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【2015届备考】2015届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期):F单元 平面向量]


F 单元 平面向量 目录 F 单元 平面向量 - 1 F1 平面向量的概念及其线性运算 - 1 F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 - 2 F3 平面向量的数量积及应用 - 7 F4 单元综合- 17 -

F1

平面向量的概念及其线性运算

【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】

1 1 OC ? OA, OD ? OB 4 2 12.在 ?OAB 中, , AD 与 BC 交于点 M ,设 OA = a , OB = b ,
则 OM ? (用 a , b 表示) 【知识点】向量的线性运算性质及几何意义 F1

1 3 a? b 7 解析:∵ B, M , C 三点共线, 【答案】 【解析】 7

a ? OM ? xOC ? (1 ? x) ? x ? ? ?1 ? x ? ? b 4 , ? OM ? yOA ? (1 ? y)OD ? ya ? (1 ? y) b 2,

∵ A, M .D 三点共线,

x 1? y 4 1 1 3 ?y 1? x ? x? ,y? a? b 2 ,所以 7 7 ,所以 OM ? 7 7 . 即4 ,且 1 3 a? b 7 故答案为: 7

a ? OM ? xOC ? (1 ? x) ? x ? ? ?1 ? x ? ? b 4 【思路点拨】由 B, M , C 三点共线,知 ; OM ? yOA ? (1 ? y)OD ? ya ? (1 ? y) b 2 ,所以

由 A, M .D 三点共线,知

x?

4 1 1 3 ,y? a? b 7 7 ,所以 OM ? 7 7 .

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 16. 设 向量 a ? (? ? 2, ? ? 3 cos 2? ) ,
2

b = (m,

m ? sin ? cos ? ) 2 , 其中 ? , m, ? 为实数. 若 a ? 2b ,

?
则 m 的取值范围为_____▲ ____. 【知识点】三角函数的性质向量相等函数的单调性 F1 C3 B3

? ?? ? 2 ? 2 m ? 2 ?? ? 3 cos 2? ? m ? sin 2? , 得 a ? 2 b 【 答 案 】【 解 析 】 [ - 6,1] 解 析 : 由 得 ?

?2 ?
t?

??2
2

?? ? ? 2 s i ?n ? 2 ? ? ??? 3? ?

2, ?

2
, 解 得

?

3 2

? ?2

?
, 则

?
m

?

2? 4 ,t ' ? ?0 2 ??2 ? ? ? 2?

x??
,所以函数在区间上单调递增,当

3 2 时得最小值为-

6,当 x=2 时得最大值为 1,所以所求的范围是[-6,1]. 【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系,再利用三角函数的性质求出 λ 的范围,再 利用导数判断单调性,利用单调性求函数的值域.

【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】6.已知点 P 是△ ABC 的 内心(三个内角平分线交点) 、外心(三条边的中垂线交点) 、重心(三条中线交点) 、垂心(三 个高的交点)之一,且满足 2 AP ·BC ? AC ? AB , 则点 P 一定是△ ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【知识点】平面向量的线性运算 F1 【答案】 【 解 析 】 B 解 析 : 设 D 为 BC 的 中 点 , 可 得 AC ? AB ? 2 AD , 所 以
2 2

2 AP.BC ? AC ? AB ? AC ? AB AC ? AB ? BC.2 AD

2

2

?

??

?

,即

BC. AD ? AP ? 0

?

?

,即

AD ? AP,结合 D 为 BC 的中点,可得 P 在 BC 的垂直平分线上又∵点 P 是△ABC 的内心、外
心、重心和垂心之一∴结合三角形外接圆的性质,得点 P 是△ ABC 的外心,故选择 B. 【思路点拨】 :设 D 为 BC 的中点,可得 AC ? AB ? 2 AD , .根据向量数量积的运算性质,得 到

2 AP.BC ? AC ? AB ? AC ? AB AC ? AB ? BC.2 AD

2

2

?

??

?

,即

BC. AD ? AP ? 0

?

?



可求得.

F2

平面向量基本定理及向量坐标运算

【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】10. (原创) 已知 O 为坐标原点,

OP ? ? x, y ?



OA ? ? a, 0 ? OB ? ? 0, a ? OC ? ? 3, 4 ?
, , )

,记

PA



PB



PC

中的最大值为 M,当 a 取遍一切实数时,M 的取值范围是 (

? 7, ?? A. ?

?

?7 ? 2 6, ?? B. ?

