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甘肃省民乐一中2014-2015学年高二第一学期期中考试数学理试题(特部)


民乐一中 2014----2015 学年第一学期高二(特)部 理科期中考试数学试卷
命题人 雷鹏

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分;满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 第I卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 2

2 1.集合 A={x|x <16=},集合 B={x|x -x-6≥0},则 A∩B=( ). A.[3,4]) B.(-4,-2)] C.(-4,-2)]∪[3,4]) D.[-2,3]
2.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,则焦点到准线的距离是(

) D.1
) D. 3 2

A.4

B.3

C.2

3 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍,则椭圆的离心率等于(
1 A. 2 2 B. 2 C. 2

4.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离是( A. 5 B. 4 5 C. 3 5 D. 2 5 ( )



5.已知条件 p: x ? 1 <2,条件 q: x 2 -5x-6<0,则 p 是 q 的 A.充分必要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 )

6.三角形 ABC 周长等于 20,面积等于 10 3, ?A ? 60? ,则 a 为 ( A. 5 B.7 C. 6
?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? ?x ? 1 ?

D.8 )

7.目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x, y 满足 ?3x ? 5 y ? 25 ,则有( A. z max ? 12, z min ? 3 C. z min ? 3, z 无最大值 B. z max ? 12,

z 无最小值


D. z 既无最大值,也无最小值

8.已知平面 ? , ? ,直线 m, n ,下列命题中不 正确的是( . A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? C.若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n

B.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? .

9.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为 a2 b2



) B . y??

A. y ? ? 2 x

2 x 2

C . y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2
)

10.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图象如图所示,则不等式 xf '( x) ? 0 的解集为(

1 1 A.(-∞, )∪( ,2) 2 2 1 1 C.(-∞, ∪( ,+∞) 2 2

1 B.(-∞,0)∪( ,2) 2 1 D.(-∞, )∪(2,+∞) 2 )

11.若椭圆 + =1 的两个焦点 F1, F2, M 是椭圆上一点, 且|MF1|-|MF2|=1, 则△MF1F2 是( 4 3 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

y2 x2

12.已知 A. B.

既有极大值又有极小值,则 的取值范围为( C. D.



第 II 卷 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13.曲线 y ? 4 x ? x3 在点(-1,-3)处的切线方程是________ 14.以 (1, ?1) 为中点的抛物线 y ? 8 x 的弦所在直线方程为:
2

。.

15.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 16.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则

x2

y2

1 4 ? 的最小值是________. a b

三、解答题:(共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
2 17 . 命 题 P : 关 于 x 的 不 等 式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对 于 一 切 x ? R 恒 成 立 , 命 题 Q :

?x ? ?1,2?, x 2 ? a ? 0, 若 pVq 为真, p?q 为假,求实数a的取值范围。

18.已知 f (x) ? ?3x 2 ? a(6 ? a)x ? 6. (1)解关于 a 的不等式 f (1) ? 0; (2)若不等式 f (x) ? b 的解集为 ? ?1,3? , 求实数 a, b 的值

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点与极值. 20.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面

1 , AB ? 1 , M 是 PB 的中点. 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 M ? AC ? B 的正弦值.
ABCD ,且 PA ? AD ? DC ?

21.函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx (a ? 0) . 2

(I)若 a ? ?2时, 函数h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (II)若 a = 2, b = 1 ,若函数 k ? g ( x) ? 2 f ( x) ? x 在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数
2

k 的取值范围.

22.已知椭圆的焦点坐标为 F1 ?? 1,0? , F ?1,0? ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 A、B 两点,且

AB ? 3 .
(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F1 点作相互垂直的直线 l1 , l 2 ,分别交椭圆于 p1 , p2 , p3 , p4 试探究 否为定值?并求当四边形 p1 , p2 , p3 , p4 的面积 S 最小时,直线 l1 , l2 的方程.

1 1 ? 是 p1 p2 p3 p4

民乐一中 2014----2015 学年第一学期高二(特)部 理科期中考试数学试卷答案

一、选择题 二、填空题 三、解答题

1--5 CCBBB 13. y=x-2

6--10 BACBB 14、 4 x ? y ? 3 ? 0

11--12 AD 15. 15 16.

9 2

17.(10 分) a的取值范围为( - ?, - 2】 ? ( 1,2)

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f
'

? x? ? 3x2 ? 3a ,∵曲线 y ?

f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

? f ' ? 2? ? 0 ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? ?? ?? ∴? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? ? ? f ? 2? ? 8
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f

'

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,此时函数 f ( x) 没有极值点.

当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,
' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,

?

?

当 x ? ? a , a 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x?

?

?

?

a , ?? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,

?

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

20.(本小题满分 12 分)

以 A 为坐标原点, AD 长为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,则各点坐标为

1 1 1 1 1 1 A(0, 0, 0), B(0,1, 0), C ( , , 0), D( , 0, 0), P(0, 0, ), M (0, , ) . 2 2 2 2 2 4
(Ⅰ)证明:因 AP ? (0, 0, ), DC ? (0, , 0), 故 AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD . 又 DC 在面 PCD 内,故面 PAD ⊥面 PCD . ………………………………………………4 分

??? ?

1 ???? 2

1 2

??? ? ????

