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专题五第3讲圆锥曲线中的定点、定值及存在性问题


第一部分 何
基 础 要 点 整 合

专题五

解析几
解 题 规 范 流 程

第3讲

圆锥曲线中的定点、定值及存在性问题 寿县迎河中学 龙如山
训 练 高 效 提 能

考 点 核 心 突 破





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基础要点整合
一、构建知识网络

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二、梳理基础知识
掌握四个概念及公式 无关 , (1) 定值问题:在解析几何中,有些量与参数 _____ 这些量就看作定值.
(2)弦长公式:直线与圆锥曲线相交于 A(x1,y1), 1 2 1+k2|y1-y2| 1 + k | x - x | 1 2 B(x2,y2),则|AB|=_____________=____________.

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(0,0) ;直线 (3)曲线Ax2+By2+Dx+Ey=0过定点_______ (x0,y0) . y-y0=k(x-x0)过定点__________ (4)直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数) 过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0的交点.

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考点核心突破
考点一:圆锥曲线中的存在性问题
函数与方程的思想方法 题型 考查 内容 解答题 难度 [考情一点通] 较难

考 点 核 心 突 破

此类问题多考查点或参数是否存在,常与 距离、斜率或方程等问题综合考查,形成 知识的交汇,该类问题一般以证明题或探 究的形式出现.

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【例 1】 (2013· 门头沟一模)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到直线 l:x=2 的距离是到点 F(1,0)的距离的 2倍. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设直线 FP 与(1)中曲线交于点 Q,与 l 交于点 A, 分别过点 P 和 Q 作 l 的垂线,垂足为 M,N,问:是否存 在点 P 使得△APM 的面积是△AQN 面积的 9 倍?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

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[自主解答] (1)设点 P 的坐标为(x,y). 由题意知 2× ?x-1?2+y2=|2-x|, 化简得 x2+2y2=2, 所以动点 P 的轨迹方程为 x2+2y2=2.

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(2)设直线 FP 的方程为 x=ty+1, 点 P(x1, y1), Q(x2, y2). 因为△AQN∽△APM,所以有 PM=3QN, 由已知得 PF=3QF,所以有 y1=-3y2① ? ?x=ty+1 2 2 由? 2 ,得 ( t + 2) y +2ty-1=0,Δ>0, 2 ? ?x +2y =2 2t y1+y2=- 2 ② t +2 1 y1· y2=- 2 ③ t +2 由①②③得 t=-1,y1=1, 1 1 y2=- 或 t=1,y1=-1,y2= , 3 3 所以存在点 P 为(0,± 1).
菜 单

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【拓展归纳】存在性问题的类型及解法 (1)存在性问题的类型 存在性问题主要体现在以下几个方面: ①点是否存在;②曲线是否存在;③命题是否成
立. (2)存在性问题的解法 求解存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结 论,若结论正确则存在;若结论不正确则不存在. ①当条件和结论不唯一时要分类讨论; ②当给出结论而要推导出存在的条件,先假设成立, 再推出条件.

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【考点集训】
x2 y2 1. (2013· 焦作模拟)椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的两 a b 个焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上的一点,且满 → → 足F F 1M· 2M=0. (1)求离心率的取值范围; (2)当离心率 e 取得最小值时,椭圆上的点到焦点的 最近距离为 4( 2-1). ①求此时椭圆 G 的方程; ②设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 G 相交于不同的两点 A、B,Q 为 AB 的中点,问 A、B 两点能否关于过点 ? 3? ? P?0,- ? ?、Q 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围; 3 ? ? 若不能,请说明理由.
菜 单

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解析 (1)设 M(x,y), → → 则F 1M=(x+c,y),F2M=(x-c,y),
2 2 2 2 2 2 → → 由F F 1M· 2M=0?x +y =c ?y =c -x . 2 b 又 M 在椭圆上,∴y2=b2- 2x2, a 2 2 2 b a b 2 2 2 2 2 2 ∴c -x =b - 2x ?x =a - 2 . a c 又 0≤x2≤a2, 1 2 ∴0<2-e2≤1? 2 ≤e≤1. 2 ∵0<e<1,∴ 2 ≤e<1.

