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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编(11月第四期):F单元+平面向量


F 单元 目录

平面向量

F 单元 平面向量 ........................................................................................................................... 1 F1 平面向量的概念及其线性运算............................................................................................... 1 F2 平面向量基本定理及向量坐标运算....................................................................................... 2 F3 平面向量的数量积及应用....................................................................................................... 6 F4 单元综合 ................................................................................................................................ 16

F1

平面向量的概念及其线性运算

【数学理卷·2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试(201411) 】7.在 △ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP ? 2 PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA ? ? 4,3? , PQ ? ?1,5? ,则

BC ? (

) C. ? 2, ?7 ? D. ? 6, ?21?

A. ? ?2,7 ? B. ? ?6, 21? 【知识点】平面向量的线性运算.F1 【答案】 【解析】B

解析:根据题意画出图形如下:

A Q C P B
2PQ ? PC ? PA ,即 2 ?1,5? ? PC ? ? 4,3? ,解得 PC ? ? ?2,7? ,则 BC ? 3PC ? ??6,21 ? ,
故选 B。 【思路点拨】先利用平行四边形法则求出向量 PC ,再利用 BC ? 3PC 可得结果。

【数学文卷· 2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试 (201411) 】 3、 已知平面向量 m, n 的夹角为

? ,且 m ? 3, n ? 2 ,在 ?ABC 中, AB ? 2m ? 2n, AC ? 2m ? 6n ,D 为 BC 6
) C.6 F1 D.8 F3

的中点,则 | AD |? ( A.2 B.4

【知识点】向量的运算.

【答案】 【解析】A 解析:因为 AD ?

1 AB ? AC ? 2 m ? n ,所以 2

?

? ?

?

AD ? 2

?m ? n?

2

?2

?m? ? ?n?
2

2

? 2m ? n ? 2 7 ? 2 ? 2 ? 3 ?

3 ? 2 ,故选 A. 2

【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则得 AD ? 2 m ? n ,再利用模与数量积的关 系,把求模问题转化为数量积运算.

?

?

F2

平面向量基本定理及向量坐标运算

【湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学 2015 届高三 10 月四校联考数学(文)

OA 与 OC 答案】 14.如图, 平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120 ,
? A ? O B 的夹角为 30 , 且O

?

? 1 ,OC =2 3 , 若 OC = ? OA + ? OB (? , 则? +? ? ?R)

的值为

【知识点】平面向量基本定理 F2 【答案解析】6 过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠ BOC=90° ,∠AOC=30° ,由 OA ? OB ? 1 OC =2 3 得平行四边形的边长为 2 和 4, λ+μ=2+4=6.故答案为 6. 【思路点拨】过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,然后将向

量 OC 用向量 OA 与向量 OB 表示出即可.

【数学理卷·2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411)(1)】

10.已知直线 x ? y ? a与圆x 2 ? y 2 ? 4交于A.B两点 ,且 OB ? OA ? OA ? OB (其中 O 为坐标原点),则实数 a 的值为( A.2 B. 6 ) C.2 或-2 D. 6或 - 6

【知识点】向量的运算.F2 【答案】 【解析】C 解析:以 OA , OB 为邻边作平行四边形 AOBC ,则 OC ? AB 所以 平行四边形 AOBC 为距形,又 OA ? OB ,所以四边形 AOBC 为正方形,∵a>0,∴直 线 x+y=a 经过点(0,2) , ∴a=2. 故答案为:2 【思路点拨】以 OA、OB 为邻边作 AOBC ,由已知得 AOBC 为正方形,由此能求出 a=2.

【数学理卷·2015 届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试(201411) 】4. 已知向量 i 与 j 不 共线,且 AB ? i ? m j, AD ? ni ? j, m ? 1 ,若 A, B, D 三点共线,则实数 m, n 满足的条件 是( ) A. m ? n ? 1 B. m ? n ? ?1 C. mn ? 1 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算 F2 D. mn ? ?1

【答案解析】C 由 AB ? i ? m j, AD ? ni ? j, m ? 1 ,且 A、B、D 三点共线, 所以存在非零实数 λ,使 AB =λ AD ,即 i ? m j ? ? (ni ? j ) ,所以 ? 故答案为 C. 【思路点拨】因为 AB 与 AD 共起点 A,所以要使 A、B、D 三点共线,只需存在非零实数 λ,使

?? n ? 1 ,所以 mn=1. ?m ? ?

