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江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编14:解析几何


江苏省 2014 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 14:解析几何
一、填空题 1 . (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题)已知实数 p ? 0 ,直线 3x ? 4 y ? 2 p ? 0 与抛物线

AB p p2 的值为 x 2 ? 2 py 和圆 x 2 ? ( y ? )2 ? 从左到右的交点依次为 A、B、C、

D, 则 2 4 CD
【答案】





1 16
2 2 2 2 2

2 . (江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学试题)如果圆 x +y -2ax-2ay+2a -4=0 与圆 x +y =4

总相交,则 a 的取值范围是___.
【答案】 ?2 2 ? a ? 0或0 ? a ? 2 2 3 . (江苏省常州市武进区 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题) 若实数 x 、 y 满足 x ? y ? 2 ? x ? y ? ,
2 2

则 x ? y 的最大值是_________.
【答案】4 4 . (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数学试题)椭圆中有如下结论:椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上斜率 a 2 b2

为 1 的弦的中点在直线

x y x2 y2 ? 2 ? 0 上,类比上述结论得到正确的结论为:双曲线 2 ? 2 ? 1 上斜率为 1 的弦的 a b a2 b

中点在直线_______________上.
【答案】

x y ? ?0 a 2 b2
2

5 . (江苏省泰州中学 2014 届第一学学期高三数学摸底考试)设中心在原点的双曲线与椭圆 +y =1 有公共的

焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是__________. 2 2 【答案】2x ﹣2y =1
6 . 江 苏 省 连 云 港 市 赣 榆 县 清 华 园 双 语 学 校 2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 我 们 把 形 如 (

y?

b ? a ? 0, b ? 0 ? 的函数称为“莫言函数”,并把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言 x ?a

点 ”,以 “ 莫 言点” 为圆心 , 凡是 与 “ 莫 言函 数”图 象有 公共 点的 圆 , 皆称之 为 “ 莫言 圆”. 当 a ? 1 , b ? 1 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】 3? .
7 . (江苏省无锡市 2014 届高三上学期期中调研考试数学试题)直线 y ? kx ? 1 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 9 相
2 2

交于 A、B 两点,若 AB ? 4 ,则 k 的取值范围是____________________.
【答案】 ( ?

1 , 2) 2
x2 y2 a b

8 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题) F 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)右焦 设

点,A 是其右准线与 x 轴的交点.若在椭圆上存在一点 P,使线段 PA 的垂直平分线恰好经过点 F,则椭圆 离心率的取值范围是 ___________.]
【答案】[ ,1)
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1 2

9 . (江苏省南京市第五十五中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题)抛物线 y ? ?12 x 的准线与双曲
2

线

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 9 3
(B) 2 3 (C) 2 (D) 3

(A) 3 3
【答案】A

10. (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)已知双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 (m ? 0) 的离心率 m

为 2,则 m 的值为 ______. 【答案】3
11. (江苏省诚贤中学 2014 届高三上学期摸底考试数学试题)若双曲线 x2 ?

y2 ? 1 的焦点到渐近线的距离为 k

2 2 ,则实数 k 的值是________.
【答案】8 12. (江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学试卷)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0 , >0) 的左、 b a 2 b2
?

右焦点分别为 F1 , 2 ,以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P .若 ?PF1 F2 ? 30 ,则该双 F 曲线的离心率为______.
【答案】 3 ? 1 13 . 江 苏 省 宿 迁 市 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 摸 底 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 过 点 (2 , 的 直 线 l 被 圆 ( 5)

C :2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方程为______. x
【答案】 x ? 2 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 14. (江苏省无锡市 2014 届高三上学期期中调研考试数学试题)若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线

C ,离心率为 2 ,且过点 (2,3) ,则曲线 C 的方程为________.
【答案】 x ? y ? 5
2 2

15. (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)已知 P 是直线 l: kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0)

上一动点,PA,PB 是圆 C: x ? y ? 2 y ? 0 的两条切线,切点分别为 A,B.若四边形 PACB 的最小面积为
2 2

2,则 k=______. 【答案】2
16. (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题) 如图,已知过椭圆

