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指数与指数函数


第4讲 指数与指数函数

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【2014 年高考会这样考】 1.考查指数函数的图象与性质及其应用. 2.考查指数函数求值. 3. 在函数与导数的解答题中, 指数函数作为试题中函数解析式 的组成部分,考查指数函数的求导、函

数单调性的讨论等.

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【复习指导】 1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础,较高的运 算能力是高考得分的保障,所以熟练掌握这一基本技能是重中 之重. 2.本节复习,还应结合具体实例了解指数函数的模型,利用 图象掌握指数函数的性质.重点解决:(1)指数幂的运算;(2) 指数函数的图象与性质.

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基础梳理 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n>1且,n∈N*),那么这个数叫做a 的n次方根.也就是,若 中n>1且n∈N .式子 被开方数.
*

xn=a

,则x叫做a的n次方根,其

n

a 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做

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(2)根式的性质 ①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根 是一个负数,这时,a的n次方根用符号 n a 表示.

②当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这 时,正数的正的n次方根用符号 n n a 表示,负的n次方根用符号

n - a 表示.正负两个n次方根可以合写为± a(a>0).

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? n ③? ?

?n ? a? =

a

. n .
? ?a ? ? ?-a

④当n为奇数时, an= a 当n为偶数时, a = |a|= ⑤负数没有偶次方根. n
n

?a≥0?, ?a<0?.

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2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:an= ②零指数幂:a0=1(a≠0). 1 ③负整数指数幂:a = p (a≠0,p∈N*). a
-p

(n∈N*).

m n m ④正分数指数幂:a = a (a>0,m、n∈ N*,且n>1). n

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m 1 ⑤负分数指数幂:a- n = m = an >1).

1 n am

(a>0,m、n∈N*,且n

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras= ②(a ) = ③(ab) =
r r s

ar+s ars
arbr

(a>0,r、s∈Q). (a>0,r、s∈Q). (a>0,b>0,r∈Q).

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3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

(1)R (2) (0,+∞)

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(3)过定点 (4)当x>0时,

(0,1)

(5)当x>0 时, 0<y<1 x<0时, y>1 ;

y>1
性质



x<0时,0<y<1

(6)在(-∞,+∞) (7)在(-∞,+∞)上 上是 增函数 是 减函数

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一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相 互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算. 两个注意 (1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此解题时通 常对底数a按:0<a<1和a>1进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围.

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三个关键点 画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:
? 1? (1,a),(0,1),?-1,a?. ? ?

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双基自测 1.(人教A版教材习题改编) ?π-4?2等于( A.π-4 解析 答案 B 2.已知函数f(x)=4+ax 1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则


).

B.4-π

C.π+4

D.±(π-4)

?π-4?2=|π-4|=4-π.

点P的坐标是( A.(1,5)

). C.(0,4) D.(4,0)

B.(1,4)

解析 当x=1时,f(1)=5. 答案 A
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3.函数f(x)= 1-2x的定义域是( A.(-∞,0] C.(-∞,0)

).

B.[0,+∞) D.(-∞,+∞)

解析 由1-2x≥0,得2x≤1,∴x≤0. 答案 A 4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于( A.5 B.7 C.9 D.11 ).

解析 ∵f(x)=2x+2-x,f(a)=3, ∴2a+2-a=3, f(2a)=22a+2 答案 B
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-2a

=(2a+2 a)2-2=9-2=7.


5-1 5.(2011· 西安模拟)已知a= 2 ,函数f(x)=ax,若实数m,n 满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为________. 5-1 解析 ∵a= ∈(0,1), 2 则f(x)=ax为R上的减函数.∵am>an,∴m<n. 答案 m<n

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考向一 【例1】?计算下列各式:

指数式与根式的计算

[审题视点] 先化为分数指数幂,再进行运算.

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化简结果:①若题目以根式形式给出,则结果用根 式表示; ②若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂的形 式表示; ③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有 负分数指数幂.

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【训练1】 化简下列各式(其中各字母均为正数).

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考向二 指数函数的图象及应用 【例2】?(2011· 合肥模拟)函数f(x)=ax b的图象如图,其中a,b


为常数,则下列结论正确的是( A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0

).