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?a-c=4? 2-1? ? ? ?a=4 2 (2)①依题意得:?c ∴? , 2 ? b = 4 = ? ? ?a 2 x2 y2 ∴椭圆方程是: + =1. 32 16 x2 y2 ? ? + =1 ②设 l:y=kx+m,由?32 16 ? ?y=kx+m ?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0, 而 Δ>0 可得 m2<32k2+16.

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? P? ?0,- ?

又 A、B 两点关于过点

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1 ∴kPQ=-k ,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2km m 则 xQ=- ,y = , 1+2k2 Q 1+2k2 3 yQ+ 3 1+2k2 1 ∴ =- ?m= , xQ k 3 ?1+2k2? 47 ? ?2 2 2 ∴? <32k +16?0<k < 2 . ? 3 ? ? 94 94 又 k≠0,∴- 2 <k<0 或 0<k< 2 , 94 94 ∴所求的 k 的取值范围是- 2 <k<0 或 0<k< 2 .
菜 单

3? ? 、Q 的直线对称, 3? ?

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考点二:圆锥曲线中的定值问题
[考情一点通] 题型 解答题 难度 较难

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此类以直线和圆锥曲线为载体,求某些 定值问题,常与一元二次方程、函数、 考查 向量、数列等知识交汇命题,其实质是 内容 考查直线与圆锥曲线的位置关系,该类 问题一般以证明题或探究的形式出现.

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【例 2】 (2013· 咸阳模拟)在平面直角坐标系 xOy 中, 3 椭圆 E 的中心为原点, 焦点 F1, F2 在 y 轴上, 离心率为 . 3 过 F1 的直线 l 交 E 于 A, B 两点, 且△ABF2 的周长为 4 3. (1)求椭圆 E 的方程;

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(2)过圆 O:x2+y2=5 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条 切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值.

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[自主解答] (1)设椭圆 E 的方程为 y2 x2 + =1(a>b>0). a2 b2 因 AB 过 F1 且 A,B 在椭圆上, 则△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2| =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2| =4a=4 3, 故 a= 3. c 3 又离心率 e=a= 3 ,∴c=1, ∴b2=a2-c2=2. y2 x2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 3 2
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(2)证明

设点 P(x0,y0),过点 P 的椭圆 E 的切线 l0

的方程为 y-y0=k(x-x0). y-y =k?x-x0? ? ? 2 02 由?y x + 2 =1 ? 3 ? +2(kx0-y0)2-6=0. 因 l0 与椭圆 E 相切,故 Δ=[4k(y0-kx0)]2-4(3+ ,可得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x

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2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0.
2 2 整理可得(2-x2 ) k + 2 kx y - ( y 0 0 0 0-3)=0.

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设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1, k2, y2 0-3 则 k1· k2=- 2. 2-x0
2 因点 P 在圆 O 上,∴x2 0+y0=5,

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5-x2 0-3 ∴k1· k2=- 2 =-1. 2-x0 故两条切线的斜率之积为常数-1.

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【拓展归纳】定值问题的解法

定值问题常表现为求一些直线方程、比例关系、参数
的和与积等的定值,解决的方法有: (1) 特值证明法:由特例先得到一个值,此值一般就

是定值,然后再进行证明.
(2) 代数计算法:化解问题的关键是引进变化的参数 或利用已知的参数表示直线的方程、比例关系及参数的和
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与积等,将问题转化为代数计算与推理,根据等式的恒成
立,代数式的变换等寻找不受参数影响的量.

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【考点集训】
2. (2013· 宜春模拟)已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点 在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x2=4y 的焦点, 2 5 离心率等于 5 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 x 轴上异于椭圆 C 长轴端点的一定点 M(m,0) →= 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 交 y 轴于 P 点, 若PA → ,PB → =λ2BM → ,(λ1∈R,λ2∈R),试问:λ1+λ2 是否 λ1AM 为定值?如果是定值, 请求出这个定值; 如果不是定值, 请说明理由.

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x2 y2 解析 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 由题意知 b=1. a2-b2 2 5 1 2 5 ∴ a2 = 5 ,即 1-a2= 5 , 2 x ∴a2=5,∴椭圆 C 的方程为 5 +y2=1. (2)设 A、B、P 点的坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2)、 P(0,y0). 显然直线 l 存在斜率,设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程是 y=k(x-m).