AB =λ AD 成立即可,代入整理后可得 mn 的值.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】14.在 ?ABC 中, AB=2,AC=3,D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC ?

【知识点】 向量的加法及其几何意义; 向量的减法及其几何意义; 平面向量数量积的运算. F2 F3 【答案】 【解析】

5 2

AD = 解析: 根据向量的加减法法则有: BC = AC - AB ,

uuu r

uuu r uuu r uuu r

r 1 uuu r 1 uuu AC + AB , 2 2

此时 AD ? BC

uuu r uuu r

r 1 uuu r 骣 1 uuu 琪 琪 AC + AB 2 2 桫

(

r 2 uuu r2 uuu r uuu r 1 uuu 5 5 AC - AB = AC - AB = ,故答案为 。 2 2 2

)

(

)

【思路点拨】由 ?ABC 中,AB=2,AC=3,D 是边 BC 的中点,我们易将 AD ×BC 中两个向 量变形为,然后再利用向量数量积的计算公式,代入即可得到答案.

uuu r uuu r

【数学文卷· 2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考 (201411) 】 5. 若 a ? 1 ,b ? 2 ,

c ? a ? b ,且 c ? a ,那么 a 与 b 的夹角为(
A. 150 B.120

) D. 30

C. 60

【知识点】 数量积表示两个向量的夹角; 向量的模; 数量积判断两个平面向量的垂直关系. F2 F3 【答案】 【解析】B 解析:∵ c ? a ? b ,且 c ? a ,∴ ,即 a ? b ? a ? 0 ,

?

r

r

?

r

展开得: a ? a ? a ? b ? 0 ,整理得:1+1×2× cos ? a, b ? =0 解得: cos ? a, b ?? ?

r r

r r

r r

r r

1 ,故向量 与 的夹角为 120°,故选 B. 2

【思路点拨】根据三个向量的关系,通过向量夹角公式求出结果.

【数学文卷· 2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试 (201411) 】 16、 在直角梯形 ABCD 中, AB // DC, AD ? AB, AD ? DC ? 2 AB ,点 M 是梯形 ABCD 内或边界上的一个动 点,点 N 是 DC 边的中点,则 AM ? AN 的最大值是

【知识点】向量的坐标运算;简单的线性规划问题. E5 系,则 AN ? ?1,2? ,设 AM ? ?x , y

F2

F3

【答案】 【解析】6 解析:以 A 我原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,建立直角坐标

? ,则 AM ?AN

=x+2y,由图可知点 C(2,2)为 AM ? AN

取得最大值的最优解,所以 AM ? AN 的最大值是 6.

【思路点拨】建立直角坐标系,把向量的数量积用坐标表示,再用线性规划求解.

【数学文卷·2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试(201411) 】16. (本小题 满分 12 分)设平面向量 a ? (cos x , sin x) , b ? ( (1)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f (? ) ?

3 1 , ) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1 2 2

9 ? 2? 2? ) 的值. ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? 5 6 3 3

【知识点】平面向量数量积的运算;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 F2 【答案】 【解析】 (1) ? 2k? ?

? ?

24 5? ?? , 2k? ? ? (2) ? 25 6 6?

解析:依题意 f ( x) ?

3 1 ?? ? cos x ? sin x ? 1 ? sin ? x ? ? ? 1 ........2 分 2 2 3? ?

(1) 函数 f ( x) 的值域是 ? 0, 2? ;..................4 分 令 2 k? ?

?
2

? x?

?
3

? 2k? ?

?
2

,解得 2k? ?

5? ? ? x ? 2k? ? .......7 分 6 6

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ? 2k? ? (2) 由 f ?? ? ? sin ? ? ?

