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导数及其应用复习


2012 版高三数学精品复习学案:导数及其应用 版高三数学精品复习学案:
【知识回顾】 知识回顾】 1.导数的概念: 函数 y = f ( x) ,如果自变量 x 在 x0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y = f ( x0 + x) ? f ( x0 ) ,

比值

?y ?y f ( x 0 + ?x) ? f ( x 0 ) 叫做函数 y = f ( x) 在 x0 到 x0 + x 之间的平均变化率,即 = 。如果当 ?x → 0 ?x ?x ?x ?y ' 有极限, 我们就说函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导, 把这个极限叫做 f ( x ) 在点 x0 处的导数, 记作 f ( x0 ) 或 ?x
?x →0

时,

y / | x= x0 。即 f ' ( x0 ) = lim
2.导数的几何意义:

f ( x 0 + ?x) ? f ( x 0 ) ?y = lim 。 ?x ?x →0 ?x

函数 y = f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。 也就是说,曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率是 f ( x0 ) 。相应地,切线方程为:
'

y ? y0 = f ' ( x0 )( x ? x0 ) 。
3.几种常见函数的导数: ① C ′ = 0; ⑤ (e x )′ = e x ; ② xn

( )′ = nx

n ?1

;

③ (sin x )′ = cos x ; ⑦ ( ln x )′ =

④ (cos x )′ = ? sin x ; ⑧ ( l o g a x )′ =

⑥ ( a x )′ = a x ln a ;

1 ; x

1 . x ln a

4.两个函数的和、差、积的求导法则:
' ' ' 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差) 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: ( u ± v ) = u ± v .

两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,
' ' ' 即: (uv ) = u v + uv .

若 C 为常数,则 (Cu ) ' = C ' u + Cu ' = 0 + Cu ' = Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:

? u ? u ' v ? uv' (v ≠ 0) 。 ? ?= v2 ?v?
'

5.单调区间:一般地,设函数 y = f ( x ) 在某个区间可导, (1)如果 f ' ( x ) > 0 ,则 f ( x ) 为增函数; (2)如果 f ' ( x ) < 0 ,则 f ( x ) 为减函数;

(3)如果在某区间内恒有 f ' ( x ) = 0 ,则 f ( x ) 为常数; 6.极值点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0; 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;

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7.函数的最值:一般地,在区间 [ a, b] 上连续的函数 f (x ) 在 [ a, b] 上必有最大值与最小值。 ① 求函数 f (x ) 在 (a, b) 内的极值; ② 求函数 f (x ) 在区间端点的值 f ( a ) 、 f (b) ; ③ 将函数 f (x ) 的各极值与 f ( a ) 、 f (b) 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 【方法突破】 方法突破】 1.导数的运算: 导数的运算 1.导数的运算: 例 1. (1)已知函数 f ( x) = ax + c ,且 f ′(1) =2,则 a 的值为
2

(2)已知函数 f ( x ) = f ( ) cos x + sin x ,则 f ( ) =
/

π

π

4

4

2.导数的几何意义: 导数的几何意义: 几何意义 例 2. (1)曲线 y =

x 在点 (?1,1) 处的切线方程为 x+2

(2)设曲线 y = ax 2 在点 (1, a ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 6 = 0 平行,则 a =

3. 利用导数研究函数的图像 例 3.若函数 y = f ( x) 的导函数在区间 [ a, b] 上是增函数,则 y = f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的图象可能是( ... y y y y )

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

A . B. 4. 利用导数解决函数的单调性问题
3 2 例 4.已知函数 f ( x ) = x + ax + x + 1 , a ∈ R .

C.

D.

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ?

? 2 ? 3

1? 3?

