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云南省师范大学附属中学2016届高三适应性月考卷(二)数学文试题


云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(二) 文科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 f(x)=ln( x 一 1)的定义域为 A. ( 0,+ ? ) C.(一 1,1) B.(1,+ ? ) D.(一 ? ,一 1)U(1,+ ? )
2

2、已知复数 z ? (1 ? i)(2 ?

i), 则|z|= A、 2 B、 10 C、3 2 D、2

3、函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? 2 x ?15) 的单调递增区间是
2

A.(-1,+ ? ) C.(- ? ,-1) 4、要得到 y ? sin(2 x ? A、向左平移

?
3

B.(3,+ ? ) D.(- ? ,-5)

) 的图象,只需将函数的 y ? sin 2 x 图象

? ? 个单位 B、向左平移 个单位 6 3 ? ? C、向右平移 个单位 D、向右平移 个单位 6 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 5、已知向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a 与 b 的夹角为 60°,且 | a |?| b |? 2 ,则 a ?c =
A、2 3 B、-6 C、6 D、-2 3

6、一个棱锥的三视图如图 1 所示,其中侧视图为正三角形,则该四棱锥的体积是 A、

1 3

B、

3 2 3 3 3 6

C、

D、

x2 y 2 7.已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线过点(一 1,2) ,则 C 的离心率为 a b

A. 5

B. 3

C、

5 2

D.

3 2

8、执行如图 2 所示的程序框图,若输入 a=1,则输出的 k= A、8 B、9 C、10 D、11 9、已知三棱锥 O-ABC 的顶点 A,B,C 都在半径为 2 的球面上,O 是 球心,∠AOB=120°,当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时,三棱锥 O -ABC 的体积为 A、

3 2
2 3

B、

2 3 3
1 3

C、

D、

10、已知 a, b ? N*, f ( x) ? e x ? 2 x ,则“ f (a) ? f (b) ”是“ a ? b ”的 A、充分不必要条件 C、充分必要条件 11、已知 an ? 为 A、2016 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
an , n ? N * 则在 S1, S2, …, S2016 中值为正数的个数

1 n? sin , Sn ? a1 + a2 + ? n 50
B、2015

C、1003

D、1008

12、已知函数 f ( x) ? ?

?ln | x ? 1|, x ? 1 , g ( x) ? a( x ? 2a)( x ? a ? 2) ,若 f(x)与 g(x)同 ?0, x ? 1
,则实数

时满足条件:① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ;② ?x0 ? ( ?? ? , 1 ], ( f x )0 g ( ?x )0 ? 0 a 的取值范围是 A、 (- ? ,-1) ? ( C、 (- ? ,0) ? (

1 ,2) 2

B、 (- ? ,-1) ? (0,

1 ,2) 2

2 2 ) ? ( ,2) 3 3 2 2 D、 (- ? ,0) ? (0, ) ? ( ,2) 3 3

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(20 分) 13、已知等比数列{ an }中, a2 ? a9 ? 2a5 ,则 a6 ? A、-4 B、-3 C、-2 D、 ?

1 3

?x ? y ? 1 ? 14、已知 x, y ? N * 且满足约束条件 ? 2 x ? y ? 2 ,则 x ? y 的最小值为 ?x ? 5 ?
15、 已知集合 A= { (x, y) | x2 ? y 2 ? 1, x, y ? Z } , B= { (x, y) | | x |? 2,| y |? 3, x, y ? Z } , 设集合 M={ (x1+x2,y1+y2)| ( x1 , y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B } ,则集合 M 中元素的个数为 16.已知圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,若等边△PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦,则|PC| 的最大值为 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c 。 已 知 a = 1 , A =

b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? 1 。 4 4
(I)求 B,C 的值; (II)求△ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 为了了解中学生的体能状况,某校抽取了 n 名高一学生进行一分钟跳绳次数测试,将 所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图) ,图中第二小组频数为 7. (I)求频率分布直方图中 a 的值及抽取的学生人数 n; (II)现从跳绳次数在[179.5,199.5]内的学生中随机选取 2 人,求至少有一人跳绳次数 在[189.5,199.5]之间的概率。

?

