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人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)


必修 5 数列
2.等差数列 ?an ? 中, a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120, 则a9 ? a11的值为 ? A.14 B.15 C.16 D.17

1 3

?

1 1 2 2 2 120 a9 ? a11 ? a9 ? (a9 ? 2d ) ? (a9 ? d ) ? a8 ? ? ? 16 3 3 3 3 3 5
3.等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0,S9 ? S12 ,则前

C

项的和最大.

解:? S 9 ? S12,S12 ? S 9 ? 0 ? a10 ? a11 ? a12 ? 0, ?3a11 ? 0, ? a11 ? 0,又a1 ? 0 ∴ ?an ? 为递减等差数列∴ S10 ? S11 为最大. 10 或 11 4.已知等差数列 ?an ? 的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,则前 110 项和为 .

解:∵ S10,S 20 ? S10,S30 ? S 20, ?,S110 ? S100, ? 成等差数列,公差为 D 其首项为 S10 ? 100, 前 10 项的和为 S100 ? 10 ?100 ?10 ?

10 ? 9 ? D ? 10, ? D ? ?22 2
-110

又S110 ? S100 ? S10 ? 10 D

? S110 ? 100 ? 10 ? 10( ? ? 22) ? ?110

6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 12 ,S12 ? 0,S13 ? 0 . ①求出公差 d 的范围; ②指出 S1,S 2, ?,S12 中哪一个值最大,并说明理由. 解:① S12 ? 6(a1 ? a12 ) ? 6(a3 ? a10 ) ? 6(2a3 ? 7d ) ? 0

? 24 ? 7 d ? 0 ? 24 ? 8d ? 0

?d ? ?

24 7

又S13 ?

? d ? ?3

13(a1 ? a13 ) 13 13 ? (a3 ? a11 ) ? (2a3 ? 8d ) ? 0 2 2 2 24 从而 ? ? d ? ?3 7

②? S12 ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 S13 ? 13a7 ? 0 ?a7 ? 0,a6 ? 0

? S6 最大。
)

,a4 ? 1 ,则a12 等于( 1. 已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ?? 16
A.15 B.30 C.31 D.64 A

? a7 ? a9 ? a4 ? a12

? a12 ? 15

2. 设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S 4 ? 14 ,S10 ? S 7 ? 30,则S9 = 54



第 1 页 共 8 页

3. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? 4. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,已知 a10 ? 30 ,a20 ? 50 . ①求通项 an ;②若 S n =242,求 n . 解: an ? a1 ? (n ? 1)d



a10 ? 30,a20 ? 50
由 S n ? na1 ?

? a ? 9d ? 30 解方程组 ? 1 ?a1 ? 19d ? 50
?1 2 n?

?a ? 12 ?? 1 ? d ?2

? an ? 2n ? 10
或 1n 1? ? 舍去) 22(

n(n ? 1)d , S n =242 2

n( n ? 1 ) ? 2 ? 242 解得n ? 2

5.甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第一分钟走 2 m ,以后每分钟比前一分 钟多走 1 m ,乙每分钟走 5 m ,①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即 折返,甲继续每分钟比前一分钟多走 1 m ,乙继续每分钟走 5 m ,那么,开始运动几分钟后第二 次相遇? 解:①设 n 分钟后第一次相遇,依题意有: 2n ? 故第一次相遇是在开始运动后 7 分钟. ②设 n 分钟后第二次相遇,则: 2n ?

n(n ? 1) ? 5n ? 70 解得n ? 7,n ? ?20(舍去) 2

n(n ? 1) ? 5n ? 3 ? 70 解得n ? 15,n ? ?28(舍去) 2
1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 . 2

故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟 10.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, 前 n 和 Sn ? ①求证:数列 ?an ? 是等差数列; ③设数列 ?

②求数列 ?an ? 的通项公式;

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立? ? a n a n?1 ?
1 1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 ? S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2 2

若存在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由. 解:①∵ S n ?

? an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? ? (n ? 1)an? 2

1 ?(n ? 2)(an?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)? 整理得,nan?1 ? (n ? 1)an ? 1 2 ? (n ? 2)an?1 ? 1 ? (n ? 1)an? 2 ? nan?1 ? (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)an

?2(n ?1)an?1 ? (n ?1)(an?2 ? an )
② a1 ? 3,nan?1 ? (n ? 1)an ? 1

?2an?1 ? an?2 ? an

∴数列 ?an ? 为等差数列.

第 2 页 共 8 页

?a2 ? 2a1 ?1 ? 5

?a2 ? a1 ? 2

即等差数列?an ?的公差为2

?an ? a1 ? (n ?1)d ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1
③?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? )? ( ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2 n ? 3 1 1 又当n ? N ?时,Tn ? , 要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 恒成立, 只要 M ≥ , 所以存在实数 M 使 6 6

得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立, M 的最小值为

1 . 6

三、等比数列 知识要点
1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做 等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为 q, ? q ? 0? . 2. 递推关系与通项公式

递推关系:a n ?1 ? qan 通项公式:a n ? a1 ? q n ?1 推广:a n ? a m ? q n ? m
3. 等比中项: 若三个数 a, b, c 成等比数列, 则称 b 为 a 与 c 的等比中项, 且 b ? ? ac,注:b ? ac
2

是成等比数列的必要而不充分条件. 4. 前 n 项和公式

(q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q

(q ? 1)

5. 等比数列的基本性质, (其中m, n, p, q ? N ) ① 若m ? n ? p ? q,则am ? an ? a p ? aq ,反之不成立! ②q
n?m

?

