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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训3-3导数的实际应用试题


1.(文)正三棱柱体积为 V,则其表面积最小时,底面边长为( 3 A. V [答案] C [解析] 设正三棱柱底面边长为 a,高为 h,则体积 V= 3 2 3 4 3V a +3ah= a2+ , 2 2 a 4 3V 3 由 S′= 3a- 2 =0,得 a= 4V,故选 C. 3 B. 2V 3 C. 4V 3 D.2 V

)

3

2 4V a h,∴h= ,表面积 S 2 4 3a



a

(理)在内接于半径为 R 的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为(

)

R 3 A. 和 R 2 2
4 7 C. R 和 R 5 5 [答案] B [解析] 4 R -x
2 2

B.

5 4 5 R和 R 5 5

D.以上都不对

设矩形垂直于半圆直径的边长为 x ,则另一边长为 2 R -x ,则 l =2x+

2

2

(0<x<R), 4x
2 2

l′=2-

R -x

,令 l′=0,解得 x=

5 R. 5

当 0<x<

5 5 R 时,l′>0;当 R<x<R 时,l′<0. 5 5 5 5 4 5 R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为 R, R. 5 5 5

所以当 x=

2.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 [答案] C 1 3 [解析] ∵y=- x +81x-234, 3 ∴y′=-x +81(x>0). 令 y′=0 得 x=9,令 y′<0 得 x>9,令 y′>0 得 0<x<9,
2

)

B.11 万件 D.7 万件

∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减, ∴当 x=9 时,函数取得最大值.故选 C. [点评] 利用导数求函数最值时,令 y′=0 得到 x 的值,此 x 的值不一定是极大(小) 值时,还要判定 x 值左右两边的导数的符号才能确定. 3.(文)做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元,侧 面的材料每单位面积的价格为 b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( A. )

a b

B.

a b

2

C.

b a

D.

b a

2

[答案] C [解析]

如图,设圆柱的底面半径为 R,高为 h,则 V=π R h. 设造价为 y,则 y=2π R a+2π Rhb=2π aR +2π Rb· 2bV ∴y′=4π aR- 2 .
2 2

2

V
πR

2

2bV 2 =2π aR + ,

R

R

2R b 2 令 y′=0 并将 V=π R h 代入解得, = .

h

a

(理)圆柱的表面积为 S,当圆柱体积最大时,圆柱的底面半径为( A.

)

S
3π 6π S 6π

B. 3π S D.3π · 6π S

C.

[答案] C [解析] 设圆柱底面半径为 r,高为 h, ∴S=2π r +2π rh,∴h=
2

S-2π r2 , 2π r

又 V=π r h=
2

2

rS-2π r3
2

,则 V′=

S-6π r2
2

,令 V′=0,

得 S=6π r ,∴h=2r,r=

6π S . 6π

4.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,

?400x-1x2,0≤x≤400, ? 2 已知总收益 R 与产量 x 的关系是 R=? ?80000, x>400. ?
生产的产品是( A.100 C.200 [答案] D [解析]
2

则总利润最大时,每年

) B.150 D.300

由 题 意 , 总 成 本 为 C = 20000 + 100x. 所 以 总 利 润 为 P = R - C =

?300x-x -20000,0≤x≤400, ? 2 ? ?60000-100x,x>400, ?
P′=?
?300-x,0≤x≤400, ? ?-100,x>400. ?

令 P′=0,得 x=300,易知当 x=300 时,总利润最大. 5.(文)内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C. R 3 [答案] C [解析] 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则 R =(h-R) +r ,∴r =2Rh-h , 1 π 2 π 3 2 2 2 ∴V= π r h= h(2Rh-h )= π Rh - h , 3 3 3 3
2 2 2 2 2

)

B.2R 3 D. R 4

V′= π Rh-π h2,令 V′=0 得 h= R.

