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成都市龙泉驿区高2013级0.5次诊断性检测数学(文科)试题


成都市龙泉驿区高 2013 级 0.5 次诊断性检测 数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1~2 页,第Ⅱ卷 3~8 页。考试结束 后将答题卡交回。全卷满分 150 分,完成时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(60 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡

上。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其它答案标号,不能答在试卷上! 3. 本卷共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。 参考公式: 球的表面积公式, s ? 4? R 球的体积公式 ,
2

其中 R 表示球的半径 其中 R 表示球的半径

4 V ? ? R3 3

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,4,6} ,则( A. {2,4} B.{2,6}

C

U

A )∩B=



)C

C.{4,6},

D.{2,4,6} )B

2.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? a13 ? 16 ,则 a2 ? a12 ? ( A.12 B.16 C.20 3. 下列函数中,在 R 上单调递增的是( .... A. y ?| x | B. y ? log 2 x D.24 )C C. y ? x
1 3

D. y ? 0.5

x

4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) , 可得这个几何体的体积是( A. )B

4000 3 cm 3
3

B.

8000 3 cm 3
3

C. 2000cm

D. 4000cm

?5 x ? 3 y ? 15 ? 5.已知约束条件为 ? y ? x ? 1 ,则目标函数 z ? 3x ? 5 y ( ? x ? 5y ? 3 ?

) D

A. 无最大值有最小值 C. 无最大值和最小值

B. 无最小值有最大值 D. 有最大值和最小值 )D D.

6. 如果 a ? b ? 0 ,那么,下列不等式中正确的是( A.

1 1 ? a b

B. a ? b
2

2

C.

1 1 ? a ?b a

1 1 ? 2 2 a b

(人教 A 版必修 5 74 页例 1) 7. 已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能是(C )

A.

B.

C.

D.

?( x ? 1) 2 ? 8.设函数 f(x)= ? ?4 ? x ? 1 ?

x ?1 x ?1

则使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围为(

)A

A.(-∞,-2]∪[0,10] C.(-∞,-2]∪[1,10] (人教 A 版必修 1 第 49 页 B 组第 4 题)

B.(-∞,-2]∪[0,1] D.[-2,0]∪[1,10]

9. 若 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数且方程 f (x) =0 在[1,2]内只有一个零点 x=1.5,则方程

f (x) =0 在区间(0,5]内解的个数是(
A. 5 B. 4

)A C. 3 D. 2

10. 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应,在存货量变为 0 的前一个月,公司进行下次 生产。若公司本次新产品生产开始月 x 后,公司的存货量大致满足模型 f ? x ? ? ?2x ? 6x ? 20 ,那么下
3

次生产应在( A. 1 B 2

)月后开始。A C 3 D 4

解: f ?1? ? 24 ? 0, f (2) ? 16 ? 0, f (3) ? ?16 ? 0 ,所以应该在两个月后进行生产。 选B (必修 1 第 113 复习参考习 A 组第九题改编) 11. ?ABC 中, A ?

?
3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为(

)D

A. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

??3 3?

B. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

??3 6?

C. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 3?

D. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 6?

【答案】D 【解析】方法 1:由正弦定理得

b c b?c b?c , ? ? ? ? sin B sin C sin B ? sin C 2? sin sin B ? sin( ? B) 3 3 2? ? 得 b + c = 2 3 [sinB + sin ( - B ) ] = 6 sin( B ? ) . 故 三 角 形 的 周 长 为 : 3 + b + c = 3 6 3 ?

?? ? 6 sin? B ? ? ? 3 . 6? ?
方法 2:可取△ABC 为直角三角形时,即 B=

? ,周长应为 3 3 +3,故排除 A、B、C. 6

? 12 . 已 知 (a , b , c , d

R) 函 数 f ( x) ? ( x ? a)( x2 ? bx ? c), g ( x) ? (ax ? 1)(cx2 ? bx ? 1) , 集 合 ,

S ? ?x | f ( x) ? 0, x ? R?, T ? ?x | g ( x) ? 0, x ? R? ,记 | S |,| T | 分别为集合 S、T 中的元素个数,那么下
列结论不可能的是 A | S |? 1,| T |? 0 . B. | S |? 1,| T |? 1 ( )D D. | s |? 2,| T |? 3 C. | S |? 2,| T |? 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

?1? 13.计算: 8 ? ? ? ? 16 ?
2 3

?0.75

? log2? 3 (2 ? 3) =__________________。-5

14.已知| a |=2 3 ,| b |= 2 , (a ? 2b) ? (a ? 3b) ,.则 a 与 b 的夹角 ? = 教材《数学 4》105 页例 3 改编。 15.设函数 f ( x ) ? ?