?

? , 4

19· (本小题满分 12 分) 如图 3,多面体 ABCDEF 中,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,已知 AB/ /cD,AD⊥CD,AB=2,CD=4,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的正切值等于 (I)求证:平面 BCE⊥平面 BDE; (II)求多面体体 ABCDEF 的体积。

2 2

20.(本小题满分 12 分)
2 已知 F 是抛物线 C: y =2px(0<p<2)的焦点,点 P(1,t)在抛物线 C 上,且 | PF |?

3 · 2

(I)求 p,t 的值; (II)设 O 为坐标原点,抛物线 C 上是否存在点 A(不考虑点 A 为 C 的顶点) ,使得过点 O 作线段 OA 的垂线与抛物线 C 交于点 B,直线 AB 交 x 轴、y 轴于点 D、E,S△OAB 表示△OAB 的面积,S△ODE 表示△ODE 的面积,满足 S△OAB= 说明理由.

3 S△ODE?若存在,求点 A 的坐标;若不存在, 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ex ( 2x 一 1) ,g(x)=ax 一 a(a ? R). (I)若 y=g(x)为曲线 y=f(x)的一条切线,求 a 的值; (II)若对任意的实数 x 都有 f(x)≥g(x) ,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时 请写清题号. 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4 一 1:几何证明选讲】 如图 5,已知 AB 是 ? O 的一条弦,延长 AB 到点 C 使 AB=BC,过点 B 作 DB ⊥AC 且 DB=AB,连接 DA 与 ? O 交于点 E,连接 CE 与 ? O 交于点 F. (I)求证:DF⊥CE; (II)若 AB= 6 ,DF= 3 ,求 BE.

23.(本小题满分 10 分) 【选修 4 一 4:坐标系与参数方程】 已知在直角坐标系 x0y 中,曲线 C1: ?

? ? x ? 3 cos ? ? sin ? ? ? y ? 3 sin ? ? cos ?

( ? 为参数) 。在以平面直角

坐标系的原点)为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,曲线 C2:

? ? sin(? ? ) ? 1 。
6

(I)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (II)曲线 C1 上恰好存在三个不同的点到曲线 C2 的距离相等, 分别求这三个点的极坐标。

24.(本小题满分一 10 分) 【选修 4 一 5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1| (I)求不等式.f(x)<6 的解集; (II)设 m,n,p 为正实数,且 m+n+p=f(2) ,求证:mn+np+pm≤3.

云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(二) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.由题意得 x 2 ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,所以 x ? ?1 或 x ? 1 ,故选 D. 2.由题意得 z ? 3 ? i ,所以 | z |? 32 ? 1 ? 10 ,故选 B. 3.∵x 2 ? 2 x ? 15 ? 0 ,∴x ? ?5 或 x ? 3 ,∴f ( x) 的定义域为 x ? (??, ? 5) ? (3, ? ?) ,
∵u ? x 2 ? 2 x ? 15 在 (??,? 5) 上是减函数, y ? log 1 u 在 (0,? ?) 上是减函数,∴根据复
2

1 D

2 B

3 D

4 A

5 B

6 D

7 A

8 C

9 B

10 C

11 A

12 B

合函数的单调性的判断,得 f ( x) 在 (??,? 5) 上是增函数,故选 D.
? 2 x? 4.由 y ? sin ? ? π? ? ? π ?? π sin 2? ? x ? ? ? 得,将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位后得到 ?? 3? 6 6 ?? ? ?