4 3

4 3

(理)要制做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. C. 3 cm 3 16 3 cm 3 B. D. 10 3 cm 3 20 3 cm 3

)

[答案] D

[解析] 设圆锥的高为 x,则底面半径为 20 -x , 1 2 其体积为 V= π x(400-x ) (0<x<20), 3

2

2

V′= π (400-3x2),令 V′=0,解得 x=

1 3

20 3 . 3

20 3 20 3 当 0<x< 时,V′>0;当 <x<20 时,V′<0, 3 3 20 3 所以当 x= 时,V 取最大值. 3 1 6. (2012·保定模拟)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)=1, f(x)的导函数 f ′(x)> , 且 2 则满足 2f(x)<x+1 的 x 的集合为( A.{x|-1<x<1} C.{x|x<-1 或 x>1} [答案] B [解析] 令 g(x)=2f(x)-x-1, 1 ∵f ′(x)> ,∴g′(x)=2f ′(x)-1>0,∴g(x)为单调增函数,∵f(1)=1,∴g(1) 2 =2f(1)-1-1=0, ∴当 x<1 时,g(x)<0,即 2f(x)<x+1,故选 B. 7.(文)用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2?1,该长方体的最大体积是________. [答案] 3m
3

) B.{x|x<1} D.{x|x>1}

9 ? 2?9 [解析] 设长方体的宽为 x, 则长为 2x, 高为 -3x (0<x<2), 故体积为 V=2x ? -3x? 2 ?2 ? =-6x +9x ,
3 2

V′=-18x2+18x,令 V′=0 得,x=0 或 1,
∵0<x<2,∴x=1. ∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m 时,体积最大,最大体积 Vmax=3m . (理)用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制作容器的底面的一边 比另一边长 0.5m,那么容器的容积最大时,容器的高为________. [答案] 1.2m [解析] 设容器的短边长为 xm, 则另一边长为(x+0.5)m, 14.8-4x-4? 高为 4
3

x+0.5?

=3.2-2x.

由 3.2-2x>0 和 x>0,得 0<x<1.6, 设容器的容积为 ym , 则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6), 整理得 y=-2x +2.2x +1.6x, ∴y′=-6x +4.4x+1.6, 令 y′=0,有-6x +4.4x+1.6=0,即 15x -11x-4=0, 4 解得 x1=1,x2=- (不合题意,舍去), 15 ∴高=3.2-2=1.2,容积 V=1×1.5×1.2=1.8. 1 2 8.(文)(2011·北京模拟)若函数 f(x)=lnx- ax -2x 存在单调递减区间,则实数 a 2 的取值范围是________. [答案] (-1,+∞) [分析] 函数 f(x)存在单调减区间,就是不等式 f ′(x)<0 有实数解,考虑到函数的 定义域为(0,+∞),所以本题就是求 f ′(x)<0 在(0,+∞)上有实数解时 a 的取值范围. 1-ax -2x [解析] 解法 1:f ′(x)= -ax-2= ,由题意知 f ′(x)<0 有实数解,∵ 1
2 2 2 2 3 2 3

x

x

x>0,∴ax2+2x-1>0 有实数解.当 a≥0 时,显然满足;当 a<0 时,只要 Δ =4+4a>0,∴
-1<a<0,综上知 a>-1. 1 1-ax -2x 解法 2:f ′(x)= -ax-2= ,
2

x

x

由题意可知 f ′(x)<0 在(0,+∞)内有实数解. 即 1-ax -2x<0 在(0,+∞)内有实数解. 1 2 即 a> 2- 在(0,+∞)内有实数解.
2

x

x

1 2 1 2 ∵x∈(0,+∞)时, 2- =( -1) -1≥-1,∴a>-1.

x

x

x

(理)(2011~2012·黄冈市期末)对于三次函数 y=ax +bx +cx+d(a≠0),给出定义: 设 f ′(x)是函数 y=f(x)的导数,f ″(x)是 f ′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解

