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【高中数学必修4学习课件】——人教A版3-1-2-2两角和与差的正切公式


第三章

三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第2课时 预习篇

两角和与差的正切公式 提高篇

课堂篇

巩固篇

课时

作业

学习目标
1.理解两角和与差的正切公式及其推导过程. 2.能够灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求 值、证明等,掌握公式的正向、逆向及变形应用.

重点难点
重点:记住并会应用两角和与差的正切公式; 难点:灵活运用公式进行求值、化简、证明.

预习篇01
新知导学

两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式

1.你能总结出公式T(α±β)的结构特征和符号规律吗? 答:(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tanα 与tanβ的和或差,分母为1与tanαtanβ的差或和.

(2)

符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.

1.对两角和与差的正切公式的三点说明 (1)比较tan(α+β)与tan(α-β),它们都是角的正切,只 是角的形式不同,容易混淆. (2)两角和与差的正切公式的推导过程是同角三角函数 sinx 的基本关系cosx=tanx的又一次展现. π (3)公式的适用范围:α,β,α+β,α-β≠ +kπ(k∈ 2 Z).

2.两角和的正切公式的常用变形形式 (1)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ). tanα+tanβ (2)1-tanαtanβ= . tan?α+β? (3)tanα+tanβ+tanαtanβ· tan(α+β)=tan(α+β). tanα+tanβ (4)tanαtanβ=1- . tan?α+β? 于是由正切公式可知,tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα- tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一.注意公 式的正用、逆用、变形使用.

课堂篇02
合作探究

两角和与差的正切公式的简单应用

【例1】

求值.

1+tan15° (1) ; 1-tan15° (2)tan10° +tan35° +tan10° tan35° . 【分析】 (1)采用巧用“1”的代换后,转化成两角

和的正切形式.(2)可以直接利用公式的变形,口答得 出结果,若在选择填空中,可以套入结论处理.

【解】

1+tan15° tan45° +tan15° (1) = 1-tan15° 1-tan15° tan45°

=tan(45° +15° )=tan60° = 3. tanα+tanβ (2)由tan(α+β)= 的变形 1-tanαtanβ tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)得: tan10° +tan35° =tan45° (1-tan10° tan35° ) =1-tan10° tan35° , 所以tan10° +tan35° +tan10° tan35° =1.

通法提炼

3-tan105° (1) 等于( 1+ 3tan105° A.-1 C.- 3

) B.1 3 D.- 3

π (2)若α+β= 3 ,tanα+ 3 (tanαtanβ+c)=0(c为常数), 则tanβ=________.

3-tan105° tan60° -tan105° 解析:(1) = =tan(-45° ) tan105° 1+ 3tan105° 1+tan60° =-1. tanα+tanβ π (2)∵α+β=3,∴tan(α+β)= = 3, 1-tanαtanβ ∴tanα+tanβ+ 3tanαtanβ= 3, ∴tanα+ 3tanαtanβ+ 3c = 3-tanβ+ 3c=0, ∴tanβ= 3(c+1).
答案:(1)A (2) 3(c+1)

给值求值(角)

【例2】

1 1 已知tan(α-β)=2,tanβ=-7,

α,β∈(0,π),求2α-β的值. 【分析】 已知α-β及β角的正切,要求2α-β的正

切,必须通过角的变换,2α-β=α+(α-β),α=(α-β) +β,故需先求出α角的正切.

【解】

1 1 ∵tanβ=-7,tan(α-β)=2,

∴tanα=tan[(α-β)+β] tan?α-β?+tanβ = 1-tan?α-β?tanβ 1 1 2-7 1 = = , 1 ? 1? 3 1-2×?-7? ? ? tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]

tan?α-β?+tanα = 1-tan?α-β?tanα 1 1 2+3 = 1 1=1. 1-3×2 1 1 ∵tanα=3>0,tanβ=-7<0,
? ?π ? π? ∴α∈?0,2?,β∈?2,π?,∴α-β∈(-π,0). ? ? ? ?

1 又∵tan(α-β)=2>0,

? π? ∴α-β∈?-π,-2?,2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). ? ?

3 而tan(2α-β)=1,∴2α-β=-4π.

通法提炼 ?1?关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已 知角的和与差,再根据公式求解. ?2?关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再 根据角的取值范围确定该角的大小.

