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直线和抛物线的位置关系


直线和抛物线

的位置关系

一、直线和抛物线的位置关系
若消元得到二次方程,则 方程组两组解 ??0

??0 ? ??0?

?

? 相交

y

方程组一组解 方程组没有解

? 相切 ? 相离

/>
O

x

若消元得到一次方程, 直线和抛物线的对称轴平行或重合, 为相交关系.

思考:只有一个交点一定是相切吗?

判断直线与抛物线位置关系的操作程序
把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

例1 求过定点P(0,1)且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程.

y ? 2x
2

解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0. y x ?0 x ?0 由 y 2 ? 2x 得 y ?0 O 故直线 x=0与抛物线只有一个交点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是 y=kx+1, y ? kx ?1 由方程组 消去 y 得 k 2 x 2 ? 2(k ? 1)x ? 1 ? 0 2 y ? 2x 1 当 k=0时,x= 2 ,y=1. 故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 .

{

{

x

{

当k≠0时,若直线与抛物线只有一个公共点,则 1 Δ ? 4(k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0,? k ? . 2 1
此时直线方程为

1 y ? x ? 1. 综上所述,所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 2
2

y?

x ? 1.

练习: 当k为何值时,直线y= k x+1与抛物线 (1)相交,(2)相切,(3)相离? y ? kx ?1 解:由方程组 y 2 ? 4 x 消去 y ,并整理得

y2 ? 4x

{

k 2 x 2 ? (2k ? 4)x+1 ? 0
2 2 ? ? (2 k ? 4) ? 4 k ? 16(1 ? k ) 当K ≠ 0时,该方程是一元二次方程,所以

(1)当? ? 0,即k ? 1时,直线与抛物线相交

(2)当? ? 0,即k ? 1时,直线与抛物线相切 (3)当? ? 0,即k ? 1时,直线与抛物线相离
当 k=0 时 , 直线方程为y=1,与抛物线交于一点

综上所述,当k<1时直线和抛物线相交且k=0时交于一点; 当k=1时,直线和抛物线相切;当k>1时直线和抛物线相离.

例2: 在抛物线 4=0的距离最小.

y?x

2

上求一点,使它到直线2x-y-

解:设P(x,y)为抛物线 y 线2x-y-4=0的距离

? x 2 上任意一点,则P到直

| 2x ? y ? 4 | | 2x ? x 2 ? 4 | | (x ? 1)2 ? 3 | d? ? ? 5 5 5 3 当且仅当 x=1 时, , d min ? 此时 y=1,所求点的 5 坐标为P(1,1).

另解: 观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点 即为所求. 设切线方程为 2x-y+C=0,联立 y ? x 2 得

x 2 ? 2x ? C ? 0
由 Δ ? (?2)
2

(?)

又由(?)得 x=1,∴y=1.

? 4 ? (?C) ? 0

得 C=-1

故所求点的坐标是(1,1). 点评:此处用到了数形结合的方法.

y?x

2

y
p

O

x
2x-y-4=0

互动练习
1.过点(0,2)与抛物线 y 点的直线有( C) (A)1条 (B)2条 (C)3条 P (D)无数多条
2

? 8x

只有一个公共

.

2.在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L:4x+3y+46=0的距 离最短,并求此距离。

分析: 抛物线上到直线L距离最短的点,是和此
直线平行的切线的切点。
y

解:∵

y2=64x

无实根
x P

4x+3y+46=0

∴直线与抛物线相离 设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切 的直线方程为y=-4/3 x+b

·

L

则由

y=-4/3 x+b
y2=64x

消x化简得 ∴b=-12

y2+48y-48b=0

△=482-4×(-48b)=0

∴切线方程为:y=-4/3 x-12 解方程组 y=-4/3 x-12 y2=64x 得 x=9 y=-24

∴切点为P(9,-24) 切点P到L的距离d=

| 4 ? 9 ? 3 ? (?24) ? 46 | 42 ? 32

?2

∴抛物线y2=64x到直线L:4x+3y+46=0有最短距离的 点为P(9,-24),最短距离为2。

3、斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦 点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.

y=x-1 2 解:由{ 2 得x ? 6 x ? 1 ? 0 y ? 4x
? 32 2 法1:|AB|= 1+k ? ? 1 ? 1 ? ?8 |a| 1
2

法2:设( A x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x ? x2 ? 6, |AB|=p+x ? x2 ? 2 ? 6 ? 8

