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各有千秋 互补短长


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5 2  

数 学通报 

2 0 0 6年

第4 5 卷

第3 期 

各有千秋  互补 短长 
孙 东亮 
( 中北 大 学 附 中  太 原 0 3 0 0 5 1 )  

r />
在高三立体几何复 习课上 , 我 自拟 了这样 一道 
题 目:  

C   E上 平面 A B C , E为 C   在平面 A B C上 的射影 , 而 
C   B C=   , 所以 B E=  ̄ t C O S 0   同 理 ,在 平 面 

三解形 A B C中 ,   曰为 直角 , 绕 直角 边 A B将 
/ x A B C旋转 口 角后得 到 R t / x A B C   , 然后再绕 直角边  B C   旋转 口 角得 / X A   B C   , 求平面 A   B C   与平面 A B C  
所 成二 面角的大小 .  

A B A   内过A   作A   D上  A B, 垂足 为 D, A   D上  平面A B C   , 则A   在平  面A B C  上 的射 影 为 
D,  A B A  =   , 所 以 
, 4   D = as i n 0.  

同学 们读完题 目后 , 都感 到求 二 面角 的大小很  熟悉 , 但平 面两次 旋转 这个 条件 是 新面 孔 , 一 时觉 
得无从下手 .  

1   传统方法不是不能 

过A   作A   G上 平面 A B C , 垂足为 G , 连 G D, 则 
G D上 A B , 由A   D上 平面 A B C   及二 面角 C   一A B—   c的平 面角为 得 :  A   D G :- q -   一目 ,  
厶 

用传统方法解答 此题 , 首先要 作二 面角 的平 面  角, 但此题 的二 面角 没给 出棱 , 故 先考 虑用 面 积射 
影公式来解答 . 为计算方便 , 取等腰三 角形 A B C.  
解1  设 B A=B C= a . 则A C =√ 2 a .  
因为 B C上 A B, B C   上 A B,  

所以A   G = 口s i n 0? s i n (   一目 )  
二 

= a   s i n 0 ?c o s 0.  

故A B上 平面 B C C   , 所 以平 面 B C C   上 平面 A B C ,  
在平面 B C C   内过 C   作C   E上 B C , 垂足为 E, 则 

在平面 A   G E C  中, 过A   作A   F∥ G E,  
贝 U   A   F上 C   E, 所以 A   F= G E.  

成 四面体各个面 的三角形 中, 或者 只有一边 长为 1 ,  

或者 3 边 长全 为 1 .  
如果这些三角形 中, 有一个 边长 为 1 的正 三角 

形, 则将其作 为底 面 , 考虑 其侧 棱 长 , 共 四种情 况 :  
两边为 1 , 一 边为 2 ; 一边 为 1 , 两边 为 2 ; 三边全为 2 .   简单 的考察 不 难 知道 , 只 有最 后 一 种 情 况是 可 能 
的.  

裔1   2  
其体积分别 为 :   ,   ,   .  
点 评  数学需要解 题 , 但 题海战术绝对不是学 

习数学 的最佳策略 . 如何 能够跳 出题 海 , 事半 功倍 ,  
关键是 找到好 的切 入点 . 从 本 题来 说 , 一方 面 当然  要最快 找到一 个可 能 的结果 , 另一 方 面 , 对 于 这种 

如果这些三角形 中, 不存在边 长 为 1 的正 三角 

形, 则只可能有两种 情况 : 四面体 的 6 条 棱 中, 只有 


组相对 棱的长度 为 1 , 其余 棱长全 为 2 ; 只有一 条 
综上, 共3 种情况 . 如图:  

具有多重结 果的结 论开放性 试题 , 抓住 条件 中那些 
影响结果 的动态 因素 , 全 面考察 问题 的各 个方 面 ,  

棱长为 1 , 其余棱 长全为 2 .  

不仅可 以训练 自己的思 维 , 而且 可 以纵 观全 局 , 从 
整体上对知识 的全 貌有一个较好 的理解 .  

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2 0 0 6年

第4 5卷

第3 期 
=A   C  一C   F 2=  

数 学通报 

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R t AA   F C  中 , A  

令 z l= 1  
则 Y 1=t a n O ,   所 以 
n l =( 0 , t a n 0 , 1 ) .  

( √   0 )  一( Ⅱs i n 0一Ⅱs i n 0 c o s   )   ,  
R t AA   B G中, B G  = A ' B  一A   G  
=a  一 ( Ⅱs i n a 0 c o s 0 )  

A  G B E   O, c o  ̄ /G B E:  


:  
=   :  

同理 可 求 得 平 面 
A   B C   的法 向量为 :  
n 2 =( 一t a n 0 , 0 , 1 ) .  
由n l?n 2= 1 ,  
图2  

f  

: !  
2.  
= 

! (  
0.  