?

?7 ? 2 6, ?? C. ?
F2

?

?7, 7 ? 2 6 D. ?

?
OC ? ? 3, 4 ?

【知识点】向量模的坐标运算;向量模的最值. 【答案】 【解析】C 解析:因为

OP ? ? x, y ?



OA ? ? a, 0 ? OB ? ? 0, a ?
,



5 所以, (1)当 a=0 时,M≥ 2 ,

M?
(2)当 a=7(A、B、C 三点共线)时,则点 P 落在 AB 中点时,M 取得最小值, (3)当 a≠0 且 a≠7 时,P 落在△ABC 的外心 Q 时,M 有最小值 ∵ Q 所在的直线与 AB 垂直,故 Q 在直线 y=x 上,若 PA ? PB ,则 y≥x;
2 2

7 2 2 ,

当 y≥x 时

M 2 ? max ? PA2 , PC 2 ?

∵到点 C 距离等于到

? x ? 3? x 轴的距离的点的轨迹是抛物线:

2

? 8( y ? 2)

,交直线 y=x 于

M ? 7 ? 2 6 ,∴当 a=2 时,M 取得最小值 7 ? 2 6 , P (7 ? 2 6,7 ? 2 6) ,∴ min
?7 ? 2 6, ?? 综上得:M 的取值范围是 ? ,故选 C.
【思路点拨】 (1)当 a=0(A、B、O 三点重合)时,P 是 OC 中点时,M 最小; (2)当 a=7(A、B、 C 三点共线)时,则点 P 落在 AB 中点时,M 取得最小值;(3)当 a≠0 且 a≠7 时,P 落在△ABC 的外心 Q 时,M 有最小值.三种情况下 M 均无最大值,故分类讨论出 M 的最小值,即可得到 答案.

?

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】5.在△ ABC 中, M 是 AB 边所在直线上任意一点,若 CM ? ?2CA ? ?CB ,则 ? =【】 A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】平面向量的基本定理及其意义.F2 【答案】 【解析】C 解析:∵△ABC 中,M 是 AB 边所在直线上任意一点, ∴存在实数 μ,使得 =μ ,即

化简得

=





=﹣2



,∴结合平面向量基本定理,得

,解之得 λ=﹣3,μ=﹣

故选:C 【思路点拨】根据 A 、 M 、 B 三点共线,可得存在实数 μ 使 = =μ 成立,化简整理得

,结合已知等式建立关于 λ、μ 的方程组,解之即可得到实数 λ 的值.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】5.在△ ABC 中, M 是 AB 边所在直线上任意一点,若 CM ? ?2CA ? ?CB ,则 ? =【】 A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】平面向量的基本定理及其意义.F2 【答案】 【解析】C 解析:∵△ABC 中,M 是 AB 边所在直线上任意一点, ∴存在实数 μ,使得 化简得 = =μ ,即 ,

∵ =﹣2 故选:C



,∴结合平面向量基本定理,得

,解之得 λ=﹣3,μ=﹣

【思路点拨】根据 A 、 M 、 B 三点共线,可得存在实数 μ 使 =



成立,化简整理得

,结合已知等式建立关于 λ、μ 的方程组,解之即可得到实数 λ 的值.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 15. 设

a1 ,a2 ,???,an ,??? 是按先后顺序排列的一列向量,若 a1 ? (?2014,13) ,


an ? an?1 ? (1,1) ,则其中模最小的一个向量的序号 n ? ___▲ ____.

【知识点】向量的坐标运算 F2 【答案】 【解析】1002 或 1001 解析:因为

an ? a1 ? ? n ? 1, n ? 1? ? ?n ? 2005, n ? 12 ?

,所以

an ?

? n ? 2015? ? ? n ? 12?
2

2

? 2n2 ? 4006n ? 20152 ? 122

, 因 为 二 次 函 数

y ? 2 2n ? 4 0 0 n? 6

2

1 x ? 1001 2 的对称轴方程为 ? 0 21 5 1 2 2 ,又 n 为正整数,所以当 n=1002

或 1001 时模最小. 【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式,再借助于二次函数求最 值.

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】18.(原创) (本 题满分 13 分) 已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且有 ( 2a ? c) cos B ? b cos C .⑴ 求角 B 的大小;

tan( ? A) 4 ⑵设向量 m ? ?cos 2 A ? 1,3 cos A ? 4 ?, n ? ?5,4 ? ,且 m ? n ,求 的值.
【知识点】正弦定理;两角和与差的三角函数;三角形的内角和;诱导公式;向量垂直的性 质,三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2

?