? ?

5? ?? , 2k? ? ? ? k ? z ? 。...8 分 6 6?

? ?

??

9 ?? 4 ? ? ? 1 ? 得 sin ? ? ? ? ? , 3? 5 3? 5 ?

因为

?
6

?? ?

2? ? ? ?? 3 ? ,所以 ? ? ? ? ? ,得 cos ? ? ? ? ? ? ....10 分 3 2 3 3? 5 ?

2? ? sin ? 2? ? 3 ?

?? ?? ? ?? 24 ? ? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ...12 分 3? 3? 3? 25 ? ? ? ?

【思路点拨】 (1)根据数量积的坐标运算,求出函数 f(x)的表达式,然后利用三角函数 的图象和性质求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间; (2)根据正弦函数的二倍角公 式进行计算即可.

【数学文卷· 2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试( 201411) 】6.若向量

BA ? (1, 2) , CA ? (4 , 5) 则 BC ? (
A. (5 , 7) B. (3 , 3)

) C. (?3 , ? 3) D. (?5 , ? 7)

【知识点】向量的坐标运算.F2 【答案】 【解析】C 解析:因为 CA ? (4 , 5) ,所以 AC ? ? ?4, ?5? ,则

BC ? BA ? AC ? ?1, 2? ? ? ?4, ?5? ? ? ?3, ?3? ,故选 C。
【思路点拨】利用向量的坐标运算公式即可。

F3

平面向量的数量积及应用

【湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学 2015 届高三 10 月四校联考数学(文)
? 答案】12 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a =(2,0) , b =1,则 a ? 2b =

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】2 3 由已知| a |=2, a ? 2b = a +4 a ? b +4 b 2=4+4×2×1×cos60° +4=12 ∴ a ? 2b =2 3 . 【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角 就可以解决平方过程中的数量积问题,题目最后不要忘记开方.
2

2

【数学(文)卷·2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411)word 版】11. 已知向量 a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,且 a ? b ,则 x=____________. 【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.F3 【答案】 【解析】0 解析:∵ a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,且 a ? b , ∴ a?b

r r

2( x - 1) + 2 = 0 ,解之可得 x=0.故答案为 0. r r 2( x - 1) + 2 = 0 ,解之即可.

【思路点拨】由题意可得 a?b

【数学理卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】16.(本小题满 分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,且 bcos C= 3acos B- ccos B. (1)求 cos B 的值; (2)若 BA ? BC ? 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a 和 c 的值.

【知识点】 正弦定理;余弦定理;向量的数量积. C8 【答案】 【解析】 (1) cos B =

F3

1 ; (2) a =c= 6 . 3

解析: (1)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C , 则 2 R sin B cos C ? 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B , 故 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,可得 sin B cos C ? sin C cos B =3sin A cos B 即 sin( B ? C )=3sin A cos B ,可得 sin A=3sin A cos B .又 sin A ? 0, 因此 cos B = (2)由 BA ? BC ? 2 ,可得 ac cos B =2 ,又 cos B =

1 .(6 分) 3

1 ,故 ac ? 6 , 3

2 2 2 2 2 2 由 b ? a ? c ? 2ac cos B , 可 得 a ? c ? 12 , 所 以 (a ? c ) , 即 a=c, 所以 ? 12

.………………(12 分) a=c = 6 【思路点拨】(1)把正弦定理代入已知等式,利用两角和与差的三角函数和诱导公式化简得 所求; (2)由数量积得定义和(1)的结论,求得 ac ? 6 ,再根据余弦定理求得 a,c 值.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】三、解答题(本大 题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, AC ? 1, ?ABC ? (1)求 f ( x) 解析式并标出其定义域; (2)设 g ( x) ? 6mf ( x) ? 1(m ? 0) ,若 g ( x) 的值域为 [ ? 【知识点】平面向量数量积的运算;正弦定理.C8 F3

2? , ?BAC ? x ,记 f ( x) ? AB ? BC . 3

3 ,1) ,求实数 m 的值. 2

1 p 1 p 5 (0 < x < ) ; (2) m ? ? 。 2 3 6 6 3 BC 1 AB 解析: (1)由正弦定理有: ; ? ? sin x sin 2? sin(? ? x) 3 3
【答案】 【解析】 (1) f ( x) = sin(2 x + ) w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

sin( ? x) 1 3 ∴ BC ? ; sin x , AB ? 2? 2? sin sin 3 3
∴ f ( x) ? AB BC ?

