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北京市朝阳区2013届高三第一学期期中统一考试数学(理)试卷


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北京市朝阳区 2013 届高三第一学期期中统一考试数学(理) 试卷
2012.11 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题

共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?1,2? , 则 A ? ( ? B )等于( ) U ? A. ? B. ?5? C. ?3? D. ?3,5?

2. 已知数列 ?an ?是各项均为正数的等比数列,若 a2 ? 2, 2a3 ? a4 ? 16 ,则 an 等于( ) A. 2
n?2

B. 2

3? n

C. 2

n ?1

D. 2

n

3.已知平面向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为( A.



5? 6

B.

2? 3

C.

? 3


D.

? 6

ex 4.曲线 f ( x) ? 在 x ? 0 处的切线方程为( x ?1
A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0

C. 2 x ? y ? 1 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

5.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 ,点 P 在 AM 上,且满足 AP ? 2 PM ,则

??? ?

???? ?

??? ??? ??? ? ? ? PA ? (PB ? PC) 的值为(
A. ?4 6.函数 f ( x) ? ? A. 1

) C. 2 D. 4 )

B. ?2

?? x ? 3, x ? 0, 的图象与函数 g ( x) ? ln( x ? 1) 的图象的交点个数是( 3 ? x ,x ?0
B. 2 C. 3 D. 4

7.函数 f ( x ) 是定义域为 R 的可导函数,且对任意实数 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) 成立.若当

4 x ? 1 时,不等式 ( x ? 1) ? f ?( x) ? 0 成立,设 a ? f (0.5) ,b ? f ( ) ,c ? f (3) ,则 a ,b , 3

c 的大小关系是(
A. b ? a ? c

) B. a ? b ? c

C. c ? b ? a

D. a ? c ? b

8.已知数列 ?an ? 是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列.对于函数 y ? f ( x) ,若数列

?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”.现有定义在 (0, ??) 上的如
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下函数: ① f ( x) ?

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1 , x

② f ( x) ? x2 ,

③ f ( x) ? e x , ) C.① ②④

④ f ( x) ?

x,

则为“保比差数列函数”的所有序号为( A.① ② B.③④

D.②③④

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.设集合 A ? {x ? R | x ? 2} ,B = ?x ?R ∣

1 ? 2 x ? 6? ,则 A ? B ? 2

. ,

10.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和.若 a5 ? a6 ? 8, a9 ? a10 ? 24 ,则公差 d ?

S10 ?

. , tan(? ? 2? ? ? . .

11.已知角 ? 的终边经过点 (3a, 4a)(a ? 0) ,则 sin ? ?

12. 在 ?ABC 中,若 BA ? BC ? 4 , ?ABC 的面积为 2 ,则角 B ?

??? ??? ? ?

? f ( x) ? 1 , ? 13. 已知函数 y ? f ( x) 满足: f (1)=a ( 0 ? a ? 1 ) ,且 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ? 2 f ( x), ?
f (2)=
(用 a 表示) ,若 f (3)=

f ( x) ? 1, f ( x) ? 1,



1 ,则 a ? f (2)

.

14.已知函数 f ( x) ? x x .当 x ? [a, a ? 1] 时, 不等式 f ( x ? 2a) ? 4 f ( x) 恒成立, 则实数 a 的 取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2, b ? 3, cos C ? (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)求 sin(C ? A) 的值. 16.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn ? 1 , n ? N? . (Ⅰ)写出 a2 , a3 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn 为数列 ?nan ? 的前 n 项和,求 Tn ; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 0 , bn ? bn?1 ? log2 an (n ? 2) ,求数列 ?bn ? 的通项公式.
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1 . 3

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17.(本小题满分 13 分)

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函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

? ) 部分图象如图所示. 2
y
2
?? 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式,并写出其单调递增区间; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 2cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间

? ? [ ? , ] 上的最大值和最小值. 6 4
18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2ax ? 4x ? 3 ? a , a ? R .
2

o
?2

? 6

x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 ??1,1? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围. 19.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ?

? ,a?R . x

(Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? 2a 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 时,设 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,试比较 f ( 理由. 20.(本小题满分13分) 给定一个 n 项的实数列 a1, a2 ,?, an (n ? N? ) ,任意选取一个实数 c ,变换 T (c) 将数列

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )与 的大小并说明 2 2

a1 , a2 ,?, an 变换为数列 | a1 ? c |,| a2 ? c |,?,| an ? c | ,再将得到的数列继续实施这样的变
换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数 c 可以不相同,第 k (k ? N ) 次 变换记为 Tk (ck ) ,其中 ck 为第 k 次变换时选择的实数.如果通过 k 次变换后,数列中的各项 均为 0 ,则称 T1 (c1 ) , T2 (c2 ) ,?, Tk (ck ) 为 “ k 次归零变换”. (Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “ k 次归零变换”,其中 k ? 4 ; (Ⅱ)证明:对任意 n 项数列,都存在“ n 次归零变换”;
?

