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河南省中原名校(即豫南九校)2018届高三第二次质量考评 数学(理)


中原名校 2017—2018 学年第二次质量考评 高三数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x y ? lg x , B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A I B ? (

?

?

?

?



A. ? 0,3?

B. ? ?1,0?

C. ? ??,0? U?3, ???

D. ? ?1,3? )

2.若 ? x ? i ? i ? y ? 2i , x, y ? R ,其中 i 为虚数单位,则复数 x ? yi ? ( A. ?2 ? i B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

3.命题 p : x, y ? R , x2 ? y 2 ? 2 ,命题 q : x, y ? R , x ? y ? 2 ,则 p 是 q 的( A.充分非必要条件 C.必要充分条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件



?log 1 x, x ? 1 ? 2 4.已知函数 f ? x ? ? ? ,则 x ? 2 ? 36 , x ? 1 ?
A.3 B.4 C. ? 3

? ? 1 ?? f ? f ? ?? ? ( ? ? 2 ??
D.38



5.某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积等于(

) cm .

3

A. 4 ?

2? 3

B. 4 ?

3? 2

C. 6 ?

2? 3

D. 6 ?

3? 2

·1·

6. 已知定义域为 R 的偶函数 f ? x ? 在 ? ??,0? 上是减函数, 且 f ?1? ? 2 , 则不等式 f ? log2 x ? ? 2 的 解集为( A. ? 2, ??? ) B. ? 0,

? ?

1? ? U ? 2, ?? ? 2?
sin ?

C.? 0,

? ? ?

2? ?U 2 ? ?

?

2, ??

?

D.

?

2, ??

?

7.已知 ? ? ? 0, A. a ? b ? c

? ?

??

? , a ? ? sin ? ? 4?

, b ? ? cos ? ?

sin ?

, c ? ? sin ? ?

cos ?

,则(



B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. c ? a ? b

8.点 A , B , C , D 在同一个球的球面上, AB ? BC ? 6 , ?ABC ? 90? ,若四面体 ABCD 体 积的最大值为 3,则这个球的表面积为( A. 2? B. 4?
2

) D. 8?

C. 16?

2 9.已知 AB 是圆 C : ? x ? 1? ? y ? 1 的直径,点 P 为直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点,则 PA ? PB 的

uu r uur

最小值是( A.1

) B.0 C. 2
3

D. 2 ? 1 )

10.若函数 f ? x ? ? x ? x ? c ? 在 x ? 2 处有极小值,则常数 c 的值为( A. ? 4 B.2 或 8 C.2 D.8

x2 y 2 ? 11.倾斜角为 的直线 l 经过原点与双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右两支于 A 、 B 两点,则双曲线离心 12 a b
率的取值范围为( A. 6 ? 2, ?? ) B. 4 ? 2 2 , ??
?x

?

?

?

?

C.1, 6 ? 2

?

?

D.1, 4 ? 2 2

?

?

12.已知曲线 f ? x ? ? ke 在点 x ? 0 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,若 x1 , x2 是函数

g ? x ? ? f ? x ? ? ln x 的两个零点,则(
A.

) C.

1 1 ? x1 x2 ? 2 e e

B.

1 ? x1 x2 ? 1 e2

1 ? x1 x2 ? 1 e

D. e ? x1 x2 ? e2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

·2·

?x ? y ? 7 ? 0 ? 13.设 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为. ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
14.已知函数 f ? x ? ? a sin x ? 15.由曲线 y ?

b ? c , x ???5? ,0? U? 0,5? ? ,若 f ?1? ? f ? ?1? ? 4034 ,则 c ? . x

x ,直线 y ? x ? 2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为.

16.定义在 ? 0, ??? 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? 0 , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,且

2 f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 3 f ? x ? 对 x ?? 0, ??? 恒成立,则

f ? 2? 的取值范围是. f ? 3?

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. )
17.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a sin B ? 3b cos A . (1)求角 A 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 3 , ?ABC 的周长为 6,求边长 a . 18.近年来空气质量逐步恶化,雾霾天气现象增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸、呼 吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关,在市第一人民医院随机对入院 50 人进行了问 卷调查,得到如下的列联表: 患心肺疾病 男 女 合计 20 10 30 不患心肺疾病 5 15 20 合计 25 25 50

(1)是否有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (2)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患有胃病,现在从患心肺疾病的 10 位女性中,选 出 3 位进行其他方面的排查,其中患胃病的人数为 ? ,求 ? 的分布列、数学期望.

n ? ad ? bc ? 参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

下面的临界值仅供参考:

·3·

P ? K 2 ? k0 ?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

19.如图,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , PD ∥QA , QA ? AB ? (1)证明:平面 PQC ? 平面 DCQ ; (2)求二面角 Q ? BP ? C 的余弦值.

