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1.1.2集合间的基本关系


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1.集合元素的特征有哪些? 确定性、互异性、无序性

2.元素与集合之间的关系是什么?如何表示? ?或 ?
3.集合的表示法有哪些? 自然语言、列举法、描述法、 Venn图法、

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实数有相等关系、大小关系,如5= 5,5<7,5>3,等等,类比实数之间的 关系,你会想到集合之间的什么关系?



想一想

§1.1.2 集合间的 基本关系

A

B

观察1
下面几个例子,你能发现两个集合间的关系吗?

(1)设B为一颗苹果树上所有的苹果,A为这棵
苹果树上所有的烂苹果.

(2)设B={x|x是平行四边形} ,A={x|x是矩形}.
(3)设B为高一(2)班的全体学生组成的集合,A

为高一(1)班所有的男生组成的集合.
(4)设B={a,b,c,e},A={a,b,c}.

共性:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素.

知识要 点
1.子集的概念
一般地,对于两个集合A、B, 如果集合A中任

意一个元素都是集合B中的元素,即若a ?A ,则a? B
我们就说这集合A包含于集合B,或者集合B包含集

合A,称集合A为集合B的子集.

记作

A ? B (或B ? A)

读作 "A含于B" (或"B包含A")

2.在数学中,经常用平面上的封闭曲线的 内部代表集合,这种图称为Venn图.
A B

思考1
A是A的子集对吗?类比实数中的结论思考一下. 对于实数a,有a≤a;则对于集合A,有 A ? A

结论:任何一个集合都是它本身的子集.

包含关系 {a} ? A与属于关系 a ? A 有什么区别吗? 系;后者表示元素与集合之间的关系.

思考2

? 与? 的区别:前者表示集合与集合之间的关

思考3
a与{a}一样吗?有什么区别?
一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一 个元素的一个集合. a ={a}是错误的.

观察2
下面两个集合,你能发现什么?
(1)A={x∣x是两条边相等的三角形} B={x∣x是等腰三角形} (2)A={2,4,6} B={6,4,2}

共性:集合B中元素与集合A的元素是一样的.

知识要 点
3.集合相等的概念
  如果集合A是集合B的子集(A ? B),且集合B是 集合A的子集(B ? A),此时,集合A与集合B中 的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.     记作   A=B

即A = B ? A ? B, 且B ? A.

观察3
下面两个集合,你能发现什么?

⑴ A={1, 2, 7},B={1, 2, 3, 7}
4.真子集的概念
如果集合A ? B,但存在元素x ? B,且x ? A,我 们称集合A是集合B的真子集,记作 A B(或B A)

读作:A真包含于B(或B真包含A)

注 意
由此可见,集合A是集合B 的子集,包含了A是
B的真子集和A与B相等两种情况.

与实数中的关系类比是:≤

思考4

方程 x2 +1 = 0 的实数根能够组成集合!
那你们能找出它的元素吗?

NO!

知识要 点
我们规定: 不含有任何元素的集合叫做空集, 记作 ? .
空集是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集.

4.由集合之间的基本关系,可以得到以下结论.
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即       Α ? Α
(2)对于集合Α 、Β 、Χ ,如果Α ? Β ,Β ? Χ ,那么 Α ? Χ ? 传递性 ?

(3)对于两个集合A,B,如果A ? B 且 B ? A ,那么 A=B (4)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真 子集,即

仆 A

,? ? ?A

写出集合{a,b} 的所有子集,并指出哪些是它 的真子集. 解:集合{a,b}的所有子集为 真子集为 ?,{a},{b}.

?,{a},{b},{a,b}.

思考5
如果一个集合中有三个元素,则其子集有多少个? 真子集有多少个?

例如:集合{a,b,c},则其子集为 {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}, ? 共8= 23 个。其真子集有7= 2 3 - 1 个.
4 4

思考7 6

2 , 2 -1

如果一个集合中有 n个元素,则其子集有多少个? 如果一个集合中有四个元素,则其子集有多少个? 真子集有多少个?

子集个数为 2n , 真子集个数为 2n - 1

课堂小结
1.概念:子集、集合相等、真子集

2.性质:
(1)空集是任何集合的子集,Φ ? A.

(2)空集是任何非空集合的真子集.
Φ A(A≠Φ)

(3)任何一个集合是它本身的子集.

n 2 (4)含n个元素的集合的子集数为 ;

非空子集数为 2n - 1 ;

真子集数为 2 - 1 ;
非空真子集数为 2 - 2 .
n

n

随堂练习
1.下列命题: (1)空集没有子集; (2)任何集合至少有 两个子集;()空集是任何集合的真子集;() 3 4 若? ? A,则A ≠ ?, 其中正确的有( A ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.设x, y,a,b ? R,A = {(x, y) | y - a = x - b}, y -a B = {(x, y) | = 1}, 则A,B的关系是 x-b B?A ______.


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