?

an 2 ,an ? an?m ? an? m (n ? N ? ) am

③ ?an ? 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.

第 3 页 共 8 页

* ④若项数为 2n n ? N ,则

?

?

S偶 S奇

?q.

⑤ Sn?m ? Sn ? qn ? Sm . ⑥ q ? ?1 时,S n,S 2n ? S n,S3n ? S 2n, ?仍成等比数列. 6. 等比数列与等比数列的转化 ① ?an ? 是等差数列 ? c

? ?
an

(c ? 0,c ? 1) 是等比数列; (c ? 0,c ? 1) 是等差数列;

② ?an ? 是正项等比数列 ? ?logc an ?

③ ?an ? 既是等差数列又是等比数列 ? ?an ? 是各项不为零的常数列. 7. 等比数列的判定法 ①定义法:

an?1 ? q(常数) ? ?an ? 为等比数列; an
2

②中项法: an?1 ? an ? an?2

(an ? 0) ? ?an ? 为等比数列;

③通项公式法: an ? k ? q n (k , q为常数) ? ?an ? 为等比数列; ④前 n 项和法: S n ? k (1 ? q n ) (k , q为常数) ? ?an ? 为等比数列.

性质运用
1. 设f (n) ? 2 ? 2 4 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ),则f (n)等于?
?

?

2 A. (8n ? 1) 7
D

2 B. (8n ?1 ? 1) 7

2 C. (8n ?3 ? 1) 7

2 D. (8n ? 4 ? 1) 7

2.已知数列 ?an ? 是等比数列,且 S m ? 10 ,S 2m ? 30,则S3m ? 70 3.⑴在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33 ,a3 a4 ? 32,an ? an?1 . ①求 an ,②若 Tn ? lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an , 求Tn .



⑵在等比数列 ?an ? 中,若 a15 ? 0 ,则有等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a29?n

(n ? 29,n ? N ? ) 成立,类比上述性质,相应的在等比数列 ?bn ? 中,若 b19 ? 1 ,则有等式
成立.
第 4 页 共 8 页

解:⑴①由等比数列的性质可知:

a1 ? a6 ? a3 ? a4 ? 32
所以

又a1 ? a6 ? 33,a1 ? a6

解得a1 ? 32,a6 ? 1

a6 1 1 1 ? ,即q5 ? , ?q ? a1 32 32 2

1 所以an ? 32 ? ( )n?1 ? 26?n 2

②由等比数列的性质可知, ?lg an ?是等差数列,因为

lg an ? lg 26? n ? (6 ? n) lg 2, lg a1 ? 5lg 2

所以Tn ?

(lg a1 ? lg an )n n(11 ? n) ? lg 2 2 2

⑵由题设可知,如果 a m ? 0 在等差数列中有 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a2m?1?n

(n ? 2m ? 1,n ? N ? ) 成立,我们知道,如果 若m ? n ? p ? q,则am ? an ? a p ? aq ,而对于等
比数列 ? bn ? ,则有 若m ? n ? p ? q,则am ? an ? a p ? aq 所以可以得出结论,若

bm ? 1,则有b1b2 ?bn ? b1b2 ?b2m?1?n (n ? 2m ? 1,n ? N ? ) 成立,在本题中 则有b1b2 ?bn ? b1b2 ?b37?n (n ? 37,n ? N ? )
1.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 ( ①{an2}也是等比数列;②{can}(c≠0)也是等比数列;③{ A.4 B.3 C.2 )

1 }也是等比数列;④{lnan}也是等比数列. an
D.1

2.等比数列{a n }中,已知 a9 =-2,则此数列前 17 项之积为 ( A.216 B.-216 C.217 D.-217

)

3.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为 ( A.1 B.-

) D.-1 或

1 2

C.1 或-1

1 2

4.在等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 等于 ( A.4 B.

) D.2 )

3 2

C.