1 PD . 2

20.已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长 2 2 a b

为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 P ? 4,0? , A 、 B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于另 一点 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点. 21.已知函数 f ? x ? ? ln x , h ? x ? ? ax ( a ? R ). (1)函数 f ? x ? 与 h ? x ? 的图象无公共点,试求实数 a 的取值范围; (2) 是否存在实数 m , 使得对任意的 x ? ?

ex m ?1 ? 都有函数 y ? f ? x ? ? 的图象在 g ? x ? ? 的 , ?? ? , x x ?2 ?

图象的下方?若存在,请求出最大整数 m 的值;若不存在,请说明理由. (参考数据: ln 2 ? 0.6931 , ln 3 ? 1.0986 , e ? 1.6487 , 3 e ? 1.3956 ).

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为
·4·

? x ? cos ? ? x? ? 3 x ( ? 为参数) ,经过伸缩变换 ? 后得到曲 2? sin ? ? ? cos? ? 10 ,将曲线 C1 : ? ? y ? sin ? ? y? ? 2 y
线 C2 . (1)求曲线 C2 的参数方程; (2)若点 M 的曲线 C2 上运动,试求出 M 到直线 C 的距离的最小值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ?

1 (a ? 0) 2a

(1)若不等式 f ? x ? ? f ? x ? m? ? 1 恒成立,求实数 m 的最大值. (2)当 a ?

1 时,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ?1 有零点,求实数 a 的取值范围. 2

·5·

中原名校 2017—2018 学年第二次质量考评 高三数学(理)参考答案 一、选择题
1-5:ABACD 6-10:BDCAD 11、12:AB

二、填空题
13.8 14.2017 15.

10 3

16. ?

? 8 4? , ? ? 27 9 ?

三、解答题
17.解: (1)∵ a sin B ? 3b cos A ,∴ sin A sin B ? 3 sin B cos A , ∵ B ? ? 0, ? ? ,∴ sin B ? 0 ,∴ sin A ? 3 cos A ,

tan A ? 3 ,∵ A ? ? 0, ? ? ,∴ A ?
(2) S ?ABC ?

?
3

.

1 bc sin A ? 3 ,∴ bc ? 4 , 2
2 b2 ? c 2 ? a 2 ? b ? c ? ? 2bc ? a 1 ? ? 2bc 2bc 2 2

又∵ a ? b ? c ? 6 , cos A ?

?6 ? a? ∴

2

? 8 ? a2 1 ? 8 2

解得 a ? 2 .

n ? ad ? bc ? 50 ? 20 ?15 ? 5 ?10 ? 25 18.解: (1)∵ K ? ,即 K 2 ? ? 25 ? 25 ? 30 ? 20 3 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2

2

2

2 2 ∴ K ? 8.333 ,又 P K ? 7.879 ? 0.005 ? 0.5% ,

?

?

∴我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的 (2)现在从患心肺疾病的 10 位女性中选出 3 位,其中患胃病的人数 ? ? 0,1, 2,3 , ∴ P ?? ? 0 ? ?
3 2 1 C7 C7 ? C3 7 21 , , ? P ? ? 1 ? ? ? ? 3 3 C10 24 C10 40

P ?? ? 2 ? ?

1 3 C7 ? C32 7 C3 1 , . ? P ? ? 3 ? ? ? ? 3 3 C10 40 C10 120

·6·

所以 ? 的分布列为

所以 ? 的数学期望

E ?? ? ? 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 40 40 120 10

19.解:如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角 坐标系 D ? xyz .

(1)依题意有 Q ?1,1,0? , C ? 0,0,1? , P ? 0,2,0? . 则 DQ ? ?1,1, 0 ? , DC ? ? 0, 0,1? , PQ ? ?1, ?1, 0 ? . 所以 PQ ? DQ ? 0 , PQ ? DC ? 0 . 即 PQ ? DQ , PQ ? DC ,故 PQ ? 平面 DCQ , 又 PQ 平面 PQC ,所以平面 PQC ? 平面 DCQ . (2)依题意有 B ?1,0,1? , CB ? ?1, 0, 0 ? , BP ? ? ?1, 2, ?1? .

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r

uuu r uuu r

uur

uur

r uur ? ?n ? CB ? 0 设 n ? ? x, y, z ? 是平面 PBC 的法向量,则 ? r uur ? ?n ? BP ? 0
·7·

r ?x ? 0 因此可取 n ? ? 0, ?1, ?2 ? . ?? x ? 2 y ? 2 ? 0 u r uur ? m ? ? BP ? 0 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 ? u r uuu r ? ?m ? PQ ? 0 u r 同理可取 m ? ?1,1,1? .
即? 所以 cos m, n ? ?

15 . 5

故二面角 Q ? BP ? C 的余弦值为 ?

15 . 5

20.解: (1)以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆为 x2 ? y 2 ? b2 直线 x ? y ? 6 ? 0 与圆相切,∴ b ? 又e ?