= [   = (  



 

、 / 1 一( s i n 0? c 0 s  

;  ̄c o s ( n l , n 2 )=  


删s i n   伽 V   l — 焉   s i n   0   ?   c o s U   J ‘  
所以 S △   =1 .B G-B E- s i n . /G B E  
= — 

 ̄ / 1 +   t an     ? 。 而  ̄ / 1 +   t a 1 , 1 2  
co

s 2  .  

所 以( n l , n 2 ); a r c c o s ( C O S   0 ) .  
3   空间向量显 “ 魔 力”  

√Ⅱ  一Ⅱ   s i n z 0? c o s   0?  
一  

此题建 立 空 间直 角坐 标 系后 , 可 谓轻 车 熟路 ,   得心应手 . 那么, 不建 立 空间 直角 坐标 系 就不 能解  答吗 ? 当然应该 能.   解 3 设平面 A B C 、 平面 A B C   、 平面A   B C   的法  向量分别 为 a、 b 、 C , 取平面 A B C   为变换 中心 . 在旋  转过程 中 , 由 b向a转变 , 相 当于 b在一与 B C平行  且与平面 A B C   垂直 的平 面 a内转过 0 角, 而  向 c   的转变过程 中, 相 当于 b在 一与 A B平 行且 与 平面  A B C   垂 直的平 面  内转过 0角 .   因为 A B上 B C, B C∥ a , a上 平 面 A B C   ,  

。  。   0. .=  = 

 ̄ / 1 一( s i n 0- c o s 0 )  


÷Ⅱ   c o s 2   .  

设 平面 A   B C   与平面 A B C所成二 面角 的大小 为 
a ,

那么 : S A   阳 r - c 0 s a= S A 伽,  

所 以 {。 z 。 。   。 :   1   a 2 C O S 2 0 ,  
所以 c o s a=c o s 2 0 ,   所 以 a =a r c c o s ( C O S 2 0 ) .  

如果不用面积射影 公式 , 一定要 用二 面角 的平 
面角 , 则需 要先作棱 , 再 作二 面角 的平面角 , 最后计 

叉A R/ /8   8   L平面 A B C   ,  
所 以平 面 a上 平面  . 如图3 , 设 l   a   l _n , 则 
I   a— c   I  = ( a s i n 0 )  + ( a s i n 0 )  : 2 ( Ⅱ? s i n a O )   ,  

算, 证明与计算 过程不 比上面方珐简单 .  
2   传统方法不是 最好 

利用 空间向量求解 二面 角的大小 , 其 优势在 于 

所 以 。 。 。 < 口 , c > :  


≥ 盟  
。 Ⅱ 。 Ⅱ 
. 

回避求作 二面角 的平 面角 , 将 大量 的证 明过程转 化  为计算 , 且计算 已程序化 、 格式化 、 好下手 、 易操作 .  
解2 将R t AA B C   的两直角边 B A , B C   分别作 

2 0 co¥

所以 C 0 8< a , c >=a r c c o s ( c o s 2 0 )   这 种 解 法 简 捷 明 

为  轴 、 Y轴建立空间直角坐标系 , 为计算方便取直 
角三角形 为等腰直 角三角形 , 且直角边 长为 1 . 如 图 

快, 尤 其是计算 量大 幅 
减少 , 充分显示 了 向量  作 为解题工作 的优势 .   有些题 目中, 二 面角 的  平 面角非常 容易找到 ,   图3  

2 . 可得点 A, B, C   , A   , C的坐标分别为 :  
A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( O , 0 , 0 ) , C   ( 0 , l , 0 ) , A   ( c o s 0 , 0 ,  
s i n 0 ) , c ( o , c o s 0 , 一s i n 0 ) .  

故一 故  B A   :( = 1   ,,) 0   0   , 一 B C   : 0   , c o s 0 O   , 一 s i n 0 ) ,   ) ,   =( ( ,   , 一   ) ,  
, ,

此时, 用传 统的方 法则 相 对简 单 , 若 建 立空 间直角 
坐标 系又显 得累赘 . 所 以, 两种方 法各 有千秋 , 究竟 



( c o s 0 , 0 , s i n O ) ,  
f   n1?B A =0  

:( 0 , 1 , 0 ) .  

设平面 A B C的法 向量为 : n l= (  1 , Y 1 ,   1 ) ,  

用 哪一种 , 又给我们提供 了一个 思考 、 选择 的空 间 .  
正因如此 , 数学 王 国才会 出现 “ 百花齐放、 争 奇 斗  艳” 的景观 , 才会引起我们极 大的好奇 和兴趣 , 才会  让我们 心驰 神往 、 乐此不疲 .  

则 i   n : . 一 B C : 0  
r  1= 0  

所 以 i Y   l ㈣   i  - 0   .


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