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高二数学必修5等差数列的复习课 新课标 人教版


要 点 复 习

1.定义:an-an-1=d(d为常数) (n≥2) 2.等差数列的通项公式:

an=a1+(n-1)d 3.等差数列的通项变形公式:
an=am+(n-m)· d

4.数列{an}为等差数列,则通项公 式an=pn+q (p、q是常数),反之亦然



5、 如果在两个数a与b中间插入一个数A, 使得a、、A、 构成等差数列, 那么A叫做 a与b的等差中项.





6、 如果a、、A、 成等差数列, 那么 a?b A? 2



? 7.性质: 在等差数列a n ? 中,

d

为公差,

若 m, n, p, q ? N 且 m ? n ? p ? q 那么: am ? an ? a p ? aq

8.推论: 在等差数列中,与首末两项距离相
等的两项和等于首末两项的和,即

a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ? 2 ? ??

9. 数列?an ? 前n项和:

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an
10.性质:若数列 ?an ?前n项和为 s n,则
? S n ? S n ?1 an ? ? ? S1

(n ? 2) (n ? 1)

11.等差数列的前 n 项和公式:

n(a1 ? a n ) Sn ? 或 2

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

两个公式都表明要求 S n 必须已知 注意: n, a , d , a 1 n 中三个
12.性质: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m,? 也成等差数列.

n(n ? 1)d 结论:等差数列的前n项和S n ? na1 ? 的图 2 象是相应抛物线上一群孤立的点,它的最值由抛 物线的开口决定。

联系:

an = a1+(n-1)d的图象是相 应直线 上 一群孤立的点.它的最值又是怎样?

例1.己知数列 {an} 的前n项和Sn=-n2-2n+1, 试判断数列{an}是不是等差数列? 思路: Sn → an →an-an-1= 常数? 答案:是
例2.在等差数列{an}中,a3=-13,a9=11,求其前 n项和Sn的最小值. 解法一、 (利用函数方法求解) 解法二、 (利用等差数列的特点和性质求解) (答案: Sn=2n2-23n, 当n=6时,Sn取得最小值-56.)

例3. 已知等差数列{an}的前 m项和为30, 前 2m项和为100,求它的前 3m项的和。

解: 在等差数列{an}中,有:
Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列.

所以,由2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)得:
S3m=210

练习: (一题多解) 已知直角三角形三边 长成等差数列,试求其三边之比.
(方法1) 解: 设直角三角形三边长分别为: a,a+d,a+2d(a>0,d>0), 由勾股定理得:(a+2d)2=a2+(a+d)2, 即a2-2ad-3d2=0,亦即(a-3d)(a+d)=0, ∴a=3d(a=-d舍去), ∴直角三角形三边长分别为3d,4d,5d, ∴它们的比为3:4:5.

方法2. 设三边分别为:a-d,a,a+d(a>0,d>0),
由勾股定理得:(a-d)2+a2=(a+d)2, 即a2-4ad=0, ∴a=0(舍去)或a=4d. ∴三边为:3d,4d,5d. ∴a:b:c=3:4:5.

方法3:由题意可设三边为:a,b,c,且a<b<c,则

a2+b2=c2 --①, 2b=a+c --②.
由①、②消去a得:5b2-4bc=0,

∴b=0(舍去)或b=4c/5, 即b(5b-4c)=0,
∴a:b:c=3:4:5.

? 1 ? 数列? n(n ? 1) ? ? ?

的前n项和
+
1 2?3

1 Sn= 1? 2

+

1 3? 4

1 +4 ? 5

?+

1 , n ? (n ? 1)

研究一下,能否找到求Sn的一个公式.你能对这个 问题作一些推广吗?


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