π? ? 函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,故选 A. 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 .由题意,得 c ? ?a ? b , ∴ a ?c ? a ?(?a ? b) ? ?a2 ? a ?b ? ? | a |2 ? | a | ?| b | cos60? ? ?6 ,

故选 B. 6 .由三视图可得四棱锥的底面是边长为 1 的正方形,四棱锥的高为 h ?
1 1 3 3 S ? 1 ? 1 ? 1 ,所以 V ? Sh ? ? 1 ? ? ,故选 D. 3 3 2 6 3 ,且底面积 2

b b ?c? ∴e ? 5 , 7. ∵点 (?1,2) 在直线 y ? ? x 上, ∴2? , b ? 2a, b2 ? 4a2 ? c2 ? a2, ? ? ? 5 , a a ?a?
故选 A.

2

8. 依据程序框图, 得S ?

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ?2? 1? 1 2

k

? ? k k 1 ? 1 ?1? ? ?1? ? 1 ? , ∴2k ? 1000 , ∴ , , ∵ 1 ? S ? ? ? ? ? ? 1000 ? 2 ? 1000 ?2?

又∵ k ? Ν , 210 ? 1024 ,∴ k≥10 ,故选 C.

1 9 . ∵S△AOC ? S△BOC ? r 2 (sin ?AOC ? sin ?BOC ) , ∴ 当 ?AOC ? ?BOC ? 90? 时 , 2
S△A
O C

? S△

B O C

取 得 最 大 值 , 此 时 O A? O C, OB ? OC , ∴ OC ? 平 面 AOB ,

1 1 2 3 ∴VO ? ABC ? VC ?OAB ? OC ? OA ?OB sin ?AOB ? ,故选 B. 3 2 3

ln 2) 上单调递减,在 (ln 2,? ? ) 上 10.由 f ?( x) ? ex ? 2 ? 0 得, x ? ln 2 ,所以 f ( x) 在 (??,

单调递增,又 ln2 ? 1,所以当 a, b ? N* 时,“ f (a ) ? f (b) ”是“ a ? b ”的充要条件, 故选 C.
a2, …, a50≥0, a51, a52, …, a100 ≤0 ,考虑到 11.依题意知, a1,

1 的递减性及正弦函数的周 n

a 2 ? a 52? 0, … ,知 S1,S2, …,S1 0 0均为正数,以此类推,可知 期性,有 a1 ? a51 ? 0, S1, S2, …, S2016 均为正数,故选 A.
0) ? (2, ? ?) 时, 12.如图 1,由 f ( x) 的图象可知,当 x ? (??, f ( x) ? 0 ,为满足条件①,可得 g ( x) ? 0 在 [0,2] 上恒成立;

为满足条件②,由于在 (??,? 1] 上总有 f ( x) ? 0 ,
? 1] , g ( x0 ) ? 0 ;当 a ? 0 时, g ( x) ? 0 ,不满足 故 ?x0 ? (??,
图1

条件;当 a ? 0 时,考虑函数 g ( x) 的零点 x ? ?2 a , x ? a ? 2 ;
? a ? 2 ? 0, 当 a ? 0 时, ?2a ? a ? 2 ,为满足条件得 ? 解得 a ? ?1 ;当 a ? 0 时, ? ?2a ? 2, ?a ? 2 ? ?1, 2 2 ?2 a ? a ? 2 , 时, 为满足条件, 得? 解得 0 ? a ? 1 , ∴0 ? a ? ; 3 3 ??2a ? 0,

(ⅰ) 当0? a ?

(ⅱ)当 a ?

?a ? 2 ? 0, 2 1 2 时, ?2a ? a ? 2 ,为满足条件,得 ? 解得 ? a ? 2 ,∴ ? a ? 2 ; 3 2 3 ??2a ? ?1,
2

2? 4? 2 ( ⅲ ) 当 a ? 时 , g ( x) ? ? x ? ? ≥0 , 不 满 足 条 件 . 综 上 所 述 , 得 3? 3? 3

? 2? ?2 ? a ? (??,? 1) ? ? 0, ? ? ? ,2 ? ,故选 B. ? 3? ?3 ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 13 2 14 6 15 59 16
2 2