(Ⅱ)解:因 AC ? ( , , 0), PB ? (0,1, ? ),

????

1 1 2 2

??? ?

1 2

???? ? ? 1 2 ??? 5 ???? ??? 故 | AC |? ,| PB |? , AC ? PB ? , 所以 2 2 2 ???? ??? ? ???? ??? ? ……………………………………………7 分 AC ? PB 10 ? ? cos ? AC , PB ?? ???? ??? . 5 | AC | ? | PB |
所以,AC 与 PC 所成角的余弦值为

10 5 …………………………………………………8 分
??? ? 1 2 …………………………………9 分

(Ⅲ)解:易知平面 ACB 的一个法向量 AP ? (0, 0, ),

? ???? ? ? ? ? n ? AM ?0 ? 设平面 MAC 的一个法向量 n ? ( x, y, z), 则 ? ? ???? ,不妨取 n ? (1, ?1, 2), ………10 分 ? ? n?AC ? 0
设二面角 M ? AC ? B 的平面角为则 ? , 则 cos ? ?

6 . 3

所以 sin ? ? 1 ? cos

2

??

3 . 3 …………………………………………………………12 分

21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)? h( x) ? ln x ? x2 ? bx, 且函数h( x)定义域为(0, ??) ,则:

h?( x) ?
?b ?

1 ? 2 x ? b ? 0对x ? (0, ??) 恒成立, x ………………………………… 2 分

1 1 ? 2 x,? x ? 0,? ? 2 x ? 2 2 , x x
1 2 时,即 x ? 时,取等号) , x 2

(当且仅当 x ?

?b ? 2 2

……………………………………………………………………… 5 分

?a k) ? g ( x) ? 2 f ( x) ? x2 在[1, (II) 函数 3]上恰有两个不同的零点等价于方程 k = x ? 2ln x , k(x
在[1,3]上恰有两个相异实根. 令 ? ( x) ? x ? 2 ln x, 则? ?( x) ? 1 ?

2 , x

……………………………………………… 7 分

当x ? ?1, 2 ?时, ? ?( x) ? 0, 当x ? ? 2,3?时, ? ?( x) ? 0,

? ( x)在[1, 2]上是单调递减函数,
在 ? 2,3? 上是单调递增函数.故? ( x) min ? ? (2) ? 2 ? 2 ln 2.
……………………………………………9 分

又? (1) ? 1, ? (3) ? 3 ? 2ln 3,?? (1) ? ? (3),
只需

? 只需?(2)<a ? ?(3),

? ? 2? ? k ? ? ?3?

…………………………………………………………………………11 分 ……………………………………………………12 分

故 2 ? 2 ln x ? a ? 3 ? 2 ln 3.

22.解: (1)由题意,设椭圆的标准方程为
2 2

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) , a2 b2

由焦点 F2 的坐标为(1,0)知 a -b =1,① 再由

12 y 2 b2 ? 2 ? 1 ,整理得 y= ? . 2 a b a

∵ 过 F2 垂直于长轴的弦长|AB|=3, ∴

2b 2 ? 3 .② a
2 2

联立①、②可解得 a =4,b =3.

∴ 椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 .………………………………………………………3 分 4 3

(理科)若 l1、l2 中一条的斜率不存在,则另一条的斜率则为 0, 此时,|P1P2|=4,|P3P4|=|AB|=3, 于是

1 1 1 1 7 ? = ? ? .………………………………………………………5 分 P P3 P4 4 3 12 1P 2

若 l1、l2 的斜率均存在且不为 0, 设 l1 的方程: y ? k ( x ? 1) ,则 l2 的方程: y ? ? ( x ? 1) ,

1 k

? x2 y 2 ? ? 1, ? ? 3 联立方程 ? 4 消去 x 得: (3k 2 ? 4) y 2 ? 6ky ? 9 ? 0 , 1 ? y ? ? ( x ? 1), ? k ?
∴ y1 ? y2 ? ?

6k 9 ,y1 y2 ? ? 2 , 2 3k ? 4 3k ? 4
12(k 2 ? 1) 36k 2 36 ? . ? 2 2 2 3k 2 ? 4 (3k ? 4) 3k ? 4

2 ∴ P y1 ? y2 = 1 ? k 2 3P 4 = 1? k

同理可得: P 1P 2 ? ∴

12( k 2 ? 1) , 4k 2 ? 3

1 1 4k 2 ? 3 3k 2 ? 4 7 ? ? ? ? . 2 2 PP P3 P4 12(k ? 1) 12(k ? 1) 12 1 2
1 1 7 (定值) .………………………………………………8 分 ? ? P P3 P4 12 1P 2

∴ 综上知



1 1 7 1 , ? ? ?2 PP P3 P4 12 PP 1 2 1 2 P 3P 4

∴ PP 1 2 P 3P 4 ?( ∴ Smax

24 2 576 , ) ? 7 49 1 288 . ? PP 1 2 P 3P 4 ? 2 49
12( k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) ? 时,S 最小,此时解得 k ? ?1 , 4k 2 ? 3 3k 2 ? 4

当且仅当 PP 1 2 ? P 3P 4 ,即

∴ 四边形 P1P3P2P4 的面积 S 最小时,l1、l2 的直线方程: y ? ? ( x ? 1)


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