的左顶点 A(-a,0) ,则椭圆的离心率为____

作直线 1 交 y 轴于点 P,交椭圆于点 Q.,若△AOP 是等腰三角形,且

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【答案】

2 5 5
2 2

17. (江苏省扬州市扬州中学 2014 届高三 10 月月考数学试题)当且仅当 m ? r ? n 时,两圆 x ? y ? 49 与

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 25 ? r 2 ? 0(r ? 0) 有公共点,则 n ? m 的值为______________.
【答案】10 二、解答题 18. (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右准线为 x ? 3 2 ,

离心率为

6 学科网.若直线 y=t(t>o)与椭 3

圆 C 交于不同的两点 A,B,以线段 AB 为直径作圆 M. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若圆 M 与 x 轴相切,求圆 M 被直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 截得的线段长.
【答案】

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19. (江苏省泰州中学 2014 届第一学学期高三数学摸底考试)给定圆 P : x ? y ? 2 x 及抛物线 S : y ? 4 x ,
2 2 2

过圆心 P 作直线 l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A、B、C、D ,如果线段 AB、BC、CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程.
y
A

B

o
D

P
C

x

【答案】解:圆 P 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为
2 2

P ?1, 0 ? ,设 l 的方程为 ky ? x ? 1 ,即 x ? ky ? 1 ,
2 代入抛物线方程得: y ? 4ky ? 4 ,设 A ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,

有?

? y1 ? y2 ? 4k ,则 ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 16(k 2 ? 1) . ? y1 y2 ? ?4
2 2 2 2

2 y12 ? y2 2 ) 故 | AD | ? ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( 4

? ( y1 ? y2 )2 [1 ? (

y1 ? y2 2 ) ] ? 16(k 2 ? 1) 2 ,因此 | AD |? 4(k 2 ? 1) 4

据等差, 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC ,
2 所以 AD ? 3 BC ? 6 ,即 4 k ? 1 ? 6 , k ? ?

?

?

2 , 2

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即: l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0

20. (江苏省扬州市扬州中学 2014 届高三 10 月月考数学试题)已知椭圆: C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a 2 b2

率为

2 ,一条准线 l : x ? 2 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的 圆交于 P、Q 两点. ①若 PQ ? 6 ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证: P 在定圆上,并求该定圆的方程.
?c 2 ? ? ? ? 2 ,? ? a ? 2 ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 【答案】解:(1)由题设: ? a ? 2 ? c ?1 ? ? a ?2 ? c ?

?? ??

x2 ? y2 ? 1 2 (2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,
椭圆 C 的方程为: 直线 PQ 的方程: 2 x ? ty ? 2 ? 0 ,

t t2 则圆 D 的方程: ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 ? , 2 4
2? t2 ?2 2
2

? PQ ? 6 ,? 2 (1 ?

t )?( 4

2

4?t

)2 ? 6 ,

? t 2 ? 4 ,? t ? ?2
? 圆 D 的方程: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

②解法(一):设 P( x0 , y0 ) ,
? t 2 t2 2 ? x 2 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 ? ? ( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? 由①知: ? ,即: ? 0 , 2 4 ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0 ? ?2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0

消去 t 得: x0 2 ? y0 2 =2,? 点 P 在定圆 x 2 ? y 2 =2 上. 解法(二):设 P( x0 , y0 ) ,则直线 FP 的斜率为 k FP ? ∵FP⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ?
y0 , x0 ? 1

x0 ? 1 , y0

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∴直线 OM 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 x, y0
??? ???? ? ∵MP⊥OP,∴ OP ? MP ? 0 ,

点 M 的坐标为 M (2, ?

2( x0 ? 1) ). y0

∴ x0 ( x0 ? 2) ? y0 [ y0 ?

2( x0 ? 1) ] ? 0 ,∴ x0 2 ? y0 2 =2,? 点 P 在定圆 x 2 ? y 2 =2 上. y?