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将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并 整理得(1+5k2)x2-10mk2x+5m2k2-5=0. 5m2k2-5 10mk2 ∴x1+x2= 2,x1x2= 2 . 1+5k 1+5k → =λ1AM → ,PB → =λ2BM →, 又PA x1 x2 则 λ1= ,λ2= . m-x1 m-x2 m?x1+x2?-2x1x2 x1 x2 λ1+λ2= + = m-x1 m-x2 m2-m?x1+x2?+x1x2 10 = 2 为定值. m -5

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考点三:圆锥曲线中的定点或定直线问题
[考情一点通] 题型 解答题 难度 较难

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此类问题以直线和圆锥曲线为载体,结 合其他条件,探究或证明直线、曲线过 考查 定点,或动点在定直线上,试题的条件 内容 中往往含有一个或两个参数,解题的过 程往往就是消参的过程.

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【例 3】 (2013· 日照一模)已知长方形 ABCD,AB= 3 2 2,BC= 3 .以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平 面直角坐标系 xOy.

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(1)求以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆 P 的标 准方程; (2)已知定点 E(-1,0),直线 y=kx+t 与椭圆 P 交于 M、N 相异两点,证明:对任意的 t>0,都存在实数 k, 使得以线段 MN 为直径的圆过 E 点.

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[自主解答] 为(- 2,0),(

(1)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别
? 2,0),? ? ?

3? ? 2, 3 ? . ?

x2 y2 设椭圆的标准方程是 2+ 2=1(a>b>0), a b 则 2a=AC+BC=2 3>2 2,∴a= 3.
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2 x ∴b2=a2-c2=1,∴椭圆的标准方程是 +y2=1. 3

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(2)证明 将 y=kx+t 代入椭圆方程,得(1+3k )x + 6ktx+3t2-3=0, 由直线与椭圆有两个交点, 2 t -1 2 2 2 2 所以 Δ=(6kt) -12(1+3k )(t -1)>0, 解得 k > . 3 设 M(x1,y1)、N(x2,y2), 3?t2-1? 6kt 则 x1+x2=- x2= 2,x1· 2. 1+3k 1+3k →· → =0, 因为以 MN 为直径的圆过 E 点,所以EM EN 即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0, 而 y1y2=(kx1+t)(kx2+t) =k2x1x2+tk(x1+x2)+t2,

2

2

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2 3 ? t -1? 6kt 2 2 所以(k +1) 2 -(tk+1) 2+t +1=0, 1+3k 1+3k 2t2-1 解得 k= 3t . 2 t -1 2 如果 k > 3 对任意的 t>0 都成立,则存在 k, 使得以线段 MN 为直径的圆过 E 点. 2 2 2 2 ?2t2-1? t - 1 ? t - 1 ? + t ? ?2 >0, 2 ? 3t ? - 3 = 9 t ? ? 2 t -1 2 即k> 3 . 所以,对任意的 t>0,都存在 k,使得以线段 MN 为 直径的圆过 E 点.

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【拓展归纳】定点问题的求解策略

(1) 证明曲线过定点,经常将曲线方程中的参变量集
中在一起,令其系数等于零,得出定点坐标; (2) 在证明圆过定点时,常利用直径所对的圆周角为 直角,并且结合向量的数量积来证明.
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【考点集训】
x2 y2 3.(2013· 临沂模拟)如图,已知椭圆 C:a2+b2=1(a 3 >b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 2 ,点 A 是椭圆上任一点,△AF1F2 的周长为 4+2 3.

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(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(-4,0)任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M,N → =λQN →, → 两点, 记MQ 若在线段 MN 上取一点 R, 使得MR → ,则当直线 l 转动时,点 R 在某一定直线上运 =-λRN

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动,求该定直线的方程.

