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福州五佳教育2012-2013学年高二数学(文)《统计与概率》复习卷


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1、事件关系 例 1、指出下列事件 A、B、C、D 中哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 对

飞机进行两次射击,每次射一弹,设 A={恰有一弹击中飞机},B={至少有一弹击中飞机},C={两弹都 击中飞机},D={两弹都没有击中飞机} 练习:现掷两枚硬币,下列说法正确的是 ( ) A. 两枚都出现正面和两枚都出现反面为对立事件 B. 至少有一枚出现正面和至少有一枚出现反面为互斥事件 C. 至少有一枚出现正面和两枚都是出 现反面为对立事件 D. 至多有一枚是正面与两枚都是反面为互斥事件 2、各种概率的计算 古典概型: (1)所涉及的随机现象只有有限个样本点; (2)每个样本点发生的可能性相同 事件A所含的样本点个数 (3) P( A) ? 样本空间中所有样本点个数 几何概型: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例,则称 这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现 的可能性相等. 概率的加法公式:如果 ? 的事件 A1 , A2 ,?, Am 两两互斥,则 P( A ? A2 ??? Am ) = 1 概率是乘法公式:若 A,B 两个事件独立,则 P( A ? B) = .

条件概率:一般地,设 A,B 是两个事件,称 P( B | A) 表示已知 A 发生的条件下,B 发生的条件概率.

P( B | A) =



例 2、袋子中装有编号为 a,b 的 2 个黑球和编号为 c,d,e 的 3 个红球, (1)从中摸出一个球是红球的概率 的概率 ; (2)从中摸出两个球,恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球 ; (4)若第一次

; (3)任意摸出三个球,至少有一个是黑球的概率

摸出的是红球,则第二次摸出是红球的概率 摸出的球都是红球的概率

; (5)若是有放回的摸球,则第一次与第二次

练习:已知男人中有 5%的色盲患者,女人中有 0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机地挑

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选一人,发现恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是

例 3、三人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别是 , , ,求 (1)三人中有两人破译的概率; (2)三人之中至多一人破译的概率; (3)密码被破译的概率

1 1 1 5 3 4

练习:甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8 ,乙射中的概率为 0.9 ,求: (1) 2 人都射中目标的概率; (2) 2 人至少有 1 人射中目标的概率; (3) 2 人至多有1 人射中目标的概率; (4)目标被击中的概率

例 4、设电路由 A、B、C 三个元件组成,若元件 A,B,C 发生故障的概率分别是 0.3,0.2,0.2,且各元件 独立工作,试在以下情况下,求此电路发生故障的概率 (1)A,B,C 三个元件串联; (2)A,B,C 三个元件并联; (3)元件 A 与两个并联的元件 B 及 C 串联 而成

例 5、 (几何概型) 1、为了测算如图阴影部分的面积,作一个边为 6 的正方形将其包含在内,并向正方 形内随即投掷 800 个点,已知恰有 200 个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分 的面积是____________。

2、在区间[- π , π ]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数

f ( x) ? x2 ? 2ax ? b2 ? π 有零点 的概率为

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课外作业 1.羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草,则喜羊羊和 美羊羊恰好只有一只被选中的概率为 ( )A.

3 10

B.

6 7

C.

3 5

D.

4 5

2.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇 1 1 2 3 数的概率为( ) A. B. C. D. 3 2 3 4 3.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两 1 3 2 1 个同色球的概率是( ) A. B. C. D. 5 10 5 2 4.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是 4 ,刮三级以上风的概率为 2 ,既刮风又
15

15

下雨的概率为 1 ,则在下雨天里,刮风的概率为( )A. 8
10

B. 1
2

C. 3
8

D. 3
4

225

5.由“0”“1” 组成的三位数码组中,若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件,用 B 、 表示“第一位数字为 0”的事件,则 P(A|B)=( ) A. 1
2

B. 1
3

C. 1
4

D. 1
8

6.某通信公司推出一组由 11 个数字组成的手机号码,卡号的前七位数字固定,后四位从 0,1,?,9 中 抽取,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“6”或“8”的手机号码作为“好运卡” ,则这组号码中“好 运卡”的概率为 ( )A.0.4096 B.0.6305 C.0.5 D.0.5904 7.如图,将 1,2,3,4,5,6 六个数字分别填入小正方形后,按虚线折成正方体,则所得正方体相对面 上两个数字的和均相等的概率是( )A. 1
120