?

4 ? 1 2 3 1 sin x sin( ? x) ? ( cos x ? sin x)sin x 3 3 2 3 2 2
-----------------6分

1 ? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? (0 ? x ? ) 3 6 6 3

(2) g ( x) ? 6mf ( x) ? 1 ? 2m sin(2 x ?

?
6

) ? m ? 1 (0 ? x ?

?
3

)

? ? ? 5? ? 1 x ? (0, ) ,∴ ? 2 x ? ? ,则 sin(2 x ? ) ? ( ,1] 。 3 6 6 6 6 2
当 m ? 0 时, g ( x) ? 2m sin(2 x ? ) ? m ? 1 的值域为 [m ? 1,1) 。 又 g ( x) 的值域为 [ ? ∴综上 m ? ?

? 6

3 ,1) 2

解得

m??

5 2
-----------------12 分

5 2

【思路点拨】 (1)利用正弦定理可得 BC,AB,再利用数量积运算可得 f(x) ,利用三角形的 内角和定理可得其定义域; (2)对 m 分类讨论,利用正弦函数的单调性即可得出.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】2.已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ=( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.F3 【答案】 【解析】 B 解析:由向量 m = (l + 1,, 1) n = (l +2,, 2) 得 m + n = 2l +3,3 , )

u r

r

u r r

(

)

u r r u r r u r r (2l + 3) ? ( 1) + 3? ( 1) = 0, m - n = ( - 1, - 1) ,由 m + n ^ m - n ,得

(

) (

)

解得: l = - 3 .故选 B。 【思路点拨】由向量的坐标加减法运算求出 m + n , m - n 的坐标,然后由向量垂直的坐标 运算列式求出 λ 的值.

u r r

u r

r

【数学理卷·2015 届山东省泰安市高三上学期期中考试(201411) 】16.(本小题满分 12 分)

? 1? . 在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A ?1, 4 ?,B ? ?2,3?,C ? 2,
(I)求 AB ? AC及 AB ? AC ; (II)设实数 t 满足 AB ? tOC ? OC ,求 t 的值. 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】(1)3,2 10 (2)-1 (1)∵A(1,4),B(-2,3),C(2,-1).

uuu r uuu r

uuu r

uuur

?

uuu r

uuu r

?

uuu r

∴ AB =(-3,-1), AC =(1,-5), AB + AC =(-2,-6),
2 2 ∴ AB ? AC =-3×1+(-1)×(-5)=3,| AB + AC |= ( ?2) ? ( ?6) =2 10 .

(2)∵( AB ? tOC )⊥ OC ,∴ ( AB ? tOC) ? OC =0,即 AB ? OC - OC =-3×2+(-1)× (-1) =-5, OC =22+(-1)2=5,∴-5-5t=0,∴t=-1. 【思路点拨】(1)利用向量数量积坐标运算及求模公式即可得出结论; (2)根据题意可得: ( AB ? tOC) ? OC =0,再结合向量垂直的坐标表示可得关于 t 的方程, 进而解方程即可得到 t 的值.
2

2

【数学理卷·2015 届山东省泰安市高三上学期期中考试(201411) 】12.已知向量 a,b 的夹 角为 45°,且 a ? 1, 2a ? b ? 10,则 b ? 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】3 2 因为 a 、 b 的夹角为 45° ,且| a |=1,|2 a - b |= 10 , ▲ .

所以 4 a 2-4 a ? b + b 2=10,即| b |2-2 2 | b |-6=0,解得| b |=3 2 或| b |=- b (舍) 故答案为 3 2 . 【思路点拨】将|2 a - b |= 10 平方,然后将夹角与| a |=1 代入得到| b |的方程,解方程可得.

