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7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像和性质(说课稿)


§1.7 正切函数(说课稿)
7.1 正切函数的定义—7.2 正切函数的图像和性质
一、教材分析(说教材) : 1、教材所处的地位和作用 本节内容是北师大版《普通高中课程标准实验教科书 数学必修四》第一章三角函数第 7 节内容。本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后,又一具体的三角函数。教材首 先根据单位圆得到正切函数的定义,给出正切线的概念,并类比画正弦函数图像的方式,利 用正切线画正切函数 y ? tan x, x ? ( ?

? ?

, ) 的图像,根据图像,研究正切函数的性质。体 2 2

现了类比思想的应用,体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。 本节内容分两个课时, 本此说课是第一个课时, 由于在前面学习任意角的正弦和余弦时 已经对任意角的正切作了说明, 所以本节正切函数的定义只进行简单复习。 如果在前面没有 讲到正切函数的定义,此节课可以按两个课时来上,根据自己的实际情况进行调整。 我认为如果把函数看成一个人的话,图像就好比他的外表,代数就好比他的内心,一 个完整的人是内心和外表的综合体。 前面的指数,对数,幂, 正弦, 余弦函数都是先看外表, 而内心的美才是真正的美! 这样处理可以给学生提供研究数学更多的视角, 在性质的指导下 可以更加有效地作图,研究图象,加强理性思考的成分,并使数形结合的思想体现的更加全 面,体会到数学的美! 2.学情分析: 学生已经掌握了正弦函数的画法和利用正弦函数的图像研究函数性质的方法, 这为本节 课的学习提供了知识的保障, 这是有利的因素。 不足之处在于学生不能独立的运用数形结合 思想来研究问题和部分学生初中基础知识很差。 存在综合运用知识的能力不强、 作图水平不 高且层次不一等情况,需要教师加强引导以及学习小组的探讨与交流,不断优化知识结构, 并能把知识归纳、转化、迁移。 3、教学目标: 知识与技能 (1)能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义; (2)能用单位圆中的正切线画出正 切函数的图像; (3)掌握正切函数的图像的基本性质; 过程与方法 通过正切函数的学习,进一步理解和掌握研究三角函数的一般思路和方法,并比较不同 函数之间的相同点和不同点。 情感、态度与价值观 在正弦函数、余弦函数学习的基础上,通过本节学习,进一步培养学生自主探索的学习 习惯和分析问题、解决问题的能力。 4、重点,难点以及确定的依据和处理的方法: 重点:正切函数的性质和图象。处理方法是类比正余弦函数性质的代数表述。 难点:画正切函数的简图。处理方法是先让学生通过性质的研究体会在

?二、教法与学法分析 教法分析: 新课程标准倡导积极主动、 勇于探索的学习方式, 把学习的主动权还给学生。 以此为宗旨,我采用引导教学法、讲授教学法等诸多方法,引导学生自主学习、探究学习, 努力做到教法、学法的最优组合。结合本节内容的特征,主要采用启发诱导式教学方式,让 学生自主地去探求知识。 学法分析:类比学习法,即类比正弦函数、余弦函数的学习方法,在直角坐标系内学习 任意角的正切函数。类比正弦函数的画法做正切函数,利用图像研究正切函数的性质。 三、教学过程分析 §7.1-§7.2 教学 环节

正切函数的定义、图像及性质 第一课时

教师活动 同学们,在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦 函数, 并借助于它们的图像研究了它们的性质。 今天我们将 类比正弦、 余弦函数的学习方法, 在直角坐标系内学习另外 一种三角函数, 就是任意角的正切函数, 正切函数的图像如 何画?正切函数具有哪些性质?这就是本节课要学习的内 容。 请同学们先自己阅读教材 P35 的内容, 并思考以下问题: 问题一: 正切函数如何定义的?正切函数的定义域是什么? 教师提问,并及时对学生的回答进行客观和鼓励性的 评价,最后教师进行总结和归纳。 归纳:在直角坐标系中,如果角α 满足:α ∈R,α ≠

学生活动

设计意图 1,培养学生 的自学能力, 让学生养成 带着问题阅 读教材的习 惯 2,为下面学 习正切函数 的图像和性 质做准备

创 设 情 境 揭 示 课 题

学生带着 老师的问 题阅读教 材并思考 问题的答 案,然后 与同桌交 流答案

? + 2

kπ (k∈Z),那么,角α 的终边与单位圆交于点 P(a,b) , 则 y=tanα =

b 是角α 的函数, 我们把它叫作角α 的正切函 a

数,其中定义域是α ≠

? +kπ ,k∈Z. 2

新 知 探 究

问题二: 我们前面学习的正弦函数的图像采用几种方法做出 来的?能否采用类比思想划出正切函数的图像? 类比前面学习的正弦线我们学习角的正切线。 请同学们继 续阅读教材 P35 的内容,归纳总结出正切线的做法和规律 性。 如下图,单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1 ,0) ,任意 角α 的终边与单位圆交于点 P,过点 A(1 ,0)作 x 轴的垂 线, 与角的终边或终边的延长线相交于 T 点。 从图中可以看 出: 当角α 位于第一和第三象限时,T 点位于 x 轴的上方; 当角α 位于第二和第四象限时,T 点位于 x 轴的下方。 分析可以得知,不论角α 的终边在第几象限,都可以构 造两个相似三角形,使得角α 的正切值与有向线段 AT 的值 相等。因此,我们称有向线段 AT 为角α 的正切线。