B. 1
60

C. 1
15

D. 1
6

8.10 个各不相同的球中有 6 个红球,4 个白球,不放回地依次摸出两个球,已知第一次摸出的球为红球, 则第二次也摸出红球的概率是 。 9.一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全;若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同,那 么蜜蜂飞行是安全的概率是 10.为积极配合深圳 2011 年第 26 届世界大运会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由 4 名同学组成 的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2 名男同学,4 名女同学共 6 名同学成为候选人,每位候选人当选 宣传队队员的机会是相同的.(1)求当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的概率;(2)求当选的 4 名同学中至 少有 3 名女同学的概率

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3、随机变量及其分布 离散型随机变量的两条基本性质: (1) P ? 0(i ? 1,2,?, n) (2) ? Pi ? 1 i
i ?1 n

根据分布列可求随机变量的期望与方差 期望: E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn (或记作 E (X ) ? ? ) 方差: D( X ) ? ( x1 ? ? )2 p1 ? ( x2 ? ? )2 p2 ? ?? ( xn ? ? )2 pn 若 ? ? a? ? b , 则 E (? ) ? aE(? ) ? b , D(? ) ? a 2 D(? ) 几种常见分布: (1)两点分布:X~B(1,p),则 P(x=1)= ,此时 E(X=) ,D(X)= (2)二项分布:X~B(n,p),则 P(x=k)= ,此时 E(X=) ,D(X)= (3)超几何分布:X~H(N,M,n) ,则 P(x=m)= ,时 E(X)= . 练习: (1)某运动员投篮命中率为 0.7,则在一次投篮中命中次数的期望是 , 重复 4 次投篮时,命中次数的期望是 . ( 2)某射 击游戏规 定:击中 目标可 得 1 分,否则 扣 0.5 分 ,现有一 射手, 其命中率 为 0.4,则

E (5? ? 4) =

.

(3)一个袋子中装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中随机取出 2 个,其中含有红球个数的数学期 望是 . 例 6、随机变量 ? 的分布列如下

?
P

0

1

2

a
11 ,则 D? ? 9

b

c

其中 a, b, c 为等差数列,且 E? ? 练习:已 知 P ( X ? k ) ?

ak , (k ? 0,1, 2,3, 4) ,则 E? ? 2

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例 7、某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响. 3

(1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的的概率; (2)假设这个射手累计两次击中目标就停止射击,则这名射手射击 5 次的概率 (3)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率; (4)假设这名射手只有 5 发子弹,命中目标就停止射击,求射出子弹数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 (5)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中得 0 分.在 3 次射击中,若有 2 次连续 击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分.记 ? 为射手射击 3 次后的总得分 数,求 ? 的分布列及期望.

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练习: 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故 障的时间 有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机 抽取 50 辆,统计书数据如下: 品 牌 甲 乙

首次出现故障时间 x (年) 轿车数量(辆) 每辆利润(万元)

0 ? x ?1
2 1

1? x ? 2
3 2

x?2
45 3

0? x?2
5 1.8

x?2
45 2.9

将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效 益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由。

例 8、某研究性学习小组欲从标点符号使用频率的角度研究《A》名著,现抽查了书中的 n 页,按每页标 点符号的个数把样本分成四组:[30,40), [40,50), [50,60), [60,70),相应的频率分布直方图如图所示,已知样 本中[30,40)的频数为 1. (Ⅰ)求 p 、 n 的值; 频率/组距 (Ⅱ)现从这 n 页中随机抽取 3 页,用 ? 表示标点符号个数 在[60,70)的页数,求 ? 的分布列和期望.
0.04 0.03 0.02 p 个数 30
[来源:学科网 ZXXK]

40

50

60

70

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例 9、如图所示,质点 P 在正方形 ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进,现在投掷一个质地均匀、每个 面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上所标数字分别为 1、1、2、2、3、3.质点 P 从 A 点出发, 规则如下:当正方体朝上一面出现的数字是 1,质点 P 前进一步(如由 A 到 B ) ;当正方体上朝上一面出 现的数字是 2,质点 P 前进两步(如由 A 到 C ) ;当正方体朝上一面出现的数字是 3,质点 P 前进三步(如 由 A到D) .在质点 P 转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止. (Ⅰ)求点 P 恰好返回到点 A 的概率; (Ⅱ)在点 P 转一圈恰能返回到点 A 的所有结果中,用随机变量 ? 表示点 D C

P 恰能返回到点 A 的投掷次数,求 ? 的数学期望.