【解析】 13.∵a2 a9 ? 2a5 ? a5 a6 , ∴a6 ? 2 . 14.如图 2,画出可行域,注意到 x, y ? N* ,在点 (3, 3) 处取 得最优解,所以 ( x ? y)min ? 6 .
0), (0, 0), (1, 0), (0, ? 1), (0, 1)} , 15.由题意知, A ? {(?1,

0) 时, B 中有 5 ? 7 ? 35 个元素,当 ( x1,y1 ) ? (0,
图2

0), (1, 0) 时, B 中的元素都在 M 中;当 ( x1,y1 ) ? (?1, ? 1), (0, 1) 时,M 中元素各增加 5 个,所以 M 中 M 中元素各增加 7 个;当 ( x1,y1 ) ? (0,

元素共有 35 ? 7 ? 7 ? 5 ? 5 ? 59 个. 16.方法一:如图 3,连接 AC,BC,设 ?CAB ? ? ,连接 PC 与 AB 交于点 D,∵AC ? BC , △PAB 是等边三角形, ∴D 是 AB 的中点,∴PC ? AB ,∴在圆 C:
( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 中,圆 C 的半径为 2 , | AB |? 2 2 cos? ,

| CD |? 2 sin ? ,∴在等边 △PAB 中, | PD |?

3 | AB |? 6 cos ? , 2

图3

π? ? ∴| PC |?| CD | ? | PD |? 2 sin ? ? 6 cos? ? 2 2 sin ? ? ? ?≤2 2 . 3? ?

方法二:设 | AD |? x,x? (0 , 2],则 | PC |? 3x ? 2 ? x2 ,记 f ( x) ? 3x ? 2 ? x2 ,

令 f ?( x) ? 3 ?

?2 x 2 2? x
2

? 0 ,得 x ?

? 6? 6 ? (0, 2] ,∴f ( x)max ? f ? ? 2 ? ??2 2 . 2 ? ?

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
?π ? ?π ? ?π ? ∴ b sin ? ? C ? ? c sin ? ? B ? ? 1 ? c sin ? ? B ? ? a , 解: (Ⅰ)∵ a ? 1, 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ?π ? ?π ? ∴ sin B sin ? ? C ? ? sin C sin ? ? B ? ? sin A , 4 4 ? ? ? ?

π ∵A ? , 4
∴ 2 2 2 sin B (sin C ? cos C ) ? sin C (sin B ? cos B ) ? , 2 2 2

∴sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,

∴sin( B ? C ) ? 1, C ? (0,π),∴B ? C ? 又∵B,

π . 2
????????????(6 分)

又∵A ? B ? C ? π,A ? (Ⅱ)由
∴ S△ABC ?

π 5π π ,∴ B ? , C? . 4 8 8

a b a sin B 5π ,得 b ? , ? ? 2 sin sin A sin B sin A 8
1 2 5π π 2 π π 2 π 1 ab sin C ? sin sin ? cos sin ? sin ? . 2 2 8 8 2 8 8 4 4 4

??????????????????????????????(12 分) 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由直方图知, (0.008 ? a ? 0.04 ? 0.016 ? 0.008) ? 10 ? 1 ,
∴a ? 0.028 ,

所以抽取的学生人数为 n ?

7 ? 25 (人). 0.028 ?10

?????????????(6 分)

199.5] 的学生人数有 25 ? (0.016 ? 0.008) ? 10 ? 6 (人), (Ⅱ)跳绳次数在 [179.5, 189.5] 的学生人数有 25 ? 0.016 ? 10=4 (人),记为 a1, a2, a3, a4 ; 其中跳绳次数在 [179.5, 199.5] 的学生人数有 25 ? 0.008 ? 10=2 (人),记为 b1, b2 , 跳绳次数在 [189.5,

从跳绳次数在 [179.5, 199.5] 的学生中随机选取 2 人,基本事件有:
(a1,a2 ) ,(a1,a3 ) ,(a1,a4 ) ,(a1, b1 ) ,(a1, b2 ) ,(a2,a3 ) ,(a2,a4 ) ,(a2, b1 ) ,(a2, b2 ) ,