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解析 (1)∵△AF1F2 的周长为 4+2 3, ∴2a+2c=4+2 3, 即 a+c=2+ 3. c 3 又 e=a= 2 ,解得 a=2,c= 3,b2=a2-c2=1, x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)由题意知,直线 l 的斜率必存在, 设其方程为 y=k(x+4),M(x1,y1),N(x2,y2). x2 2 ? ? +y =1 由? 4 , ? ?y=k?x+4? 得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-4=0.
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-32k2 64k2-4 → → 则 x1+x2= 2,x1x2= 2 ,由MQ=λQN, 1+4k 1+4k 得 (-4-x1,-y1)=λ(x2+4,y2), x1+4 ∴-4-x1=λ(x2+4),∴λ=- . x2+4 → =-λRN →, 设点 R 的坐标为(x0,y0),由MR 得(x0-x1,y0-y1)=-λ(x2-x0,y2-y0), ∴x0-x1=-λ(x2-x0), x1+4 x+ · x x1-λx2 1 x2+4 2 2x1x2+4?x1+x2? 解得 x0= = = . 1-λ x1+4 ?x1+x2?+8 1+ x2+4
菜 单

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64k2-4 -32k2 而 2x1x2+4(x1+x2)=2× 2 +4× 1+4k 1+4k2 8 =- , 1+4k2 -32k2 8 (x1+x2)+8= +8= , 1+4k2 1+4k2 8 - 1+4k2 ∴x0= =-1, 8 1+4k2 故点 R 在定直线 x=-1 上.

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解题规范流程
答题模板十一 解析几何中的定值问题

x2 y2 【典例】 (13 分)(2013· 江西)椭圆 C: 2+ 2=1(a a b 3 >b>0)的离心率 e= ,a+b=3 2
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.
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(1)求椭圆 C 的方程;





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(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除
顶点外的任意点,直线 DP 交x 轴于点 N
② ,直线 AD 交 BP

于点M ③,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:2m-
k为定值.

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[解题流程]
第一步:细研题干,提取关键信息 关键点 ① ② 获取信息 把离心率用a、b表示,再由a+b=3可求 椭圆的方程. 利用直线DP的方程可求出点N的坐标.

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由直线AD和直线BP的方程可求出点M的 坐标,则可得MN的斜率.

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第二步:逆审设问,突破解题切点

(1)要求椭圆C的方程?需要求出a、b的值
?需要把离心率e用a和b表示并求解?[关键点] (2)要证明2m-k为定值?需求直线MN的斜率m ?需求点M和N的坐标

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?需求相关直线的方程并求交点

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第三步:规范答题,杜绝无谓失分

规范解答 [解析]
2 2 3 c c2 a -b (1)因为 e= 2 =a,故a2= a2

b2 3 =1-a2=4, 所以 a=2b,再由 a+b=3,可解得 a=2,b=1,
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x 所以椭圆 C 的方程为 4 +y2=1.(5 分)

2





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(2)因为 B(2,0),P 不为椭圆顶点,则 BP 方程为 y= ? 1? ?, k(x-2)?k≠0且k≠± 2 ? ? ? x2 ? ? y2 ?1 ? 4 由? ,得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0, ? ? y ? k ( x ? 2) ? 因为点 B 的坐标为(2,0), 即上述二次方程的其中一个根为 2,

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8k2-2 由根与系数关系可得其另外一个根为 2 , 4k +1 8k2-2 即点 P 的横坐标为 2 , 4k +1

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?8k2-2 ? 4k ? ? - 2 则其纵坐标为 y=k? 2 ?=-4k2+1, 4 k + 1 ? ? ?8k2-2 4k ? ? ? ,- 2 所以点 P 的坐标为 P? 2 ?.(7 分) 4 k + 1 4 k + 1 ? ?

1 又直线 AD 的方程为 y=2x+1, ? ? y ? 1 x ?1 2 与直线 BP 的方程联立得 ? , ? ? ? y ? k ( x ? 2) ?
考 点 核 心 突 破

可解得

?4k+2 4k ? ? ? , M? ?.(8 2 k - 1 2 k - 1 ? ?