? 【答案】 【 解 析 】 (1) 4 ; (2)7. 解 析 : ⑴ 由 条 件 ( 2a ? c) cos B ? b cos C 可 得 :

?

2 sin A ? sin C cos B ? sin B cos C

?

整理得: 2 sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ?B ? C ? ? sin A

cos B ?
所以

2 ? B? 2 ,又 0 ? B ? ? ,故 4

⑵由 m ? n 可得: 5?cos 2 A ? 1? ? 4?3 cos A ? 4 ? ? 0 整理得: 5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

cos A ?
从而

4 或 cos A ? ?2 5 (舍去)

又 0 ? A ? ? ,? A 为锐角

sin A ?


3 3 tan A ? 5, 4

?? ? 1 ? tan A tan? ? A ? ? ?7 ?4 ? 1 ? tan A 于是

【思路点拨】(1)利用正弦定理,两角和与差的三角函数,三角形的内角和,诱导公式,将已

知等式化为 2 sin Acos B=sinA

? cos B ?

2 ? B? 2 ,从而得 4; (2)由 m ? n 可得

5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

? cos A ?

? 4 3 3 tan( ? A) ? sin A ? ? tan A ? 5 5 4 ,可得 4 的值.

【数学文卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】9.如 图,在 Rt△ ABC 中,∠ C= 90°,AC=4,BC=2,D、E 分别是 BC、AB 的中点,P 是△ ABC(包括边界)内任一 点,则 AD.EP 的取值范围是 A.[-7,7] B.[-8,8] C.[-9,9] D.[-10,J.O] 【知识点】平面向量基本定理 F2 【答案】C

AB ? AC 2 【解析】∵在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D 是 BC 的中点,那么 AD = , AB ? AC AB ? AC ? BC =16+4=20.∴( AB ? AC )? AD =( AB ? AC )? 2
2 2 2

AB ? AC 2 = =2 以 CA 所在的直线为 x 轴,以 CB 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,
则 A 的坐标为(4,0) ,B 的坐标为(0,2) ,由线段的中点公式可得点 D 的坐标为(0,1) ,

2

2

点 E 的坐标为(2,1) ,设点 P 的坐标为(x,y) ,则由题意可得可行域为△ABC 及其内部区域,

? ? x?0 ? ? y?0 ?x y ? ? ?1 故有 ? 4 2 .令 t= AD.EP =(-4,1)?(x-2,y-1)=7-4x+y,即 y=4x+t-7.

故当直线 y=4x+t-7 过点 A(4,0)时,t 取得最小值为 7-16+0=-9,当直线 y=4x+t-7 过点 B(0, 2)时,t 取得最大值为 7-0+2=9,故 t= AD.EP 的取值范围是[-9,9],

AB ? AC AB ? AC 2 2 【思路点拨】由条件可得 AD = ,故( AB ? AC )? AD =( AB ? AC )?

AB ? AC 2 = ,由此求得( AB ? AC )? AD 的值.以 CA 所在的直线为 x 轴,以 CB 所在的直线
为 y 轴,建立平面直角坐标系,利用简单的线性规划求得 t= AD.EP 的取值范围.

2

2

【数学文卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 15. 设

a1 ,a2 ,???,an ,??? 是按先后顺序排列的一列向量,若 a1 ? (?2014,13) ,


an ? an?1 ? (1,1) ,则其中模最小的一个向量的序号 n ? ▲ .

【知识点】向量的坐标运算 F2 【答案】 【解析】1002 或 1001 解析:因为

an ? a1 ? ? n ? 1, n ? 1? ? ?n ? 2005, n ? 12 ?

,所以

an ?

? n ? 2015? ? ? n ? 12?
2

2

? 2n2 ? 4006n ? 20152 ? 122

, 因 为 二 次 函 数

y ? 2 2n ? 4 0 0 n? 6

2

1 x ? 1001 2 的对称轴方程为 ? 0 21 5 1 2 2 ,又 n 为正整数,所以当 n=1002

或 1001 时模最小. 【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式,再借助于二次函数求最 值.

