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湖北省武汉市部分重点中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题


湖北省部分重点中学 2013—2014 学年度上学期高二期末考试 数 学 试 卷(文科) 命题人:武汉中学 杨银舟 审题人:洪山高中 高珺 2014.1.16 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.如图是“集合”的知识结构图,如果要加入“子集”,则应该放在( )

A.“集合

的概念”的下位 C.“基本关系”的下位

B.“集合的表示”的下位 D.“基本运算”的下位

z (1 ? 2 i ) z ? 4 ? 3 i 2.已知 ,则 z =

3 ? 4i A. 5

3 ? 4i B. 5

4 ? 3i C. 5

4 ? 3i D. 5

3.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做 100 次和 150 次试验,并且 利用线性回归方法,求得回归直线分别为 1 和

t

t2

,已知两人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值都 )

是 s ,对变量 y 的观测数据的平均值都是 t ,那么下列说法正确的是( A. 1 和 C. 1 与

t

t2

有交点

? s, t ?

B. 1 与 D. 1 与

t

t2

相交,但交点不一定是

? s, t ?

t

t2

必定平行

t

t2

必定重合

4. 在研究打酣与患心脏病之间的关系中,通过收集数据、整理分析数据得 “打酣与患心脏病有关”的结论, 并且有 99% 以上的把握认为这个结论是成立的。下列说法中正确的是( A.100 个心脏病患者中至少有 99 人打酣 B. .1 个人患心脏病,那么这个人有 99%的概率打酣 C.在 100 个心脏病患者中一定有打酣的人 D.在 100 个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有 )

5.设 a ? R ,则

a ?1



1 ?1 a

的(



A.充分但不必要条件 C.充要条件

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a ? b ?1 a ? b ?1 6.命题 p : 若 a, b ? R ,则 是 的充分而不必要条件;
命题 q : 函数

y?

x ?1 ? 2

的定义域是

? ??, ?1? ? ?3, ?? ? ,则(



A.“ p 或 q ”为假

B.“ p 且 q ”为真 C. p 真 q 假

D. p 假 q 真

x2 ? y2 ? 1 7.过椭圆 4 右焦点且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦 MN 的长为(



8 A. 5

8 2 B. 5

8 3 C. 5

16 D. 5

8. 过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点, 若 ?PF1Q 是钝角三角形, 则双曲线 的 离心率 e 范围是( A. 1, 2 ? 1

?

?

B. 1, 2 ? 2

?



?

C.

?

2 ? 1,??

?

D.

?

2 ? 2,?? ,

?

9.右图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,

图 2、图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续逐个叠放下去,那么在第七个叠放的 图形中小正方体木块数应是( ) A.25 B.66 C.91 D.120

x2 y2 ? 2 ?1 2 5+1 b 10.我们把离心率为 e= 的双曲线 a
2 (a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图, A1 , A2 是双曲线 的实轴顶点, B1 , B2 是虚轴的顶点, F1 , F2 是左右焦点,

y B1 F1 A1O A2 B2 M F2 N x

M , N 在双曲线上且过右焦点 F2 ,并且 MN ? x 轴,
给出以下几个说法:

2 y2 ①双曲线 x2- 5 ? 1 =1 是黄金双曲线;
②若 b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线; ③如图,若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线; ④如图,若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确的是( ) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置, 书写不清,模棱两可均不得分. 11. 若命题 p:?x ,y∈R,x2+y2-1>0,则该命题 p 的否定是 . 2i z? 1 ? i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第 12.在复平面内,复数 象限.

x2 y2 ? ?1 4 13.椭圆 9 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范

围是



f ( x) ?
14.已知

1 3 ? 3 ,分别求 f (0) ? f (1) , f (?1) ? f (2) , f (?2) ? f (3) ,然后归纳猜想一般性结论
x

f ?? x ? ? f ?1 ? x ? ?



15.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染指数量 P mg / L 与时间 t h 间的关系为

P ? P0 e ? kt

.如果在前 5 个小时消除了 10 % 的污染物,则 10 小时后还剩__________ % 的污染物.

16.甲乙两个班级均为 40 人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格与不及格进行统计,甲班及格人数为 36 人,乙班及格人数为 24 人. 根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表如下: 不及格 甲班 乙班 总计
[来源:学|科|网]

及格 b d

总计

a c

K2 ?
参考公式: P(K2>k) k

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ; n ? a ? b ? c ? d
0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83

0.50 0.455

根据以上信息,在答题卡上填写以上表格,通过计算对照参考数据,有_____的把握认为“成绩与班级有关 系” . x2 y2 17.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0).若双曲线上存在点 P,使 a2 b2 sin∠PF1F2 a = ,则该双曲线的离心率的取值范围是________. sin∠PF2F1 c 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)

?p 是 ?q 的必 已知 p : x ? 8 x ? 20 ? 0 ; q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0(m ? 0) ,若
2 2 2

要非充分条件,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分) 下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图.(1)数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们分别 围成了多少个区域?请将结果填入下表(按填好 的例子做).

[来源:Zxxk.Com]

顶点数 (a) (b) (c) (d) 4

边数 6
[来源:学科网 ZXXK]

区域数 3

(2)观察上表,推断一个平 面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (3)现已知某个平面图有 2014 个顶点,且围成了 2014 个区域,试根据以上关系确定这个平面图的边数. 20. (本小题满分 13 分)

A 平面内与两定点 A1 ?? a,0? 、 A2 ?a,0 ?( a ? 0 )连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹,加上 1 、 A2
两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线.求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系. 21. (本小题满分 13 分) 若 a ? b ? c ? d ? 0 ,且 a ? d ? b ? c ,求证: d ? 22. (本小题满分 14 分)

a? b? c

3 1 P( 3, ) 2 ,离心率是 2 . 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 E (?1,0) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点,若

EA ? 2 EB

,求直线 l 的方程.