(a3,a4 ) , (a3, b1 ) , (a3, b2 ) , (a4, b1 ) , (a4, b2 ) , (b1, b2 ) ,共 15 种,
199.5] 之间的基本事件有 9 种, 其中至少有一人跳绳次数在 [189.5, 199.5] 之间的概率为 故至少有一人跳绳次数在 [189.5,

9 ? 0.6 . 15

?????(12 分)

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵平面 ADEF⊥平面 ABCD, 平面 ADEF∩平面 ABCD ? AD ,

ED ? AD , ED ? 平面ADEF , ∴ED ? 平面 ABCD ,又 BC ? 平面 ABCD ,∴BC ? ED . ∵ED ? 平面 ABCD ,∴?EBD 为 BE 与平面 ABCD 所成的角,
设 ED ? a ,则 AD ? a, BD ? 4 ? a2 , 在 Rt△ EDB 中, tan ?EBD ?
∴a ? 2 ,

ED a 2 ? ? , 2 BD 2 4?a

在 △ DBC 中, BD ? 2 2, BC ? 2 2, CD ? 4 ,
∴BD2 ? BC 2 ? CD2 ,∴ BC ? BD ,

又 BD ? ED ? D ,∴ BC⊥ 平面 BDE, 又 BC ? 平面BCE ,∴平面 BCE⊥ 平面 BDE. ??????????????(6 分) (Ⅱ)解:同理得 AB ? 平面ADEF ,∴AB 为棱锥 B ? ADEF 的高,

1 8 ∴VB ? ADEF ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , 3 3
∵AD ? CD,AD ? ED, CD ? ED ? D ,
∴AD ? 平面CDE ,

∴AD 为棱锥 B ? CDE 的高,
1 1 8 ∴VB?CDE ? ? ? 4 ? 2 ? 2 ? , 3 2 3 8 8 16 ∴VABCDEF ? VB ? ADEF ? VB ?CDE ? ? ? . 3 3 3
??????????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由抛物线的定义,得 | PF |? 1 ?
∴p ? 1 , ∴y 2 ? 2 x . t ) 代入 C: y 2 ? 2 x , 将点 P(1,

p 3 ? , 2 2

得 t 2 ? 2 ,∴t ? ? 2 .

??????????????????????(4 分)

(Ⅱ)由题意,直线 OA 的斜率存在且不为 0, 根据抛物线的对称性,现考虑点 A 在第一象限,如图 4 所示, 设直线 OA 的方程为 y ? kx(k ? 0) , OA ? OB ,

1 则直线 OB 的方程为 y ? ? x . k
? y 2 ? 2 x, 由? 得 k 2 x2 ? 2x , y ? kx , ?
∴x ? 0 (舍去)或 x ?

2 ? 2 2? ,点 A ? 2 , ? ; 2 k? k ?k
图4

? y 2 ? 2 x, x2 ? 由? 得 ? 2x , 1 2 ? y ? ? x, k k ?
∴x ? 0 (舍去)或 x ? 2k 2 ,点 B(2k 2, ? 2k ) .

∵当 k ? 1 时, xA ? xB , AB ? y 轴,不符合题意,

2 ? 2k k ∴直线 AB 的方程为 y ? 2k ? ( x ? 2k 2 ) , 2 ? 2k 2 k2
即 y ? 2k ?
?2 k ? k ? . ( x ? 2k 2 ) ,∴E ? 0, 2 ? 2 1? k ? 1? k ?

∵S△OAB ? S△ODE ?

1 1 | OD | ?| yA | ? | OD | ?| yB | , 2 2

1 3 | OD | ?| yE | , S△OAB ? S△ODE , 2 2 3 ∴| y A | ? | yB |? | yE | , 2
又∵yA 与 yB 异号,∴| yA | ? | yB |?| yA ? yB |?