4、已知抛物线y ? 6 x, 求以点M ? 4, 1?
2

解:设直线方程y ? k ?x ? 4 ? ? 1,

为中点的弦所在直线的方程。

直线与抛物线交于 A?x1, y1 ?B ?x2 , y2 ?,
2 ? ? y1 ? 6 x1 ?1? ?1? ? ?2?得 所以? 2 ? ? y2 ? 6 x2 ?2 ? y1 ? y2 6 6 ? ? k所以y1 ? y2 ? x1 ? x2 y1 ? y2 k

y1 ? y2 因为 ? 1,所以k ? 3, 2 所以3 x ? y ? 11 ? 0即为所求。

二、抛物线的焦点弦性质
例1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
y

抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则

A

(1)|AB|=x1+x2+p
(3)x1x2=p2/4;

(2)通径长为2 p
y1y2=-p2;
O B

θ F

(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.

1 1 2 (7) ? ? AF BF p

(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线 相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)|AB|=x1+x2+p
y

(2)通径长为2p

y
A` A

A F B

o
B`

F B

x

O

x

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(5)以AB为直径的圆与准线相切.

证明:如图, M M1 ? A A1 ? B B1 2 ? AF ? BF 2 ? AB 2
l A1

y

A F M
X

故以AB为直径的圆与准线相切. M1 O

B1

B

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。

证明:如图, ?1=?2 ? ?3,?4=?5 ? ?6, 又?1 ? ?3 ? ?4 ? ?5 ? 180 ,
0

A1

y
2

A

??1 ? ?4 ? 900,即?AFB ? 900
O
B1
5 1 4 6 3

F

X

B

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(3)x1x2=p2/4;
0

y1y2=-p2;

y

证明:思路分析:韦达定理

A

p ? y1 y2 ? - p ,x1 x2 ? ; 4
2

p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2

1 当AB ? x轴时,

O B

F

x

20 AB斜率存在时设为k,(k ? 0)
2

y p 2 py 2 消元得y ? 2 ( p ? )即y ? ? p2 ? 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 ?y1 y2 ? - p ;x1 x2 ? 2 p ? 2 p ? 4

p 则直线AB方程为y=k(x- ) 代入抛物线方程y2 ? 2 px 2

法二:由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x ? my ? ,(m ? R) 2 ? y 2 ? 2 px p ? 2 ? p ? y ? 2 p (my ? ) 2 ? x ? my ? ? 2 y

即:y ? 2 pmy ? p ? 0
2 2

A

? y1 y2 ? ? p  (定值)
2

O

F B

x

2 y12 y2 p4 p2 ? x1x2 ? ? ? ? (定值) 2 2p 2p 4p 4

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;
解:过A,B点作准线的垂线,垂足 为P, Q
p p p ? P(? , y1 ), Q(? , y2 ), F ( ,0) 2 2 2
P
y

法3:利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90° 。
A

? PF ? QF

Q

O

?

F

x

? PF ? QF ? 0 即( p,? y1 ) ? ( p,? y2 ) ? 0
? p 2 ? y1 y2 ? 0
即y1 y2 ? ? p 2

B

p2 易得:x1 x2 ? 4

练习 (1).若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线y2=2px(p>0) 交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps. 证明:设AB 的方程为x=my+s (m∈R) 代入抛物线得y2-2pmy-2ps=0, 2 2 y12 y2 (? 2 ps) 2 ? y1 ? y2 ? ?2ps ? x1 x2 ? ? ? ? s 2 (2). 若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2), 且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证:直线过定点 (s,0)(s>0) y1 ? y2 2p y 21 ? 2 px1 相减得k AB ? ? 证明: x1 ? x2 y1 ? y2 y 2 2 ? 2 px2 y 2p A ? 直线AB方程为y ? y1 ? (x ? x1) y1 ? y2
2p 2p 4p

令y ? 0得 ? y ? y1 y2 ? 2 px ? 2 px1
2 1

因为y21 ? 2 px1,y1y2 =-2ps代入上式得 x ? s ?直线AB必过点(s, 0)

B
l

M

y2=2 px

x

抛物线对称轴上的重要结论

若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则 直线过定点 M(s,0),(s>0)
(1)M为焦点,即过(p/2,0) (2)M过(p,0) (3)M过(2p,0)

x1x2=s2;y1y2=-2ps.

x1x2=p2/4;y1y2=-p2.