【数学文卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】20.(本小题满 分 13 分) 已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆以抛物线 y2 =16x 的焦点为其一个 焦点,以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点. 16 9

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 A(-1,0),B(1,0),且 C,D 分别为椭圆的上顶点和右顶点,点 P 是线段 CD 上的动 点,求 AP BP 的取值范围;
2 2 2 2 (3)试问在圆 x ? y ? a 上是否存在一点 M,使△F1MF2 的面积 S ? b (其中 a 为椭圆

的半长轴长,b 为椭圆的半短轴长,F1,F2 为椭圆的两个焦点) ,若存在,求 tan ?F 1MF2 的 值;若不存在,请说明理由. 【知识点】 椭圆的方程;向量数量积坐标运算;三角形的面积公式. H5 F3

【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 191 ? AP BP ? 24 ; ? ?1; (2) (3) 存在点 M 且 tan ?F 1MF2 =2. 34 25 9 x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别为(4,0)和(5,0). 16 9

解析: (1)因为抛物线 y2=16x 的焦点坐标和双曲线

所以 a ? 5, c ? 4, 所以椭圆的标准方程:
2

x2 y 2 ? ? 1 .??????????(3 分) 25 9
2

(2)设 P( x0 , y0 ) ,则 AP BP ? x0 ? y0 ?1.CD :3x ? 5 y ?15 ? 0(0 ? x ? 5). 则当 OP⊥CD 时,取到最小值,即: d1 ?

?15 32 ? 52

?

15 34 ; 34

当点 P 在 D 点时,取到最大值:OD=5.所以: (3)如图所示:

191 ? AP BP ? 24 .?????(7 分) 34

2 2 2 由第一问可知,圆的方程为 x ? y ? 25 .△F1MF2 的面积 S ? b ? 9.

2 设 M(x,y),又△F1MF2 的面积 S ? b ? 9=

1 ? 2 ? 4 ? y ? 4 y ? 9, 2

又 F1(-4,0),F2(4,0),设直线 MF2 的倾斜角为 ? ,直线 MF1 的倾斜角为 ? ,则

y y ? tan ? ? tan ? 8y 18 tan ?F1MF2 ? tan(? ? ? ) ? ? x?4 x?4 ? 2 ? ? 2. 2 y 1 ? tan ? tan ? 1 ? y x ? y ? 16 25 ? 16 x?4 x?4
即 tan ?F 1MF2 的值为 2.????????????????????????(13 分) 【思路点拨】(1)由已知得椭圆中的参数 a,b,c 的值即可; (2)求得线段 CD 方程

3x ? 5 y ? 15 ? 0(0 ? x ? 5). ,设出点 P( x0 , y0 ) 得向量 AP, BP 坐标,从而得

AP BP ? x02 ? y02 ?1,再化为关于 x0 的函数,由 0 ? x0 ? 5 得 AP BP 的取值范围;
2 2 2 (3)由(1)得出圆的方程为 x ? y ? 25 .△F1MF2 的面积 S ? b ? 9. 不妨设 M 在 x 轴上

方,结合图形可得点 M 的纵坐标 y ?

9 ,进一步求得 ?F1MF2 的三角函数值. 4

【数学文卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】18.(本小题满 分 12 分) 设 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), 记 f ( x) ? a b. (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)试用“五点法”画出函数 f ( x) 在区间 ? ?

? ? 11? ? 的简图,并指出该函数的图象可由 , ? 12 12 ? ?

y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到;
(3)若 x ? ? ?

? ? ?? , 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,试求出函数 g ( x) 的最大值 ? 6 3? ?

并指出 x 取何值时,函数 g ( x) 取得最大值.

【知识点】 向量的数量积;二倍角公式;两角和与差的三角函数;函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质;F3 C6 C5 C4

【答案】 【解析】 (1) ? ; (2)见解析; ( 2) x =

? 7 时 g ( x) 取得最大,最大值为 . 2 6
3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

解析: (1) f ( x) ? a b ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

? sin(2 x ?
(2)

?

