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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2知能优化训练 新人教A版必修6


1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选 C.由等差数列性质得 a2+a8=2a5=12,所以 a5=6. 2.等差数列{an}的公差为 d,则数列{can}(c 为常数且 c≠0)( ) A.是公差为 d 的等差数列 B.是公差为 cd 的等差数列 C.不是等差数列 D.以上都不对 答案:B 3.在等差数列{an}中,a10=10,a20=20,则 a30=________. a20-a10 20-10 解析:法一:d= = =1,a30=a20+10d=20+10=30. 20-10 20-10 法二:由题意可知,a10、a20、a30 成等差数列,所以 a30=2a20-a10=2×20-10=30. 答案:30 4.已知三个数成等差数列,其和为 15,首、末两项的积为 9,求这三个数. 解:由题意,可设这三个数分别为 a-d,a,a+d, ?? a-d? +a+? a+d? =15, ? 则? ? ?? a-d? ? a+d? =9, 解得?
?a=5 ? ? ?d=4

或?

?a=5, ? ? ?d=-4.

所以,当 d=4 时,这三个数为 1,5,9; 当 d=-4 时,这三个数为 9,5,1. 一、选择题 1.下列命题中,为真命题的是( ) A.若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列 B.若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列 C.若存在自然数 n 使 2an+1=an+an+2,则{an}是等差数列 * D.若{an}是等差数列,则对任意 n∈N 都有 2an+1=an+an+2 答案:D 1 5 1 2.等差数列{an}中,前三项依次为 , , ,则 a101=( ) x+1 6x x 1 2 A.50 B.13 3 3 2 C.24 D.8 3 5 1 1 解析:选 D.∵ = + ,∴x=2. 3x x x+1 1 1 1 1 1 1 ∴首项 a1= = ,d= ( - )= . x+1 3 2 2 3 12 2 ∴a101=8 ,故选 D. 3 3.若数列{an}是等差数列,且 a1+a4=45,a2+a5=39,则 a3+a6=( A.24 B.27 C.30 D.33
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)

1

解析:选 D.经观察发现(a2+a5)-(a1+a4)=(a3+a6)-(a2+a5)=2d=39-45=-6,所 以 a3+a6=a2+a5-6=39-6=33. 1 4.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11 的值为( ) 3 A.14 B.15 C.16 D.17 解析:选 C.设等差数列{an}的公差为 d, 则由等差数列的性质得 5a8=120, 1 3a9-a11 2a9+? a9-a11? ∴a8=24,a9- a11= = 3 3 3 2? a9-d? 2a8 2×24 = = = =16. 3 3 3 5.设{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37 等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-37 解析:选 C.设{an},{bn}的公差分别是 d1,d2,∴(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+ (bn+1-bn)=d1+d2. ∴{an+bn}为等差数列.又∵a1+b1=a2+b2=100, ∴a37+b37=100. 6.首项为-24 的等差数列从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是( ) 8 A.d> B.d<3 3 8 8 C. ≤d<3 D. <d≤3 3 3 解析:选 D.设等差数列为{an},首项 a1=-24,则 a9≤0? a1+8d≤0? -24+8d≤0? d≤3, 8 a10>0? a1+9d>0? -24+9d>0? d> . 3 8 ∴ <d≤3. 3 二、填空题 7.已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则 a5=________. 解析:由于{an}为等差数列,故 a3+a8=a5+a6,故 a5=a3+a8-a6=22-7=15. 答案:15 8.在等差数列{an}中,若 a7=m,a14=n,则 a21=________. 解析:∵a7、a14、a21 成等差数列,∴a7+a21=2a14,a21=2a14-a7=2n-m. 答案:2n-m 9.已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则 a75=________. 解析:法一:因为{an}为等差数列, 所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列, 设其公差为 d,a15 为首项, 则 a60 为其第四项, 所以 a60=a15+3d,得 d=4. 所以 a75=a60+d? a75=24. 法二:因为 a15=a1+14d,a60=a1+59d,
? ?a1+14d=8 所以? ?a1+59d=20 ?

?a =64 ? 15 ,解得? 4 ?d=15 ?
1

.

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2

64 4 故 a75=a1+74d= +74× =24. 15 15 答案:24 三、解答题 10.已知正数 a,b,c 组成等差数列,且公差不为零,那么由它们的倒数所组成的数列 1 1 1 , , 能否成为等差数列?

a b c

2 1 1 解:由已知,得 a≠b 且 b≠c 且 c≠a,且 2b=a+c,a>0,b>0,c>0.因为 -( + )

b

a c

? a+c? 2ac- 2 2 2 a+c 2ac-2b = - = =

2

b

ac

abc

abc

? a-c? =- 2abc

2

2 1 1 <0,所以 ≠ + .

b a c

1 1 1 所以 , , 不能成为等差数列.

a b c

11.已知{an}是等差数列,且 a1+a2+a3=12,a8=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若从数列{an}中,依次取出第 2 项,第 4 项,第 6 项,…,第 2n 项,按原来顺序组 成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式. 解:(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4, ∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2, ∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n. (2)a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n. 当 n>1 时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4. ∴{bn}是以 4 为首项,4 为公差的等差数列. ∴bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n. 12.某单位用分期付款方式为职工购买 40 套住房,共需 1150 万元,购买当天先付 150 万元,以后每月这一天都交付 50 万元,并加付欠款利息,月利率为 1%.若交付 150 万元后 的第一个月算分期付款的第一个月,求分期付款的第 10 个月应付多少钱?最后一次应付多 少钱? 解:购买时先付 150 万元,还欠款 1000 万元.依题意知 20 次可付清.设每次交付的欠 款依次为 a1,a2,a3,…,a20,构成数列{an}, 则 a1=50+1000×0.01=60; a2=50+(1000-50)×0.01=59.5; a3=50+(1000-50×2)×0.01=59; … an=50+[1000-50(n-1)]×0.01 1 =60- (n-1)(1≤n≤20). 2 1 所以{an}是以 60 为首项,- 为公差的等差数列. 2 1 则 a10=60-9× =55.5, 2 1 a20=60-19× =50.5, 2 故第 10 个月应付 55.5 万元,最后一次应付 50.5 万元.

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