3 | yE | , 2



2 3 ?2k 1 ? 2k ? ? ,∴k 2 ? 或 2,∴A(4, 2 2) 或 A(1, 2 k 2 1? k 2

2) .
????????(12 分)

又由抛物线的对称性,得点 A(4, ? 2 2) 或 A(1, ? 2) . 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域为 R,
f ?( x) ? e x (2 x ? 1) ,

设切点 ( x0, e x0 (2 x0 ? 1)) ,则切线斜率 k ? e x0 (2 x0 ? 1) , ∴切线为: y ? ex0 (2x0 ? 1) ? ex0 (2x0 ? 1)( x ? x0 ) ,
∵y ? g ( x) 恒过点 (1, 0) ,且斜率为 a,

∴0 ? ex0 (2 x0 ? 1) ? e x0 (2 x0 ? 1)(1 ? x0 ) ,

3 ∴x0 ? 0或 , a ? e x0 (2 x0 ? 1) ? 1或4e 2 . 2

3

???????????????(4 分)

(Ⅱ) f ( x)≥g ( x) 可化为 e x (2 x ? 1)≥a( x ? 1) , 当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 时, e ? 0 恒成立, a ? R ;

e x (2 x ? 1) 恒成立, x ?1 e x (2 x 2 ? 3x) e x (2 x ? 1) 令 F ( x) ? ,则 F ?( x) ? , ( x ? 1) 2 x ?1
当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 时, a≤
? 3? ?3 ? ∴F ( x)在 ?1, ? 上递减,在 ? ,? ? ? 上递增 , ? 2? ?2 ?

?3? ∴F ( x)min ? F ? ? ? 4e 2 ,∴ a≤4e 2 ; ?2?

3

3

e x (2 x ? 1) 恒成立, x ?1 e x (2 x 2 ? 3x) e x (2 x ? 1) 令 F ( x) ? ,则 F ?( x) ? , ( x ? 1) 2 x ?1
当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 时, a≥
∴ F ( x)在(??, 0)上递增,在(0, 1)上递减 , ∴F ( x)max ? F (0) ? 1 ,∴a≥1 ,
3

综上所述: 1≤ a≤4e 2 .

??????????????????????(12 分)

另解:由题意得 y ? f ( x) 的图象在 y ? g ( x) 的上方,

1 令 f ?( x) ? e x (2 x ? 1) ? 0 得 x ? ? , 2 1 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 , 2 1 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 , 2 1? ? ? 1 ? ∴ f ( x)在 ? ??,? ? 上递减,在 ? ? ,? ? ? 上递增 , 2 2 ? ? ? ?
1 ? ? 1? ∴ f ( x)min ? f ? ? ? ? ?2e 2 , ? 2?

令 f ( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 存在唯一零点 x ?

1 . 2

作出函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的大致图象,如图 5 所示,

图5

3

由(Ⅰ)知 a ? 1 或 4e 2 时, y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 相切,
3

故由图象可得 y ? f ( x) 的图象在 y ? g ( x) 的上方时, 1≤ a≤4e 2 . 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】

????(12 分)

(Ⅰ)证明:如图 6 所示,∵CA 与⊙O 交于点 B,CE 与⊙O 交于点 F, ∴由割线定理,得 CA ?CB ? CF ?CE ,
∵AB ? BC ? DB , DB ? AC ,

∴DA ? DC ? 2CB , ?CDB ? ?ADB ? 45? ,
∴△ CDA 是等腰直角三角形,即 ?CDA ? 90? ,
图6

∴CA ?CB ? 2CB2 ? DC 2 ? CF ?CE ,即

DC CE . ? CF DC

又∵?DCE ? ?DCF ,
∴△CDE∽△CFD ,

∴?CFD ? ?CDE ? 90? ,

即 DF ? CE .