3

2

x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函
1 数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若 f(x)= 3

x3- x2+3x- ,请你根据这一发现,求:
1 3 1 2 5 (1)函数 f(x)= x - x +3x- 的对称中心为________; 3 2 12

1 2

5 12

(2)计算 f(

1 2 3 4 2013 )+f( )+f( )+f( )+?+f( )=________. 2014 2014 2014 2014 2014

1 [答案] (1)( ,1) (2)2013 2 1 1 1 1 3 2 [解析] (1)f ′(x)=x -x+3,f″(x)=2x-1,由 2x-1=0 得 x= ,f( )= ×( ) 2 2 3 2 1 1 2 1 5 1 - ×( ) +3× - =1,由拐点的定义知 f(x)的拐点即对称中心为( ,1). 2 2 2 12 2

k k k 2014-k (2)∴f( )+f(1- )=f( )+f( )=2(k=1,2,?,1007), 2014 2014 2014 2014
1 2 2013 1 2013 2 2012 ∴f( )+f( )+?+f( )=[f( )+f( )]+[f( )+f( )]+? 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 1006 1008 1007 +[f( )+f( )]+f( )=2×1006+1=2013. 2014 2014 2014 9.有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍,问如何设计使总造价最小? [分析] 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定, 由于二者单位面积的价格不同, 在 保持铁桶容积不变的前提下,使总造价最小.问题转化为 V 一定求总造价 y 的最小值,选取 恰当变量(圆柱高 h 或底半径 r)来表示 y 即变为函数极值问题. [解析] 设圆柱体高为 h,底面半径为 r,又设单位面积铁的造价为 m,桶总造价为 y, 则 y=3mπ r +m(π r +2π rh).
2 2

V 2mV 2 2 由于 V=π r h,得 h= 2,所以 y=4mπ r + (r>0). πr r
2mV 所以,y′=8mπ r- 2 .

r

令 y′=0,得 r=?

? V ?1,此时,h= V =4? V ?1. ? ?4π ?3 2 πr ?4π ?3 ? ? ? V ?1时,y 有最小值,即 h?r=4 时,总造价最小. ? ?4π ?3

该函数在(0,+∞)内连续可导,且只有一个使函数的导数为零的点,问题中总造价的 最小值显然存在,当 r=?

10.(文)已知球的直径为 d,求当其内接正四棱柱体积最大时,正四棱柱的高为多少? [解析] 如右图所示,设正四棱柱的底面边长为 x,高为 h,

由于 x +x +h =d , 1 2 2 2 ∴x = (d -h ). 2 ∴球内接正四棱柱的体积为

2

2

2

2

V=x2·h= (d2h-h3),0<h<d. V′= (d2-3h2)=0,∴h=
1 2 3 d. 3

1 2

在(0,d)上,函数变化情况如下表:

h V′ V

3 ? ? ?0, d? 3 ? ? + ↗

3 d 3 0 极大值 3 d. 3

? 3 ? ? d,d? ?3 ?
- ↘

由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为 (理)

π 如右图所示,扇形 AOB 中,半径 OA=1,∠AOB= ,在 OA 的延长线上有一动点 C,过 2 点 C 作 CD 与 AB 相切于点 E,且与过点 B 所作的 OB 的垂线交于点 D,问当点 C 在什么位置 时,直角梯形 OCDB 的面积最小.

[分析] 要求直角梯形 OCDB 的面积的最小值,需先求出梯形面积,可设 OC=x,进而 用 x 表示 BD,然后利用导数的方法求最小值. [解析] 如上图所示,过 D 作 DF⊥OA 于 F,可知 △OEC≌△DFC, 所以 OC=CD,设 OC=x(x>1), 在 Rt△CDF 中,CD =CF +DF ,即 x =(x-BD) +1, 所以 BD=x- x -1, 所以梯形的面积为
2 2 2 2 2 2

S= (BD+OC)·OB= (2x- x2-1), S′= (2-
1 2

1 2

1 2

x ). x2-1
2 3 ,x2=- 2 3 (舍去).