?

?

?

?

.

? 2

? x ? 1( x ? 1) ? ,则 f ( f ( f (2))) ? ( x ? 1) ?1 ?
2

1

16.已知函数 f ( x) ?| x ? 2ax ? b | ( x ? R) . 给下列命题:① f (x) 必是偶函数; ② 当 f (0) ? f (2) 时, f (x) 的图像必关于直线 x=1 对称;
2 ③ 若 a ? b ? 0 ,则 f (x) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数;

④ f (x) 有最大值 | a ? b | .
2

其中不正确的序号是________.①②④. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17(12 分)已知在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? an (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 Sn . 解: (I)设等比数列 {an } 的公比为 q

? a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项
? 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) ? a3 ??.2 分
?q ? a3 ?2 a2
???4 分

?an ? a1qn ?1 ? 2n ?1 (n ? N * ) ???????6 分
(II)? bn ? 2n ? 1 ? an

? S n ? (1 ? 1) ? (3 ? 2) ? (5 ? 22 ) ? ? ? (2n ? 1 ? 2n?1 ) . ???.8 分
? [1 ? 3 ? 5 ? ?(2n ? 1)] ? (1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 n?1 ) ???..9 分
? 1 ? (2n ? 1) 1 ? 2n ?n? 2 1? 2
???.11 分

? n 2 ? 2n ? 1

....??12 分

18(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 ,x?R . 2

(Ⅰ) 求函数 f (x) 的最小值和最小正周期;

, 0 (Ⅱ) 已知 ?ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3 f (C) ? ,若向量 m ? (1,sin A) 与

??

? n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.
解:(Ⅰ)

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 1 6
(Ⅱ)∵ ∵

?

∴ f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? .

f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 , 即 sin(2C ? ) ? 1 6 6 ? ? 11? ? ? ? 0 ? C ? ? , ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,∴ C ? . 6 6 6 6 2 3

?

?



?? ? m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .由正弦定理

2 2 ∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos

?
3

a b ? , 得 b ? 2a, sin A sin B

, 故 a ? 3, b ? 2 3

19.(本小题满分 12 分 ) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高 中毕业班中抽取一个班进行铅球测试, 成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率 分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率 分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 .第 6 小组的频数是 7. (Ⅰ)求这次铅球测试成绩合格的人数; (Ⅱ)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组 内,并说明理由; (Ⅲ)若参加此次测试的学生中,有 9 人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出 2 人 参加“毕业运动会” ,已知 a 、 b 的成绩均为优秀,求两人至少有 1 人入选的概率. 解: (Ⅰ)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为

7 ? 50 (人). 0.14

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).????4 分 (Ⅱ) 直方图中中位数两侧的面积相等, 即频率相等.前三组的频率和为 0.28, 前四组的频率和为 0.56, ∴中位数位于第 4 组内. ????8 分 (Ⅲ)设成绩优秀的 9 人分别为 a, b, c, d , e, f , g , h, k , 则选出的 2 人所有可能的情况为:

ab, ac, ad , ae, af , ag , ah, ak ; bc, bd , be, bf , bg , bh, bk ; cd , ce, cf , cg , ch, ck ; de, df , dg , dh, dk ; ef , eg , eh, ek ; fg , fh, fk ; gh, gk ; hk . 共 36 种,其中 a 、 b 到少有 1 人入选的情况有 15 种, 15 5 ? . ????12 分 ∴ a 、 b 两人至少有 1 人入选的概率为 P ? 36 12 AB 20. (本小题满分 12 分 )如图, 在矩形 ABCD 中, ? 2, AD ? 1, E 是 CD 的中点, AE 为折痕将 ?DAE 以
向上折起,使 D 为 D ? ,且平面 D?AE ? 平面 ABCE . (Ⅰ)求证: AD ? ? EB ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABD? 所成角的正弦值.