0?0? 6 12 ? 12

? 3

c 1 ? ∴ a ? 2c ∵ a 2 ? b2 ? c2 ∴ 4c 2 ? 3 ? c 2 a 2

解得 c ? 1 ∴ a ? 2 故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)由题意知直线 PB 的斜率存在,所以设直线 PB 的方程为 y ? k ? x ? 4? ,

? y ? k ? x ? 4? ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 ? 4k ? 3? x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
设点 B ? x1 , y1 ? , E ? x2 , y2 ? ,则 A ? x1 , ? y1 ? , ∴ x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 x x ? , ① 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
y2 ? y1 x ?x ? x ? x2 ? ,令 y ? 0 得 x ? x2 ? 2 1 y2 , x2 ? x1 y2 ? y1

直线 AE 的方程为 y ? y2 ?

有∵ y1 ? k ? x1 ? 4? , y2 ? k ? x2 ? 4? 代入上式,整理得 x ?

2 x1 x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ② x1 ? x2 ? 8

·8·

将①式代入②式整理得 x ? 1 , 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 ?1,0 ? . 21.解: (1)函数 f ? x ? 与 h ? x ? 无公共点,等价于方程 令 t ? x? ?

ln x ? a 在 ? 0, ??? 无解, x

ln x 1 ? ln x ,则 t ? ? x ? ? ,令 t ? ? x ? ? 0 ,得 x ? e x x2

因为 x ? e 是唯一的极大值点,故 tmax ? t ? e ? ? 故要使方程

1 e

ln x 1 ?1 ? ? a 在 ? 0, ??? 无解,当且仅当 a ? 故实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? x e ?e ?

(2)假设存在实数 m 满足题意,则不等式 ln x ?

m ex ?1 ? ? 对 x ? ? , ?? ? 恒成立, x x ?2 ?

x 即 m ? e ? x ln x 对 x ? ?

?1 ? , ?? ? 恒成立, ?2 ?
x

令 r ? x ? ? e ? x ln x ,则 r? ? x ? ? e ? ln x ?1 ,
x
x 令 ? ? x ? ? e ? ln x ?1,则 ? ? ? x ? ? e ?

x

1 , x
1

因为 ?? ? x ? 在 ?

?1? ?1 ? , ?? ? 上单调递增, ? ? ? ? ? e 2 ? 2 ? 0 , ?? ?1? ? e ?1 ? 0 ,且 ?? ? x ? 的图象在 ?2 ? ?2?

1 ?1 ? ?1 ? x0 ? ,1? 上连续,所以存在 x0 ? ? ,1? ,使得 ?? ? x0 ? ? 0 ,即 e ? ? 0 ,则 x0 ? ? ln x0 x0 ?2 ? ?2 ?
所以当 x ? ?

?1 ? , x0 ? 时, ? ? x ? 单调递减;当 x ? ? x0 , ??? 时, ? ? x ? 单调递增, ?2 ?
x

则 ? ? x ? 取到最小值 ? ? x0 ? ? e 0 ? ln x0 ?1 ? x0 ?

1 1 ? 1 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 ? 0 , x0 x0

·9·

所以 r ? ? x ? ? 0 ,即 r ? x ? 在区间 ?

?1 ? , ?? ? 内单调递增, ?2 ?

1 1 1 ?1? 2 1 1 m ? r ? ? ? e ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 ?2?

所以存在实数 m 满足题意,且最大整数 m 的值为 1. 22.解: (1)将曲线 C1 : ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ? y ? sin ?

由伸缩变换 ?

? x? ? 3 x ? x ? 3cos ? ,可得参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y? ? 2 y ? y ? 2sin ?

(2)曲线 C 的极坐标方程 2? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,化为直角坐标方程: 2 y ? x ? 10 ? 0 , 点 M 到 C 的距离 d ?

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

5sin ?? ? ? ? ? 10 5

?

5 ? 5, 5

∴点 M 到 C 的距离的最小值为 5 . 23.解: (1) x ? a ?

1 1 ? x?a?m ? ? x?a?x?a?m ? m 2a 2a

∵ f ? x ? ? f ? x ? m? ? 1 ∴ m ? 1 , m 的最大值为 1.

1 1 ? ?3 x ? 2a ? a ? 1, x ? 2 ? 1 1 ? ? a ? 1, a ? x ? (2) g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ?1 即 g ? x ? ? ? ? x ? 2a 2 ? 1 ? ? ?3 x ? a ? 2a ? 1, x ? a ?

g ? x? 在 x ?
通分后的

1 1 1 1 1 ? a ?1 ? 0 , ? ? a ? 0, 处取到最小值,即 3 ? ? 2 2 2a 2 2a

? 2a ? 1?? a ? 1? ? 0
2a
1 1 1 ? ? ? ? a ? 0, a ? 1? 与题干中 a ? 取交集得 ?a ? ? a ? 0 ? 2 2 2 ? ? ?
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·10·

解集为 ?a ?

? ?


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