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高三数学模拟试题(文科)及答案1


数 学(文科)
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 y ? A.[1,2]

A. k ? 5 C. k ? 5 A. S2013 ? 0, 且S2014 ? 0 C. a2013 ? 0, 且a2014 ? 0

B. k ? 5 D. k ? 6 B. S2013 ? 0, 且S2014 ? 0 D. a2013 ? 0, 且a2014 ? 0

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 ?a2013 ? a1 ? ?a2014 ,则必定有

log 2 (2 x ? 1) 的定义域是
3

B. [1, 2)

1 C.( ,1] 2

1 [ ,1] D. 2

8.已知 O,A,M,B 为平面上四点,且 OM ? ?OB ? (1 ? ?)OA ,实数 ? ? (1, 2) ,则 A. 点 M 在线段 AB 上 C. 点 A 在线段 BM 上 B. 点 B 在线段 AM 上 D. O,A,M,B 一定共线

2.某学校从高三甲、乙两个班中各选 6 名同掌参加数学竞赛,他们取得的 成绩(满分 100 分)的茎叶图如右图所示,其中甲班学生成绩的众数是 85, 乙班学生成绩的平均分为 81,则 x+y 的值为 A.6 B.7 C.8 D.9

9.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,其中 A ? 120 , b ? 1,且

?ABC 面积为 3 ,则
A. 21

a?b ? sin A ? sin B
B. 2 39
3

C. 2 21

3. “ m ? 0 ”是“函数 f ( x) ? m ? log 2 x( x ? 1) 存在零点”的 A.充分不必要条件 C.充要条件
2 2

D. 2 7

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 11.已知点 F1、F2 分别是椭圆 的左、右焦点,A、B 是
以 O(O 为坐标原点)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点, 且△F2AB 是正三角形,则此椭圆的离心率为( ) A. 3 D.4 12. 已知函数 两侧, A. (?6, 0]

4.已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 ,抛物线 y ? 8 x 的准线为 l ,设抛物线上任意一 点 P 到直线 l 的距离为 m ,则 m ? | PC | 的最小值为 A.5 B. 41 C. 41 -2

3 B. 2
f ( x) ?

C. 2 ? 1

D. 3 ? 1

4 3 y ? x的 x 与 g ( x) ? x ? t , 若 f ( x ) 与 g ( x) 的交点在直线

5.在 A,B 两个袋中都有 6 张分别写有数字 0,1,2,3,4, 5 的卡片,现 从每个袋中任取一张卡片,则两张卡片上数字之和为 7 的概率为 A.

则实数 t 的取值范围是 (


C. (4, ??) D. (?4, 4)

1 9

B.

1 18

C.

1 6

D.

1 3

B. (?6, 6)

6.右图是计算 条件是

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 值的一个程序框图,其中判断框内应填入的 2 4 6 8 10
第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在答题卡相应的位置) 13.复数

(Ⅱ)若 D 是 AB 中点,求证:AC1∥平面 B1CD. 19. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1. (Ⅰ)设集合 P={1,2, 3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集 合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b , 求函数 y ? f ( x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率;

4+3i 1+2i

的虚部是__

___. ___.

14.函数 f ( x ) ? x ?

1 (x ? 1) 的最小值为__ x ?1

15. 一个几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的体积为__

___.

16.在 ?ABC 中,不等式 1 ? 1 + 1 ≥ 9 成立;在凸四边形 ABCD 中, A B C ? 不等式 1 ? 1 + 1 + 1 ≥ 16 成立;在凸五边形 ABCDE 中,不等式 A B C D 2?

?x ? y ? 8 ? 0 (Ⅱ)设点( a , b )是区域 ? 内的随机点,求函数 ?x ? 0 ?y ? 0 ?

y ? f ( x)在区间 [1,??) 上是增函数的概率.
20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? a ln x ( x ? 0) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 对 x ?[1,??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 如下图所示,椭圆 C : x 2 ?

1 1 1 1 1 25 ? + + + ≥ 成 立 , ? , 依 此 类 推 , 在 凸 n 边 形 A1 A2 ? An 中 , 不 等 式 A B C D E 3?
1 1 ? + A1 A2 ? 1 ≥ An

__

___成立.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共 5 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? 2 cos2 x ? sin? 2 x ?

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于点 A 的任 m

意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称.

? ?

7? ? ?. 6 ?

(Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ,求 m 的值; 5 5

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ) 已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f ( A) ? 最小值. 18. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC -A1B1C1 中,已知 AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点 D 在棱 AB 上. (Ⅰ)求证:AC⊥B1C;

(Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

3 , b ? c ? 2. 求实数 a 的 2

请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按

所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,CP 是圆 O 的切线,P 为切点,直线 CO 交圆 O 于 A,B 两点,AD⊥CP,垂足为 D. 求证:∠DAP=∠BAP.
C D A · O B P

数学(文科)参考答案与评分标准 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 13.-1; 14.3; 15. 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 9 D 10 A 11 D 12 B

2 ; 3

16.

.

(第 21A 题)

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 π 在极坐标系中,已知圆 C:ρ=4cosθ 被直线 l:ρsin(θ- )=a 截得的弦长为 2 3,求实 6 数 a 的值.

