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3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示导学案


江门市新会陈瑞琪中学

数学科讲学稿

年级:高二 内容:3.1.5 空间向量运算的坐标表示 课型:新课
执笔人:陈鹏 审核人: 游周平 、李碟 时间:2013 年 12 月 20 日
学习目标 1、 掌握空间向量加、减法和数乘的坐标表示; 2、 掌握数量积的坐标表示; 3、能够应用空间向量的坐标表示求向量的模及夹角 教

学重点:向量的坐标运算;空间向量加减法和数乘的坐标表示。 教学难点:应用向量的坐标表示求向量长度及夹角。

【学习过程】 一、学习准备
复习填空:平面向量的直角坐标运算 1、向量在平面直角坐标系中的坐标的求法:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 )

???? ???? 则 AB =___________________________, AB =________________________
2、已知 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) (1) a ? b =___________________ (3) ? a = ___________________

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则有: (2) a ? b =___________________ (4) ⑷ a ? b =______________________

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? ? ? ? ? ? ? a ?b (5)| a |= a ? a =___________;(6)? cos〈 a , b 〉= ? ? =______________________. | a || b |
(7) a ∥ b _______________________;

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(8)

? ? a ⊥ b _____________________.

二:学习探究
1:类比填空,空间向量的坐标运算 .空间向量的坐标表示:向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,

???? ???? 则 AB =__________________________, AB =_________________________。即:向量的坐标等于向
量终点坐标减去起点坐标。 AB =________________________________=

??? ?

d

AB

,这就是空间两点间的距离公

式。特别地, OA ? ___________________线段 AB 的中点坐标公式为_______________ 归纳总结:用向量的思想和方法推出两点间的距离公式。 2. 向量的直角坐标运算:设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴ a ? b =______________________; ⑶λ a =______________________; 3. 两个向量共线或垂直的判定:
我成功是因为我有决心,从不踌躇。

??? ?

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⑵ a ? b =______________________; ⑷ a ? b ______________________

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若 b ? 0 则 a / / b ? ____________ ? ___________________

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? ? a ⊥ b ? ______________________ ? ___________________
4.向量的模长及夹角的坐标公式

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则| a |= a ? a =___________;cos 〈a , b 〉 = ? ? =___________. | a || b |
思考:当 0<cos〈 a , b 〉<1 时,夹角〈 a , b 〉的范围____________ 当-1<cos〈 a , b 〉<0 时,夹角〈 a , b 〉的范围____________ 当 cos〈 a , b 〉=0 时,夹角〈 a , b 〉等于____________ 归纳总结:通过与平面向量类比,仔细体会公式推导过程,近而和余弦函数的值域建立联系,得到空间 两向量的夹角范围。 五、预习检测 1、已知 A(?1, 2,7), B(?3, ?10, ?9) ,则线段 AB 的中点坐标为_____________ AB =_____________ 2、在空间直角坐标系 O—xyz 中,已知点 A 的坐标为(-1,2,1),点 B 的坐标为(1,3,4),则( A. AB =(-1,2,1 ) B. AB =(1,3,4) C. AB =(2,1,3) D. AB =(-2,-1,-3) )

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3、已知 a =(2,-3,5) , b =(-3,1,-4) ,则 a ? b 的值为______________. 4、已知 A(3,3,3),B(6,6,6),O 为原点,则 OA 与 BO 的夹角是( A.0? B.π? C. )

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3? 2

D.2π ) D.5

5、已知 a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于( A. 3 10 六、例题解析 ? B.2 10 ? C. 10

? ? ? ? ? ? 例 1、设 a ? (1,5, ?1), b ? (?2,3,5), 若 ka ? b ∥ a ? 3b ,求 k
练习 ⑴ 已知 ABCD , 顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , 则顶点 D 的坐标为 ______________; ⑵ Rt △ABC 中, ?BAC ? 90? , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C ( x,0,1) ,则 x ? ____; ? ? ? ? 3? 3、已知 a ? (3, 0,1), b ? (k , 2, ?1), 且 a, b ? ,求实数 k 的值 4
君子之修身,内正 其心,外正其容。

2

例 2、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E1 , F1 分别是 A1B1 , C1D1 的一个四等分点, 求 BE1 与 F1 D 所成角的余弦值; 思路启迪:根据图形特点建立空间直角坐标系,再利用空间向量 所成角的余弦公式。 解:
D1 A1 F1 E1 B1 C1

D

C

A

B

变式 1: E 是 A1B1 的一个四等分点,求证:AE∥DF1.

变式 2: F 是 AA1 的一个四等分点,

求证:BF⊥DF1.

变式 3: G 是 BB1 的一个四等分点,H 为 AA1 上的一点,若 GH⊥DF1,试确定 H 点的位置.

解题反思: 利用空间向量解题一般可以分为哪些步骤?对于任意向量 a 与向量 b 它们所成的夹角与它们所在 直线的夹角有什么关系? 练习(09 广东理)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 是正方 形 BCC1B1 的中心,点 F、G 分别是棱 C1D1, AA1 的中点.设点 E1,G1 分别是点 E,G 在平面 DCC1D1 内的正投影 (2)证明:直线 FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1 与 EA 所成角的正弦值

?

?

君子之修身,内正

3

其心,外正其容。

例 3 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B1 中点,求证: EF ? DA1

课后小结 1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 (3)空间向量运算的坐标表示 2.思想方法: 用向量计算或证明几何问题时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐标化,借助向量的直角坐 标运算法则进行计算或证明。

【学习评价】 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 检测巩固 ).

?1?与a ? ?2,?1,2?共线, 且满足a ? z ? ?18的z ? ___ ?2?A?1,2,1?, B?? 1,3,4?, AP ? 2PB, 则OP ? ___ ?3?三点A?1,5,?2?, B?2,4,1?, C ? p,3, q ?共线,则p ? ___ q ? ___

4、已知 A( 0, 2, 3)、B(? 2,1,6), C (1, ?1,5) , 则 △ABC 的面积 S=_____. ? ? ? ? 5、 a ? ( x , 2,1) , b ? ( ?3, x 2 , ?5) 且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范 围为 . 6、 正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中 点,求点 A 到直线 EF 的距离.

君子之修身,内正

4

其心,外正其容。


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