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矩阵论试卷071124


2006 年硕士生《矩阵论》试卷
学院专业 一、填空题(共 28 分) 学号

任课教师 姓名

.
.

1.(2 分) 设 L 是线性空间 V n 到线性空间 V m 的线性算子, L 在基偶 e1 , e2 ,?, en 与

?1 , ? 2 ,?, ? m 下的矩阵为 A ? (aij )m?n ,向量 ? ?V n 在基 e1 , e2 ,?, en 下的坐标为
X ? ( x1, x2 ,?, xn )T ,设 L(? ) 在基 ?1 , ? 2 ,?, ? m 下的坐标 Y ? ( y1 , y2 ,?, ym )T ,则
Y?

(用 A 和 X 表示)。

2. (4 分) n 阶反对称矩阵的全体按通常的矩阵加法和数乘运算构成一线性空间, 其维数等于 ,其一组基为 。

3. (2 分) 设 e1 , e2 ,?, en 和 ?1 , ? 2 ,?, ? n 是 n 维内积空间的两组基,这两组基的度量矩 阵分别为 A 和 B,且由 e1 , e2 ,?, en 到 ?1 , ? 2 ,?, ? n 的过渡矩阵为 C , 则 B= ,(用 A,C 表示)。 ,

?1 2 3? ? ? 4. (4 分)矩阵 A ? ? 0 1 2 ? 的行列式因子分别为 ?0 0 1? ? ?

其最小多项式为 5. (4 分)设 X ? ( x1, x2 ,?, xn )T ,则 || X ||1 ?

。 , || X ||2 ? ( 1 ? p ? ? )。 , || A ||m2 ? , 。 , cos A ? , , ,

|| X ||? ?

, || X || p ?

6. (6 分)设 A ? (aij )n?n , || A ||m1 ?

|| A ||m? ?
|| A ||2 ?

, || A ||1 ? , || A ||? ?

7. (6 分)设 A ? (aij )n?n ,则 sin A ?
eA ?



二、是否题(每题 2 分,共 18 分) 1.线性空间 V n 上的两组基之间的过渡矩阵一定是可逆的。 2.线性空间上的线性变换 L 与其在给定基下的矩阵 A 的特征值与特征向量 是相同的。 3.内积空间的标准正交基所对应的度量矩阵一定是正交阵。 ( ( ) ) ) ) ( )

4. A(? ) 与 B (? ) 是两个多项式矩阵,若 A(? ) 与 B (? ) 的秩相等,则它们相抵. ( 5.若矩阵 A 的特征值互异,则其最小多项式就是特征多项式。反之亦然。 6.对于给定的一种向量范数,一定可以找到一个与之相容的矩阵范数。 反之亦然。 7. 设 A ? (aij )n?n ,则 lim Ak ? 0 的充要条件是 || A ||? 1 。
k ???

(

( (

) )

8.设 A ? (aij )n?n ,则矩阵幂级数 I ? A ? A2 ? ? ? Ak ? ? 绝对收敛的充要条件 是其谱半径 ? ( A) ? 1 。 9.对任何 n 阶方阵 A ? (aij )n?n , e A 总是可逆的。 三、计算题(共 39 分) 1. (10 分)在 P[ x]2 中,设 f ( x) ? a1 ? a2 x ? a3 x2 ,线性变换 L 为 ( ( ) )

L[ f ( x)] ? (a2 ? a3 ) ? (a1 ? a3 ) x ? (a1 ? a2 ) x2 。
1 试写出 L 在 1, x, x2 下的矩阵 A, ○ 2 求 P[ x]2 的一组基,使 L 在该基下的矩阵为对角阵。 ○

2. (10 分)试分别用初等旋转变换(Givens 变换)和镜像变换(Household 变换) 把向量 ? ? (5, 4,3,0)T 变为与 e2 ? (0,1,0,0)T 同方向的向量。

? ?1 0 1 ? ? ? 3. (10 分)设 A ? ? 1 2 0 ? ,○ 1 求 ? I ? A 的 Smith 标准形,○ 2 分别写出 A 的不变 ? ?4 0 3 ? ? ?

因子和初等因子及其 Jordan 标准形。

? 1 ?0.5 3 ? ? ? 4. (9 分)设 A ? ? 2 ?1 0 ? ,○ 1 试求 A 的特征多项式,○ 2 利用 Hamilton-Cayley ?0 ? 0 1? ?

定理计算 e A 和 cos A 。

四、证明题(共 15 分) 1. (8 分)设 Y ? ( y1, y2 ,?, yn )T 为给定的 n 维向量,其中 y1 , y2 ,?, yn ? 0 , || ? ||m 是
? n?n 上给定的一种矩阵范数,对任意的 X ? ( x1, x2 ,?, xn )T ? ? n ,定义

|| X ||v ?|| XY T ||m ,证明 || ? ||v 是与 || ? ||m 相容的一种向量范数。

2. (7 分)设 || ? ||m 是 ? n?n 上的一种矩阵范数,若 || A ||m ? 1,I 为 n 阶单位矩阵, 证明 I ? A 可逆,且 || ( I ? A) ?1 ||m ?
|| I ||m 1? || A ||m


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