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(Ⅲ)对于数列 1, 22 ,33 ,?, nn ,是否存在“ n ? 1 次归零变换”?请说明理由.

北京市朝阳区 2013 届高三第一学期级期中考试 数学(理工类)试卷答案
一、选择题: 题号 答案 题号 答案 (1) D (9) (2) C (10) 2 (3) B (11)
? 4 5

2012.11

(4) D

(5) A (12)

(6) C (13)

(7) A

(8) C (14)

二、填空题:

(?1, 2]

40

24 7

45?

2a

2 4 或1

(1, ??)

(注:两空的填空,第一空 3 分,第一空 2 分) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 cos C ?

1 , 3

所以 sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ( ) ?
2 2

1 3

2 2 . 3

?????????2 分

所以, S? ABC ?

1 1 2 2 ab? C ? ? 2 ? 3 ? sin ?2 2 . 2 2 3
2 2 2

?????????5 分

cos (Ⅱ)由余弦定理可得, c ? a ? b ? 2ab? C
? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3?
?9
所以, c ? 3 . 又由正弦定理得, ????????????????7 分

1 3

c a ? , sin C sin A

a? C sin ? 所以, sin A ? c

2?

2 2 3 ?4 2. 3 9

????????9 分

因为 a ? b ,所以 A 为锐角, 所以, cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

4 2 2 7 ) ? . 9 9

????????11 分

cos A ? cos C ? A sin 所以, sin(C ? A) ? sin C ?

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?

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2 2 7 1 4 2 10 2 . ?????????????13 分 ? ? ? ? 3 9 3 9 27

16. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知得, a2 ? 4 , a3 ? 16 . ?????????????????2 分

由题意, an?1 ? 3Sn ? 1 ,则当 n ? 2 时, an ? 3Sn?1 ? 1 . 两式相减,得 an?1 ? 4an ( n ? 2 ). 又因为 a1 ? 1 , a2 ? 4 , ?????????????????3 分

a2 ? 4, a1

所以数列 ?an ? 是以首项为 1 ,公比为 4 的等比数列, 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 4
n ?1

( n ? N? ). ????????????5 分
2 n?1

(Ⅱ)因为 Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? 1 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? ?? n ? 4 所以 4Tn ? 4 ?1 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? ?? (n ?1) ? 4
2 3 n?1



? n ? 4n , ????????6 分
1 ? 4n ? n ? 4n , ???8 分 1? 4

两式相减得, ?3Tn ? 1 ? 4 ? 42 ? ? ? 4n ?1 ? n ? 4n ? 整理得, Tn ?

3n ? 1 n 1 ? 4 ? ( n ? N? ). 9 9

????????????9 分

(Ⅲ) 当 n ? 2 时,依题意得 b2 ? b1 ? log2 a2 , b3 ? b2 ? log2 a3 ,? , bn ? bn?1 ? log2 an . 相加得, bn ? b1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? ? ? log2 an . ???????????12 分 依题意 log2 an ? log2 4
n?1

? 2(n ?1) .

因为 b1 ? 0 ,所以 bn ? 2?1 ? 2 ? ?? (n ?1)? ? n(n ?1) ( n ? 2 ). 显然当 b1 ? 0 时,符合. 所以 bn ? n(n ? 1) ( n ? N? ). 17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 2 , ??????????????14 分

T 2? ? ? ? ? ? , 2 3 6 2

所以 T ? ? ,所以 ? ? 2 . ??????????????????????2 分

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当x?

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? ? 时, f ( x) ? 2 ,可得 2sin(2 ? ? ? ) ? 2 , 6 6 ? ? ,所以 ? ? . ?????????????????????4 分 2 6 ? 6

因为 | ? |?

所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) .????????????5 分 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [k ? ?

? ? , k ? ? ](k ? Z) .??????????7 分 3 6

(Ⅱ)因为 g ( x) ? f ( x) ? 2 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x

? 6

? 2sin 2 x cos

? ? ? 2 cos 2 x sin ? 2 cos 2 x ??????????8 分 6 6

? ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 2 3 sin(2 x ? ) . ?????????10 分 3
因为 x ? [ ? 当 2x ? 当 2x ?

