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数学选修2-1期末考试卷及答案


高二数学选修 2-1 期末考试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题,满分 50 分) 1、对抛物线 y ? 4 x ,下列描述正确的是
2

1 ) 16 1 C、开口向右,焦点为 (1, 0) D、开口向右,焦点为 (0, ) 16 2、已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么 ?A 是 ?B 的

/>A、开口向上,焦点为 (0,1) B、开口向上,焦点为 (0, A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1 ? a , A1 D 1 ? b ,

???? ?

?

A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 1 1 1 1 A、 ? a ? b?c B、 a? b?c 2 2 2 2 1 1 ? a? b?c 2 2
2 2

C、

1 1 a? b?c 2 2

D、

4、椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为 A、 ?25 B、 25 C、 ?1 D、 1 5、空间直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1,0),B(-1,3,0),若点 C 满足 OC =α OA +β OB ,其中α ,β ? R,α +β =1,则点 C 的轨迹为 A、平面 B、直线 C、圆 6、已知 a =(1,2,3), b =(3,0,-1), c = ? ? ①∣ a ? b ? c ∣=∣ a ? b ? c ∣ ③ (a ? b ? c) = a ? b ? c
2 2 2 2

D、线段

3? ? 1 ,1,? ? 给出下列等式: 5? ? 5

② (a ? b) ? c = a ? (b ? c) ④ ( a ? b) ? c = a ? (b ? c ) C、3 个
2

其中正确的个数是 A、1 个

B、2 个
2

D、4 个

7、设 ? ? ? 0, ? ? ,则方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 不能表示的曲线为 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

8、已知条件 p: x ? 1 <2,条件 q: x 2 -5x-6<0,则 p 是 q 的 A、充分必要条件 C、必要不充分条件 9、已知函数 f(x)=
2

B、充分不必要条件 D、既不充分又不必要条件

kx ? 7 ,若 ?x ? R ,则 k 的取值范围是 kx ? 4kx ? 3 3 3 3 3 A、0≤k< B、0<k< C、k<0 或 k> D、0<k≤ 4 4 4 4

-1-

10、下列说法中错误 的个数为 .. ①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②若一个命题的否命题为假,则它本 身一定为真;③ ? “ x ? 3 ”是“ A、2

?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件;④ a ? b 与 a ? b 是等价的;⑤ ? y ? 2 ? xy ? 2
C、4 D、5

x ? 3 ”成立的充分条件.

B、3

二、填空题(每小题 6 分,共 6 小题,满分 36 分) 11 、 已 知 a ? b ? 2i ? 8 j ? k , a ? b ? ?8i ? 16 j ? 3k ( i, j , k 两 两 互 相 垂 直 ) , 那 么

a ?b =


2

12、以 (1, ?1) 为中点的抛物线 y ? 8 x 的弦所在直线方程为:



13、在△ ABC 中, BC 边长为 24 , AC 、 AB 边上的中线长之和等于 39 .若以 BC 边中 点为原点, BC 边所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则△ ABC 的重心 G 的轨迹方程 为: .

14、 已知 M1 (2, 5, -3) , M2 (3, -2, -5) , 设在线段 M1M2 的一点 M 满足 M 1 M 2 = 4MM 2 , 则向量 OM 的坐标为 。

15、下列命题 ①命题“事件 A 与 B 互斥”是“事件 A 与 B 对立”的必要不充分条件. ② “am2<bm2”是“a<b”的充分必要条件. ③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假. ④在 ?ABC 中, “ ?B ? 60? ”是 ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列的充要条件. ⑤ ?ABC 中,若 sin A ? cos B ,则 ?ABC 为直角三角形. 判断错误的有___________

16、在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC1 ? AC .有下列条件: 1 ① AB ? AC ? BC ;② AB ? AC ;③ AB ? AC .其中能成为
BC1 ? AB1 的充要条件的是(填上该条件的序号)________.

-2-

三、解答题(共五小题,满分 74 分) 17、(本题满分 14 分)求 ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.

18、(本题满分 15 分)已知命题 p:不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,命题 q:f(x)=-(5- 2m)x 是减函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

19、(本题满分 15 分)如图,在平行六面体 ABCD-A1BC1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥面 ODC1。

-3-

20、 (本题满分 15 分)直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C :3x ? y ? 1 相交于不同的 A 、 B 两
2 2

点. (1)求 AB 的长度; (2) 是否存在实数 k , 使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标第原点?若存在, 求出 k 的 值;若不存在,写出理由.

