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向量法解立体几何题的总结


向量法解立体几何题的总结 一、基本工具

a 1.数量积: b = a b cos θ
3.直线 Ax + By + C = 0 的法向量为

2.射影公式: 向量 a 在 b 上的射影为

a b b

( A, B ) ,方向向量为 ( B, A)

4.平面的法向量(略) 二、考点及对策 高考题主要围绕点线面体之间的关系与度量展开,具体如下: 1. 关系 1.1 平行关系 1.1.1 线线平行 两线的方向向量平行 1.1.2 线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直 1.1.3 面面平行 两面的法向量平行 1.2 垂直关系 1.2.1 线线垂直(共面与异面) 两线的方向向量垂直 1.2.2 线面垂直 线与面的法向量平行 1.2.3 面面垂直 两面的法向量垂直 1.4 共面与异面关系 判断直线 AB 与 CD 是否异面: Step1 求两直线的公共法向量 n ; Step2 判断 AC (或 BD )是否与 n 垂直; Step3 若 AC (或 BD )与 n 垂直,则两直线共面;否则,两直线异面. 2. 度量 2.1 距离 2.1.1 点点距离 点 P ( x1 , y1 , z1 ) 与 Q ( x2 , y2 , z2 ) 的距离为 PQ = 2.1.2 点线距离(平面上) 求点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离: Step1 在直线上取一点 Q ( x, y ) ; Step2 向量 PQ 在法向量 n = ( A, B ) 上的射影 距离. 2.1.3 点面距离 求点 P ( x0 , y0 ) 到平面 α 的距离: step1 在平面 α 上去一点 Q ( x, y ) ,得向量 PQ ; step2 计算平面 α 的法向量 n ;

( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2 + ( z2 z1 ) 2

PQ n n
=

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

即为点 P 到 l 的

step3 计算 PQ 在 α 上的射影,即为点 P 到面 α 的距离. 2.1.4 线线距离(共面与异面) 2.1.4.1 共面直线距离 转化为点线距离 2.1.4.2 异面直线距离 求异面直线 l1 与 l2 的距离: Step1 计算两异面直线的公共法向量 n ; Step2 在异面直线 l1 与 l2 上分别取一点 P 与 P2 ,得 P P2 ; 1 1 Step3 计算 P P2 在 n 上的射影,即为异面直线 l1 与 l2 的距离. 1 2.1.5 线面距离 转化为点面距离 2.1.6 面面距离 转化为点面距离 2.2 夹角 2.2.1 线线夹角(共面与异面) 线线夹角 两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.2.2 线面夹角 求线面夹角的步骤: Step1 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补 角; Step2 再求其余角,即是线面的夹角. 2.2.3 面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法向量同进同出,则二面角 等于法向量的夹角的补角. 2.3 面积与体积 略


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