(4)M过(3p,0) (5)M过。。。。。。。

x1x2=p2;y1y2=-2p2. x1x2=4p2;y1y2=-4p2. x1x2=9p2;y1y2=-6p2.
y

OA ? OB

A

M

x

B
l

y2=2px

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ 证明: 思路分析 y x ? x ? p |AB|=|AF|+|BF|= 1 2

A

() 1 ? ? 900 时,k不存在, p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2p A B =2P= sin 2 900
0

O B

θ F

x

p (2)? ? 90 时,斜率k ? tan ?,直线方程为y ? tan ? (x ? ) 2 2p 然后联立方程组用韦达定理得 A B ? p ? x1 ? x2 ? sin 2?

思考:焦点弦何时最短? 过焦点的所有弦中,通径最短

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 1 ? 1 ? 2

p p 7) AF ? X 1 ?    BF ? X 2 ? 2 2

AF

BF

p

p? ? p? ? X1 ? ? ? ? X 2 ? ? ? 1 1 1 1 2? ? 2? ? ? ? ? ? ? p p p ?? p? AF BF ? X1 ? X2 ? X 1 ? ?? X 2 ? ? ? 2 2 2 ?? 2? ? x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p ? ? 2 2 p p p p2 p x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x1 ? x2y) A 2 4 4 4 2 x1 ? x2 ? p 2 ? ? p O F ( x1 ? x2 ? p ) p B 2

x

例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴. y 证明 : 设直线AB的方程 : A p x ? my ? , 代入y 2 ? 2 px, 得 2 O F y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0.
设( A x1,y1),( B x2,y2)则y1 y2 ? ? p 2 . C
B

y1 py1 p p y= x,x=- 联立得C (- ,) x1 2 2 2x1

py1 py1 ? p y1 y2 yc ? ?- 2 ? ? ? y2 y1 2x1 y1 y1 2 2p
2

? BC || X 轴

例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点O共线. y (2001年高考题) 证明 : 设直线AB的方程 : p x ? my ? , 代入y 2 ? 2 px, 得 2 O F y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0. C
设( A x1,y1),( B x2,y2)则y1 y2 ? ? p 2 . 2 p p ?p ? B || X 轴 ? C (- ,y2), 即C (- , ) 2 2 y1 ? p2
y1 2 p y12 1 y1 k OC ? ? ? ? ? ? kOA p y1 x1 y1 x1 ? 2
B

A

?OC || OA且共点O, ?直线AC过点O

二、抛物线中的直角三角形问题 例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的 两点,且OA⊥OB,

1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
2. 求证:直线AB过定点;

3. 求弦AB中点P的轨迹方程;
4. 求△AOB面积的最小值;

5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB,
(1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;

[解答] (1)设A(x1, y1),B(x2, y2),中点P(x0, y0),
kOA y1 y2 ? , kOB ? x1 x2

∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1,∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1,y22 = 2px2
y1 y2 ? ? ? y1 y2 ? 0 2p 2p
2 2

∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=?4p2 ∴ x1x2=4p2.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,

(2) 求证:直线AB过定点;
[解答](2)∵ y12=2px1,y22=2px2∴ (y1?y2)(y1+y2) = 2p(x1?x2)

y1 ? y2 2p ? ? x1 ? x2 y1 ? y2

? k AB ?

2p y1 ? y2

2p ? 直 线AB : y ? y1 ? ( x ? x1 ) y1 ? y2
2 px y1 ? 2 px1 ? y1 y2 2 px 2 px1 ?y? ? ?y? ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2
2 2 px ? 4 p 2 ? ? y1 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p2 ? y ? y1 ? y2 y1 ? y2
2

?y?

2p ( x ? 2 p) y1 ? y2

∴ AB过定点T(2p, 0).

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB, (3) 求弦AB中点P的轨迹方程;
2p 2p ?A( 2 , ) (3)设OA∶y = kx,代入y2=2px 得: k ? 0, k k
1 ? 同理, k

以代k得B(2pk2, -2pk) .

1 ? 2 x ? p ( k ? ) ? ? 0 k2 ?? ? y ? p( 1 ? k ) 0 ? k ?

