 4 5 9 3 # 1 ( 3 '8 .& )!# % % 又 $# 故选 + -! :$! )# ;$ 与) 无交点 # ) 共面 # ;$# )! # # < 2 ( < < ( < < < ( < 2 ( % < &! " &! " ! " &+ & # " ! :此二项式展开式中 ; '+ & ( ! " & ' ( ! " & < . ! 2 2& ! " ;& 9 3 4 5 # 1 ' (3 .0 #( % '8 '
0 (0 解得 "'( ;2(% <'!# ; <'0# ;(+ " '% / ## 2

! 故选 ! +! %

第 0 题图

取% 连结 #4# 则# &! * 中点为 4 # +'

% &% ! ! &% &% # #4' # %.# *" 0 0

&% &% ;# +&% *'

! & 故选 !! ! &%% &%% " &% &% &% &% ! # %.# *" # *(# %" ' ! # * (# % '( ! )! 0 0 0

%  依题意知 # 2! ;' '# ;'%#  ! 图象向右平移  个单位后得到函数 0! 为奇函数 # :,! &" '3 4 5 % &. &" " 0 % % %    ! # ! # 即 ' # ;0! &" '3 4 5 % &. '(0! (&" ; : :+" : :+"  . ! ( 0 " ( 0 ' 0    # 又 :( ! ; :'(! 时 # ;,! &" '3 4 5 % &( " () #  '( 0 # 0 0 ;% &(   :   :  " ! # # 即 ,! 的对称中心 ! 故 )' ' : :+" &' . ! :+" &" . # ## + 排除 (  0 & % & %

  的对称轴 % ! # &" &( ' . : :+"  ,! 0 % "  :  # 故 * 排除 # 因此选 ,! ;&' . ! :+" ! % %

& ! ! ! 当且仅当 故选 )! ' /! :&'## ; % ' # &'% 时取等号成立 ! ) & .&. & & % & &



得槡 # 6! :; 等式两边同时除以 槡 -)(! (-)(! # -)(! 4## -)(! # ) 槡 )(! 槡 ) '% 槡 ) ) ) )( 槡 )(! '% 槡
% 是以首项为 !# 公差为 % 的等差数列 # ! " " # ;) ;槡 )(! '% )(!# ;% )(! )'! )* ) '!.% 槡 " ! " 故选 +! ; " ! & !.! " 6 ! & !(! " 6 '& #! / !' / !( / #'!

若白球放在左端或右端 # 其放法有 %<-( 若白球放在中间 # 则白球只能放在两个红球中间 # 只有 - 种放法 # 故共有 ! ! #! % 种放法 !
% 0# % % 0 故选 % % 依题意得 # " # 又 :. '槡 解得 "'槡 ! !! /! ## % " . . '-# 0# ; 7' ' 槡 # *! " 0 0 0 槡

考虑 ,! ! %! &" '

-与 0 由图可知 # 交点在 ''& 的两侧 # ''& 交点情况 # &

0 当 ''& 向下平行移动 # 且经过 ''& 与,! &" ' 的交点时 # & 与 0! 的交点不在 ''& 的两侧 # &" &" ,!
0 此时交点坐标为 ! " # 故% %# % . 1 '%# 1 '(&#

同理 # 向上平行移动时 # 得1 因此1 " # 故选 *! '&# (&# & +!
% 集合 #') * * # 而 %') * # ! 0 ! & & ( &( % # ') & ( ! &) % & &' " :#.%# ; "5 ( ! ! ( ) ( ) (

第! % 题图

高 三  数 学 广 西 文   信 息 二 * 第 " 页 共 - 页 

" " ! 依题意知  从教师抽取的人数为 ! ! -! # #< ; 教师甲被抽到的概率 8' '" ' ! 6 # # ! # # % #

&(% '.0-# 0
满足 &   围成 当 目 标 函 数 的 斜 率 "': ! "! (0 # % # ! * (! ! &(0 # *' ' 的约束条件/ '.0)#的 平 面 区 域 是 由 三 角 形 #

