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2016高三文数二轮复习专题一第1讲集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)


【专题】一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型) 命题全解密 1.命题点:集合间的关系、集合的基本运算;四种命题之间的关系、命题的否定、充要条件. 2 交汇点:集合间的关系、集合的运算常与不等式、函数的定义域、值域交汇考查;充要条件常与不等 式、立体几何、函数、解析几何、三角函数、数列等知识交汇考查. 3.常用方法:Venn 图法,数轴法判断集合之间的关系;定义法或集合法判断充要条件.

[必记公式] 集合的运算性质 (1)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. (2)集合的运算:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(?UA)=A. [重要结论] 1.集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集是任何集合的子集,含有 n 个元素的集合的子集 数为 2n,真子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2. 2.四种命题的关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3.复合命题真假的判断方法 命题 p∧q,p∨q 及綈 p 真假可以用下表来判定: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真

口诀记忆 p∨q,一真则真;p∧q,一假则假;綈 p 与 p 真假相反. 4.充分条件与必要条件 (1)若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件; (2)充要条件与集合的关系:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应集合 B,则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价 于 A=B. 5.全(特)称命题及其否定 (1)全称命题 p:?x∈M,p(x).它的否定綈 p:?x0∈M,綈 p(x0). (2)特称命题 p:?x0∈M,p(x0).它的否定綈 p:?x∈M,綈 p(x). [易错提醒] 1.在 A?B 中,易忽略 A=?的情形. 2.命题的否定与否命题不同,否命题是对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否 定. 3.“A 的充分不必要条件是 B”与“A 是 B 的充分不必要条件”不同. 4.忽视集合元素“互异性”的验证. 5.集合的含义认识不清,如: {x|y=2x}表示定义域{x|x∈R}, {y|y=2x}表示值域{y|y>0}.

热点一

集合的概念及运算

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例1

(1)[2015· 陕西质检]设集合 A={x|y=lg (3-2x)},集合 B={x|y= 1-x},则 A∩B 3 3? ? ? ? ?3 ? A.?1,2? B.(-∞,1] C.?-∞,2? D.?2,+∞? ? ? ? ? ? ? 2 (2)[2015· 洛阳统测]已知集合 A={x|x -4x-12<0},B={x|x<2},则 A∪(?RB)=( ) A.{x|x<6} B.{x|-2<x<2} C.{x|x>-2} D.{x|2≤x<6}

例(2)中 B={x|y= x?8-x?}则?R(A∩B)=________. 触类旁通:解答集合运算问题的策略: 首先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性,代表的意义.然后根据集合中元素的性质化 简集合. (1)若给定集合涉及不等式的解集,要借助数轴.(2)若涉及抽象集合,要充分利用 Venn 图.(3)若给定集 合是点集,要注意借助函数图象.提醒:注意元素的互异性及空集的特殊性. 1.[2015· 唐山统测]函数 y= x?3-x?+ x-1的定义域为( ) A.[0,3] B.[1,3] C.[1,+∞) D.[3,+∞) 2.已知全集 U=R,集合 A=[2,5),?UB=(-∞,1)∪(2,+∞),则 A∩B=( A.(2,5) B.(1,2) C.{2} D.? 热点二 命题真假的判断与否定

)

例 2 (1)[2015· 贵阳监测]下列说法正确的是( ) x A.命题“?x∈R,e >0”的否定是“?x∈R,ex>0” B.命题“已知 x,y∈R,若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”的逆否命题是真命题 C.“x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x2+2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立” D.命题“若 a=-1,则函数 f(x)=ax2+2x-1 只有一个零点”的逆命题为真命题 (2)[2014· 重庆高考]已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0;q:x=1 是方程 x+2=0 的根.则下列命题为 真命题的是( ) A.p∧(綈 q) B.(綈 p)∧q C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∧q 触类旁通:命题真假的判定方法: (1)一般命题 p 的真假由涉及的相关知识辨别. (2)四种命题真假的判断依据: 一个命题和它的逆否命题同 真假,而与它的其他两个命题的真假无关.(3)形如 p∨q,p∧q,綈 p 命题的真假根据真值表判定.(4) 全称命题与特称(存在性)命题真假的判定: ①全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x)成立,要判 定其为假命题时,只需举出一个反例即可; ②特称(存在性)命题:要判定一个特称(存在性)命题为真命题,只要在限定集合 M 中至少能找到一个元 素 x0,使得 p(x0)成立即可,否则,这一特称(存在性)命题就是假命题. 1.[2015· 安徽高考]已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,则下列命题正确的是( A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 2.[2015· 课标全国卷Ⅰ]设命题 p:?n∈N,n2>2n,则綈 p 为( ) 2 n 2 n 2 n A.?n∈N,n >2 B.?n∈N,n ≤2 C.?n∈N,n ≤2 D.?n∈N,n2=2n 热点三 充要条件的判断 )