21. (江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一)如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道国泰路

修建的圆形广场圆心为 O,半径为 100 m ,其与国泰路一边所在直线 l 相切于点 M,A 为上半圆弧上一点, 过点 A 作 l 的垂线,垂足为 B.市园林局计划在 ?ABM 内进行绿化,设 ?ABM 的面积为 S(单位: m ) (1)以 ?AON ? ? 为参数,将 S 表示成 ? 的函数; (2)为绿化面积最大,试确定此时点 A 的位置及面积的最大值.
2



l

B


A
N

M

O


【答案】

22 . 江 苏 省 南 京 市 第 五 十 五 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 试 题 ) 已 知 A 为 椭 圆 (

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 的 一 个 动 点 , 弦 AB 、 AC 分 别 过 焦 点 F1 、 F2, 当 AC 垂 直 于 x 轴 时 , 恰 好 有 a2 b2
| AF 1 | :AF 2 |? 3:. | 1
(Ⅰ)求椭圆离心率; (Ⅱ)设 AF1 ? ?1 F1 B, AF2 ? ?2 F2 C ,试判断 ?1 ? ?2 是否为定值?若是定值,求出该定值并证 明;若不
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是定值,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)当 AC 垂直于 x 轴时, | AF 2 |?

b2 3b 2 | 1 , | AF 1 | :AF 2 |? 3:,∴ | AF 1 |? a a



4b 2 2 . ? 2a ,∴ a 2 ? 2b 2 ,∴ b 2 ? c 2 ,故 e ? 2 a
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆的方程为 x ? 2 y ? 2b ,焦点坐标为 F1 (?b,0), F2 (b,0) . ① 当 弦 AC 、 AB 的 斜 率 都 存 在 时 , 设 A( x0 , y 0 ), B( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) , 则 AC 所 在 的 直 线 方 程 为

y?

y0 ( x ? b) , x0 ? b
2 2 2 2

代入椭圆方程得 (3b ? 2bx0 ) y ? 2by0 ( x0 ? b) y ? b y 0 ? 0 . ∴ y0 y2 ? ?

b 2 y0 , 3b 2 ? 2bx0

2

AF2 ? ? 2 F2 C , ?2 ?

y0 3b ? 2 x0 3b ? 2 x0 ? .同理 ?1 ? ,∴ ?1 ? ?2 ? 6 ? y2 b b

②当 AC 垂直于 x 轴时,则 ?2 ? 1, ?1 ?

3b ? 2b ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 ; b

当 AB 垂直于 x 轴时,则 ?1 ? 1, ?2 ? 5 ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 . 综上可知 ?1 ? ?2 是定值 【D】6.
23. (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴 a 2 b2

两端点分别为 A,B, P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 是椭圆上的动点,以 AB 为一边在 x 轴下方作矩形 ABCD,使

AD ? kb(k ? 0) ,PD 交 AB 于点 E,PC 交 AB 于点 F.
(Ⅰ)如图(1),若 k=1,且 P 为椭圆上顶点时, ?PCD 的面积为 12,点 O 到直线 PD 的距离为 方程;
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6 ,求椭圆的 5

(Ⅱ)如图(2),若 k=2,试证明:AE,EF,FB 成等比数列.

y P

y P
A E O F B x

E A D
图(1)

F O B C x
D C

图(2) 【答案】解:(Ⅰ)如图,当 k=1 时,CD 过点(0,-b),CD=2a,

y P E A D O F B C x



1 ?PCD 的面积为 12,∴ ? 2a ? 2b ? 12 ,即 ab ? 6 .① 2 此时 D(-a,-b),∴直线 PD 方程为 2bx ? ay ? ab ? 0 .
∴点 O 到 PD 的距离 d ? 由①②解得 a ? 3, b ? 2 ∴所求椭圆方程为

ab 4b 2 ? a 2

=

6 . ② 5

x2 y 2 ? ?1 9 4

(Ⅱ)如图,当 k=2 时, C (a, ?2b), D(?a, ?2b) ,设 E ( x1 ,0), F ( x2 ,0) ,

y P E A O F B x

D

C

???? ??? ? 由 D,E,P 三点共线,及 DE ? ( x1 ? a, 2b) , DP ? ( x0 ? a, y0 ? 2b)
(说明:也可通过求直线方程做)
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得 ( x1 ? a)( y0 ? 2b) ? 2b ? ( x0 ? a) , ∴ x1 ? a ?