F3

平面向量的数量积及应用

【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】6. (原创)在

S ? △ABC 中,已知 | AB |? 4,| AC |? 1 , ?ABC
A. ?2 B. 2 C. ?4 D. ?2

3 ,则 AB ? AC 的值为(



【知识点】三角形面积公式;向量的数量积. F3

【答案】 【解析】D 解析:

S ?ABC

1 3 1 ? 4 ? 1 ? sin A ? sin A ? ? cos A ? ? ? 3 2 2 2 =

? 1? AB ? AC cos A ? 4 ?1? ? ? ? ? ?2 ? 2? 所以 AB ? AC = ,故选 D.

【思路点拨】由三角形的面积公式求得 sinA ,进而得到 cosA,再用向量数量积公式求解.

【数学理卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】8.已 知等边△ABC 中,点 P 在线段 AB 上,且 AP ? ? AP ,若 Cp · AB ? PA · PB ,则实数 ? 的 值为

A.2

2 B. 2

2 C.1- 2

3 D. 3

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案】C 【解析】设等边三角形 ABC 的边长为 1.则| AP |=λ| AB |=λ,| PB |=1-λ. (0<λ<1)

CP ? AB =( CA ? AP )? AB = CA ? AB + AP ? AB = PA . AB ,
1 1 所以 1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×(1-λ)cos180°.化简- 2 +λ=-λ(1-λ) ,整理 λ2-2λ+ 2 =0,

2? 2 2? 2 解得 λ= 2 (λ= 2 >1 舍去)
【思路点拨】将 CP 表示为 CA ? AP ,利用向量数量积公式,将关系式化简得出关于 λ 的方程 并解出即可.注意 0<λ<1.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】10.在△ ABC 中,已知

AB ? AC ? 9, sin B ? cos A ? sin C, S?ABC ? 6 , P 为 线 段 AB 上 的 点 , 且
CP ? x ? CA CB ? y? , 则 xy | CA | | CB | 的最大值为【】

A.3 B.4 C .5 D.6 【知识点】向量在几何中的应用;平面向量的综合题;正弦定理的应用.C8 F3 【答案】 【解析】A 解析:△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b ∵sinB=cosA?sinC,sin(A+C)=sinCcosnA,即 sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA ∴sinAcosC=0,∵sinA≠0∴cosC=0 C=90° ∵ ? =9,S△ ABC=6,∴bccosA=9, bcsinA=6

∴tanA= ,根据直角三角形可得 sinA= ,cosA= ,bc=15,∴c=5,b=3,a=4 以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 C(0,0) A(3,0)B(0,4)

P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得

=(3λ,4﹣4λ) (0≤λ≤1)





则|

|=|

|=1,

=(1,0) ,

=(0,1) ,



=x

+y

=(x,0)+(0,y)=(x,y)可得 x=3λ,y=4﹣4λ 则 4x+3y=12, ,xy≤3,故所求的 xy 最大值为:3.故选 C.

12=4x+3y≥

【思路点拨】△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b,由 sinB=cosA?sinC 结合三角形的内角和及和角的 正弦公式化简可求 cosC 的值,再由 ? =9,S△ ABC=6 可得 bccosA=9, bcsinA=6 可求得 c, b,a,建立以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,由 P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 = ( 3λ , 4 ﹣ 4λ ) ( 0≤λ≤1 ) ,设



则|

|=|

|=1,

=(1,0) ,

=(0,1) ,由

=x

+y

推出 x 与 y 的关系式,利用基本不等式求解最大值.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】10.在△ ABC 中,已知

AB ? AC ? 9, sin B ? cos A ? sin C, S?ABC ? 6 , P 为 线 段 AB 上 的 点 , 且
CP ? x ? CA CB ? y? , 则 xy | CA | | CB | 的最大值为【】

A.3 B.4 C .5 D.6 【知识点】向量在几何中的应用;平面向量的综合题;正弦定理的应用.C8 F3 【答案】 【解析】A 解析:△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b ∵sinB=cosA?sinC,sin(A+C)=sinCcosnA,即 sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA ∴sinAcosC=0,∵sinA≠0∴cosC=0 C=90° ∵ ? =9,S△ ABC=6,∴bccosA=9, bcsinA=6

∴tanA= ,根据直角三角形可得 sinA= ,cosA= ,bc=15,∴c=5,b=3,a=4 以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 C(0,0)

A(3,0)B(0,4) P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 =(3λ,4﹣4λ) (0≤λ≤1)





则|

|=|

|=1,

=(1,0) ,

=(0,1) ,



=x

+y

=(x,0)+(0,y)=(x,y)可得 x=3λ,y=4﹣4λ 则 4x+3y=12, ,xy≤3,故所求的 xy 最大值为:3.故选 C.