16 9

5.若两数的等差中项为 6,等比中项为 5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( A.x2-6x+25=0 B.x2+12x+25=0 C.x2+6x-25=0

D.x2-12x+25=0

第 5 页 共 8 页

6.某工厂去年总产 a,计划今后 5 年内每一年比上一年增长 10%,这 5 年的最后一年该厂的总产值 是 ( ) A.1.1 4 a B.1.1 5 a C.1.1 6 a D.(1+1.1 5)a

7.等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100 等于 (

)

b9 A. 8 a

b B.( )9 a

b 10 C. 9 a

D.(

b 10 ) a

8. 已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3, 前 15 项之和为 39, 则该数列的前 10 项之和为( A.3 2 B.3 13 C.12 D.15

)

9.某厂 2001 年 12 月份产值计划为当年 1 月份产值的 n 倍,则该厂 2001 年度产值的月平均增长率 为 ( A. )

n 11

B. 11 n

C. 12 n ? 1

D. 11 n ? 1

10. 已知等比数列 ?an ? 中, 公比 q ? 2 , 且 a1 ? a2 ? a3 ??? a30 ? 230 , 那么 a3 ? a6 ? a9 ??? a30 等于 ( A. 2
10

)

B. 2

20

C. 2

16

D. 2

15

11.等比数列的前 n 项和 Sn=k· 3n+1,则 k 的值为 ( A.全体实数 B.-1 C.1

) D.3

12.某地每年消耗木材约 20 万 m ,每 m 价 240 元,为了减少木材消耗,决定按 t % 征收木材税, 这样每年的木材消耗量减少 则 t 的范围是 ( A.[1,3] ) B.[2,4] C.[3,5] D.[4,6]

3

3

5 t 万 m 3 ,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于 90 万元, 2

一、选择题: BDCAD BACDB BC

第 6 页 共 8 页

13.在等比数列{an}中,已知 a1=

3 ,a4=12,则 q=_____ 2

____,an=____

____.

14.在等比数列{an}中,an>0,且 an+2=an+an+1,则该数列的公比 q=___

___.?

15.在等比数列{an}中,已知 a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求 a10=



16.数列{ an }中, a1 ? 3 且 an?1 ? an (n 是正整数),则数列的通项公式 an ?

2



二、填空题:13.2, 3· 2n 2. 14.


1? 5 2n ?1 .?15.512 .16. 3 . 2

17.已知数列满足 a1=1,an+1=2an+1 (n∈N*). (1)求证数列{an+1}是等比数列;(2)求{an}的通项公式. (1)证明由 an+1=2an+1 得 an+1+1=2(an+1)又 an+1≠0 ∴ (2)解析: 由(1)知 an+1=(a1+1)qn
-1 -

an?1 ? 1 =2 即{an+1}为等比数列. an ? 1


即 an=(a1+1)qn 1-1=2· 2n 1-1=2n-1

18.在等比数列{an}中,已知对 n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,求 a12+a22+…+an2. 解析: 由 a1+a2+…+an=2n-1 且 a1+a2+…+an-1=2n 1-1


① ②?

n∈N*,知 a1=1

由①-②得 an=2n 1,n≥2


又 a1=1,∴an=2n 1,n∈N*


a n ?1 an

2

2

?
2

(2 n ) 2 =4? ( 2 n ?1 ) 2

即{an2}为公比为 4 的等比数列

∴a12+a22+…+an2=

a1 (1 ? 4 n ) 1 n ? (4 ? 1) 1? 4 3

19.在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n.

解析一: ∵S2n≠2Sn,∴q≠1

? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q ? 48 ? 根据已知条件 ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 60 ? 1? q ?
③ ③代入①得

① ②

②÷ ①得:1+qn=

1 5 即 qn= 4 4

a1 =64 1? q



第 7 页 共 8 页

∴S3n=

a1 1 (1-q3n)=64(1- 3 )=63 4 1? q

解析二: ∵{an}为等比数列 ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)

(S 2n ? S 2n ) 2 (60 ? 48) 2 ∴S3n= +60=63 ? S 2n ? Sn 48
20.求和:Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn
-1

(x≠0).

解析:当 x=1 时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2 当 x≠1 时,∵Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn 1, ①


等式两边同乘以 x 得:xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn. ② ①-②得: (1-x)Sn=1+2x(1+x+x2+…+xn 2)-(2n-1)xn=1-(2n-1)xn+


2 x( x n ?1 ? 1) , x ?1

∴Sn=

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) . ( x ? 1) 2

21.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2· an-1=128,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q. 解析:∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66, ∴a1、an 是方程 x2-66x+128=0 的两根,解方程得 x1=2,x2=64, ∴a1=2,an=64 或 a1=64,an=2,显然 q≠1. 若 a1=2, an=64, 由

a1 ? a n q - - =126 得 2-64q=126-126q, ∴q=2, 由 an=a1qn 1 得 2n 1=32, ∴n=6. 1? q
1 1 ,n=6.综上所述,n 的值为 6,公比 q=2 或 . 2 2

若 a1=64,an=2,同理可求得 q=

22.某城市 1990 年底人口为 50 万,人均住房面积为 16 m2,如果该市每年人口平均增长率为 1%, 每年平均新增住房面积为 30 万 m2,求 2000 年底该市人均住房的面积数.(已知 1.015≈1.05,精确到 0.01 m2) 解析:依题意,每年年底的人口数组成一个等比数列{an}:a1=50,q=1+1%=1.01,n=11 则 a11=50× 1.0110=50× (1.015)2≈55.125(万), 又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{bn}:b1=16× 50=800,d=30,n=11 ∴b11=800+10× 30=1100(万米 2) 因此 2000 年底人均住房面积为:1100÷55.125≈19.95(m2)

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