湖北省部分重点中学 2013—2014 学年度上学期高二期末考试

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题 1.C 6.D 二、填空题 2.B 7.A 3.A 8.C 4.D 9.C 5.C 10.D

11.?x∈R,x +y -1≤0

2

2

12.四(或者 4,Ⅳ)

13. ? ?

? 3 5 3 5? ? , ? ? 5 5 ? ?

14.

3 3

15. 1, 2 ? 1

?

?

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解析: ?p : x ? 8 x ? 20 ? 0 ,所 以 x ? ?2, x ? 10 ,
2

令 A ? x x ? ?2, x ? 10 ?????????4 分

?

?

?q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 ,即 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m ,
令 B ? x x ? 1 ? m, x ? 1 ? m ?????????8 分

?

?

? ?p 是 ?q 的必要非充分条件,
?B
?1 ? m ? ?2 ? m ? 9,? m ? 9 .????????12 分 A ,即 ? ?1 ? m ? 10

当 1 ? m ? ?2 即 m ? 3 成立,当 1 ? m ? 10 ,即 m ? 9 成立,所以 m ? 9 ??12 分 17. (本小题满分 12 分) 解析: 不及格 甲班 乙班 总计 4 (a) 16 (c) 20
[来源:学_科_网]

及格 36 (b) 24 (d ) 60

总计 40 40 80

????????????6 分 n ( ad ? bc)2 80 ? (4 ? 24 ? 16 ? 36) 2 (2) K 2 ? ? ? 9.6 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 40 ? 40 ? 20 ? 60 由此可得: P( K 2 ? 7.879) ? 0.005 , 所以有 99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”. ????12 分 18. (本小题满分 12 分) 解析:(1)填表如下: 顶点数 (a) (b) (c) (d) 4 8 6 10 边数 6 12 9 15 区域数 3 5 4 6

????????????4 分 (2)由上表可以看出,所给的四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系: 4+3-6=1;8+5-12=1;6+4-9=1;10+6-1 5=1 由此,我们可以推断:任何平面图的顶点数、边数及区域数之间,都有下述关系: 顶点数+区域数-边数=1. ????????????8 分

(3)由(2)中所得出的关系,可知所求平面图的边数为: 边数=顶点数+区域数-1=2014+2014-1=4027. ????12 分

19. (本小题满分 13 分) 解析:设动点为 M,其坐标为 ? x, y ? , 当 x ? ?a 时,由条件可得 k MA1 ? k MA2 ? 即 mx ? y ? ma
2 2 2

y y y2 ? ? 2 ?m x ? a x ? a x ? a2

?x ? ?a ? ,

又 A1 ?? a,0?, A2 ?a,0? 的坐标满 足

mx 2 ? y 2 ? ma 2 ,故依题意,曲线 C 的方程为 mx 2 ? y 2 ? ma 2 .???4 分

x2 y2 当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 2 ? ? 1, a ? ma 2
C 是焦点在 y 轴上的椭圆;
2 2

????????6 分
2

当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? a , C 是圆心在原点的圆; 当 ? 1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为 C 是焦点在 x 轴上的椭圆; 当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为 C 是焦点在 x 轴上的双曲线 . 20. (本小题满分 13 分) 若 a ? b ? c ? d ? 0 且 a ? d ? b ? c ,求证: d ? 【证明】要证 d ? ????????8 分

x2 y2 ? ? 1, a 2 ? ma 2
???????10 分

x2 y2 ? ? 1, a 2 ma 2
????????12 分

a? b? c

a ? b ? c ,只需证 ( d ? a )2 ? ( b ? c )2

即 a ? d ? 2 ad ? b ? c ? 2 bc ,因 a ? d ? b ? c , 只需 证 ad ?

bc 即 ad ? bc ,

??????6 分

因为 d ? b ? c ? a ,则 ad ? bc ? a?b ? c ? a ? ? bc

? ab ? ac ? a 2 ? bc ? ?a ? c ?b ? a?a ? c ?
? ?a ? c ??b ? a ?
??????10 分

因为 a ? b ? c ? d ? 0 ,所以 a ? c ? 0 , d ? a ? 0 从而 ad ? bc ? 0 所以 d ?

a ? b? c.

??????13 分

22 . (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

?c 3 , ? ? a 2 ? 1 ?3 由已知可得 ? 2 ? 2 ? 1, ????????????3 分 a 4 b ? ?a 2 ? b2 ? c 2 . ? ?
解得 a ? 4 , b ? 1 .
2 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .????????????????6 分 4

(Ⅱ)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过点 E (?1, 0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 ,

, ),B(?1,此时 A(?1

3 2

3 ) 显然 EA ? 2 EB 不成立.?????7 分 2 ,

若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 则? 4 ? y ? k ( x ? 1). ?
整理得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .????????????9 分 由 ? ? (8k ) ? 4(4k ? 1)(4k ? 4)
2 2 2 2

? 48k 2 ? 16 ? 0 .
设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) . 故 x1 ? x2 ? ?

8k 2 ,① 4k 2 ? 1

x1 x2 ?

4k 2 ? 4 . ②???????10 分 4k 2 ? 1

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

因为 EA ? 2 EB ,即 x1 ? 2 x2 ? ?3 .③ ①②③联立解得 k ? ?

15 . 6

????????13 分

所以直线 l 的方程为 15 x ? 6 y ? 15 ? 0 和 15 x ? 6 y ? 15 ? 0 .???14 分


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