A

B

练习:甲乙两奥运会主办城市之间有 7 条网线并联,这 7 条网线能通过的信息量分别为 1,1,2,2,2,3, 3,现从中任选三条网线,设可通过的信息量为 X,当可通过的信息最 X ? 6 ,则可保证信息 通畅。 (I)求线路信息通畅的概率; (II)求线路可通过的信息量 X 的分布列及数学期望。

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课外作业 1.已知 ? ~ B ? n, p ? , E? ? 8, D? ? 1.6 ,则 n, p 的值分别是( (A) 100和0.08 ; (B) 20和0.4 ; (C) 10和0.2 ; ) (D) 10和0.8

2.每次试验的成功率为 p(0 ? p ? 1) ,重复进行 10 次试验,其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为 (
3 ) ( A) C10 p3 (1 ? p)7 3 ( B ) C10 p3 (1 ? p)3

(C ) p3 (1 ? p)7

( D) p7 (1 ? p)3


3.10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券,每人购买 1 张,则前 3 个购买者中,恰有一人中奖的概率为(
3 ( A) C10 ? 0.72 ? 0.3 1 ( B ) C3 ? 0.72 ? 0.3

(C )

3 10

( D)

1 3A72 ? A3 3 A10

4.某人有 5 把钥匙,其中有两把房门钥匙,但忘记了开房门的是哪两把,只好逐把试开,则此人在 3 次 内能开房门的概率是 ( )

( A) 1 ?

3 A3 3 A5

(B)

1 1 2 A32 ? A2 A3 ? A2 ? 3 3 A5 A5

3 (C ) 1 ? ( ) 3 5

3 2 3 2 1 ( D) C32 ? ( ) 2 ? ( ) ? C3 ? ( )1 ? ( ) 2 5 5 5 5

5.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为 3 : 2 ,比赛时均能正常发挥技术水平,则在 5 局 3 胜制中,甲打完 4 局才胜的概率为( )

3 2 2 1 3 3 3 2 ( B ) C32 ( ) 2 ( ) (C ) C 4 ( ) 3 ( ) ( D ) C4 ( )3 ( ) 5 3 5 5 3 3 60% ,在一次决赛中投 10 个球,则投中的球数不少于 9 个的概率 6.一名篮球运动员投篮命中率为
为 . 7.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为

3 2 ( A) C32 ( )3 ? 5 5

80 ,则此射手的命中率为 81
王新敞
奎屯 新疆



8.种植某种树苗,成活率为 90%,现在种植这种树苗 5 棵,试求:⑴全部成活的概率 亡的概率 ;⑶恰好成活 3 棵的概率 ;⑷至少成活 4 棵的概率 10.设在四次独立重复试验中,事件 A 至少发生一次的概率为
王新敞
奎屯 新疆

;⑵全部死

80 ,试求在一次试验中事件 A 发生的概率 81 1 ,求在第 n 次才击中目标的 3

11.某人向某个目标射击,直至击中目标为止,每次射击击中目标的概率为

概率 12.一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个黄球,从中同时取出 2 个,则其中含红球个数的数学期望是 13 设随机变量ξ 的分布列为
王新敞
奎屯 新疆

ξ P Dξ =
王新敞
奎屯 新疆

1

2

? ?

n

1 n

1 n

1 n

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14.

15.2010 年上海世博会大力倡导绿色出行,并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产 生的碳排放量,某游客计划在游园期间种植 n 棵树,已知每棵树是否成活互不影响,成活率都为

p(0 ? p ? 1) ,用 ? 表示他所种植的树中成活的棵数, ? 的数学期望为 E ? ,方差为 D ? 。
(I)若 n=1,求 D ? 的最大值; (II)已知 E ? =3,标准差
D? ? 3 ,试求 2

n 与 p 的值并写出 ? 的分布列。

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7、正态分布
? 1 e (1)如果样本的期望为 ? ,方差为 ? ,频率密度曲线 p( x) ? 2? ? ( x?? )2 2? 2

于是 P{x1 ? X ? x2 } ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) . 练习、 (1)设随机变量 ? ? N (0,1) ,且 p(?2 ? x ? 0) ? 0.4 ,则 p( x ? 2) = .