12=4x+3y≥

【思路点拨】△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b,由 sinB=cosA?sinC 结合三角形的内角和及和角的 正弦公式化简可求 cosC 的值,再由 ? =9,S△ ABC=6 可得 bccosA=9, bcsinA=6 可求得 c, b,a,建立以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,由 P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 = ( 3λ , 4 ﹣ 4λ ) ( 0≤λ≤1 ) ,设



则|

|=|

|=1,

=(1,0) ,

=(0,1) ,由

=x

+y

推出 x 与 y 的关系式,利用基本不等式求解最大值.

【数学理卷· 2015 届湖北省八校高三第一次联考 (201412) 】 17. (本小题满分 12 分) 已知△ ABC 3 1 cos A ? cos C ? 4, 8. 的三内角 A, B, C 所对边的长依次为 a,b,c,若 (Ⅰ )求 a : b : c ; (Ⅱ )若 | AC ? BC |? 46 ,求△ ABC 的面积. 【知识点】正弦定理;平面向量数量积的运算.C8 F3
5 7 【答案】 【解析】 (Ⅰ ) 16 ;(Ⅱ )

15 7 4

2 1? ( 3 4)

解析:( I )依题设:sinA=

1 ? cos 2 A

1? (1 1 ? cos 2 C 8) = 8 , = 4 ,sinC= =
2

7

3 7

故 cosB=cos[π-(A+C)]=-cos (A+C)=-(cosAcosC-sinAsinC)=-(

3 32



21 32

9 16 )= .

则:sinB=

1 ? cos 2 B



9 )2 1 ? ( 16

5 7

= 16

所以 a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 4:5:6…………………………………………6 分 ( II ) 由( I )知: a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 4:5:6, 不妨设:a=4k,b=5k,c=6k,k>0.故知:| AC |=b=5k,| BC |=a=4k. 依题设知:| AC |2+| BC |2+2| AC || BC |cosC=46 ? 46k2=46,又 k>0 ? k=1. 故△ ABC 的三条边长依次为:a=4,b=5,c=6.
1 3 7 15 7 ? 4? 5? ? 8 4 …………………………………………12 分 △ ABC 的面积是 2

【思路点拨】 (Ⅰ)A,C 为三角形内角,先求出 sinA,sinC,由 cosB=cos[π-(A+C)]展开即可 求出 cosB 的值,从而可求出 sinB,由正弦定理即可求出 a:b:c 的值; (Ⅱ)由正弦定理和已 知可求出 a,b,c 的值,即可求出△ ABC 的面积.

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四 中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.

13.已知

a ? 2, e

2? a , e 为单位向量,当向量 的夹角为 3 时, a ? e 在 a 上的投影为.

【知识点】平面向量数量积的运算;平面向量数量积的含义与物理意义.F3 C8

3 【答案】 【解析】 2 解析:根据题意画出图形如下图:

设 OA = a, OE = e , 根 据 余 弦 定 理 得 :

| OB |= 22 +12 - 2创 1 2? cos

p 3

3
,所以

? OBA 90 ,? BOA 30 ,则 a ? e 在 a 上的投影为

0

0

3 cos 300 =

3 3 2 ,故答案为 2 。

【思路点拨】利用数量积运算、投影的意义即可得出.

? ? 【数学文卷· 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试 (201411) word 版】 13.若向量 a、b
的夹角为 150 ,
?

? a ? 3,

? b ?4
F3

,则

? ? 2a ? b ?

【知识点】向量的运算.

【答案】 【解析】2 解析:

? ? 2a ? b ?

4 a

??

2

? 4a ? b ? (b) 2 ? 12 ? 4 ? 4 3 cos150 ? 16

? 3? 28 ? 16 3 ? ? ?? 2 ? ? ?2 ? ? = .
【思路点拨】把求向量的模,转化为数量积运算即可.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】16、(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, sin x) , b =

(cos( 2 x ?

?
3

), sin x)

1 f ( x) ? a ? b ? cos 2 x 2 ,函数 ,

(1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间;

? ?? ?0, ? (2)当 x∈ ? 3 ? 时,求函数 f(x)的值域.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.C5 F3

? 2? ? ? ? 1 ? k? ? , k? ? (k ? Z ) ? ? ?? 2 ,0? 6 3 ? ? ? 【答案】 【解析】(1) (2) ?
f ( x) ? cos(2 x ? 1 ) ? sin x 2 ? cos 2 x 3 2 ? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? 6 2 ……………………………4 分

?