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[审题视点]

先由函数的增减趋势确定a的范围,再由图象在y

轴上的截距所在范围求b. 解析 由图象呈下降趋势可知0<a<1,又由图象在y轴上的截


距小于1可知a b<1,即-b>0,∴b<0. 答案 D

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抓住指数函数的图象,不仅可以直观准确地把握指 数函数的性质,而且利用指数函数的图象的形象直观,还可以 使有些问题得到简捷的解法.

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【训练2】 函数

的部分图象大致如图中 ).

的一个,根据你的判断,a可能的取值是(

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1 A. 2 解析

3 B. 2

C.2

D.4

函数为偶函数,排除①②,又函数值恒为正值,则排除

④,故图象只能是③,再根据图象先增后减的特征可知2a-3 >1,即a>2,符合条件的只有D选项. 答案 D

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考向三 指数函数的性质及应用 【例3】?设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最 大值是14,求a的值. [审题视点] 换元令t=ax,利用二次函数和指数函数的单调性

来研究函数的单调性,构建方程获解.

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解 令t=ax(a>0且a≠1), 则原函数化为y=(t+1)2-2(t>0). ①当0<a<1时,x∈[-1,1],t=a
? 1? 此时f(t)在?a,a?上为增函数. ? ? ?1? ?1 ? 所以f(t)max=f?a?=?a+1?2-2=14. ? ? ? ? ?1 ? 1 1 2 ? ? 所以 a+1 =16,所以a=-5或a=3. ? ?
x

? 1? ∈?a,a?, ? ?

1 又因为a>0,所以a=3.
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②当a>1时,x∈[-1,1],t=a
?1 ? 此时f(t)在?a,a?上是增函数. ? ?

x

?1 ? ∈?a,a?, ? ?

所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 1 解得a=3(a=-5舍去).综上得a=3或3.

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指数函数问题一般常与其它函数复合.本题利用换 元法将原函数化为二次函数,结合二次函数的单调性和指数函 数的单调性判断出原函数的单调性,从而获解.由于指数函数 的单调性取决于底数的大小,所以要注意对底数的分类讨论, 避免漏解.

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【训练3】

? 1 1? ? 3 已知函数f(x)=?2x-1+2? x ? . ? ?

(1)求函数f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0. (1)解 由2x-1≠0,可解得x≠0,

∴定义域为{x|x≠0}.

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(2)解

? 1 1? ? 3 f(-x)=?2-x-1+2? · ( - x ) ? ? ?

? ? ? 2x 1 1 1? ? ? 3 ? 3 =-?2-x-1+2?· x =-?1-2x+2? · x ? ? ? ? ?
x x ? 2x ? 1 2· 2 - 2 +1 3 ? ? 3 =?2x-1-2?· x= · x x 2?2 -1? ? ?

1? 2x+1 3 2x-1+2 3 ? ? 1 3 = x · x= x · x =?2x-1+2? · x ? =f(x). 2?2 -1? 2?2 -1? ? ? ∴f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数.

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(3)证明 当x>0时,2x-1>0,
? 1 1? ? 3 ∴?2x-1+2? x ? >0, ? ?

即f(x)>0.又∵f(x)是偶函数, ∴当x<0时f(x)=f(-x)>0, ∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上恒大于零.

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难点突破4——如何求解新情景下指数函数的问题
高考中对指数函数的考查,往往突出新概念、新定义、新情景 中的问题,题目除最基本问题外,注重考查一些小、巧、活的 问题,突出考查思维能力和化归等数学思想.

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一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法 【示例】? (2011· 福建五市模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)

内有定义.对于给定的正数K,定义函数fK(x)=
? ?f?x?,f?x?≥K, ? ? ?K,f?x?<K,

取函数f(x)=2+x+e x,若对任意的x


∈(-∞,+∞),恒有fK(x)=f(x),则K的最大值为________.

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二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】? 若f1(x)=3|x 1|,f2(x)=2· 3|x a|,x∈R,且f(x)=
- -

? ?f1?x?,f1?x?≤f2?x?, ? ? ?f2?x?,f1?x?>f2?x?,

则f(x)=f1(x)对所有实数x成立,则实数a

的取值范围是________.

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