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高三数学二轮复习精品课件(课标版)专题1 第1讲 集合与常用逻辑用语


专题一

集合与常用逻辑用 语、函数与导数

第1讲 第2讲 第3讲 第4讲 积分

集合与常用逻辑用语 函数、基本初等函数的图象与性质 函数与方程、函数的应用 导数在研究函数性质中的应用及定

专题一

集合与常用逻辑用语、 函数与导数

专题一 │ 知识

网络构建
知识网络构建

专题一 │ 知识网络构建

专题一 │ 考情分析预测
考情分析预测

考向预测
从近几年考查的趋势看,本专题考查的重点是集合的基本运算、充 要条件的判断、函数的基本性质及其应用、函数的零点、导数在研究函 数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用,考查 的形式是用选择题或者填空题考查集合、常用逻辑用语、函数和导数的 基础知识和方法,用解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用,其 中集合和常用逻辑用语的试题难度不大, 但常围绕一些交叉点设计一些 新颖的试题,大部分函数和导数的基础试题难度也不大,但少数函数的 基础试题难度较大,解答题中的函数导数试题也具有一定的难度.由于 该专题的绝大多数内容(除量词和定积分)都是传统的高中数学内容,在 考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定),预 计 2012 年基本上还是这个考查趋势,具体为:

专题一 │ 考情分析预测

(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算,考查 中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题,要特别注意一些新 定义试题. (2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识,其中重点是充要 条件的判断和含有一个量词的命题的否定. (3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用,重点是函 数定义域、值域,函数的单调性和奇偶性的应用,指数函数、对数函数、 幂函数的图象和性质的应用,函数的零点判断,简单的函数建模,导数的 几何意义的应用,定积分的计算及其简单应用. (4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用,重点是使用导 数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极 值、最值问题的不等式和方程等问题,考查函数建模和利用导数解模.

专题一 │ 考情分析预测
备考策略
(1)集合:集合的基本内容是概念、基本关系和运算, 高考考查的重点是集合的运算, 其中要特别注意区分集合的含义,即集合表达的究竟是什么,注意数形结合在集合问题 中的应用. (2)常用逻辑用语:该部分的基本内容是四种命题及其关系、充要条件、逻辑联结词 和量词,只要把其中的基础知识掌握即可. (3)基本初等函数和函数的应用:在掌握好基本知识的前提下重点解决函数性质在解 决问题中的综合应用、函数性质在判断函数零点中的应用,指数函数、对数函数的图象 和性质的应用,数形结合思想的应用. (4)导数及其应用:要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与 极值的关系,由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的,因此要重点解 决导数在研究函数单调性中的应用, 特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查 分类与整合思想的一个主要命题点),在解决好上述问题后,要注意把不等式问题、方程 问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练,这是高考命制压轴题的一个重 要考查点.

专题一 │ 考情分析预测

专题一 │ 考情分析预测

第1讲

集合与常用逻辑用语

第1讲

集合与常用逻辑用语

第1讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

1.集合 (1)元素的特征:确定性、互异性、无序性,元素与集合 之间的关系是属于和不属于; (2)集合与集合之间的关系:集合与集合之间是包含关系 和非包含关系,其中关于包含有包含和真包含,用符号?,? 表示. 其中一个集合本身是其子集的子集, 空集是任何非空集 合的真子集; (3)集合的运算: A∩B={x|x∈A,且 x∈B},A∪B={x|x∈A,或 x∈B}, ? UA={x|x∈U,且 x?A}.

第1讲 │ 主干知识整合

2.四种命题及其关系 (1)四种命题; (2)四种命题之间的关系:四种命题是指对“若 p,则 q”形 式的命题而言的,把这个命题作为原命题,则其逆命题是“若 q,

则 p”,否命题是“若綈 p,则綈 q”,逆否命题是“若綈 q,则

綈 p”,其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的,而 且命题之间的关系是相互的.