解析: (1)

? 2? ? ? k? ? , k? ? (k ? Z ) ? ? 6 3 ? ? 单调递增区间是 …………………………..6 分
?
(2)

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

?

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6 ………………………………………………………….8 分 1 ? f ( x) ? 0 2

??

? 1 ? ?? ,0? ? 函数 f(x)的值域是 ? 2 ? ………………………………………………..12 分
【思路点拨】 (1)首先根据 =(1,sinx) , =(cos(2x+ ) ,sinx) ,求出 ;然后根据函

数 f(x)= ? ﹣ cos2x,求出函数 f(x)的解析式;最后根据正弦函数的特征,求出其单调 递增区间即可; (2)当 x∈ [0, 域即可. ]时,可得 2x ,然后求出函数 f(x)的值

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】14、如图,在边长为 2 的 菱形 ABCD 中 ?BAD ? 60 , E 为 CD 中点,则 AE ? BD ? 、

【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案】 【解析】1 解析:在菱形 ABCD 中,∠ BAD=60,∴ △ ABD 为正三角形, < ( + ? > =60° , = ? + ? =180° ﹣ 60°=120° , ∵ = ,∴ =

=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1,故答案为:1. ,再利用向量的运算法则,数量积的定义求解.

【思路点拨】将

表示为

【数学文卷· 2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】4、已知 且 b ? (2a ? b) ? 1,则 a 与 b 夹角的余弦值为( )

a ?1



b? 2



1 1 2 2 ? A. 3 B. 4 C. 3 D. 3 ?
【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案】 【解析】B 解析:∵ ?(2 + )=1,∴ ∵ ,∴ ,化为 . ,

∴ = =﹣ .故选 B. 【思路点拨】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出.

【数学文卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 16.把边长为 1 的正方形 ABCD 如图放置, 当 点与原点重合时, OB ? OC =; 、 D 别在 x 轴、 轴的非负半轴上滑动. (1)

(2) OB ? OC 的最大值是_________. 【知识点】平面向量数量积的运算 F3 【答案】 【解析】(1) (2) 2

( 1, 0),C ( 11 , ) 解析: (1)当 A 点与原点重合时, B 在 x 轴上, B ,
则 OB ? OC ? 1?1 ? 0 ?1 . (2)如图令 ?OAD ? ? ,由于 AD ? 1 故 OA ? cos?,OD ? sin? ,

?BAX ?
如图

?
2

??

, AB ? 1 ,

xB ? cos? ? cos ( ? ?) ? cos? ? sin?,yB ? sin ( ? ?) ? cos?, 2 2 故 故

?

?

(sin?,cos? ? sin?) OB ? (cos? ? sin?,cos?) 同理可求得 C ,即

OC ? (sin?,cos? ? sin?)

? OB ? OC ? (cos? ? sin?,cos?) ( ? sin?,cos? ? sin?) ? 1 ? sin2?, 当 ? ? 45? 时, sin2?
取最大值 1 ,则 OB ? OC 的最大值是 2 .故答案为:1,2

, OC 的坐标,再由数量积的坐标公式即可 【思路点拨】 (1)求出 B, C 的坐标,以及向量 OB
得到; (2)令 ?OAD ? ? ,由边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 、 D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上, 可得出 B, C 的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积.

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】11.在边长为 2 的正△ ABC 中,则 AB ? BC ? _________. 【知识点】向量数量积的计算. F3

AB ? BC ? 2 ? 2 cos
【答案】 【解析】-2 解析: 【思路点拨】根据向量数量积的定义求解.

2? ? ?2 3

【数学文卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 21. (本
2 题满分 14 分)设向量 a ? (? ? 2, ? ? 3 cos 2? ) ,

b = (m,

m ? sin ? cos ? ) , 2 其中 ? , m, ? 为

实数.

??
(Ⅰ)若

?
12 ,且 a ? b, 求 m 的取值范围;

?
(Ⅱ)若 a ? 2b, 求 m 的取值范围. 【知识点】向量的数量积,三角函数的性质 C3 F3

1 10 1 10 ? ? ?m?? ? ??6,1? . 6 6 6 ; 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 6 (Ⅱ)

??
【解析】 (Ⅰ)
2 ? ? ? 2? m ? ? ?? ?