? ? ? 5? , ] ,所以 0 ? 2 x ? ? . 6 4 3 6
?????12 分

? ? ? ? ,即 x ? 时,函数 g ( x) 有最大值为 2 3 ; 3 2 12 ? ? ? 0 ,即 x ? ? 时,函数 g ( x) 有最小值 0 . 3 6

??????13 分

18. (本小题满分 13 分)
2 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 4

? 2( x2 ? 2 x) ? 4 ? 2( x ? 1)2 ? 6 .
因为 x?? ?1,1? ,所以 x ? 1 时, f ( x ) 的最大值 f (1) ? 2 .?????????3 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 4 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上有零点, 所以 a ? 0 时成立.??4 分 当 a ? 0 时,令 ? ? 16 ? 8a(3 ? a) ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0 , 解得 a ? ?1, a ? ?2 . (1) 当 a ? ?1 时, ???????????????5 分

f ( x) ? ?2x2 ? 4x ? 2 ? ?2( x ?1)2

由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1?[ ? 1,1] ;
2 2 当 a ? ?2 时, f ( x) ? ?4 x ? 4 x ? 1 ? ?4( x ? ) .

1 2

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由 f ( x) ? 0 ,得 x ?

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1 ? [ ? 1,1] , 2

所以当 a ? 0, ?1, ?2 时, y ? f ( x) 均恰有一个零点在 ??1,1? 上.??????7 分 (2)当 f (?1)?f (1) ? (a ? 7)(a ? 1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 7 时,

y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上必有零点.
(3)若 y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点, 则

???????????????8 分

?a ? 0, ?a ? 0, ?? ? 8(a ? 1)( a ? 2) ? 0, ?? ? 8(a ? 1)( a ? 2) ? 0, ? ? ? ? 1 1 或 ? ?1 ? ? ? 1, ??1 ? ? ? 1, a a ? ? ? f (?1) ? 0, ? f (?1) ? 0, ? ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0.
解得 a ? 7 或 a ? ?2 .

???????12 分

综上所述,函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上存在极值点,实数 a 的取值范围是

a ? ?1 或 a ? ?2 .

???????????????13 分

19. (本小题满分 14 分) 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . (Ⅰ)由题意 x ? 0 , f ?( x ) ? (1)当 a ? 0 时, ???????????????1 分 ???????????????2 分

a 1 ? , x x2

a 1 1 1 ? 2 ? 0 ,解得 x ? ,函数 f (x ) 的单调递减区间是 (0 , ) ; x x a a a 1 1 由 f ?( x) ? 0 得 ? 2 ? 0 ,解得 x ? , a x x 1 函数 f (x ) 的单调递增区间是 ( , ? ?) . ????????????????4 分 a
由 f ?( x) ? 0 得 (2)当 a ? 0 时, 由于 x ? 0 , 所以 f ?( x) ?

a 1 ? ? 0 恒成立, 函数 f (x ) 的在区间 (0? ??) 上单调递减. x x2 1 恒成立. x

????????????????????????????????5 分 (Ⅱ)因为对于任意正实数 x ,不等式 f ( x) ? 2a 成立,即 2a ? a ln x ? 因为 a ? 0 ,由(Ⅰ)可知
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当x?

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1 1 1 ? 时,函数 f ( x) ? a ln x ? 有最小值 f ( ) ? a ln ? a ? a ? a ln a .?7 分 a a a x 1 所以 2a ? f ( x) min ? a ? a ln a ,解得 0 ? a ? . e 1 故所求实数 a 的取值范围是 (0, ] . ???????????????9 分 e
x1 ? x2 x ?x ? , ) ? a ln 1 2 ? 2 2 x1 ? x2

(Ⅲ)因为 f (

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? ? ? (a ln x1 ? ? a ln x2 ? ) . 2 2 x1 x2 x ?x x ?x 1 ? [a ln( x1 x2 ? ? 1 2 ] ? a ln x1 x2 ? 1 2 . ???????????10 分 2 x1 x2 2 x1 x2
所以 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x x ?x ? )? ? a ln 1 2 ? ? a ln x1 x2 ? 1 2 2 2 2 x1 ? x2 2 x1 x2

? a ln
(1)显然,当 x1 ? x2 时, f (

x1 ? x2 (x1 ? x2 )? . ? 2 x1 x2 2 x1 x2 (x1 ? x2 )
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . )? 2 2
????????11 分

(2)当 x1 ? x2 时,因为 x1 ? 0 , x2 ? 0 且 a ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 2

x1 x2 ,所以

x1 ? x2 x ? x2 ? 1 , a ln 1 ? 0 .??????12 分 2 x1 x2 2 x1 x2

又?