第1讲 │ 主干知识整合

3.充要条件 (1)充要条件:若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的 必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件; (2)充要条件与集合:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应 集合 B,则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价于 A=B.

第1讲 │ 主干知识整合
4.逻辑联结词 (1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义; (2)带有逻辑联结词的命题真假:命题 p∨q,只要 p,q 有 一为真,即为真命题,换言之,只有 p,q 均为假命题时才为 假;命题 p∧q,只有 p,q 均为真命题时才为真,换言之,只 要 p,q 有一为假,即为假命题;綈 p 和 p 为一真一假两个互 为对立的命题; (3)“或”命题和“且”命题的否定:命题 p∨q 的否定是綈 p ∧綈 q;命题 p∧q 的否定是綈 p∨綈 q.

第1讲 │ 主干知识整合

5.量词 (1)全称量词与存在量词; (2)全称命题和特称命题; (3)含有一个量词的命题的否定:“?x∈M,p(x)”的否定 为“?x0∈M,綈 p(x0)”;“?x0∈M,p(x0)”的否定为“?x ∈M,綈 p(x)”.

第1讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 集合的关系及其运算

例 1 [2011· 陕西卷] 设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|, x∈R}, ?? 1 ? ? N=x??x- i ?< 2,i 为虚数单位,x∈R,则 M∩N 为( ) ? ? ? A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
C 【解析】 对于 M,由二倍角公式得 y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|,故 0≤y≤1. ? 1? 1 ? 对于 N,因为 x- =x+i,由?x- i ?< 2,得 x2+1< 2,所以-1<x<1,故 M∩N= ? i ? ? [0,1),故答案为 C.

第1讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题需要注意两个问题,一是两个集合的含义,二 是要注意集合 N 中的不等式是一个复数模的实数不等式,不 要根据实数的绝对值求解. 高考考查集合一般是以集合的形式 与表示等式的解、函数的定义域、函数的值域等,在解题时要 特别注意集合的含义.

第1讲 │ 要点热点探究

若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x-y≥0, x2+y2≤4,x,y∈M},则 N 中元素的个数为( ) A.9 B.6 C.4 D.2
C 【解析】 由题意知(0,0)(1,0)(1,1)(2,0)符合,选 C. , , ,

第1讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 四种命题和充要条件的判断

例 2 (1)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否 命题是( ) A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 (2)对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x) 是奇函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第1讲│ 要点热点探究

(1)A (2)B 【解析】 (1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成 的命题,所以选择 A. (2)由判定充要条件方法之一——定义法知,由“y=f(x)是奇函数”可以推出“y =|f(x)|的图象关于 y 轴对称”,反过来,逆推不成立,所以选 B.

【点评】 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条 件和结论后得到的形式上的命题,解这类试题时要注意对于一些关键词的否定, 如本题中等于的否定是不等于,而不是单纯的大于、也不是单纯的小于;进行 充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假,这里要注意断定一个命题为真 需要进行证明,断定一个命题为假只要举一个反例即可.

第1讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 逻辑联结词、量词和命题的否定
)

例 3 (1)[2011· 北京卷] 若 p 是真命题, 是假命题, q 则( A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.綈 p 是真命题 D.綈 q 是真命题

(2)[2011· 安徽卷] 命题“所有能被 2 整除的整数都是偶 数”的否定是( ) .. A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数

第1讲│ 要点热点探究
(1)D (2)D 【解析】 (1)p 是真命题,则綈 p 是假命题;q 是

假命题,则綈 q 是真命题,故应选 D. (2)本题是一个全称命题,其否定是特称命题,同时将命题的 结论进行否定,答案为 D.
【点评】 (1)“或”“且”联结两个命题,这两个命题的真假确定了“或”命题和 “且”命题的真假,其中“或”命题是一真即真,“且”命题是一假即假,“非”是对一 个命题的否定, 命题与其“非”命题一真一假; (2)否定一个命题就是否定这个命题的结论, 即推翻这个命题,这与写出一个命题的否命题是不同的.一个命题的否命题,是否定条件 和结论后的形式上的命题,如本题中我们把命题改写为“已知 n 为任意整数,若 n 能被 2 整除,则 n 是偶数”,其否命题是“已知 n 为任意整数,若 n 不能被 2 整除,则 n 不是偶 数”,显然这个命题是真命题,但这个命题的否定是假命题.

