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【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:4.3平面向量的数量积(人教A版·数学理)


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课时提能演练(二十五)
(45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. (2012· 台州模拟) 若非零平面向量 a, 满足 b,c (a· c=a· c), b)· (b· 则( )

(

A)a,c 一定共线 (B)a,b 一定共线 (C)b,c 一定共线 (D)a,b,c 无法确定位置关系 2.已知 a、 为非零向量, a、 的夹角为 , p= b 且 b 若 (A)1 (B)
2
? 3
a b ? , 则|p|=( a b

)

(C) 3

(D)2

3. 易错题) ( 已知 a=(x,x),b=(x,t+2),若函数 f(x)=a· 在区间 b [-1,1] 上不是单调函数,则实数 t 的取值范围是( (A)(-∞,-4] (C)(-4,0) )

(B)(-4,0] (D)(0,+∞)
??? ?
??? ?

4.(2012·石家庄模拟)已知锐角三角形 ABC 中,| AB |=4,| AC |=1, △ABC 的面积为 3 ,则 AB?AC 的值为( (A)2 (B)-2 (C)4
??? ??? ? ?

) (D)-4

5.已知三个向量 a、b、c 两两所夹的角都为 120°,且|a|=1,|b|=2,

|c|=3,则向量 a+b 与向量 c 的夹角θ 的值为( (A)30° (B)60° (C)120°

) (D)150°

6.(2011·新课标全国卷)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为θ , 有下列四个命题
2? 2? ),P2:|a+b|>1 ? θ ∈( ,π ] , 3 3 ? ? P3:|a-b|>1 ? θ ∈[0, ),P4:|a-b|>1 ? θ ∈( ,π ] , 3 3

P1:|a+b|>1 ? θ ∈[0,

其中的真命题是( (A)P1,P4 (C)P2,P3

) (B)P1,P3 (D)P2,P4

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向 量 ka-b 垂直,则 k=______. 8.(预测题)已知向量 a=(2,1),a·b=10,|a+b|= 5 2 ,则|b|=______. 9.(2012·合肥模拟)已知 A(0,3) ,B(-1,0) ,C(3,0) ,若四 边形 ABCD 为直角梯形,则点 D 的坐标为______. 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1 与 e2 的夹角为 ,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 11.(2012·温州模拟)已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°. (1)求 a+b 与 a 的夹角的余弦值; (2)当|a+tb|取得最小值时,试判断 a+tb 与 b 的位置关系,并说明 理由.
? 3

【探究创新】 (16 分) 已知向量 a=(1,2),b=(cosα ,sinα ),设 m=a+tb(t 为实数). (1)若α = ,求当|m|取最小值时实数 t 的值; (2)若 a⊥b,问: 是否存在实数 t, 使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 , 若存在,请求出 t;若不存在,请说明理由.
? 4
? 4

答案解析
1.【解析】选 A.若 a〃b=b〃c=0,则 a⊥b,b⊥c, ∴a∥c. 若 a〃 b≠0,b〃 c≠0,设 a〃 b=m,b〃 c=n,则 m、 n∈R,且 mn≠0,∴mc=na, ∴a∥c.综上:a∥c. 2.【解析】选 C. p ? p ? ( ?
2

a a

b 2 ) b

= (

a 2 a b b 2 ) ? 2? ? ? ( ) |a| |a| b b

= 2 ? 2?

a b cos

? 3 ? 2 ? 2? 1 ? 3 . a b 2

3.【解析】选 C.∵f(x)=a〃b=x2+(t+2)x, ∴f′(x)=2x+(t+2),令 f′(x)=0 得 x= ? 又 f(x)在[-1,1]上不单调, ∴-1< ?
t?2 <1, 2 t?2 , 2

即-4<t<0. 4.【解析】选 A.由题意得 ? AB ? AC ? sinA ? 3 ,所以 ×4×1× sinA= 3 ,故 sinA=
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 3 ,又 A 为锐角,所以 A=60°,AB?AC ? AB ? AC 2

1 2

??? ?

??? ?