令 S′=0,解得 x1= 当 x> 2

2 时,S′>0;当 1<x< 时,S′<0. 3 3

2 3 所以当 x= 时,S 取最小值. 3 2 3 即当 OC= 时,直角梯形 OCDB 的面积最小. 3 能力拓展提升 1 3 1 2 11.已知非零向量 a、b 满足:|a|=2|b|,若函数 f(x)= x + |a|x +a·bx 在 R 上有 3 2 极值,设向量 a、b 的夹角为 θ ,则 cosθ 的取值范围为( )

?1 ? A.? ,1? ?2 ?
1? ? C.?-1, ? 2? ? [答案] D

?1 ? B.? ,1? ?2 ?
1? ? D.?-1, ? 2? ?

[解析] ∵函数 f(x)在 R 上有极值,∴f ′(x)=x +|a|x+a·b=0 有两不等实根, 1 2 2 2 ∴Δ =|a| -4|a|·|b|cosθ =4|b| -8|b| cosθ >0,∴cosθ < ,∴选 D. 2 [点评] 若 f(x)为三次函数,f(x)在 R 上有极值,则 f ′(x)=0 应有二不等实根,当

2

f(x)有两相等实根时,不能保证 f(x)有极值,这一点要特别注意,如 f(x)= x3,f ′(x)
=x =0 有实根 x=0,但 f(x)在 R 上单调增,无极值.即导数为 0 是函数有极值的必要不充 分条件.
2

1 3

12.如图,过函数 y=xsinx+cosx 图象上点(x,y)的切线的斜率为 k,若 k=g(x),则 函数 k=g(x)的图象大致为( )

[答案] A [解析] ∵y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, ∴k=g(x)=xcosx,易知其图象为 A. 1 2 3 13.函数 f(x)=2x + x -x+1 的图象与 x 轴交点个数为________个. 2 [答案] 1 1 1 1 2 [解析] f ′(x)=6x +x-1=(3x-1)(2x+1), x<- 时, ′(x)>0, 当 f 当- <x< 时, 2 2 3

f ′(x)<0,当 x> 时,f ′(x)>0,∴f(x)在(-∞,- )上单调递增,在(- , )上单调
1 递减,在( ,+∞)上单调递增, 3 1 11 1 43 ∴当 x=- 时,f(x)取到极大值 ,当 x= 时,f(x)取到极小值 ,故 f(x)的图象与 2 8 3 54

1 3

1 2

1 2

1 3

x 轴只有一个交点.
14.将边长为 1m 的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是 ? 梯形的周长? 梯形,记 s= 梯形的面积 [答案] 32 3 3
2

,则 s 的最小值是________.

[解析] 设 DE=x, 则梯形的周长为:3-x, 1 3 3 2 梯形的面积为: (x+1)· (1-x)= (1-x ), 2 2 4 ∴s= ? 3 ? 4 3-x? 1-x ?
2 2

4 3 x -6x+9 = · ,x∈(0,1), 2 3 1-x

2

2 x2-6x+9 -6x +20x-6 设 h(x)= ,h′(x)= . 2 2 2 1-x ? 1-x ?

1 令 h′(x)=0,得:x= 或 x=3(舍), 3

?1? ∴h(x)最小值=h? ?=8, ?3?
4 3 32 3 ∴s 最小值= ×8= . 3 3 15.(文)甲乙两地相距 400km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100km/h, 1 1 已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(km/h)的函数关系是 P= v4- v3+ 19200 160 15v. (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值. 400 400P v 5v [解析] (1)汽车从甲地到乙地需用 h,故全程运输成本为 Q= = - +6000 v v 48 2 (0<v≤100). (2)Q′= -5v,令 Q′=0 得,v=80, 16 2000 ∴当 v=80km/h 时,全程运输成本取得最小值,最小值为 元. 3
3 2

v2

(理)(2011·江苏)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸 片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四 个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm).