2b ? ( x0 ? a) 2b ? ( x0 ? a) ,即 AE ? y0 ? 2b y0 ? 2b

??? ? 由 C,F,P 三点共线,及 CF ? ( x2 ? a, 2b) ,

??? ? CP ? ( x0 ? a, y0 ? 2b)
得 ( x2 ? a)( y0 ? 2b) ? 2b ? ( x0 ? a) , ∴ a ? x2 ?

2b ? (a ? x0 ) 2b ? (a ? x0 ) ,即 FB ? y0 ? 2b y0 ? 2b



4b2 ? (a 2 ? x0 2 ) 4a 2 y0 2 x0 2 y0 2 ? ? 2 ? 1 ,∴ AE ? FB ? ( y0 ? 2b)2 ( y0 ? 2b) 2 a2 b
2b ? ( x0 ? a) 2b ? (a ? x0 ) 2ay0 4ab ? ? 2a ? ? y0 ? 2b y0 ? 2b y0 ? 2b y0 ? 2b

而 EF ? 2a ? AE ? FB ? 2a ?

∴ EF 2 ? AE ? FB ,即有 AE,EF,FB 成等比数列
24. (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题)如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 4

A、B ,点 P 在椭圆上,且异于点 A、B ,直线 AP、BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M、N ,
(Ⅰ)设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,求证: k1 ? k 2 为定值; (Ⅱ)求线段 MN 的长的最小值; (Ⅲ)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

P

【答案】解(Ⅰ)? A(0,1) , B (0,?1) ,令 P ( x0 , y0 ) ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 , PB 的斜率 k 2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0
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2 2 y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1 x0 1 2 ( ,从而有 k1k 2 ? ? ? ?? 。 ? y0 ? 1 , x0 ? 0 ) 2 x0 x0 x0 4 4

(Ⅱ)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 0) , 直线 BP 的方程为 y ? ( ?1) ? k 2 ( x ? 0) ,

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? x ? ? k1 , 由? ?? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?

1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? x ? ? k2 , 由? ?? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?

? 1 ? ? 3 ? ? 直线 AP 与直线 l 的交点 N ? ? ,?2 ? ,直线 BP 与直线 l 的交点 M ? ? ,?2 ? 。 ? k ? ? k ? ? 2 ? ? 1 ?
又 k1k 2 ? ?

3 1 3 3 3 1 ,?| MN |? ? ? ? 4k1 ? ? 4 | k1 |? 2 ? 4 | k1 | ? 4 3 , k1 k 2 k1 | k1 | | k1 | 4

等号当且仅当

3 3 ,故线段 MN 长的最小值是 4 3 。 ? 4 | k1 | 时取到,即 k1 ? ? 2 | k1 |

25. (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C

上任意一点到点 M (0, ) 的距离与到直线 y ? ? (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

1 2

1 的距离相等. 2

(Ⅱ)设 A1 ( x1 , 0) , A2 ( x2 , 0) 是 x 轴上的两点 ( x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0) ,过点 A1 , A2 分别作 x 轴的垂线,与曲 线 C 分别交于点 A1? , A2? ,直线 A1? A2? 与 x 轴交于点 A3 ( x3 , 0) ,这样就称 x1 , x2 确定了 x3 .同样,可由

x2 , x3 确定了 x4 .现已知 x1 ? 6, x2 ? 2 ,求 x4 的值.
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1 1 ) 的距离与到直线 y ? ? 的距离相等, 2 2 1 1 根据抛物线定义知,曲线 C 是以点 M (0, ) 为焦点,直线 y ? ? 为准线的抛物线, 2 2
【答案】解:(Ⅰ)因为曲线 C 上任意一点到点 M (0,

故其方程为 x ? 2 y
2

(Ⅱ)由题意知, A1? ( x1 , 故 lA ?A ? : y ?
1 2

1 2 1 x1 ) , A2? ( x2 , x2 2 ) ,则 k A ? A ? 1 2 2 2

1 2 ( x2 ? x12 ) 1 2 ? ? ( x2 ? x1 ) , x2 ? x1 2

1 2 1 x2 ? ( x2 ? x1 )( x ? x2 ) 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ,即 ? ? ? ? x x1 x2 x3 x1 x2 6 2

令 y ? 0 ,得

同理,

1 1 1 1 1 1 7 ? ? ? ? ? ? , x4 x2 x3 2 6 2 6

于是 x4 ?