(x1 ? x2 )? x ?x (x1 ? x2 )? ? 0 , 所以 a ln 1 2 ? ?0 2 x1 x2 (x1 ? x2 ) 2 x1 x2 2 x1 x2 (x1 ? x2 )

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ? 0, 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 即 f( 1 . 2 2 x ? x 2 f ( x )1 f x ( 2 ) ? 综 上 所 述 , 当 x1 ? x2 时 , f ( 1 ; 当 x1 ? x2 时 , )? 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f( 1 )? .????????????????????14 分 2 2
所以 f ( 20. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)方法1: T1 (4) :3,1,1,3; T2 (2) :1,1,1,1; T3 (1) :0,0,0,0. 方法2: T1 (2) :1,1,3,5; T2 (2) :1,1,1,3; T3 (2) :1,1,1,1; T4 (1) :0,0,0,0. .??4分

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( ( ( (Ⅱ)经过 k 次变换后,数列记为 a1 k ) , a2k ) ,?, ank ) , k ? 1, 2,? .

取 c1 ?

1 1 (1) ? a1 ? a2 ) ,则 a1(1) ? a2 ? | a1 ? a2 | ,即经 T1 (c1 ) 后,前两项相等; 2 2 1 (1) 1(1) (1) (1) (2) (2) (2) a 取 c2 ? ( a2 ? a3 ) ,则 a1 ? a2 ? a ? | a ? 2 | ,即经 T2 (c2 ) 后,前3项相等; 3 3 2 2
? ? 设进行变换 Tk (ck ) 时,其中 ck ?

1 ( k ?1) ( (ak ? ak k ?1) ) ,变换后数列变为 ?1 2

( ( ( ( ( ( ( ( a1(k ) , a2k ) , a3k ) ,?, akk ) , akk )2 ,?, ank ) ,则 a1( k ) ? a2k ) ? a3k ) ? ? ? akk ) ; ?1 ? ?1

那么,进行第 k ? 1 次变换时,取 ck ?1 ?

1 (k ) ( (ak ?1 ? ak k )2 ) , ? 2

( ( ( ( ( ( ( 则变换后数列变为 a1 k ?1) , a2k ?1) , a3k ?1) ,?, akk ?1) , akk ?1) , akk ?1) ,?, ank ?1) , ?1 ?2 ?3 ( ( ( ( ( 显然有 a1 k ?1) ? a2k ?1) ? a3k ?1) ? ? ? akk ?1) ? akk ?1) ; ?1 ?2

? ?
( ( ( ( ( 经过 n ? 1 次变换后,显然有 a1 n?1) ? a2n?1) ? a3n?1) ? ? ? ann?1) ? ann?1) ; ?1
( 最后,取 cn ? ann?1) ,经过变换 Tn (cn ) 后,数列各项均为0.

所以对任意数列,都存在 “ n 次归零变换”. ??????????????9分 (Ⅲ)不存在“ n ? 1 次归零变换”. ??????????????????10分

证明:首先,“归零变换”过程中,若在其中进行某一次变换 Tj (c j ) 时,

c j ? min{a1, a2 ,?, an } ,那么此变换次数便不是最少.这是因为,这次变换并不是最后的
一次变换(因它并未使数列化为全零),设先进行 Tj (c j ) 后,再进行 Tj ?1 (c j ?1 ) ,由

|| ai ? c j | ?c j ?1 |?| ai ? (c j ? c j ?1 ) | ,即等价于一次变换 Tj (c j ? c j ?1 ) ,同理,进行某一步

Tj (c j ) 时, c j ? max{a1 , a2 ,?, an };此变换步数也不是最小.
由以上分析可知,如果某一数列经最少的次数的“归零变换”,每一步所取的 ci 满足 . min{a1 , a2 ,? ,an }? ci ? max{a1 ,a2 , ,an } ? 以下用数学归纳法来证明,对已给数列,不存在“ n ? 1 次归零变换”. (1)当 n ? 2 时,对于1,4,显然不存在 “一次归零变换” ,结论成立.

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5 2 3 2

(由(Ⅱ)可知,存在 “两次归零变换”变换: T1 ( ), T2 ( ) ) (2)假设 n ? k 时成立,即 1, 22 ,33 ,?, k k 不存在“ k ? 1 次归零变换”. 当 n ? k ? 1 时,假设 1, 22 ,33 ,?, k k ,(k ? 1)k ?1 存在“ k 次归零变换”. 此时,对 1, 22 ,33 ,?, k k 也显然是“ k 次归零变换”,由归纳假设以及前面的讨论 不难知 1, 22 ,33 ,?, k k 不存在“ k ? 1 次归零变换”,则 k 是最少的变换次数,每一次变 换 ci 一定满足 1 ? ci ? k k , i ? 1, 2,?, k . 因为 | ?|| (k ? 1)k ?1 ? c1 | ?c2 | ?? ? ck |? (k ? 1)k ?1 ? (c1 ? c2 ? ?? ck )

? (k ? 1)k ?1 ? k ? k ? 0 k
所以, (k ? 1)k ?1 绝不可能变换为 0,与归纳假设矛盾. 所以,当 n ? k ? 1 时不存在“ k 次归零变换”. 由(1)(2)命题得证. ???????????????13 分

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