21、(本题满分 15 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面△ABC 中,CA=CB=1, ∠BCA=90°,棱 AA1=2M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点。 (1)求 BN 的长度; (2)求 cos( BA1 , CB1 )的值; (3)求证:A1B⊥C1M。

-4-

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题,满分 50 分) 1、B 2、C 3、A 4、D 5、B 6、D 7、C 8、B 9、A 10、C 二、填空题(每小题 6 分,共 6 小题,满分 36 分) 11、- 65 12、 4 x ? y ? 3 ? 0 13、

x2 y 2 ? 11 1 9 ? ? ? 1 ( y ? 0 ) 14、 ? ,? ,? ? 169 25 ? 4 4 2?

15、②⑤ 16、①、③ 三、解答题(共六小题,满分 74 分) 17、(本题满分 14 分)解:若方程有一正根和一负根,等价于 x1 x2 ?

1 ? 0 ? a<0 a

? ? Δ ? 4 ? 4a ? 0 ? 2 若方程有两负根,等价于 ? ?? ? 0 ? a ?1 ?0 ? ?a

? 0<a≤1

综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是 a<0 或 0<a≤1 由以上推理的可逆性,知当 a<0 时方程有异号两根;当 0<a≤1 时,方程有两负根. 2 故 a<0 或 0<a≤1 是方程 ax +2x+1=0 至少有一负根的充分条件. 2 所以 ax +2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件是 a<0 或 0<a≤1 18、(本题满分 15 分)解:不等式|x-1|<m-1 的解集为 R,须 m-1<0 即 p 是真 命题,m<1 f(x)=-(5-2m)x 是减函数,须 5-2m>1 即 q 是真命题,m<2 由于 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题 故 p、q 中一个真,另一个为假命题 因此,1≤m<2

19、(本题满分 15 分)

C1 D1 ? b , C1C ? c ,则 证明:设 C1 B1 ? a,

?

?

?

? ? 1 ? ? B1C ? c ? a, C1O ? (a ? b ), 2

-5-

1 ? ? 1 ? ? ? OD1 ? (b ? a), OD ? (b ? a) ? c 。若存在实数x,y,使得B1C ? xOD1 ? yOC ( 1 x,y ? R)成立, 2 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 1 ? ? ? 1 ? 1 则c ? a ? x ? (b ? a) ? c ? ? y ?? (a ? b ) ? ? ( x ? y ) a ? ( x ? y ) b ? xc ? 2 2 ?2 ? ? 2 ?
?1 ( x ? y) ?1 ?2 ? ?x ? 1 ? ? ? ?1 ? 0即? ∵ a,b ,c 不同面, ∴ ? ( x ? y) ?y ?1 ?2 ? ?x ? 1 ?
∴ B1C ? OD ? OC1,

OD, OC1为共面向量,且B1C不在OD, OC1所确定的平面ODC1内。 ∵ B1C,
∴ B1C // 平面ODC1,即B1C // 平面ODC1。

20、(本题满分 15 分) 联立方程组 ?

? y ? ax ? 1
2 2 ?3 x ? y ? 1

消去 y 得 3 ? a x ? 2ax ? 2 ? 0 ,因为有两个交点,所以
2 2

?

?

?3 ? a
(1)

2

?0
2

? ? 4a ? 8 3 ? a

?

2

?? 0

,解得 a ? 6, 且a ? 3, x1 ? x 2 ?
2 2

2a ?2 。 , x1 x2 ? 2 3?a 3 ? a2

AB ? 1 ? a 2 x1 ? x2 ? 1 ? a 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?


2 ? a 4 ? 5a 2 ? 6 a ?3
2

(a 2 ? 6且a 2 ? 3)

(2)由题意得 k oa k ob ? ?1,即x1 x2 ? y1 y 2 ? 0,即x1 x2 ? (ax1 ? 1)( ax2 ? 1) ? 0 整 理得 a ? 1, 符合条件,所以a ? ?1
2

21、(本题满分 15 分)如图, 解:以 C 为原点, CA,CB,CC1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建 立空间直角坐标系。 (1) 依题意得出 B(0, 1, 0),N( 1, 0, 1 ), ? BN ? 3 ; (2) 依题意得出

-6-

A ( , 0, 2)B(0, 1, 0),C(0, 0, 0),B ( , 1, 2) 1 1 1 0

? BA1 ? ( 1, ? 1, 2), CB1 ? (0, 1, 2), BA1 ? CB1 ? 3, BA1 ? 6, CB1 ? 5
CB1 ﹥= ∴ cos﹤ BA1,

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

1 30 10

(3) 证明:依题意将

?1 1 ? ?1 1 ? C ( 0, 2),M ? , , 2 ?, A1 B1 ? ( ? 1, 1, ? 2), C1 M ? ? , , 0 ?, 1 0, ?2 2 ? ?2 2 ?

1 1 ? A1 B ? C1 M ? ? ? ? 0 ? 0, ? A1 B ? C1 M 2 2 ? A1 B ? C1 M

-7-


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