1 '(!)#
时 符合题意 ! 三 解答题 ! ! 3 4 5 4 5 #(%# % 3( ." 4 5 #(%# 3 % ! # 由正弦定理可得3 ! 2! ! : ! ' . '!" 3 4 5 #.%# % 3 3 4 5 * % 3 4 5 * ! ! " ! ! % 3 4 5 #(%# .3 4 5 %'% 3 4 5 *'% 3 4 5 #.%# % 3 4 5 #.%# (% 3 4 5 #(%# '3 4 5 %" 8 9 3 # 3 4 5 %'3 4 5 %" ! ! " # " :%+ ! #" ;3 4 5 %4#" ;8 9 3 #' " ;3 4 5 #' 槡 !  ! ! ! # 由! # 知" ! % ! 8 9 3 #' " ;8 9 3 %.*# '( " -

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! !.8 9 3 %.*# 槡 & # & 8 9 3 槡 ' " ; ' ! % %.* & 8 9 3 %

! ! 0 0 0 ! # 甲, 乙都取得红球的概率 8! '+ &+ ! /! ! ! !' ! # + + & " ! ! ! 0 % 甲, 乙都取得黑球的概率 8% '+ &+ ! !' " + + & "

! ! % ! ! % ! # 由题意 " 两人各从自己的箱子任取一球的种数共有 + % &.'# ! &.' &+ &.' ' ! 设甲获胜为 #" 乙获胜为 %! ; 甲获胜的概率为 8'8! .8% '
! ! ! ! ! ! ! ! % % + & .' % & &+ & .+ &+ & '+ ' ' .+ '+ ' " "!# + 8! ## ' ! '! '! ! % 8 % ' ! ! % # + &.' + &.'# &.'+ &.' &.'+ &.' % ! &('# " 当 &'' 时 " " 当 &4' 时 " 8! ## (8! %# '! 8! ## '8! %# 8! ## %# ! '8! &.'# 当 &'' 时 " 游戏公平 " 当 &4' 时 " 游戏不公平 !

! # ! 6! ! :# %'% #4" 6 为# % 的中点 " ;#4'# 6" " 为等边三角形 " : 34# 6'& # 1 ; $4# 6 设 #4'!" 则4 " 即* 6'!" * 6'槡 0" * 4'%" ; 34 6 *'6 # 1 624 6! :44 52 底面 # % * 4" * 6! 平面 # % * 4" ;* 6244 5" 又 :4 :4 6644 5'4" ;* 62 平面 44 5 6" /. 平面 44 5 6" ;* 624 /! ! # 取# 连结 4= " 由! # 知 $4# % 6 中点 = " ! 6 为等边三角形 " 则 4= 2# 分别以 4= , %" 4= 2* 4" 4 *, 44 5所在直线为&, 2 轴建立空间直角坐标系 4 (& 2" ', ' 0" ! "# 0" ! " # 0" !" 0# 槡 槡 槡 设 #4'!" 则 4! # " # " " # #" #" # 6! #" #! ( #" 4 5! #" #" 0 /! *! #" %" # ! % % % - - % %

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平面 * " 6 / 的法向量为 &" 2# %'! '" 0 ! 0 0(槡 &( '. 2'# 则/ % 0 0 槡 1%&( %''# " 取 # 0槡 0" 0" % ! %'!

  % # ! 0 # ( ( !& % 槡 ;8 9 3  ' ' ! 5 !" %' '   ! 0 ( (&( ( 槡 ! % & ! 0 槡 #
! 0 # 故二面角 #(6 /(* 的余弦值为 ( 槡 ! ! 0

(高 三 & 数 学 !广 西 !文 # #& 信 息 二 '* 第 & 页 !共 - 页 #

0 槡 ! # 如图 " 由题意得 -$/ #% ' !. ! # ! # % #! ! "( 3 ' " ; . "( 3 '槡 0" % % %

" % "'% 于是/ " 解得 " ! # . "( 3 '槡 0 .'槡 0 % % % 1 " ' . . 3

03 ' !