6 7

26. (江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学试题)已知圆 M 的方程为 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,直线 l

的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)若 ?APB ? 60? ,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为 (2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点,当 CD ?

2 时,求直线 CD 的方程;

(3)经过 A, P, M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理 由.
【答案】,解:(1)设 P(2m, m) ,由题可知 MP ? 2 ,所以 (2m) ? (m ? 2) ? 4 ,解之得: m ? 0, m ?
2 2

4 , 5

故所求点 P 的坐标为 P (0, 0) 或 P ( , ) .( ) (2)设直线 CD 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,易知 k 存在,由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为

8 4 5 5

2 ,所以 2

2 ?2 k ? 1 ? ,( ) 2 1? k 2

解得, k ? ?1 或 k ? ?

1 ,ks.5u 7

故所求直线 CD 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 .( ) (3)设 P(2m, m) , MP 的中点 Q(m,

m ? 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2

所以经过 A, P, M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m) ? ( y ?
2

m m ? 1)2 ? m2 ? ( ? 1)2 2 2
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化简得: x ? y ? 2 y ? m(2 x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式,故
2 2

? x? ?x ? 0 ? ? 解得 ? 或? ?y ? 2 ?y ? ? ?

4 5 2 5

所以经过 A, P, M 三点的圆必过异于点 M 的定点 ( , )
27. (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次统测数学(理)试卷)如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦
2

4 2 5 5

点为 F . 过点 P(2, 的直线交抛物线于 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 两点,直线 AF,BF 分别与抛物线交于点 M,N. 0) (1)求 y1 y 2 的值;记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k 2 .证明:

k1 为定值. k2

【答案】(1)解:依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2.

将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4my ? 8 ? 0. 从而 y1 y2 ? -8.
2

2

(2)证明:设 M ( x3 , y3 ),N ( x4 , y4 ).



y ? y4 k1 y3 ? y4 x1 ? x2 ? ? ? 23 2 k 2 x3 ? x4 y1 ? y2 y3 y ? 4 4 4

y1 y ? 2 4 ? y1 ? y2 . ? 4 y1 ? y2 y3 ? y4

2

2

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设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,
2

整理得 y ? 4ny ? 4 ? 0 .所以 y1 y3 ? ?4. 同理可得 y2 y4 ? ?4.
2



k k1 y1 ? y2 y ? y2 yy 为定值 ? ? 1 ? 1 2 . 由(1)得 1 ? 2, k2 k 2 y3 ? y 4 ? 4 ? ? 4 ?4 y1 y2
2

28. (江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一) 已知 P(4,4),圆 C: ( x ? m)

? y 2 ? 5(m ? 3)

与椭圆 E:

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 有一个公共点 A(3,1), F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 a2 b

PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设点 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)如图, BM ? AO sin? ? 100sin? , AB ? MO ? AO cos? ? 100 ? 100cos? ,? ? (0, ? ) .
则S ?

1 1 MB ? AB ? 100sin ? ? (100 ? 100cos? ) 2 2 1 ? 5000(sin ? ? sin 2? ),? ? (0, ? ) 2

(Ⅱ) S ' ? 5000(2cos2 ? ? cos? ? 1) ? 5000(2cos? ? 1)(cos? ? 1) ,

1 ? 令 S ' ? 0 ,得 cos? ? ,cos? ? ?1 (舍去),此时 ? ? . 2 3

x
S'

(0, ) 3 +

?

? 3
0 极大值

( ,? ) 3 -

?

S
所以当 ? ?

?
3

时, S 取得最大值 Smax ? 3750 3m2 ,此时 AB ? 150m .