3? ? ? m 1? a ? ? ? ? 2, ? 2 ? ? , b ? ? m, ? ? 2? ? ? 2 4? ,因为 a ? b ,所以 12 时 ,

?

?

3 ?? m 1 ? 5 3 ?m 1? 2 ?? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? m? ? m ? ? 0 2 ?? 2 4 ? 4 8 , 整理得 ? 2 4 ? 对一切 ? ? R 均
1 1 m?? 2 时 , 得 ? ? ?2 , 符 合 题 意 , 当 2 时 ,

m??
有 解 , 当

3? 3 2 1 3 ? 2m ? 1 ?? 5 1 10 1 10 ? ? m2 ? 4 ? ? ? ?m?? ? ?? m ? ? ? ? m ? m ? ? 0 8? 2 2 8 ? 4 ?? 4 6 6 6 , ,解得 6 1 10 1 10 ? ? ?m?? ? 6 6 6 ; 所以 m 的取值范围为 6
? ?? ? 2 ? 2 m ? 2 ?? ? 3 cos 2? ? m ? sin 2? , 由 ? ? 2m ? 2 消 元 得 ( Ⅱ ) 由 题 意 只 需 ?

? 2m ? 2 ?

2

?? ? ? m ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 2sin ? 2? ? ? ? ? ?2, 2? 3? ?













2 ? ? 4m ? 9m ? 4 ? 2 1 ? 2m ? 2 2 ? 2 ?m?2 ? ? 2 ? ? ? ?6,1? 4 m ? 9 m ? 4 ? ? 2 ? ? m m ,解得 4 ,所以 m .

【思路点拨】先把向量关系转化为坐标关系,再转化为方程有实根或函数的值域问题进行解 答.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】14. 已知矩形 ABCD 中, AB=2,AD=1,E、F 分别为 BC、CD 的中点,则 ( AE ? AF ) ? BD ? 【知识点】向量的数量积 F3 .

?
【 答 案 】【 解 析 】

9 2 解 析 : 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 可 得

? 1? A ? 0,0 ? , B ? 2,0 ? , E ? 2, ? , F ?1,1? , D ? 0,1? ? 2?







3 9 ? 3? 9 ( A E ? A F)? B D ? ? 3, ? ?.? 2?, ? 1 ? ?6 ? ? ? 2 2,故答案为 2 . ? 2?
【思路点拨】建立坐标系,利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】11.若 a, b, c 均为单位向

a ?b ? ?
量, A. 2 B.

1 2 , c ? x a ? yb ( x, y ? R) ,则 x ? y 的最大值是()

3 C. 2 D. 1
解 析 : 因 为 a, b, c 均 为 单 位 向 量 , 所 以

【知识点】平面向量的数量积基本不等式 F3 E6 【 答 案 】【 解 析 】 A

c ? 2 x a? 2

2

2

x. y ? a2 b

2

? y2 b ?

2 x? 1x? y, y
2


2







x? y? 2 2 ? x ? y ? ? 1 ? ?2 ? x ? y ? 2 ? x ? y ? ? 3xy ? 1 ? ? x ? y ? ?1 ? 3xy ? 3 ? ? ? ? 2 ? ,即 4 ,所
以 x ? y 的最大值是 2,故选择 A.

【思路点拨】将向量 c 进行平方,根据 a, b, c 均为单位向量,可得 x ? xy ? y ? 1 ,在根据基
2 2

x? y? ? x ? y ? ?1 ? 3xy ? 3 ? ? ? ? 2 ? ,即可得 x ? y 的最大值是 2. 本不等式求得
2

2

F4

单元综合

【数学理卷· 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411 ) word 版】 12 已知

a ? (2,1), b ? (3, x) 若 (2a ? b) ? b ,则 x ? ___________
【知识点】向量垂直的性质;向量数量积的坐标运算. F4 【答案】 【解析】-1 或 3 解析:∵ a ? (2,1), b ? (3, x) ,所以 2a ? b ? (1, 2 ? x) , 又∵ (2a ? b) ? b ,∴

? 2a ? b ? ? b ? 0 ? (1, 2 ? x) ? ?3, x ? ? 3 ? x ? 2 ? x ? ? 0

解得:x= -1 或 x=3. 【思路点拨】由向量垂直则它们的数量积为 0,得关于 x 的方程求解.


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