1 1 2 ? k ? 2 ? (k ? ) ? 2 ? k k
2

x0 y0 2 ?( ) ?2 p p

即 y02 = px0-2p2,

∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (4)求△AOB面积的最小值;

(4)

? S ?AOB ? S ?AOM ? S ?BOM 1 ? | OT | (| y1 | ? | y2 |) ? p(| y1 | ? | y2 |) 2

? 2 p | y1 y2 | ? 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时,等号成立.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一:设M(x3, y3), 则 kOM ? 3 x3 x

x3 ? AB : y ? y3 ? ? ( x ? x3 ) y3 y3 y3 即x ? ? ( y ? y3 ) ? x3代入y 2 ? 2 px得 x3 2 2 py3 2 py3 2, 2 由 (1) 知, y y =-4 p y ? y? ? 2 px3 ? 0, 1 2 x3 x3 2 2 py3 ? ? 2 px3 ? 4 p 2 整理得:x32+y32 -2px3=0, x3
? k AB ? ?
3

∴ 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0)).

7. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.

法二:∵ AB过定点T(2p, 0). ∴ ∠OMT=90?, 又OT为定线段 ∴ M在以OT为直径的圆上 ∴ 点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注:此类问题要充分利用(2)的结论.

小结:
在求轨迹方程问题中易于出错是对轨 迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此,在 求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法 分子”掺杂其中,应将其剔除;另一方面 又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”, 应将其找回。

四、点与抛物线
点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系及 判断方法.

1.点在抛物线外
2.点在抛物线上 3.点在抛物线内

y02-2px0>0 y02-2px0=0 y02-2px0<0

例4、已知抛物线y ? x 2上存在两个不同的点A, B关于 9 直线l:y ? k x ? 对称,求k的范围. 2

解: 设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )

2 ? y ? x y1 ? y2 1 ? 1 1 相减得:kAB ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ? ? 由? 2 x1 ? x2 k ? ? y 2 ? x2 y 9 1 A 又y0 ? kx0 ? ? y0 ? 4 ? x0 ? ? 2 2k ? M

要使直线AB与抛物线有两交点, 则M(x0,y0)在抛物线内部, ? y0 >
2

l

P .
F

B

x

2 0

即4 >

x

2 0

1 ?4 ? 2 4k

O

x

1 ?k ? 16

1 1 ? k ? (?? ,? ) ? ( ,?? ) 4 4

例4、已知抛物线y ? x 2上存在两个不同的点A, B关于 y A 9 直线l:y ? k x ? 对称,求k的范围. M ?P 2 .

l

B

F

1 解法二:由题目k ? 0可设直线AB方程为y=- x ? b, k 1 1 2 2 与y=x 联立得x ? x ? b ? 0, ?? ? 2 ? 4b>0 k k

O

x

1 1 1 1 又x1 ? x2 ? ? ,y1 ? y2 ? (- x1 ? b)( ? - x2 ? b) ? 2 ? 2b k k k k

1 1 9 1 ? AB中点M ( ? , 2 ? b)代入y=kx+ 得,b=4- 2 , 2k 2k 2 2k

1 1 1 1 1 2 ?? ? 2 ? 4b ? 16- 2 >0, ? k > ? k < ? 或k > k k 16 4 4

x y 练习:椭圆 ? ? 1上存在关于直线 9 4 l : y ? 2 x ? m对称的两点A、B,求m的范围。
解法一:设A(x1 ,y1 ),B(x 2 ,y 2 ), AB中点M (x 0 ,y 0 )
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 ? ? 1, ? ? 1相减得 9 4 9 4 4 x0 1 9 8 k AB ? ? ? ? ? 又y0 =2x0 +m解得x 0 ? ? m, y0 ? ? m 9 y0 2 10 10 2 x2 y ?点M 在椭圆内部,? 0 ? 0 ? 1 9 4 9 8 x 0 ? ? m, y0 ? ? m代入上式解得-2<m<2 10 10

2

2

1 x y 解法二:设AB方程为y= ? x ? n代入 ? ?1 2 9 4 25 2 25 2 2 得 x ? 9nx ? 9n ? 36 ? 0,由? ? 0得n ? , 4 4 36n 32n 又x1 ? x2 ? ,y1 ? y2 ? , 25 25 18n 16n AB中点M ( , )代入y=2x+m 25 25 5 25 2 可得n=- m代入n ? 得-2<m<2 4 4

x y 练习:椭圆 ? ? 1上存在关于直线 9 4 l : y ? 2 x ? m对称的两点A、B,求m 的范围。 2 2

2

2

【例题5】
如图所示,直线L1与L2相交于M点L1⊥L2,N∈L2,以A,B为端点的 ?AMN 曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, 为锐 AM ? 17, AN ? 3, BN ? 6 ,建立适当坐标系,求曲线C的 角三角形, 方程。 分析:1.如何选择适当的坐标系。 2.能否判断曲线段是何种类型曲线。 l1 B 3.如何用方程表示曲线的一部分。 A l2 M N