答:当点 A 离路边 l 为 150 m 时,绿化面积最大,值为 3750 3m2 .
29. (江苏省宿迁市 2014 届高三上学期第一次摸底考试数学试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a > b > 0) 与直线 l : x ? m(m ?R ) . a b ( 0) ( 四点 (3 , , , 1) , ?2 2 , , 3 , 3) 中有三个点在椭圆 C 上,剩余一个点在直线 l 上. 1) (3 ? (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 在直线 l 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , 两点,使得 PM ? PN ,再过 P 作直线 l ? ? MN . N 证明:直线 l ? 恒过定点,并求出该定点的坐标. 【答案】解:(1)由题意有 3 个点在椭圆 C 上, 根据椭圆的对称性,则点 (3 , , , 1) 一定在椭圆 C 上, 1) (3 ?


9 1 ? 2 ?1 2 a b

①,
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若点 (?2 2 , 在椭圆 C 上,则点 (?2 2 , 必为 C 的左顶点, 0) 0) 而 3> 2 2 ,则点 (?2 2 , 一定不在椭圆 C 上, 0) 故点 ( 3 , 3) 在椭圆 C 上,点 (?2 2 , 在直线 l 上, 0) 所以

3 3 ? 2 ?1 2 a b

②,

联立①②可解得 a 2 ? 12 ,b2 ? 4 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 12 4
2 3 2 3 , ), 3 3

(2)由(1)可得直线 l 的方程为 x ? ?2 2 ,设 P(?2 2 , 0 ) , 0 ? (? y y 当 y0 ? 0 时,设 M ( x1 , 1 ) , ( x2 , 2 ) ,显然 x1 ? x2 , y N y

? x12 y12 ? 1, ? ? y ? y2 x 2 ? x2 2 y12 ? y2 2 1 x ? x2 ? 12 4 联立 ? 2 则 1 , ?? ? 1 ? ? 0 ,即 1 2 x1 ? x2 3 y1 ? y2 12 4 ? x2 ? y2 ? 1, ? 12 4 ?
又 PM ? PN ,即 P 为线段 MN 的中点,

1 ?2 2 2 2 故直线 MN 的斜率为 ? ? , ? 3 y0 3 y0
又 l ? ? MN ,所以直线 l ? 的方程为 y ? y0 ? ? 即y??

3 y0 2 2

( x ? 2 2) ,

3 y0 2 2

(x ?

4 2 ), 3

显然 l ? 恒过定点 ( ?

4 2 , ; 0) 3 4 2 , ; 0) 3

当 y0 ? 0 时,直线 MN 即 x ? ?2 2 ,此时 l ? 为 x 轴亦过点 ( ? 综上所述, l ? 恒过定点 ( ?

4 2 , 0) 3

30. (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题) 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭

圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为 y ? 2 ,且经过点(1,0). (1)求椭圆 T 的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆 T 相切. ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ②求矩形 ABCD 面积 S 的取值范围.
【答案】 【解】(1)因为椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为有 y=2,

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x2 y2 所以椭圆 T 的焦点在 y 轴上,于是可设椭圆 T 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b
因为椭圆 T 经过点(1,0),
? a2 ? 2, ? 2 2 ? a 2 ? 2, ? ? 所以 ? a ? b 解得 ? 2 ?b ? 1. ? ? 0 ? 1 ? 1, ? a 2 b2 ?

故椭圆 T 的方程为

y2 ? x2 ? 1 . 2 y2 ? 1 的外切矩形, 2

(2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆 x2 ?

①(i)若矩形 ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,
? 2 y2 ?x ? ? 1, 则由 ? 消去 y 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kmx ? m2 ? 2 ? 0 , 2 ? y ? kx ? m ?

于是 ? ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ? 2) ? 0 ,化简得 m ? ? k 2 ? 2 . 所以矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? k 2 ? 2 ,即 y ? kx ? ? k 2 ? 2 , 则另一组对边所在直线的方程为 ky ? x ? ? 1 ? 2k 2 , 于是矩形顶点坐标(x,y)满足 ( y ? kx) 2 ? (ky ? x) 2 ? (k 2 ? 2) ? (1 ? 2k 2) , 即 (1 ? k 2 )( x2 ? y 2 ) ? 3(1 ? k 2 ) ,亦即 x2 ? y 2 ? 3 . (ii)若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点 (?1,? 2) 显然满足 x2 ? y 2 ? 3 . 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 ? y 2 ? 3 上. ②当矩形 ABCD 的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长,于是
2 矩形的一条边长为 2 k ? 2 ,另一条边长为 1? k2

2

? ? ? 2 ? 2 2k ? 1 . 1? k 1 ? ?? 1 ? k
?1 k
2 2 2 2

4 2 k?1 k 4 k ? 2 ? 2 k ? 1 ? 4 2 k ? 5k ? 2 ? 所以 S ? 2 2 1? k 1? k k?1 k
2 2 4 2

?