1 π 已知tanα= ,tanβ=-2,且0<α< <β<π, 3 2 求(1)tan(α-β)的值; (2)角α+β的值.

tanα-tanβ 解:(1)tan(α-β)= 1+tanα· tanβ 1 3-?-2? = 1 1+3×?-2? =7. 1 tanα+tanβ 3+?-2? (2)∵tan(α+β)= = 1 1-tanα· tanβ 1-3×?-2? =-1,

π π π 3 又0<α<2,2<β<π,∴2<α+β<2π, 3 ∴α+β=4π.

两角和与差的正切公式的综合应用

【例 3】 (1)已知 A,B 是三角形 ABC 的两个内角, 且 tanA, tanB 是方程 3x2+8x-1=0 的两个实根, 则 tanC =________. (2)在△ABC 中,tanB+tanC+ 3tanBtanC= 3, 3 tanA+ 3tanB+1=tanAtanB,试判断△ABC 的形状.

【解】

8 ? tan A + tan B =- ? 3, (1)由题意可知? 1 ?tanA· tanB=-3, ?

由两角和的正切公式得 tanA+tanB tan(A+B)= = 1-tanAtanB 又 A+B+C=π, 所以 tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=2,故填 2.
【答案】 2

8 -3 1 1-?-3?

=-2,

(2)由 tanB+tanC+ 3tanBtanC= 3得 tanB+tanC tan(B+C)= 1-tanB· tanC 3- 3tanB· tanC = = 3, 1-tanBtanC π 又 0<B+C<π,∴B+C= ,① 3 又由 3tanA+ 3tanB+1=tanAtanB 得 tanA+tanB tan(A+B)= 1-tanA· tanB

3 tanB-1? 3 ?tanA· 3 = =- 3 . 1-tanA· tanB 5 又 0<A+B<π,∴A+B=6π,② π π 2 由①、②及 A+B+C=π 解得 B=6,C=6,A=3π. 所以△ABC 为等腰三角形.

π 已知 tanα,tanβ 是方程 x +3 3x+4=0 的两根,且- 2
2

π π π <α<2,-2<β<2,则 α+β 的值为( π A. 3 2π π C.- 3 或3 2π B.- 3 D.无法确定

)

解析:由已知得
? ?tanα+tanβ=-3 ? ? tanβ=4 ?tanα·

3

① ②

tanα+tanβ -3 3 所以 tan(α+β)= = = 3, 1-tanαtanβ 1-4 又由①、②可知 tanα<0,tanβ<0. π π ∴- <α<0,- <β<0,∴-π<α+β<0, 2 2 2 ∴α+β=-3π.故选 B.
答案:B

提高篇03
自我超越

——易错警示系列—— 忽视公式的成立条件致使过程出错 【例】 已知 tanα, tanβ 是方程 x2+px+q=0 的两个根, 求 sin2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)+qcos2(α+β)的值.

【错解】

? ?tanα+tanβ=-p, ∵? ? ?tanαtanβ=q,

tanα+tanβ -p ∴tan(α+β)= = , 1-tanαtanβ 1-q 原式 sin2?α+β?+psin?α+β?cos?α+β?+qcos2?α+β? = sin2?α+β?+cos2?α+β? tan2?α+β?+ptan?α+β?+q = =q. 2 tan ?α+β?+1

【错解分析】 公式 T(α+β)的适用范围是 α,β,α+β 均 π π 不为 kπ+2(k∈Z),忽视 α+β=kπ+2(k∈Z)的情况,是常见 的错误.

【正解】

∵tanα+tanβ=-p,tanα· tanβ=q,

π ∴当 α+β=kπ+2(k∈Z)时, tanα· tanβ=1, sin(α+β)=1, cos(α+β)=0 或 sin(α+β)=-1,cos(α+β)=0. ∴原式=1=q. π 当 α+β≠kπ+ (k∈Z)时, 2 tanα+tanβ -p tan(α+β)= = . 1-tanα· tanβ 1-q ∴原式

sin2?α+β?+psin?α+β?· cos?α+β?+qcos2?α+β? = sin2?α+β?+cos2?α+β? tan2?α+β?+ptan?α+β?+q = =q. tan2?α+β?+1 综上,原式=q.

已知 tanα= 3(1+m), 3(tanαtanβ+m)+tanβ=0, 且 α,β 都是锐角,则 α+β=________.

解析:由已知可得 tanα= 3(1+m), tanβ=- 3tanαtanβ- 3m. 上式两边分别相加得: tanα+tanβ= 3(1-tanαtanβ), tanα+tanβ 所以 =tan(α+β)= 3. 1-tanαtanβ π π 又因为 0<α<2,0<β<2, π 所以 0<α+β<π,所以 α+β=3. π 答案:3

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