??????????????????????????(5 分)

(Ⅱ)解:在等腰 Rt△ CDB 中, AB ? BC ? DB ? 6 ,∴CD ? 2 3 . 在 Rt△ DFC 中, DF ? 3 ,
∴sin ?DCF ? DF 3 1 ? ? , CD 2 3 2

∴?DCF ? 30? ,

∴在 Rt△ CDE 中, CE ?

CD 2 3 ? ?4. cos ?DCE cos 30?

又∵?ECB ? ?DCB ? ?DCE ? 45? ? 30? ? 15? ,
∴cos ?ECB ? cos15? ? cos(45? ? 30?) ? 6? 2 , 4

∴在 △ BCE 中, BE 2 ? BC 2 ? CE 2 ? 2BC ?CE ?cos ?BCE ? 10 ? 4 3 , 即 BE ? 10 ? 4 3 . ???????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
2 2 2 ? ? x ? 3cos ? ? sin ? ? 2 3 sin ? cos?, 解: (Ⅰ)由题意,得 ? 2 2 2 ? ? y ? 3sin ? ? cos ? ? 2 3 sin ? cos?,

∴曲线 C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 .
π? 3 1 ? ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , ∵曲线 C2 : ? sin ? ? ? ? ? 6? 2 2 ?

∴曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 .

?????????????(5 分)

(Ⅱ)∵曲线 C1 为圆 C1 ,圆心 C1 (0, 0) ,半径为 r ? 2 ,曲线 C2 为直线,

∴圆心 C1 到直线 C2 的距离 d ? 1 , ∵圆 C1 上恰好存在三个不同的点到直线 C2 的距离相等, ∴这三个点分别在平行于直线 C2 的两条直线 l1 , l2 上, 如图 7 所示,设 l1 与圆 C1 相交于点 E,F, 设 l2 与圆 C1 相切于点 G, ∴直线 l1 , l2 分别与直线 C2 的距离为 r ? d ? 2 ? 1 ? 1 , ∴ l1 : x ? 3 y ? 0 ,
l2 : x ? 3 y ? 4 ? 0 .
图7

? x2 ? y 2 ? 4, ? ? x ? 3, ? ? x ? ? 3, ? 由? 得? 或? ? ? ? y ? ?1 ? y ? 1, ? x ? 3 y ? 0, ?
即 E( 3, ? 1) , F (? 3, 1) ;
2 2 ? ? ? x ? 1, ? x ? y ? 4, 由? 得? 即 G(1, 3) , ? ? y ? 3, ? x ? 3 y ? 4 ? 0, ?

? 11π ? ? 5π ? ? π ? ∴E,F,G 这三个点的极坐标分别为 ? 2, ? , ? 2, ? , ? 2, ? . 6 ? ? 6 ? ? 3? ?

????????????????????????????(10 分) 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 (Ⅰ)解:不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 等价于不等式组
? x ? ?1, ? ?1≤x≤2, ? x ? 2, 或? 或? ? ??3x ? 3 ? 6, ?? x ? 5 ? 6, ?3x ? 3 ? 6,

解不等式组,得 x ? ? 或 ?1 ? x≤2 或 2 ? x ? 3 ,
3) . 所以不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 的解集为 x ? (?1,

??????????(5 分)

(Ⅱ)证明:∵m ? n ? p ? 3 ,

∴ (m ? n ? p)2 ? m2 ? n2 ? p2 ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9 ,
∵m,n,p 为正实数,

∴由均值不等式,得 m2 ? n 2≥2mn (当且仅当 m ? n 时取等号) , , n2 ? p 2≥2np (当且仅当 n ? p 时取等号) , p2 ? m2≥2 pm (当且仅当 p ? m 时取等号) , ∴m2 ? n2 ? p2≥mn ? np ? pm (当且仅当 m ? n ? p 时取等号)
∴ (m ? n ? p)2 ? m2 ? n2 ? p2 ? 2mn ? 2np ? 2 pm ? 9≥3mn ? 3np ? 3 pm ,
∴mn ? np ? pm≤3 (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) .

??????????(10 分)


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