2? 1 ) ? , ∴T ? ? ? . ????????????(3 分) 6 2 ?

x

?

? 12
0

2x ?

?
6

2? 12 ? 2
1

5? 12

?

8? 12 3? 2
-1

11? 12 2?
0

sin(2 x ? ) 6
y

?

0

0

1 2

3 2

1 2

?

1 2

1 2

? ? 1 得到 y ? sin( x ? ) ,再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 变 6 2 6 ? 1 ? 1 为 y ? sin(2 x ? ) , 最后再向上平移 个单位得到 y ? sin(2 x ? ) ? .????? (8 分) 2 6 6 2 ? 1 (3) g ( x) ? f ( x) ? m ? sin(2 x ? ) ? ? m, 6 2
y ? sin x 向左平移

? ? ? 5? ? ? ?1 ? ? ? ?? x ? ? ? , ? ,? 2 x ? ? ? ? , ? ,? sin(2 x ? ) ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ?2 ? ? 6 3?
3 7 ? 3 ? ? g ( x) ? ? m, ? m ? ,? m ? 2,? g max ( x) ? ? m= . 2 2 ? 2 ?
当 2x ?

?
6

=

?
2

即 x=

? 7 时 g ( x) 取得最大,最大值为 . ????????????(12 分) 2 6

【思路点拨】 (1)利用向量数量积得坐标公式,二倍角公式,两角和与差的三角函数公式, 求得 f ( x) ? sin(2 x ? 时 2x ?

?

1 ? ? 11? ? ) ? ,从而得函数 f ( x) 的最小正周期; (2)计算 x ? ? ? , 6 2 ? 12 12 ? ?

?
6

的范围,从而确定“五点法”中的关键点,然后列表、描点、画出图像;可以将

y ? sin x 的图像先平移再横伸缩变换得 y ? sin(2 x ?
再 进行平移变换得 y ? sin(2 x ?

?

1 ) ? 图像.也可以先进行横伸缩变换 6 2

?

1 ? ? ? ?? ) ? 图像; (3)先计算 x ? ? ? , ? 时 2 x ? 的范围, 6 6 2 ? 6 3?

从而得最值关于 m 的表达式,进而求得结论.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】19.(本小题满分 13 分)已知在△ABC 中,三条边 a,b、c 所对的角分别为 A、B,C,向量 m=(sinA,cosA) , n=(cosB,sinB) ,且满足 m·n=sin2C. (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA,sinC, sinB 成等比数列,且 AC ? ( AB ? AC) ? ?8 ,求边 c 的值并求△ABC 外接 圆的面积。 【知识点】平面向量的数量积;等比数列的性质;正弦定理.D3 F3 C8 【答案】 【解析】 (1) C ? 解析: (1)m·n=sin2C.

?
3

; (2)

16? 3 1 ? ? ,C? 2 3

?sin( A ? B) ? 2sin C cos C
(2)

?c o s C?

sinA,sinC, sinB 成等比数列

? c2 ? ab

AC ? ( AB ? AC ) ? ?8 ? AC ? BC ? 8
? ab ? 16 ?c ? 4
设外接圆的半径为 R ,由正弦定理可知: 2 R ?

c 4 4 8 ? ? ? 0 sin C sin 60 3 3 2

?R ?

4 3

?S ?

16 ? 3

【思路点拨】 (1)根据向量的数量积公式可得结果; (2)先根据等比数列的性质求出 c,再 利用正弦定理即可。

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】14.在 ?ABC 中, AB=2,AC=3,D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC ? 【知识点】 向量的加法及其几何意义; 向量的减法及其几何意义; 平面向量数量积的运算. F2 F3 【答案】 【解析】