学 生 对前面所 学习的正 弦函数的 画法进行 回顾,一 种是利用 传 统 的 “列表 --描 点 ---连线”的 方法,另 一种是利 用“正弦

1,学生通 过思考能够 利用第一种 方法作出正 切函数的图 像, 但是第二 种方法可能 不会, 造成了 思维的障碍, 激发学生学 习的兴趣 2,探索正切 函数的周期 性为下面做

线”的方 法 作 出 的。然后 思考正切 函数图像 的画法。 问题三:正切函数是不是周期函数?最小正周期是什么? 教师对学生的回答进行归纳总结,对正切线的作法进行 强调说明, 尤其是角在第二、 三象限时是过 A 点向终边的反 向延长线作垂线,不是向终边作垂线 由于正切函数是周期为 ? 的函数,所以我们类比研究正弦 函数的图像的方法,选择一个周期内来作正切函数的图像, 然后向左右进行延伸即可。 教师引导学生采用正切线作出图 像 1,利用“列表---描点----连线”的方法(同学们自己完成) 2,利用正切线作 y ? tan x , x ? ? ?

正切函数的 图像做准备

正切 函数 图像 的作 法

让学生学会 分析、 解决问 题的一般方 法(类比思 想) ;

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?
y

?

?
2

学 生 x 根据教师 的提示通 过单位圆 和 正 切 线,类比 正、余弦 函数图象 的画法作 出正切函 数 的 图 象;

让学生学 会实际动手 作图, 培养学 生的动手操 作能力;

3, 根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得 到正切函数 y ? tan x 像,称“正切曲线”

xy ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

?
2

?

3 x ? 2

4,从上图可看出, 正切曲线是由被相互平行的直线 x=

? + 2

kπ (k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的,这些直线叫作正切

曲线各支的渐近线。 观察 图 像, 提炼 性质 教师引导学生利用正切函数的图像得出性质: (1)定义域: ? x | x ?

? ?

?

? (2)值域:R ? k? , k ? z ? ; 2 ?

(3)周期性: T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数; (5)单调性:在开区间

学生根 据教师的 提示总结 归纳其性 质并与同 桌交流答 案

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ? 问题四:正切函数在定义域能是不是单调函数?
新知 应 用, 巩固 深化 一,不通过求值,比较下列各组数的大小. (1) Tan45°与 tan32° (2) tan135°与 tan138°; (3) 学生自 己动手在 草稿本上 演算,找 到的同学 到黑板上 演算,然 后和同桌 交流答案

培养学生合 作交流意识, 让学生体会 函数性质与 图像之间的 关系, 体会形 与数的结合 更能抓住问 题的本质

? 17? ? ? 13? ? tan? ? ? ? 与 tan? ? ? 5 ? ? 4 ?

二,求函数 tan( x ?

?
3

) 的定义域

教师展示例题后,先让学生自己分析思考,然后找学生 到黑板上进行演算, 最后对学生的演算进行客观和鼓励性的 评价。 对学生出现的问题进行纠正, 并且写出规范的解题过 程。 归纳 整 理, 整体 认识 教师展示出问题后,让学生自己总结归纳,提炼知识, 然后教师根据时间提问学生 (1)请同学们回顾本节课所学过的知识内容有哪些?学 到了哪些主要数学思想方法? (2)在本节课的学习过程中,你还有那些不太明白的地 方,请向老师提出。 (3)你自己认为自己在这节课中的表现怎样?有什么收 获?你最深的体会是什么?

学生通过 自己的实践, 真确地体会 函数的性质, 强化对新建 构的知识的 理解与掌握, 加深对所学 知识的认识。

学生自己 对问题进 行思考, 整理出 1 本节课所 学习的知 识 有 哪 些,列出 提纲和同 桌交流

让学生自己 归纳总结, 寻 找知识建立 的支点, 有利 于学生对知 识的掌握; 通过学生 的自我总结, 可以帮助学 生逐渐养成 归纳概括和 提升抽象问 题的能力。 复习巩固知 识, 培养学生 的实战能力, 培养学生独 立思考问题 的精神。

作业 布置

1 课堂作业:教材 39 页 练习题 第 1,2,4 三题

学生课后 ? 独立完成 2,课后思考题:画出 y ? tan( x ? ) 的图像,并通过图像讨 在课堂作 4 论函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性,周期性) 业本上教 师进行认 真批改

四、板书设计:

课题:§7.1 正切函数的图像及其性质 1,正切函数的定义 2,正切线的作法 3,正切函数图像 4,正切函数图像的性质 五、教后反思:

5,例题分析 6,课后思考题


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