(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底 面边长的比值. [解析] 设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),由已知得
3

2

a= 2x,h=

60-2x = 2(30-x),0<x<30. 2
2

(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15) +1800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a h=2 2(-x +30x ),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值.
2 3 2

h 1 1 此时 = .即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2
16.(文)

用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为 2m 的正四棱锥形有盖容器(如右图).设容 器的高为 hm,盖子边长为 am.

2

(1)求 a 关于 h 的函数解析式; (2)设容器的容积为 Vm ,则当 h 为何值时,V 最大?求出 V 的最大值.(容器的厚度忽 略不计)
3

[解析]

(1)如右图,作 PO⊥平面 ABCD,O 为垂足,作 OE⊥BC 于 E,连结 PE,则 PE

⊥BC,正四棱锥的全面积为 1 2=4× ×a× 2 所以 a= 1 1+h
2

h2+?

a
2 ?

2

+a .

2

(h>0).

1 2 1 h (2)V= a h= · 2(h>0), 3 3 1+h

V′= ·

1 ? 3

1+h ? -h? 2h? 1-h = 2 2 2 ? 1+h ? 3? 1+h ?

2

2

2

.

所以当 0<h<1 时,V′>0.所以 V(h)在(0,1]上为增函数. 当 h>1 时,V′<0,所以 V(h)在[1,+∞)上为减函数. 故 h=1 为函数 V(h)的唯一极大值点也是最大值点, 1 ∴Vmax= . 6 1 3 答:当高 h=1m 时,容积取最大值 m . 6 (理)如图, 有一矩形钢板 ABCD 缺损了一角(如图所示), 边缘线 OM 上每一点到点 D 的距 离都等于它到边 AB 的距离.工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形, 若 AB=1m,AD=0.5m,问如何画切割线 EF 可使剩余部分五边形 ABCEF 的面积最大?

[解析] 由题知,边缘线 OM 是以点 D 为焦点,直线 AB 为准线的抛物线的一部分. 1 1 1 以 O 点为原点,AD 所在直线为 y 轴建立直角坐标系,则 D(0, ),M( , ). 4 2 4 1 2 所以边缘线 OM 所在抛物线的方程为 y=x (0≤x≤ ). 2

要使如图的五边形 ABCEF 面积最大,则必有 EF 所在直线与抛物线相切,设切点为 P(t,

t ).
则直线 EF 的方程为 y=2t(x-t)+t ,即 y=2tx-t , 1+4t 1 2 由此可求得点 E,F 的坐标分别为 E( , ),F(0,-t ). 8t 4 1 1+4t 1 2 所以 S△DEF=S(t)= · ·( +t ) 2 8t 4 = 1 16t +8t +1 1 · ,t∈(0, ]. 64 t 2
4 2 4 2 2 2 2 2

2

1 48t +8t -1 所以 S′(t)= · 64 t2
2



?

12t -1? ? 2 64t

3? 4t +1? =
2

4t +1? ?

2

t+
16t

3 3 ? ? t- ? 6 6
2



显然函数 S(t)在(0,

3 3 1 3 ]上是减函数,在( , ]上是增函数.所以当 t= 时,S△DEF 6 6 2 6

取得最小值,相应地,五边形 ABCEF 的面积最大. 此时点 E、F 的坐标分别为 E( 3 1 1 , ),F(0,- ). 3 4 12

此时沿直线 EF 划线可使五边形 ABCEF 的面积最大.

1.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f ′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)(

)

A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、两个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 [答案] C [解析] 设 f ′(x)与 x 轴的 4 个交点,从左至右依次为 x1、x2、x3、x4, 当 x<x1 时,f ′(x)>0,f(x)为增函数, 当 x1<x<x2 时,f ′(x)<0,f(x)为减函数, 则 x=x1 为极大值点, 同理,x=x3 为极大值点,x=x2,x=x4 为极小值点. 2.函数 f(x)=e cosx 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为( A.- C. 2 2 5 5 B. 5 5
x

)