如图所示,直线L1与L2相交于M点L1⊥L2 ,N∈L2,以A,B为端点 的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, ?AMN 为 锐角三角形, AM ? 17, AN ? 3, BN ? 6 ,建立适当坐标系,求曲线C 的方程。

解法一:建立如图所示的直角坐标系,原点为O(0,0)
Rt?ACM , MC ? AD ? AN ? 3
l1

y A
M O C N

B

D
l2

?| AC |? | AM |2 ? | MC |2 ? 2 2 Rt ? ACN 中,AN ? 3
?| NC |? | AN |2 ? | AC |2 ? 1

x

MN ? 4, 则N为(2,0) 即抛物线方程: y 2 ? 8 x 1, 2 2) 由图得, A为( , p B为(4, 4 2) xB ? ?| BN |? 6 2 2 y 曲线段C的方程为: ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0)

如图所示,直线L1与L2相交于M点L1⊥L2 ,N∈L2,以A,B为端点的 曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, ?AMN为锐角 三角形, AM ? 17, AN ? 3, BN ? 6 ,建立适当坐标系,求曲线C的方 程。

解法二: 建立如图所示的直角坐标系,原点为O(0,0)
l1 y B

设抛物线方程: y 2 ? 2 px( p ? 0)

D
l2 M O

A
C N

p p p 则N ( , 0),( A 3? , 2 2),xB ? ?| BN |? 6 2 2 2 p p A(3 ? ,2 2 ) 8 ? 2 p (3 ? ) 2 2 x

得, p ? 2或4

p p 所以3 ? ? 得p ? 3 ;即p ? 4 2 2 2 y 曲线段C的方程为: ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0)

?AMN为锐角三角形, xA ? xN

y D A

B

解法三:
建立如图所示的直角坐标系, 原点为 M (0,0)

M Q

C

N

x

Rt?ACM , MC ? AD ? AN ? 3
?| AC |? | AM |2 ? | MC |2 ? 2 2
Rt ? ACN 中,AN ? 3

?| NC |? | AN |2 ? | AC |2 ? 1

MN ? 4, 则N为(4,0)顶点Q为(2, 0)
易得 : xA ? 3, xB ? 6
曲线段C的方程为:

抛物线方程为: y 2 ? 8( x ? 2)

y 2 ? 8( x ? 2)(3 ? x ? 6, y ? 0)

例6(1)已知动圆P与定圆A:(x ? 2) ? y ? 1外切,
2 2

与定直线l : x ? 1相切,求动圆圆心P的轨迹方程 . y
解法一:设( P x,y),(x<1), 由 | PA |?| PM | ?1得
2 (x+2) ? y2 ? ( 1 ? x) ? 1,

P

M

N

化简得y2 ? ?8 x,(x ? 0)

A

x ?1 x ? 2

解法二:由题知P到定点A(-2,0)与到直线x=2的距离相等, P点轨迹是以A(-2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线, ?轨迹方程为y2 ? ?8x,(x ? 0)

例6(2)、抛物线y 2 ? x和圆( x ? 3)2 ? y 2 ? 1上最近两点间的距离为?

y

分析:如图, 抛物线上任意一点 P与圆上任意一点 Q

P
O F

Q
? C

| PQ |?| PA |
? | PQ | 最小值时,连线必经过 圆心

.

A

x

设P( x, y), C (3,0)
?| PC |? ( x ? 3) ? y ?
2 2

x ? 5 x ? 9 ( x ? 0)
2

5 11 ?当x ? 时, | PC |min ? 2 2 11 ?| PQ |min ? ?1 2

(1)直线l过抛物线y =2px (p>0)的焦点且与x轴垂直,

2

3 若l被抛物线截得的线段长为6,则p=__________
p ( , p) 2A
O
p F ( ,0) 2

y

y2=2px

x

p B ( ,? p ) 2 l

(2,0) (2) 已知抛物线方程 y 2=8x, 则它的焦点坐标为 _______, 准线方程为 x=-2 , ________

若该抛物线上一点到y轴距离等于5,则它到抛物线的 焦点的距 7 离为___________ ,

若该抛物线上一点M到焦点距离等于4,则M的坐标为__________.
y

(2,4),(2,-4)