1 2

×cosA=4×1×cos60°=2. 5.【解题指南】先求(a+b)〃c,再求|a+b|,最后利用公式求 cosθ, 进而求θ. 【解析】 D.∵(a+b)〃 选 c=a〃 c+b〃 c=1×3×cos120°+2×3×cos120° =? ,
2 |a+b|= (a ? b) ? a2 ? 2a?b ? b2 =

9 2

12 ? 2 ?1? 2 ? cos120? ? 22 ? 3 ,

? a ? b ??c ? ∴cosθ=
a ? b ?c

?

9 2 ?? 3 , 2 3 ?3

∵0°≤θ≤180°,∴θ=150°. 6.【解题指南】|a+b|>1 ? (a+b)2>1,|a-b|>1 ? (a-b)2>1, 将(a+b)2,(a-b)2 展开并化成与θ有关的式子,解不等式,得θ的取 值范围. 【解析】 A.|a+b|>1 ? (a+b)2>1, 选 而(a+b)2=a2+2a〃 2=2+2cos b+b θ>1, ∴cosθ> ? ,解得θ∈[0, >1,可得θ∈( ,π]. 7.【解题指南】向量 a+b 与向量 ka-b 垂直 ? (a+b)〃(k a-b)=0,展 开用数量积公式求得 k 的值.
? 3

1 2

2? ),同理,由|a-b|>1 ? (a-b)2 3

【解析】∵(a+b)⊥(k a-b), ∴(a+b)〃 a-b)=0, (k 即 k a2+(k-1)a〃b-b2=0,(*) 又∵a,b 为两不共线的单位向量, ∴(*)式可化为 k-1=-(k-1)a〃b, 若 k-1≠0,则 a〃b=-1,这与 a,b 不共线矛盾; 若 k-1=0,则 k-1=-(k-1)a〃b 恒成立. 综上可知,k=1 时符合题意. 答案:1 8.【解析】∵50=|a+b|2=|a|2+2a〃b+|b|2=5+20+|b|2,∴|b|=5. 答案:5 9.【解析】D 的位置如图所示,由图(1)可知 D(3,3) ,由图(2)可得
???? ??? ? ?AD ? AB ? ? ? ? ??? ??? ?AB ? DC ?

设 D(x,y),则 AD =(x,y-3) AB =(-1,-3) , ,
??? ? DC =(3-x,-y) ,
18 ? ?x ? 5 ( ? x ?(?1) ? (y ? 3)? ? 3) ? 0 , , ∴? 解之得 ? ? ?(?1)(? y) ? ( ? 3)(3 ? x) ? 0 ?y ? 9 ? 5 ?

????

??? ?

∴D(

18 9 , ). 5 5

18 9 5 5 18 9 答案: (3,3)或( , ) 5 5

综上,D(3,3)或( , ).

10.【解题指南】a、b 夹角为钝角 ? a〃b<0 且 a 与 b 不共线. 【解析】由|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 ,得 e1〃e2=|e1|〃|e2|cos
? 3 ? 3

=1,∴(2te1+7e2)〃 1+te2)=2te12+(2t2+7)e1〃e2+7te22=2t2+15t+7,∵向 (e 量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,∴2t2+15t+7<0,解得 -7<t< ? . 当 2te1+7e2 与 e1+te2 共线时,存在实数 m 使 2te1+7e2=m(e1+te2) 即(2t-m)e1+(7-mt)e2=0, ∵e1,e2 不共线,
? ? ? 14 14 ?2t ? m ? 0 ?t ? ?t ? , ∴? 解之得 ? 2 或? 2 ?7 ? mt ? 0 ?m ? 14 ? m ? ? 14 ? ?

1 2

∴当 t= ?

14 时,2te1+7e2 与 e1+te2 共线, 2

综上,所求实数 t 的取值范围为:-7<t< ? 且 t≠ ?
2

1 2

14 . 2

11.【解题指南】对于(2)可利用|a+tb|= ? a ? tb ? 把|a+tb|表示成 t 的二次函数,再配方求最小值. 【解析】(1)设 a+b 与 a 的夹角为θ,于是 a〃b=|a|〃|b|cos60°=1, |a+b|= ? a ? b ? ? a2 ? 2a? ? b2 ? 7 , b
2

于是 cosθ=

? a ? b ??a ?
a ? b ?a

2 7

?