D.1

[答案] C [解析] f ′(x)=e cosx-e sinx,∴f ′(0)=1.
x x

设 f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为 α ,则 tanα =1, π 2 ∵α ∈(0,π ),∴α = ,∴cosα = . 4 2 sinθ 3 3cosθ 2 ? 5π ? 3.设函数 f(x)= x+ x +tanθ ,其中 θ ∈?0, ?,则导数 f ′(1) 12 ? 3 2 ? 的取值范围为( A.[-2,2] C.[ 3,2] [答案] D [解析] ∵f ′(x)=sinθ ·x + 3cosθ ·x, π? ? ∴f ′(1)=sinθ + 3cosθ =2sin?θ + ?. 3? ? π ?π 3π ? ? 5π ? ∵θ ∈?0, ?,∴θ + ∈? , ?. 12 ? 4 ? 3 ?3 ? π? ? 2 ? ? ∴sin?θ + ?∈? ,1?,∴f ′(1)∈[ 2,2],故选 D. 3? ? 2 ? ? 4.某工厂要围建一个面积为 128m 的矩形堆料场,一边可以用原有的墙壁,其他三边 要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料最省,堆料场的长、宽应分别为________. [答案] 16m 8m
2 2

) B.[ 2, 3] D.[ 2,2]

128 [解析] 设场地宽为 xm,则长为 m,

x

因此新墙总长度为 y=2x+

128 (x>0),

x

y′=2-

128 2 ,令 y′=0,∵x>0,∴x=8.

x

因为当 0<x<8 时,y′<0;当 x>8 时,y′>0, 所以当 x=8 时,y 取最小值,此时宽为 8m,长为 16m. 即当堆料场的长为 16m,宽为 8m 时,可使砌墙所用材料最省. 5.(2011·陕西文)设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f ′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系;

x

1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立.

a

1 1 [解析] ∵f(x)=lnx,∴f ′(x)= ,g(x)=lnx+ .

x

x

∴g′(x)=

x-1 ,令 g′(x)=0 得 x=1, x2

当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,∴(0,1)是 g(x)的单调减区间; 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.∴(1,+∞)是 g(x)的单调增区间, 因此当 x=1 时 g(x)取极小值,且 x=1 是唯一极值点,从而是最小值点. 所以 g(x)最小值为 g(1)=1. 1 (2)g( )=-lnx+x

x

1 1 令 h(x)=g(x)-g( )=2lnx-x+ ,

x

x

? x-1? 则 h′(x)=- 2

2

x



1 当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g( ),

x

当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时 h′(x)<0,h′(1)=0,所以 h(x)在(0,+∞)单调递减, 1 当 x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0,即 g(x)>g( ),

x

1 当 x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g ( ),

x

1 综上知,当 x∈(0,1)时,g(x)>g( );

x

1 当 x=1 时,g(x)=g( );

x

1 当 x∈ (1,+∞)时,g(x)<g( ).

x

(3)由(1)可知 g(x)最小值为 1, 1 1 所以 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立等价于 g(a)-1< ,即 lna<1,解得 0<a<e.

a

a

所以 a 的取值范围是(0,e). 6.学习曲线是 1936 年美国康乃尔大学 T.P.Wright 博士在飞机制造过程中,通过对大 量有关资料、案例的观察、分析、研究,首次发现并提出来的.已知某类学习任务的学习曲 3 线为:f(t)= -t·100%(其中 f(t)为该任务的程度,t 为学习时间),且这类学习任 4+a·2 务中的某项任务满足 f(2)=60%. (1)求 f(t)的表达式,计算 f(0)并说明 f(0)的含义; (2)已知 2 >xln2 对任意 x>0 恒成立,现定义
x

f? t? 为该类学习任务在 t 时刻的学习效 t

率指数,研究表明,当学习时间 t∈(1,2)时,学习效率最佳,当学习效率最佳时,求学习

效率指数相应的取值范围. 3 [解析] (1)∵f(t)= -t·100%(t 为学习时间),且 f(2)=60%, 4+a·2 则 3 -2·100%=60%,解得 a=4. 4+a·2 3 ·100%(t≥0), -t 1+2 ?