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? 2 cos 2 x ? sin(2 x ?

7? 7? 7? ) ? (1 ? cos 2 x) ? (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) 6 6 6

? 1+

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1+sin(2 x ? ) . 2 2 6

∴函数 f ( x) 的最大值为 2 .要使 f ( x) 取最大值,则 sin(2 x ? 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 1 已知 a,b 是正数,求证:a2+4b2+ — ≥4. ab

?
6

) ? 1,

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) ,解得 x ? k? ?

?
6

,k ?Z .
???6 分

? ? 故 x 的取值集合为 ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? . 6 ? ?
(Ⅱ)由题意, f ( A) ? sin(2 A ?

3 ,化简得 sin(2 A ? ? ) ? 1 . 6 2 6 2 ? 5? ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ? ( ? , 13? ) ,∴ 2 A ? ? , ∴A? ? . 6 6 6 6 6 3 ) ?1 ?

?

在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 由 b ? c ? 2 ,知 bc ? (

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc .

b?c 2 2 ) ? 1 ,即 a ? 1 . 2
???12 分

∴当 b ? c ? 1 时,实数 a 取最小值 1 .

18. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)证明:在△ABC 中,因为 AB=5,AC=4,BC=3, 所以 AC + BC = AB , 所以
2 2 2

AC⊥BC.

因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 C C1⊥AC, 因为 BC∩AC =C,所以 AC⊥平面 B B1C1C. 所以 AC⊥B1C. ??? 6 分

解:(Ⅰ) f ' ( x) ? 1 ? a ? x ? a ( x ? 0) ,
x x

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,在 (0,?? ) 上增,无极值; 当 a ? 0 时, 由f ' ( x) ? 上增,
f ( x) 有极小值 f (a) ? (a ? 1) ? a ln a ,无极大值; ??? 6 分

x?a 在 (a,?? ) ? 0, 得x ? a ,f ( x) 在 (0, a ) 上减, x

(Ⅱ)连结 BC1,交 B1C 于 E,连接 DE. 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点,所以 侧面 B B1C1C 为矩形, DE 为△ABC1 的中位线,所以 DE// AC1. 因为 DE ? 平面 B1CD,AC1 ? 平面 B1CD,所以 AC1∥平面 B1CD.??? 12 分 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ?
2

(Ⅱ) f ' ( x) ? 1 ?

2b , a
a

a x?a , ? x x 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 在 [1,??) 上恒成立,则 f ( x) 是单调递增的, 则只需 f ( x) ? f (1) ? 0 恒成立,所以 a ? 1 , a ? 1 时, f ( x) 在上 (1, a ) 减,在 (a,?? ) 上单调递增,所以当 x ? (1, a) 时, 当 f ( x) ? f (1) ? 0 这与 f ( x) ? 0 恒成立矛盾,故不成立,综上: a ? 1 .??? 12 分

要使 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数,当且仅当 a >0 且 2b ? 1, 即2b ? a , 若 a =1 则 b =-1;若 a =2 则 b =-1,1;若 a =3 则 b =-1,1; ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5, 5 1 ∴所求事件的概率为 ? . ???6 分 15 3 (Ⅱ)由(1)知当且仅当 2b ? a 且 a >0 时,函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1在区是间 [1,??) 上为增函数, 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ?(a, b) | ?a ? 0
? ? ? ? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ,构成所求事件的区域 ? ? ?b ? 0 ? ? ?

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意, M 是线段 AP 的中点,

??? 2 分

??? 6 分

为三角形部分. 由? ?

?a ? b ? 8 ? 0 16 8 得交点坐标为 ( , ), a 3 3 b? ? 2 ?

??? 8 分

1 8 ?8? 3 ? 1 .???12 分 ∴所求事件的概率为 P ? 2 1 3 ?8?8 2

??? 10 分

20. (本小题满分 12 分)

(或:导数法)

24.选修 4—5:不等式选讲 1 已知 a,b 是正数,求证:a2+4b2+ — ≥4. ab 证明:因为 a,b 是正数,所以 a2+4b2≥4ab. 1 1 所以 a2+4b2+ — ≥4ab+ — ≥2 ab ab 1 即 a2+4b2+ — ≥4. ab 1 4ab× — =4. ab ??????10 分

??????2 分

??? 12 分

22 选修 4—1:几何证明选讲 证明:因为 CP 与圆 O 相切,所以∠DPA=∠PBA. 因为 AB 为圆 O 直径,所以∠APB=90° , 所以∠BAP=90° -∠PBA. 因为 AD⊥CP,所以∠DAP=90° -∠DPA, 所以∠DAP=∠BAP.
C D A · O B P

??????2 分

??????6 分

??????10 分

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:因为圆 C 的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4, 直线 l 的直角坐标方程为 x- 3y+2a=0.

(第 22 题)

??????4 分 ??????6 分

|2+2a| 所以圆心 C 到直线 l 的距离 d= =|1+a|. 2 因为圆 C 被直线 l 截得的弦长为 2 3,所以 r2-d2=3. 即 4-(1+a)2=3.解得 a=0,或 a=-2.

??????10 分


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