分)

4k - 2 -1 4k +1 2k+1 易知直线 DP 的斜率为 kDP= =- , 8k2-2 2?2k-1? 4k2+1
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2k+1 则直线 DP 的方程为 y=- x+1,令 y=0, 2?2k-1? ?4k-2 ? 4k-2 ? ,0? 得 x= ,即 N? ?,(11 分) 2 k + 1 2k+1 ? ? 4k -0 2k-1 所以直线 MN 的斜率为 m= 4k+2 4k-2 - 2k-1 2k+1 4k?2k+1? 2k+1 = = , 4 2?2k+1?2-2?2k-1?2 2k+1 1 则 2m-k= 2 -k=2(定值).(13 分)

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答题模板 第一步:引进参数.从目标对应的关系式出发,引 进相关参数,一般地,引进的参数是直线的斜率或截距 等. 第二步:探求目标式.通过代数运算,把目标代数 式用所设定的参数来表示,这一步骤是题目的核心与难 点所在,也是解题的关键.

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第三步:消参求定值.根据所求得的目标式,把其 中的参数消去,即可得定值.

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随堂演练
x2 y2 1.(2013· 朝阳一模)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b> a b 3 0)过点 A(2,0),离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 B(1,0)且斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 C 相 交于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别交直线 x=3 于 M, N 两点,线段 MN 的中点为 P.记直线 PB 的斜率为 k′, 求证:k· k′为定值.

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? ?a =b +c , ?c 3 解析 (1)? = , 解得 a2=4,b2=1. ?a 2 ? ?a=2. x2 2 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)根据已知可设直线 l 的方程为 y=k(x-1). ? ?y=k?x-1?, 2 2 2 2 由? 2 得 (4 k + 1) x - 8 k x + 4 k -4=0. 2 ? ?x +4y -4=0 设 E(x1,y1),F(x2,y2), 4k2-4 8k2 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +1 4k +1
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2

2

2

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直线 AE,AF 的方程分别为: y1 y2 y= (x-2),y= (x-2), x1-2 x2-2 ? ? y1 ? y2 ? ? ? ? 令 x=3,则 M?3,x -2?,N?3,x -2? ?, 1 2 ? ? ? ? ? ? y2 ? 1? ? ? y1 ?? 所以 P?3,2?x -2+x -2??. 2 ? ? 1 ?? k k?x1-1??x2-2?+k?x2-1??x1-2? 所以 k· k′=4× ?x1-2??x2-2? k2 2x1x2-3?x1+x2?+4 = × 4 x1x2-2?x1+x2?+4 8k2-8-24k2+16k2+4 2 2 4 k +1 k k2 -4 1 = × 2 = × =- . 4 4k -4-16k2+16k2+4 4 4k2 4 4k2+1
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x2 y2 2.(2013· 静安模拟)如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b> a b 0)的左焦点为 F1,右焦点为 F2,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,△ABF2 的周长为 8,且△AF1F2 面积最大时, △AF1F2 为正三角形.

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(1)求椭圆E的方程; (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共 点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:①以PQ为直径的 圆与x轴的位置关系? ②在坐标平面内是否存在定点 M,使得以PQ为直径 的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,说明

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理由.

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解析 (1)当三角形面积最大时,为正三角形, 所以 A(0,b),a=2c,4a=8, 2 2 x y ∴a2=4,b2=3,椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3 y=kx+m ? ? 2 2 (2)①由?x y , + =1 ? 4 3 ? 得方程(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0, 由直线与椭圆相切得 m≠0,Δ=0?4k2-m2+3=0. ? 4k 3 ? 求得 P?- m ,m?,Q(4,4k+m), ? ? ? m 3 ?2 2 PQ 中点到 x 轴距离 d =?2k+ 2 +2m? , ? ?
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(4k2-m2+3=0?m≠2k). 所以圆与 x 轴相交. ②假设平面内存在定点 M 满足条件,由对称性知点 ? 4k 3? → M 在 x 轴上, 设点 M 坐标为 M(x1,0), MP=?- m -x1,m?, ? ? → =(4-x1,4k+m). MQ ? ?k → → ? ? +x2-4x +3=0, 4 x - 4 由MP· MQ=0 得? 1 ? 1 m 1 所以 4x1-4=x2 1-4x1+3=0,即 x1=1, 所以定点为 M(1,0).

?1 ? ?2k ? 2 2 ? |PQ|? -d =? -1?2>0 ?2 ? ?m ?

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