(2)一批电阻的阻值 X 服从正态分布 N (100052 ) (单位: ? ) ,今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取 , 一个电阻,测得阻值分别为 1011 ? 和 982 ? ,可以认为 ( ) A. 甲乙两箱电阻均可出厂 B. 甲乙两箱均不可出厂 C. 甲可出厂,乙不可出厂 D. 甲不可出厂,乙可以出厂 8、独立性检验

[来源:学*科*网]

P( ? 2 ? k )
k

0.50 0.455

0.40 0.780

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0 .005 7.879

0.001 10.828

?2 ?

(a ? b ? c ? d )(ad ? bc) 2 (a ? b)(b ? c)(c ? d )(d ? a)

例 9、为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 100 名 50 岁以下的人,调查结果如下表: 患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计 20 40 吸烟 5 60 不吸烟 100 合计 (1)填写上述表格空余部分 (2)判断患慢性气管炎是否 与吸烟有关?

练习:对高二某班 56 名学生进行是否喜爱运动进行调查,其中 28 名男生中有 20 人喜爱运动,8 人不喜欢 运动;28 名女生中有 12 人喜爱运动,16 人不喜爱运动.试判断性别与喜爱运动是否有关?

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9、一元线性回归案例

? ? 回归直线方程: y ? bx ? a ,其中 b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? , a ? y ? bx ? nx
2

?x
i ?1

2 i

例 10、关于某设备的使用年限 x (年)和所支出的维修费用 y (万元) ,有如下的统计资料:

x
y

2

3

4

5 6.5

6 8.0

2.0 3.5 5 (1) 画出散点图,分析 y 对 x 是否呈线性相关关系? (2) 求 y 关于 x 的线性回归方程; (3) 估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?

练习:一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 6 次试验,测得数据如 下: 零件数 x 加工时间 10 60
[来源:学科网]

20 65

30 75

40 80

50 90

60 95

y
① y 与 x 是否具有线性相关关系? ②如果 y 与 x 具有线性相关关系,求出回归直线方程.

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

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课外作业: 1.设有一个回归方程 y ? 2 ? 2.5 x ,变量 x 增加一个单位时,则(
[来源:学_科_网]



A. y 平均增加 2.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 C. y 平均减少 2.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位 2.随机抽样中测得四个样本点位(1,2),(2,3),(3,4) (4,5) ,则 y 与 x 之间的回归方程为 ( A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 2 C. y ? 2 x ? 1 D. y ? x ? 1



3.在对人们休闲方式的一次调查中,根据数据建立如下的 2×2 列联表: 休闲 性别 男 女 8 16 20 12 看电视 运动

为了判断休闲方式是滞与性别有关,根据表中数据,判定休闲方式与性别有关系,那么这种判断出错 的可能性至多为 A.1% ( ) (参考数据: P( ? 2 ? 3.841 ? 0.05, P( ? 2 ? 6.635 ? 0.01) ) ) C.5% D.95% )

B.99%

? 4. 工人工资 (元) 依劳动生产率 (千元) 变化的回归直线方程为 y ? 80x ? 50 , 下列判断中正确的是 (

A.劳动生产率为 1000 元时,工资一定为 50 元 B.劳动生产率平均提高 1000 元时,工资平均提高 80 元 C.劳动生产率平均提高 1000 元时,工资平均提高 130 元 D.当工人工资为 250 元时,劳动生产率为 2000 元 5.设随机变量 ? 服从正态分布 N(1,1) ,若 P(0 ? ? ? 1) ? 0.45, 则P(? ? 2) 为 ( A.0.005 B.0.45 C.0.5 D.0.55 6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据 )

x
y

3

4

5
4

6

2.5

3

4.5

(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

? ? y ? bx ? a ;(3)已知该厂 技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性
回 归 方 程 , 预 测 生 产 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 比 技 改 前 降 低 多 少 吨 标 准 煤 ?( 参 考 数 值 : 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 )

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附件 1:律师事务所反盗版维 权声明
[来源:学科网]

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