3 ∴f(t)= -t·100%= 4+a·2 4? ∴f(0)= 4?

3 ·100%=37.5%, -0 1+2 ?

f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为 37.5%.
(2)令学习效率指数 则 y=

f? t? =y, t
3 4?

f? t? 3 = = -t t 4t? 1+2 ? t

t t+ t?
2

(t>0),

现研究函数 g(t)=t+ t的单调性, 2 2 -t·2 ln2 2 -tln2+1 由于 g′(t)=1+ = (t>0), t 2 t ? 2? 2 又已知 2 >xln2 对任意 x>0 恒成立,即 2 -tln2>0,则 g′(t)>0 恒成立, ∴g(t)在(0,+∞)上为增函数,且 g(t)为正数. ∴y=
x t t t t

f? t? = t f? 1?
1

3

4?

t+ t?
2 1 f? 2? 3 = ,y|t=2= = , 2 2 10

t

(t>0)在(0,+∞)上为减函数,

而 y|t=1= 即 y=

f? t? 3 1 ∈( , ), t 10 2

3 1 故所求学习效率指数的取值范围是( , ). 10 2 7.(2012·延边州质检)已知函数 f(x)=x +ax-lnx,a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g(x)=f(x)-x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然对数的底数)时,函数
2 2

g(x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
2? 2 1 2x +x-1 [解析] (1)当 a=1 时,由 f ′(x)=2x+1- = =

x- ? ? x+1? x


1 2

x

x

∵函数 f(x)=x +x-lnx 的定义域为(0,+∞),

2

1 1 ∴当 x∈(0, ]时,f ′(x)≤0,当 x∈[ ,+∞)时,f ′(x)≥0, 2 2 1 1 2 所以函数 f(x)=x +x-lnx 的单调递减区间为(0, ]单调递增区间为[ ,+∞). 2 2 1 2x +ax-1 (2)f ′(x)=2x+a- = ≤0 在[1,2]上恒成立,
2

x

x

? ?h? 令 h(x)=2x +ax-1,有? ?h? ?
2

1? ≤0 2? ≤0

?a≤-1 ? 得? 7 ?a≤-2 ?

7 ,得 a≤- . 2

1 ax-1 (3)假设存在实数 a, g(x)=ax-lnx(x∈( 0, ])有最小值 3, ′(x)=a- = 使 e g .

x

x

4 ①当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a= (舍去),∴

e

g(x)无最小值.
1 1 1 ②当 0< <e 时,g(x)在(0, )上单调递减,在( ,e]上单调递增,

a

a

a

1 2 ∴g(x)min=g( )=1+lna=3,a=e ,满足条件.

a

1 4 ③当 ≥e 时, (x)在(0, ]上单调递减, (x)min=g(e)=ae-1=3, = (舍去), f(x) g e g a ∴

a

e

无最小值. 综上,存在实数 a=e ,使得当 x∈(0,e]时,f(x)有最小值 3. 8.(2012·山东苍山县模拟)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本 20 元,并 且每公斤蘑菇的加工费为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为
2

x 元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量 q 与 ex 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元
时,销售量为 100kg.(每日利润=日销售量×(每公斤出厂价-成本价-加工费)). (1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (2)若 t=5, 当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时, 该工厂的利润 y 最大, 并求最大值. [解析] (1)设日销售量 q= x,则 100e ∴日销售量 q= x ,
30

k e

k 30 =100,∴k=100e , e30

e

100e ? x-20-t? ∴y= (25≤x≤40). x

30

e

100e ? x-25? (2)当 t=5 时,y= , x

30

e

y′=

100e ? 26-x?

30

ex

.

由 y′≥0 得 x≤26,由 y′≤0 得 x≥26, ∴y 在[26,25]上单调递增,在[26,40]上单调递减, ∴当 x=26 时,ymax=100e . 当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大值为 100e 元.
4 4


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