5 2

AD = BC = AC - AB , 解析: 根据向量的加减法法则有:

uuu r

uuu r uuu r uuu r

r 1 uuu r 1 uuu AC + AB , 2 2

此时 AD ? BC

uuu r uuu r

r 1 uuu r 骣 1 uuu 琪 AC + AB 琪 2 2 桫

(

r 2 uuu r2 uuu r uuu r 1 uuu 5 5 AC - AB = AC - AB = ,故答案为 。 2 2 2

)

(

)

【思路点拨】由 ?ABC 中,AB=2,AC=3,D 是边 BC 的中点,我们易将 AD ×BC 中两个向 量变形为,然后再利用向量数量积的计算公式,代入即可得到答案.

uuu r uuu r

【数学文卷· 2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考 (201411) 】 5. 若 a ? 1 ,b ? 2 ,

c ? a ? b ,且 c ? a ,那么 a 与 b 的夹角为(
A. 150 B. 120

) D. 30

C. 60

【知识点】 数量积表示两个向量的夹角; 向量的模; 数量积判断两个平面向量的垂直关系. F2 F3 【答案】 【解析】B 解析:∵ c ? a ? b ,且 c ? a ,∴ ,即 a ? b ? a ? 0 ,

?

r

r

?

r

展开得: a ? a ? a ? b ? 0 ,整理得:1+1×2× cos ? a, b ? =0 解得: cos ? a, b ?? ?

r r

r r

r r

r r

1 ,故向量 与 的夹角为 120°,故选 B. 2

【思路点拨】根据三个向量的关系,通过向量夹角公式求出结果.

【数学文卷· 2015 届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试 (201411) 】 12.已知向量 a ? ?1, 2? ,

b ? ? x, ?2? ,且 a ? a ? b ,则实数 x 等于__
【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】9

?

?

_____

a ? b ? ?1 ? x,4? ,由 a ? a ? b 得 1 ? x ? 8 ? 0 ,解得: x ? 9 故答案 9

?

?

【思路点拨】根据向量的数量积求出 x 值。

【数学文卷· 2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试 (201411) 】 16、 在直角梯形 ABCD 中, AB // DC, AD ? AB, AD ? DC ? 2 AB ,点 M 是梯形 ABCD 内或边界上的一个动 点,点 N 是 DC 边的中点,则 AM ? AN 的最大值是

【知识点】向量的坐标运算;简单的线性规划问题. E5

F2

F3

【答案】 【解析】6 解析:以 A 我原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,建立直角坐标 系,则 AN ? ?1,2? ,设 AM ? ?x , y

? ,则 AM ?AN

=x+2y,由图可知点 C(2,2)为 AM ? AN

取得最大值的最优解,所以 AM ? AN 的最大值是 6. 【思路点拨】建立直角坐标系,把向量的数量积用坐标表示,再用线性规划求解.

【数学文卷· 2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试 (201411) 】 3、 已知平面向量 m, n 的夹角为

? ,且 m ? 3, n ? 2 ,在 ?ABC 中, AB ? 2m ? 2n, AC ? 2m ? 6n ,D 为 BC 6
) C.6 F1 D.8 F3

的中点,则 | AD |? ( A.2 B.4

【知识点】向量的运算.

【答案】 【解析】A 解析:因为 AD ?

1 AB ? AC ? 2 m ? n ,所以 2

?

? ?

?

AD ? 2

?m ? n?

2

?2

?m? ? ?n?
2

2

? 2m ? n ? 2 7 ? 2 ? 2 ? 3 ?

3 ? 2 ,故选 A. 2

【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则得 AD ? 2 m ? n ,再利用模与数量积的关 系,把求模问题转化为数量积运算.

?

?