H
O

Q p
F (2,0)

y ? 8x
2

y

y ? 8x
2

H
x
O

M
F (2,0)

x

l:x=-2

l

:x=-2

(3)抛物线的顶点在原点, 对称轴为y轴,焦点在 x+2y-12=0上, x2=24y 则它的方程为__________. o

y
F(0,6) x

L: x+2y-12=0 (4)抛物线y =2x上的两点A、B
2

到焦点的距离和为5,则线段AB
中点到y轴的距离是__________. 2
C

y

A

N

O F

M

x

D
L:x=1 2

B

(5) 一抛物线拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽
4米,则当水面下降1米后,水面宽__________米。
y l O

2

x
2

(-2,-2)A 2 G 1 C H

B(2,-2)
D

x2=-2y

? 6 ? (2010? 合肥二检)直线l过抛物线y 2 = 2px ? p > 0 ?的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若
线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2, 则此抛物线的方程是 ? A.y 2 =12x C.y 2 = 6x

?
B .y 2 = 8x D .y 2 = 4x

? 7 ?已知F是抛物线C:y 2 = 4x的焦点,A、B是C 上的两个点,线段AB的中点为M ? 2,2 ?,则
ΔABF的面积等于 .

解析: ? 6 ? 如图,分别过点A、B 作抛物线准线的垂线,垂足分 别为M 、N,由抛物线的定义知, AM ? BN ? AF ? BF ? AB ? 8, 又四边形AMNB为直角梯形,故AB的中点 到准线的距离即为梯形的中位线的长度4, p 而抛物线的准线方程为x ? ? ,所以 2 p 4 ? 2 ? ? p ? 4,故抛物线的方程为y 2 ? 8 x. 2

? y12 ? 4 x1 解析: , ? 7 ? 设A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),则 ? 2 ? y2 ? 4 x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 4 ? x1 ? x2 ? y2 ? y1 4 4 ? ? ? ? 1. x2 ? x1 y1 ? y2 2 ? 2 所以线段AB所在直线的方程为y ? 2 ? x ? 2,即y ? x, ? y2 ? 4x 由? ? x 2 ? 4 x ? 0 ? x ? 0或x ? 4, ?y ? x 所以A ? 0, 0 ?,B ? 4, 4 ?,所以 AB ? 42 ? 42 ? 4 2. 2 F ?1, 0 ?,F 到线段AB的距离d ? , 2 1 所以S ? ABF ? AB d ? 2. 2

8. A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点, 且OA⊥OB. ? (1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积; ? (2)求证:直线AB恒过定点; ? (3)求弦AB中点P的轨迹方程; ? (4)求△AOB面积的最小值. ? 【解析】 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,中 点P(x0,y0).

y2 y1 (1)kOA= ,kOB= , x1 x2 ∵OA⊥OB,∴kOA·kOB=-1,∴x1x2+y1y2=0, y1 y2 ∵y =2px1,y =2px2,∴ · +y1y2=0, 2p 2p
2 1 2 2 2 2

∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=-4p ,x1x2=4p . (2)∵y1=2px1,y2=2px2, ∴y1-y2=2px1-2px2, ∴(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2), y1-y2 2p 2p ∴ = ,∴kAB= , x1-x2 y1+y2 y1+y2
2 2 2 2

2

2

2P ∴直线 AB:y-y1= (x-x1), y1+y2 2px1 2px ∴y= +y1- , y1+y2 y1+y2 y1-2px1+y1y2 2p ∴y= x+ , y1+y2 y1+y2 ∵y1=2px1,y1·y2=-4p , -4p 2p ∴y= x+ y1+y2 y1+y2 2p ∴y= (x-2p),∴直线 AB 恒过定点 M(2p,0). y1+y2
2 2 2 2

(3)如图,设 P(x0,y0),OA:y=kx,代入 y =2px 得 2p x=0,x= 2 , k 2p 2p 1 ∴A( 2 , ).同理,OB∶y=- x,代入得 k k k B(2pk ,-2pk), 1 ? x =p(k + ) ? k ∴? 1 y = p( -k) ? k ?
2 0 2 0 2