第1讲│ 要点热点探究

有四个关于不等式的命题: p1:?x0∈R,x2+x0+1>0; 0 p2:?x0,y0∈R,x2+y0-4x0-2y0+6<0; 0 2xy x+y p3:?x,y∈R+, ≤ ; 2 x+y p4:?x,y∈R,x3+y3≥x2y+xy2. 其中真命题是( ) A.p1,p4 C.p1,p3 B.p2,p4 D.p2,p3

第1讲│ 要点热点探究

C 【解析】 x

2

? 1 ?2 3 +x+1=?x+2? + >0,命题 4 ? ?

p1 正确;

x2+y2-4x-2y+6=(x-2)2+(y-1)2+1>0,命题 p2 x+y 2xy 2xy 不正确; ≤ = xy≤ ,命题 p3 正确;x3 2 x+y 2 xy +y3-x2y-xy2=(x+y)(x-y)2,当 x+y<0 时,不等式 不成立,故命题 p4 不正确.故正确选项为 C.

第1讲│ 要点热点探究
? 创新链接 1 集合中的新定义问题

以集合为背景的新定义问题, 历来是高考命题创新型试题 的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等, 这类试题中集合只是基本的依托, 考查的是考生创造性解决问 题的能力. 求解集合中的新定义问题,主要抓两点:(1)紧扣新定 义. 首先分析新定义的特点, 把新定义所叙述的问题的本质弄 清楚, 并能够应用到具体的解题过程之中, 这是破解新定义型 集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质. 集合的性质(概 念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基 础, 也是突破口, 在解题时要善于从试题中发现可以使用集合 性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.

第1讲│ 要点热点探究

例 4 [2011· 广东卷] 设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a, b∈S,有 ab∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的,若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T,有 abc ∈T;?x,y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 )

第1讲│ 要点热点探究
【分析】 根据新定义,就是要判断“?a,b∈T,有 ab∈T”,“?x,y∈V, 有 xy∈V”这两个全称命题的真假.

【解析】 A T 全部是偶数,V 全部是奇数,那么 T,V 对乘法是封闭的,但 如果 T 是全部偶数和 1,3,那么此时 T,V 都符合题目要求,但是在 V 里面,任意取 的数是-1 和-3,那么相乘等于 3,而 V 里面没有 3,所以 V 对乘法不封闭.排除 B、C、D 选项,所以“至少一个”是对的.

【点评】 集合的创新问题,通常需要弄清题目给出的新定义、新概念、新法则 与教材上的知识间的联系,将新的定义、概念、法则转化为“常规数学”问题,然 后求解.

第1讲│ 要点热点探究
(1)[2011· 福建卷] 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个 “类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“*”(即对任 意的 a, b∈S, 对于有序元素对(a, 在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应). b), 若 对任意的 a,b∈S,有 a*(b*a)=b,则对任意的 a,b∈S,下列等式中不恒成立的 是( ) A.(a*b)*a=a B.[a*(b*a)]*(a*b)=a C.b*(b*b)=b D.(a*b)*[b*(a*b)]=b

