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巧用“三线合一”解决几何问题


巧用“三线合一”解决几何问题

等腰三角形的性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (即“三线合一”)。在几何计算和论证过程中,若能巧妙地利用这个性质解题,将起到 事半功倍的效果。 例 1. 等腰三角形顶角为 ? ,一腰上的高与底边所夹的角是 ? ,则 ? 与 ? 的关系式为

? =___________。

图1 分析:如图 1,AB=AC,BD⊥AC 于 D,作底边 BC 上的高 AE,E 为垂足,则可知∠ EAC= ∠ EAB ?

1 ? , 又 ∠ EAC ? 90° ? ∠C,∠? ? 90° ? ∠C , 所 以 2 1 ∠EAC ? ?,? ? ? 。 2
例 2. 已知:如图 2,△ABC 中,AB=AC,CE⊥AE 于 E, CE ?

1 BC ,E 在△ABC 外, 2

求证:∠ACE=∠B。

图2 分析:欲证∠ACE=∠B,由于 AC=AB,因此只需构造一个与 Rt△ACE 全等的三角形, 即做底边 BC 上的高即可。 证明:作 AD⊥BC 于 D, ∵AB=AC,

1 BC 2 1 又∵ CE ? BC , 2
∴ BD ? ∴BD=CE。 在 Rt△ABD 和 Rt△ACE 中, AB=AC,BD=CE, ∴Rt△ABD≌Rt△ACE(HL)。
1

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∴∠ACE=∠B 例 3. 已知: 如图 3, 等边三角形 ABC 中, 为 AC 边的中点, 为 BC 延长线一点, D E CE=CD, DM⊥BC 于 M,求证:M 是 BE 的中点。

图3 分析:欲证 M 是 BE 的中点,已知 DM⊥BC,因此只需证 DB=DE,即证∠DBE=∠E, 根据等边△ABC,BD 是中线,可知∠DBC=30°,因此只需证∠E=30°。 证明:联结 BD, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵CD=CE, ∴∠CDE=∠E=30° ∵BD 是 AC 边上中线, ∴BD 平分∠ABC,即∠DBC=30° ∴∠DBE=∠E。 ∴DB=DE 又∵DM⊥BE, ∴DM 是 BE 边上的中线,即 M 是 BE 的中点。 [练习] 1. 如图 4,墙上钉了一根木条,小明想检验这根木条是否水平,他拿来一个如图所示的 测平仪,在这个测平仪中,AB=AC,BC 边的中点 D 处有一个重锤,小明将 BC 边与木条 重合,观察此重锤是否通过 A 点,如通过 A 点,则是水平的,你能说明其中的道理吗?

图4 2. 已知:如图 5,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,D 是 AB 的中点,E、F 分别 在 AC、BC 上,且 ED⊥FD,求证:S 四边形 CEDF=

1 S 。 2 △ABC

2

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图5

年级 内容标题 分类索引号 主题词 供稿老师 录入

初中

学科 G.622.46

数学

版本 分类索引描述

期数 辅导与自学 栏目名称 审稿老师 审核 学法指导

巧用“三线合一”解决几何问题 巧用“三线合一”解决几何问题 蔡卫琴 一校 刘连静 二校

3

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