2



1 1 2 2 ∵k + 2=( -k) +2, k k

x0 y0 2 2 2 ∴ =( ) +2,即 y0=px0-2p , p p ∴中点 P 的轨迹方程为 y =px-2p . 1 (4)S△AOB=S△AOM+S△BOM= |OM|(|y1|+|y2|) 2 =p(|y1|+|y2|)≥2p |y1y2|=4p , 当且仅当|y1|=|y2|=2p 时,等号成立. ∴S△AOB 的最小值为 4p .
2 2 2 2

9.已知抛物线 y2=2px(p<0)过焦点 F 的动直线 l 交抛物 → → 线于 A、 B 两点, O 为坐标原点, 求证: OA·OB为定值. 【解析】 p 解法一:若直线 l 垂直于 x 轴,则 A( ,p), 2

p p 3p2 → → B( ,-p),OA·OB=( )2-p2=- . 2 2 4 p 若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y=k(x- ), 2 A(x1,y1),B(x2,y2),

p ?y=k( x- ) , 2 由? ?y =2px,
2 2

p 2 2 2 2 得 k x -p( 2+k ) x+ k =0, 4

2

(2+k )p p ∴x1+x2= ,x1x2= . 2 k 4 → → ∴O A ·O B =x1x2+y1y2 p p 2 =x1x2+k ( x1- ) ( x2- ) 2 2 p 2 pk 2 =( 1+k ) x1x2- k ( x1+x2) + 2 4
2 2

2

2 2 (2+k )p p2k2 p pk =(1+k ) - · + 2 4 2 k 4 2

2

3p =- . 4 3p → → 综上,知OA·OB=- 为定值. 4 p 解法二: 设直线 l 的方程为 x=my+ , A(x1, y1), B(x2, 2 y2). p ? ?x=my+ , 2 由? 2 ? y ? =2px,
2

2

得 y -2pmy-p =0,

2

2

∴y1+y2=2pm,y1y2=-p .

2

p p → → ∴O A ·O B =x1x2+y1y2=( m y1+ ) ( m y2+ ) +y1y2= 2 2 p p 2 ( 1+m ) y1y2+ m ( y1+y2) + 2 4
2

pm p 3p 2 2 =( 1+m ) ( -p ) + ·2pm + =- , 2 4 4
2 3p → → 即O A ·O B =- 为定值. 4

2

2

探究 4

解决直线与抛物线位置关系时基本方法为联立解

方程,解方程时,常见是消元.消去抛物线中的一次项元. 思考题 4 (2010·福建卷,文)已知抛物线 C:

y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 5 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 ? 5 若存在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

【解析】

(1)将(1,-2)代入 y2=2px,

得(-2)2=2p·1,所以 p=2. 故所求抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t,

? ?y=-2x+t 由? ? ?y2=4x

得 y2+2y-2t=0.

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解 1 得 t≥- . 2

5 |t| 1 由直线 OA 与 l 的距离 d= 可得 = ,解得 t=±1. 5 5 5 1 1 因为-1?[- ,+∞),1∈[- ,+∞), 2 2 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

已知抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点为F,其准线与x轴交于点M, 过点M作斜率为k的直线l交抛物线于A、B两点,弦AB的中 点为P,AB的垂直平分线与x轴交于点E( x0 , O). (1)求k的取值范围(2)求证: x0 ? ?3 (3)△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形? 若能, 求出k的值,若不能,请说明理由.
) 1)设 .解:由题设有 F (?1,0), M (1,0( 令 ? ? 4(k 2 ? 2) 2 ? 4k 4 ? ?16k 2 ? 16 ? 0得 ? 1 ? k ? 1 (2)设AB中点为 P( x , y ),则x ? x ? x ? k ? 2 , y
2 1 2 P P P

? y ? k ( x ? 1) 2 2 l : y ? k ( x ? 1),由? 2 得k x ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ? y ? ?4 x
2 k
2 P

? k ( x ? 1) ? ?

2 k

∴AB的垂直平分线的方程为 令 2 2
y ? 0得x0 ? ?1 ? k
2

2 1 k2 ?2 y? ? ? (x ? ) k k k2

?k ?1

??

2 ? ?2 k2

? x0 ? ?3

( 3)

? F (?1,0), E (?1 ?
2 ? k2 ?1 ?1 ? 2 2 k2

2 2 2 , 0 ), P ( 1 ? ,? ). ? ?PEF 2 2 是以EF为底的等腰三角形. k k k
1 2 ? k 2 ? , 则k ? ? ? (?1,1) 2 2

?1 ?

2 k ?? ∴△PEF能构成以EF为底的等腰三角形,此时 2


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