第1讲│ 要点热点探究

(1)C (2)A 【解析】 (1)因为 2011=5×402+1,则 2011∈[1],结论①正确; 因为-3=5×(-1)+2,则-3∈[2],结论②不正确; 因为所有的整数被 5 除的余数为 0,1,2,3,4 五类, Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4], 则 结论③正确; 若整数 a,b 属于同一“类”[k],可设 a=5n1+k,b=5n2+k(n1,n2∈Z),则 a-b=5(n1-n2)∈[0]; 反之,若 a-b∈[0],可设 a=5n1+k1,b=5n2+k2(n1,n2∈Z),则 a-b=5(n1 -n2)+(k1-k2)∈[0]; ∴k1=k2,则整数 a,b 属于同一“类”,结论④正确,故选 C. (2)选项 B 中,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,成立;选项 C 中,b*(b*b)=b, 成立;选项 D 中,把(a*b)看做一个整体,记为 c,则(a*b)*[b*(a*b)]=c*(b*c)=b, 成立,故只有选项 A 中的结论不恒成立.

第1讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.解答集合有关问题,首先正确理解集合的意义,准确地化 简集合是关键.其次关注元素的互异性,空集是任何集合的子集 等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助数轴和韦恩 图加以解决. 2. 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系, 但 一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假的.

第1讲│ 规律技巧提炼

3.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据 充要条件与集合之间的对应关系,把命题对应的元素用集合表示出 来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定形式给出的充要条 件判断中可以使用命题的等价转化方法. 4.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的, 这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确, 再根据逻辑联结词 的含义进行判断. 5.特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题.

第1讲 │ 教师备用例题
教师备用例题
备选理由:例 1 是对本讲例 2 的一个补充,即判断充要条件 定义外还可以根据等价转化的方法进行;例 2 是对“且”命题的 否定,由于其位置不突出我们在正文中没有给出;例 3 为一个新 定义试题,虽然是 2010 年的高考试题,但这个题和正文例题 4 及 其变式可以形成对集合中新定义试题的一个题组训练,达到一个 较好的效果.

第1讲 │ 教师备用例题
例 1 “α≠β”是“sinα≠sinβ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解析】 B 方法 1:由于 α=2π+β 时,α≠β,但此时 sinα =sinβ,故条件是不充分的;由于 sinα≠sinβ 时,如果 α=β,则 sinα=sinβ,故由 sinα≠sinβ?α≠β,故条件是必要的. 方法 2:命题“若 α≠β,则 sinα≠sinβ”等价于命题“若 sinα= sinβ,则 α=β”,这个命题显然不正确,故条件是不充分的;由 于命题“若 sinα≠sinβ, α≠β”等价于命题“若 α=β, sinα 则 则 =sinβ”,这个命题是真命题,故条件是必要的.

第1讲 │ 教师备用例题

例 2 已知命题 p:若 x>0,y>0,则 xy>0,则 p 的否命题是( A.若 x>0,y>0,则 xy≤0 B.若 x≤0,y≤0,则 xy≤0 C.若 x,y 至少有一个不大于 0,则 xy<0 D.若 x,y 至少有一个小于或等于 0,则 xy≤0

)

【解析】 D 否命题应在否定条件的同时否定结论, 而原命题中的条件是“且” 的关系,所以条件的否定形式是“x≤0 或 y≤0”.

第1讲 │ 教师备用例题
例 3 设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x,y∈S,都有 x+y,x-y,xy∈S, 则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+bi|a,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是________(写出所有真命题的序号). 【答案】 ①②
【解析】 设 x=a1+b1i,y=a2+b2i,a1,b1,a2,b2 为整数,则 x+y=(a1+a2) +(b1+b2)i,x-y=(a1-a2)+(b1-b2)i,xy=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,由于 a1, b1,a2,b2 为整数,故 a1± 2,b1± 2,a1a2-b1b2,a1b2+a2b1 都是整数,所以 x+y, a b x-y,xy∈S,故集合 S={a+bi|a,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集,①是真命 题;若 S 是封闭集,取 x=y∈S,则根据封闭集的定义,x-y=x-x=0∈S,故命 题②正确;集合 S={0}显然是封闭集,故封闭集不一定是无限集,命题③不正确; 集合 S={0}?{0,1}=T?C,容易验证集合 T 不是封闭集,故命题④不是真命题.


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