? ?1 ,
2

2 令 t ? k ? 1 ,则 t 2 ? ? 2,? ? ? ,于是 S ? 4 2t ? 1 ? 4 2 ? 1 ? 4 2, ? . 6? t k t2

?

②若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则 S ? 4 2 . 故 S 的取值范围是 ? 4 2,6 ? . ? ?
31. (江苏省诚贤中学 2014 届高三上学期摸底考试数学试题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 2 2 2 ,其焦点在圆 x +y =1 上. ? ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 a 2 b2 (1)求椭圆的方程;
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(2)设 A,B,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角 θ ,使 ???? ? ??? ? ??? ? OM ? cos? OA ? sin ? OB . (i)求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值; 2 2 (ii)求 OA +OB .
【答案】解:(1)依题意,得

c=1.于是,a= 2 ,b=1

所以所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2
x12 x2 2 ? y12 ? 1 ①, 2 ? y2 ? 1 ②. 2 2

(2) (i)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

???? ? ??? ? ??? ? ? x ? x1 cos ? ? x2 sin ? , 又设 M(x,y),因 OM ? cos? OA ? sin ? OB ,故 ? ? y ? y1 cos ? ? y2 sin ? .

因 M 在椭圆上,故 整理得 (

( x1 cos? ? x2 sin ? )2 ? ( y1 cos? ? y2 sin ? )2 ? 1 . 2

x12 x2 xx 2 ? y12 )cos2 ? ? ( 2 ? y2 )sin 2 ? ? 2( 1 2 ? y1 y2 )cos ? sin ? ? 1 . 2 2 2 x1 x2 将①②代入上式,并注意 cos? sin ? ? 0 ,得 ? y1 y2 ? 0 . 2 yy 1 所以, kOA kOB ? 1 2 ? ? 为定值 x1 x2 2

(ii) ( y1 y2 )2 ? (? 又(

2 x1 x2 2 x12 x2 2 2 2 2 ) ? ? ? (1 ? y12 )(1 ? y2 ) ? 1 ? ( y12 ? y2 ) ? y12 y2 ,故 y12 ? y2 ? 1 . 2 2 2

x12 x2 2 2 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 ) ? 2 ,故 x12 ? x2 ? 2 . 2 2
2 2

2 2 所以,OA +OB = x12 ? y12 ? x2 ? y2 =3

32. (江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一)过直线 x=-2 上的动点 P 作抛物线 y =4x 的两条切

2

线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)若切线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; (2)求证:直线 AB 恒过定点.
【答案】证明:(1)不妨设 A(t1,2t1)(t1>0),B(t2,2t2)(t2<0),P(-2,m).
2 2

因为 y =4x,所以当 y>0 时,y=2 x,y′= 2t1-m 1 2 由 k1= 2 = ,得 t1-mt1-2=0. t1+2 t1

2

1

x

1 1 ,所以 k1= .同理 k2= .

t1

t2

同理 t2-mt2-2=0. 2 所以 t1,t2 是方程 t -mt-2=0 的两个实数根. 所以 t1t2=-2. 所以 k1k2= 1

2

t1t2 2

1 =- 为定值. 2? t2-t1? 2 (x-t1), t2-t2 2 1

(2)直线 AB 的方程为 y-2t1= 即 y= 2 2t1 x+2t1, t1+t2 t1+t2
2

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即 y=

2 2t1t2 x+ ,由于 t1t2=-2, t1+t2 t1+t2 2

所以直线方程化为 y=

t1+t2

(x-2),

所以直线 AB 恒过定点(2,0).

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