例 3 (1)[2015· 陕西高考]“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
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x2 y2 + =1 表示双曲线”的( ) 25-k k-9 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 触类旁通:判断充分、必要条件的方法及关注点“ 1.充分、必要条件的判断方法:先判断 p?q 与 q?p 是否成立,然后再确定 p 是 q 的什么条件. 2.判断充分、必要条件时的关注点 (1)要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B;而“A 是 B 的充 分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A. (2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,可以尝试通过举出恰当的 反例来说明. (3)要注意转化:若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件;若綈 p 是綈 q 的充要条 件,那么 p 是 q 的充要条件. (2)[2015· 唐山统考]“k<9”是“方程 1.[2015· 北京]设 α,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m?α.“m∥β”是“α∥β”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[2015· 四川高考]设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

课题 1
2

集合中的新定义问题

[2015· 湖北高考]已知集合 A={(x,y)|x +y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}, 定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A⊕B 中元素的个数为( ) A.77 B.49 C.45 D.30 :解决此类问题的模型示意图如下:

?C?A?-C?B?,C?A?≥C?B?, 1.定义 A*B=? (其中 C(A),C(B)表示非空集合 A,B 中的元素个数), ?C?B?-C?A?,C?A?<C?B? 若 A={1,2},B={x||x2+ax+1|=1,a∈R},且 A*B=1,由 a 的所有可能值构成的集合是 S,那么 C(S) =( ) A.4 B.3 C. 2 D.1 2.设 U 为全集,对集合 X,Y,定义运算“⊕”,满足 X⊕Y=(?UX)∪Y,则对于任意集合 X,Y,Z, 则 X⊕(Y⊕Z)=( ) A.(X∪Y)∪(?UZ) B.(X∩Y)∪(?UZ) C.[(?UX)∪(?UY)]∩Z D.(?UX)∪(?UY)∪Z

一、选择题
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1.[2015· 兰州双基过关]已知集合 U=R,A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩(?UB) A.{x|x>1} B.{x|x≥1} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2} 2.[2015· 郑州]已知集合 A={x|x>2},B={x|x<2m}且 A??RB,那么 m 的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ? ??1? ? 3.[2015· 辽宁]设集合 M={x|x2+3x+2<0},集合 N=?x??2?x≤4? ,则 M∪N=( ) ? ?? ? ? A.{x|x≥-2} B.{x|x>-1} C.{x|x<-1} D.{x|x≤-2} 4.已知全集 U=R,集合 A={x|0<x<9,x∈R}和 B={x|-4<x<4,x∈Z}关系的韦恩图如图所示,则阴 影部分所示集合中的元素共有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.无穷多个

5.命题“对任意 x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a≥4 B.a>4 C.a≥1 D.a>1 3 6.[2015· 唐山一模]命题 p:?x∈N,x <x2;命题 q:?a∈(0,1)∪(1,+∞),函数 f(x)=loga(x-1)的图 象过点(2,0).则( ) A.p 假 q 真 B.p 真 q 假 C.p 假 q 假 D.p 真 q 真 7.[2015· 大连双基测试]命题“对任意 x∈R,都有 x2≥ln 2”的否定为( ) 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x <ln 2 B.不存在 x∈R,都有 x <ln 2 2 C.存在 x∈R,使得 x ≥ln 2 D.存在 x∈R,使得 x2<ln 2 8.[2015· 贵州七校联考]以下四个命题中,真命题的个数是( ) ①“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆命题. ②存在正实数 a,b,使得 lg (a+b)=lg a+lg b. ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”. ④在△ABC 中,A<B 是 sinA<sinB 的充分不必要条件. A.0 B.1 C. 2 D.3 二、填空题 9. 已知条件 p: -3≤x<1, 条件 q: x2+x<a2-a, 且 p 为 q 的必要而不充分条件, 则 a 的取值范围是________. 10.[2015· 贵阳监测]已知全集 U={a1,a2,a3,a4},集合 A 是集合 U 的恰有两个元素的子集,且满足 下列三个条件: ①若 a1∈A, 则 a2∈A; ②若 a3?A, 则 a2?A; ③若 a3∈A, 则 a4?A.则集合 A=________.(用 列举法表示) π? ? 11.[2015· 山东高考]若“?x∈?0,4?,tanx≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为________. ? ? 12.给出下列命题: → =DC → 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ①若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB ②向量 a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b;③在△ABC 中,sinA>sinB 的充要条件为 A>B; ④在△ABC 中,设命题 p:△ABC 是等边三角形,命题 q:a∶b∶c=sinB∶sinC∶sinA,那么命题 p 是 命题 q 的充分不必要条件. 其中正确的命题为________.(把你认为正确的命题序号都填上)

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