第 2 页(共 5 页)

利用导数解决函数的极值问题 5. 利用导数解决函数的极值问题 例 5.设函数 f ( x) = 2 x3 ? 3( a ? 1) x 2 + 1, ( a ≥ 1) ( x ∈ R ) , (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的极值

利用导数解决函数的最值问题 6. 利用导数解决函数的最值问题 例 6.设函数 f ( x ) = ln x + ln(2 ? x ) + ax( a > 0) 。 (Ⅰ) a = 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) f ( x ) 在(0,1]上的最大值为

1 ,求 a 的值 2

7.利用导数解决实际问题 例 7. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的长、 宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

【巩固训练】 巩固训练】 1. 一个物体的运动方程为 s = 1 ? t + t 其中 s 的单位是米, 的单位是秒, t 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 (
2



A. 7 米/秒
3

B. 6 米/秒 )

C. 5 米/秒

D. 8 米/秒

2.函数 y = x + x 的递增区间是( A. (0,+∞) B. (?∞,1)

C. (?∞,+∞) )

D. (1,+∞)

3.函数 y = x 4 ? 4 x + 3 在区间 [ ?2,3] 上的最小值为( A. 72 B. 36 C. 12 D. 0

第 3 页(共 5 页)

4.设 P 为曲线 C : y = x 2 + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ? 0, ? ,则点 P 横坐标 的取值范围为( A. ? ?1, ? ? 2 ) B. [ ?1 0] , C. [ 0, 1] D. ? , 1?

? π? ? 4?

? ?

1? ?

?1 ? ?2 ?

5. f ( x) = ax 3 + 3 x 2 + 2 ,若 f ' ( ?1) = 4 ,则 a 的值等于 6.函数 y =

sin x 3 ' 的导数为_________________;若 f ( x ) = x , f ( x0 ) = 3 ,则 x0 的值为_______; x
3

7.曲线 y = x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为_ 8.曲线 y = ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 9.已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 10. (08 江苏卷)直线 y =

.

1 x + b 是曲线 y = ln x( x > 0) 的一条切线,则实数 b 的值为 2
.

11. (09 江苏卷)函数 f ( x ) = x 3 ? 15 x 2 ? 33 x + 6 的单调减区间为 则M ?m =

12.(07 江苏卷)已知函数 f ( x ) = x 3 ? 12 x + 8 在区间 [ ?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m , .
2 对于任意实数 x 都有 f ( x ) ≥ 0 , 13. 江苏卷) (07 已知二次函数 f ( x ) = ax + bx + c 的导数为 f '( x ) , f '(0) > 0 ,



f (1) 的最小值为 f '(0)
2

14. (2010 江苏卷)函数 y = x 2 ( x > 0) 的图像在点 ( ak , ak ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak +1 , k 为正整数, 若 a1 = 16 ,则 a1 + a3 + a5 = _______ __ 15.设曲线 y = x n +1 ( n ∈ N + ) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an = lg xn , 则 a1+a2+…+a99 的值为________. 16.设曲线 y = xn (1 ? x)(n ∈ N + ) 在 x = 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 ? 17. (08 江苏卷) f ( x ) = ax 3 ? 3 x + 1 对于 x ∈ [? 1,1] 总有 f ( x ) ≥ 0 成立,则 a = 18. (2011 江苏卷)在直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x ) = e x ( x > 0) 的图象上的动点,该图象在 P 处 的切线 l 交 y 轴于点 M, 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N, 设线段 MN 的中点的纵坐标为 t , t 的最大值是________ 则 19.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ′( x ) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x ) 在开区间 (a, b) 内有极小值点有 个
b a O x

? an ? ? 的前 n 项和是 ? n + 1?

y

y = f ′ (x )

第 4 页(共 5 页)

20.函数 f (x) = x3 ? ax2 + (a ?1)x +1在区间 (1,4 ) 上是减函数, 在区间 (6,+∞ ) 上是增函数, 求实数 a 的取值范围.

1 3

1 2

21. 求 函 数 f ( x) = x + 5 x + 5 x + 1 在 区 间 [? 1,4] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。
5 4 3

22. 设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点.

23.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子, 问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?

24.已知函数 f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c 在 x = ?

2 与 x = 1 时都取得极值 3 (1)求 a, b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ∈ [ ?1, 2] ,不等式 f ( x ) < c 2 恒成立,求 c 的取值范围

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