D

E

C

D? E

C
B

A

B


A

解(Ⅰ)在 Rt ?BCE 中, BE ? 在 Rt ?AD?E 中, AE ?
2 2 2

BC 2 ? CE 2 ? 2 ,

D?A2 ? D?E 2 ? 2 ,
2

∵ AB ? 2 ? BE ? AE , ∴ AE ? BE . ∵平面 AED ? ? 平面 ABCE ,且交线为 AE ,

∴ BE ? 平面 AED? . ∵ AD ? ? 平面 AED? , ∴ AD ? ? BE . (Ⅱ)设 AC 与 BE 相交于点 F ,由(Ⅰ)知 AD ? ? BE , ∵ AD? ? ED? , ∴ AD ? ? 平面 EBD? , ∵ AD ? ? 平面 AED? , ∴平面 ABD ? ? 平面 EBD? ,且交线为 BD? , 如图 6-2,作 FG ? BD? ,垂足为 G ,则 FG ? 平面 ABD? , 连结 AG ,则 ?FAG 是直线 AC 与平面 ABD? 所成的角. 由平面几何的知识可知

D?

E A
图 6-2

G
F B

C

EF EC 1 1 2 ? ? ,∴ EF ? EB ? . FB AB 2 3 3

在 Rt ?AEF 中, AF ?

AE 2 ? EF 2 ? 2 ?

2 2 5 , ? 9 3

在 Rt ?EBD? 中,

FG D?E 2 6 ? ,可求得 FG ? . FB D?B 9

2 6 FG 30 ? 9 ? ∴ sin ?FAG ? . AF 2 5 15 3
∴直线 AC 与平面 ABD? 所成的角的正弦值为 (人教 A 版,必修 2,P87,B 组第 1 题) 21.(本小题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x) ?

30 . 15

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1) 当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2) 已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

f (x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

x1 ?

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , ? ? 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时,

x f’(x) f (x)

(-∞,x1) + 增函数

x1 0 极大值

(x1,x2) - 减函数

x2 0 极小值

(x2,+∞) + 增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值.
2

2 (2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2 2x 2 2x 2x
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a
当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x ?

1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 ? 1 ,此时 g '( x) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 (0,1] 上单调递增, 2 2x a a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2

当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ? 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单

调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的 思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.

22. ( (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? xk ? b (常数 k , b ? R )的图像过点 (4, 2) 、 (16, 4) 两点. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2) 若函数 g ( x) 的图像与函数 f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称, 若不等式 g ( x) ? g ( x ? 2) ? 2ax ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 P , P , P , ? P n ? 是函数 f ( x ) 图像上的点列, Q1 , Q2 , Q3 ,?, Qn ,? 是 x 正半轴上的点列, O , , 1 2 3 为 坐 标 原 点 , ?OQ1P , ?Q1Q2 P ,?, ?Qn?1Qn P ,? 是 一 系 列 正 三 角 形 , 记 它 们 的 边 长 是 1 2 n

a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,探求数列 ?an ? 的通项公式,并说明理由.

解:(1) ?

? 2 ? 4k ? b ? 4 ? 16 ? b
k

? b ? 0, k ?

1 ? f ( x) ? x 2

????? 3 分

(2) g ( x) ? x ( x ? 0)
2

x?2? 0 ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? 2ax ? 2 ? ? 2 2 ? x ? ( x ? 2) ? 2ax ? 2
原问题等价于 a ? x ? 利用函数 y ? x ?

1 ? 2 在 x ?[2, ??) 恒成立 x

?????6 分

1 1 ? 2 在区间 [2, ??) 上为增函数可得 a ? x 2
?????8 分

(3)由 ?

?y? x ? ? y ? 3x ? y? x

?x?

1 2 ? a1 ? 3 3

????? 9 分

由?

? ?

? y ? 3( x ? Sn?1 ) ?

? 3x ? x ? 3Sn?1 ? 0 ? x ?

1 ? 6Sn?1 ? 1 ? 12Sn?1 6

1 1 ? 1 ? 12S n ?1 ,由此原问题转化为 3 3 1 2 1 2 已知 (an ? ) ? ? (1 ? 12 S n ?1 ) 且 a1 ? ,求 an ????? 11 分 3 9 3 1 2 1 1 2 1 2 4 又 (an ?1 ? ) ? ? (1 ? 12 S n ) ,两式相减可得: (an ?1 ? ) ? (an ? ) ? an 3 9 3 3 3 1 1 2 ? (an ?1 ? ) 2 ? (an ? ) 2 ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an ? ) ? 0 3 3 3
将 x 代人 an ? 2( x ? S n ?1 ) ?

又,因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ? 从而 {an } 是以

2 ?0 3
?????14 分

2 2 2n 为首项, 为公差的等差数列,即 an ? 3 3 3


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