)

% % 故椭圆 * 的方程为& .' '!! - 0 % ! # 以/ # 为焦点 " 顶点在坐标原点的抛物线方程为 ' % !" # '&" %! % 设直线 8 代入 ' 9 方程为&' 1 '& 得'% (1 '(!" '.-'#" % % 由韦达定理知 ' " " ;'! & 1 (! &'#7 1 1 '!" !. % '! % '' ' '

&! % &! % 设 8! , " 由/ & 9! & 8' 9" / !" !# %" %# ' '
% # " " ;' ;! 1  .!  !' %" % '% '' ' ' % ! # ! ! .! % 消去 ' # " ' ! . .% % 得1 '  

6 - " % + " : %" 0 ; 1 + 1 +1 " + / 0 ;-$/%89 ' !& % & -槡 0+ % % % " ! !. 1 1 (!+ 1 %" ( (' 槡 !( % ' ' !. % # (! % '- 槡 ' ' ' ' 槡 槡 % % 0 1 !. 槡

-槡 0+ 故 $/ 8 9 面积的取值范围为 1 ! %" % 槡 0 0 % % ! # 当 "'0 时 " # 5! % !! ! &# '(& .0 & (-" &# '(0 & .& &'(0 &! &(% ! ,! , 当 & 变化时 " ! # " ! # 在区间的变化如下表 5 & & , ,

& 5! &# , &# ,!

(!

! # (!" # (

# # 极小值 (-

! # #" ! . 9

!

#

8

(%

所以 ,! 在区间上的最大值 ,! # 最小值为 ,! # &# (! '#" # '(-! % " % ! # 若 ")#" 则当 &+ ! " % &# '(0 & .% " &'(0 &! &( "# #" .7 # &# 5! 5! 5# , , 0 此时 ,! 递减 " 则 ,! # 不存在使得题设成立的 & &# &# # '(-" 5,! #! % " 时" ! # " 若 "'#" 则当 &+ ! 单调递增 ! 5 & '# 此时 ,! #" # &# , 0 % "" 当 &+ ! 时" 此时 ,! 单调递减 ! .7 # &# &# 5#" ,! 0
0 0 % "# " " 在! 的最大值为 ,! 所以题设 & 当且仅当解得 "'0! (-! (-'#" &# #" .7 # ' # 存在 ! ,! 0 % 2 % 2 综上 " 使题设成立的 " 的取值范围是 ! 0" .7 # ! 0 % ! # % %! ! :, &# '& (0 &(!" ;, 5 &# '0 & (0" 0! 0! 当 &'! 时 " ! # / 时 " 5 & # # & ! 5 &# ' 5 5 5#! ,0 , 0! 取极小值为 (0" 无极大值 ! ; 当 &'! 时 " &# 0! ,

! # 函数 , 在区间 ! 上有且只有一个零点 ! % &# )" ).!# )! 槡 槡 证明如下 0 :, '! ( )槡 )(!'(!5#" )# )# )! 槡 槡 0 '! ( )槡 ).!(!' 槡 ).!# ).!# ).!(!'#" )! , 槡 槡

&, )# ).!# 5#" )! )! , 槡 槡 在区间 ! 上必定存在零点 ! ; 函数 , &# )" ).!# )! 槡 槡
% % 当 &+ ! 时" ! :, 5 &# '0 & ( )" 5 &# ( )'% )'#" )" ).!# )# '0 )! )! , 槡 槡 槡

在区间 ! 上单调递增 " ;, &# )" ).!# )! 槡 槡 在区间 ! 上的零点最多一个 " ; 函数 , &# )" ).!# )! 槡 槡 综上所述 " 函数 , 在区间 ! 上存在唯一零点 ! &# )" ).!# )! 槡 槡

(高 三 & 数 学 !广 西 !文 # #& 信 息 二 '* 第 2 页 !共 - 页 #


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