2 7 . 7

(2)由(1)知 a〃b=1,

∴(a+tb)2=a2+2ta〃b+t2b2=1+2t+4t2 ∴|a+tb|= 4t 2 ? 2t ? 1 = 4(t ? )2 ?
1 4
1 4 3 4

当且仅当 t= ? 时,取得最小值,此时(a+tb)〃b=a〃b+4t=0, 所以(a+tb)⊥b. 【方法技巧】平面向量的数量积运算问题的解题技巧 (1)平面向量的数量积运算有时类似于多项式的乘法; (2)熟记公式 a〃a=a2=|a|2,易将向量问题转化为实数问题. 【变式备选】△ABC 中,满足: AB ⊥ AC ,M 是 BC 的中点. (1)若| AB |=| AC |,求向量 AB +2 AC 与向量 2 AB + AC 的夹角的余弦 值; (2)若 O 是线段 AM 上任意一点, AB |=| AC |= 2 , OO ?OO 且| 求 AB CA? 的最小值. 【解析】(1)设向量 AB +2AC 与向量 2 AB + AC 的夹角为 θ,|AB|=| AC |=a, ∵ AB ⊥ AC , ∴( AB +2 AC )〃 AB + AC )=2 AB 2+5 AB 〃 AC +2 AC 2=4a2, (2 | AB +2 AC |= (AB ? 2AC)2 = AB ? 4AB?AC ? 4AC ? 5a , 同理可得|2 AB + AC |= 5a ,
??? ? ??? ? ??? ??? ? ? (AB ? 2AC)? 2AB ? AC) 4a 2 4 ( ∴cosθ= ??? ??? ??? ??? ? 2 ? . ? ? ? ? 5a 5 | AB ? 2AC | 2AB ? AC
? ??? ??? ?
??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? 2 ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ??? ?

??? ?

??? ?

?? ??? ? ?? ? ??? ?

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? ??? ??? ?

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??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ??? ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(2)∵| AB |=| AC |= 2 ,∴| AM |=1.

??? ?

??? ?

???? ?

设| OA |=x,则| OM |=1-x,而 OB ? OC ? 2OM ,
( ? ∴ OA? OB ? OC) 2OA ?OM ? 2 OA OM cos? ???? ??? ??? ? ? ???? ???? ? ???? ???? ?

????

???? ?

??? ??? ? ?

???? ?

1 1 2 2 ???? ??? ??? ? ? 1 1 ( 当且仅当 x= 时, OA? OB ? OC) 值最小,为- . 2 2

=-2x(1-x)=2x2-2x=2(x- )2-

【探究创新】 【解题指南】(1)把|m|整理成关于 t 的函数即可. (2)由 cos ?
? 4 ( ? a ? b ?? a ? tb) a ? b a ? tb

,列出关于 t 的方程,若方程有实数解,则 t

存在,否则 t 不存在. 【解析】(1)因为α= ,b=(
2

? 4

2 2 3 2 , ),a〃b= ,则 2 2 2
3 2 2 1 ) ? , 2 2

|m|= ? a ? tb ? ? 5 ? t 2 ? 2ta?b ? t 2 ? 3 2t ? 5 ? (t ? 所以当 t= ?
3 2 时, 2

|m|取到最小值,最小值为

2 . 2

(2)假设存在实数 t 满足条件,由条件得 cos =
2 又因为|a-b|= (a ? b) ? 6 , 2 |a+tb|= (a ? tb) ? 5 ? t 2 ,

? 4

? a ? b ??? a ? tb ?
a ? b a ? tb

,

(a-b)(a+tb)=5-t, 〃 则有
5?t 6? 5 ? t
2

?

2 ,且 t<5, 2

整理得 t2+5t-5=0,

所以存在 t=

?5 ? 3 5 满足条件. 2


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