【数学文卷·2015 届山东省泰安市高三上学期期中考试(201411) 】16.(本小题满分 12 分)

? 1? . 在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A ?1, 4 ?,B ? ?2,3?,C ? 2,
(I)求 AB ? AC及 AB ? AC ; (II)设实数 t 满足 AB ? tOC ? OC ,求 t 的值. 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】(1)3,2 10 (2)-1 (1)∵A(1,4),B(-2,3),C(2,-1). ∴ AB =(-3,-1), AC =(1,-5), AB + AC =(-2,-6),
2 2 ∴ AB ? AC =-3×1+(-1)×(-5)=3,| AB + AC |= ( ?2) ? ( ?6) =2 10 .

uuu r uuu r

uuu r

uuur

?

uuu r

uuu r

?

uuu r

(2)∵( AB ? tOC )⊥ OC ,∴ ( AB ? tOC) ? OC =0,即 AB ? OC - OC =-3×2+(-1)× (-1)

2

=-5, OC =22+(-1)2=5,∴-5-5t=0,∴t=-1. 【思路点拨】(1)利用向量数量积坐标运算及求模公式即可得出结论; (2)根据题意可得: ( AB ? tOC) ? OC =0,再结合向量垂直的坐标表示可得关于 t 的方程, 进而解方程即可得到 t 的值.

2

【数学文卷·2015 届山东省泰安市高三上学期期中考试(201411) 】13.已知向量 a,b 的夹 角为 45°,且 a ? 1, 2a ? b ? 10,则 b ? 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】3 2 因为 a 、 b 的夹角为 45° ,且| a |=1,|2 a - b |= 10 , ▲ .

所以 4 a 2-4 a ? b + b 2=10,即| b |2-2 2 | b |-6=0,解得| b |=3 2 或| b |=- b (舍) 故答案为 3 2 . 【思路点拨】将|2 a - b |= 10 平方,然后将夹角与| a |=1 代入得到| b |的方程,解方程可得.

F4

单元综合

【数学文卷·2015 届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试(201411) 】16 在 ?ABC 中,

?A ? 600 , M 是 AB 的中点,若 AB ? 2, BC ? 2 3 , D 在线段 AC 上运动,
则下面结论正确的是 ① ?ABC 是直角三角形; ③ DB ? DM 的最大值为 2 ; 【知识点】单元综合 F4 【答案解析】①②④, ①设|AC|=x,则由余弦定理得(2 3 )=22+x2-2×2xcos60° , 即 12=4+x2-2x,∴x2-2x-8=0,解得 x=4 或 x=-2(舍去), ∴|AC|=4,∴∠B=90° ,即①△ABC 是直角三角形,∴①正确. ②将直角三角形 ABC 放入坐标系中, 则 B(0,0),A(0,2),M(0,1),C(2 3 , 0 ),则 AC =(2 3 , -2) , ② DB ? DM 的最小值为

23 ; 16

④存在 ? ? ? 0,1? 使得 BD ? ? BA ? (1 ? ? ) BC

设 AD =m AC =(2 3 m ,-2m) ,0≤m≤1,设 D(x,y),则(x,y-2)=(2 3 m ,-2m ), 解得 x=2 3 m ,y=2-2m,即 D(2 3 m , 2-2m ).则 DB =(-2 3 m , 2m-2) ,

DM =(-2 3 m , 2m-1) ,∴ DB ? DM =(-2 3 m )2+(2m-2)(2m-1)=16m2-6m+2

3 2 23 3 23 ) + ,∴当 m= 时, DB ? DM 的最小值为 ,∴②正确. 16 16 16 16 3 2 23 ③由②知 DB ? DM =16m2-6m+2=16 (m- ) + , ∵0≤m≤1, ∴当 m=1 时,DB ? DM 16 16
=16(m-

的最大值为 16-6+2=12,∴③错误④ ∵ BD =(2 3 m , 2-2m) , BA =(0,2),

BC =(2 3 , 0 ),
若 BD =λ BA +(1-λ) BC . 则(2 3 m , 2-2m )=λ(0,2)+(1-λ)(2 3 , 0 ), 即?

? ?m ? 1 ? ? ?2 3m ? (1 ? ? )2 3 ,解得 ? ,此时 λ=1-m, ? ?1 ? m ? ? ? 2 ? 2m ? 2?

∵0≤m≤1,∴0≤λ≤1,即存在 λ∈[0,1]使得 BD =λ BA +(1-λ) BC .∴④正确. 故答案为:①②④ 【思路点拨】①根据余弦定理②③④


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