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立体几何中二面角的求法


专题五
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立体几何中二面角的求法

二面角的求法是立体几何中的重点, 也是立体几何的难点, 从近几年的高考试题 来看,几乎每年都涉及到二面角的求法。 二面角的常见求法:(1)定义法(2)垂线法(3)垂面法(4)延伸法(5)射 影法

一、定义法:

例 1:如图 1,设正

方形 ABCD-A1B1C1D!中,E 为 CC1 中点,求截面 A1BD 和 EBD 所成二面角的度数。
分析过程:这个题主要考察的是二面角的定义 第一步要找出这个二面角的的平面角 第二步是构造三角形 第三步是运用余弦定理或者勾股定律的逆定理求角度。

二、垂线法 例 2 如图 3,设三棱锥 V-ABC 中,VA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 VC,且分别交 AC、VC 于 D、E,又 VA=AB,VB=BC,求二面角 E-BD-C 的 度数。

三、垂面法: 例 3 如图 6,设正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、C1D1 的中点。 (1)求证:A1、E、C、F 四点共面; (2)求二面角 A1-EC-D 的大小。

四、延伸法 例 4. 如图 10,设正三棱柱 ABC-A'B'C'各棱长均为 α ,D 为 CC1 中点, 求平面 A'BD 与平面 ABC 所成二面角的度数。

五、射影法

例 5 如图 12,设正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AA1 上点,A1M:MA=3:1,求截面 B1D1M 与底
面 ABCD 所成二面角。

参考答案
例 1、 分析与解:本题可用定义法直接作出两截面 A1BD、EBD 所成二面角的平 面角,设 AC、BD 交于 O,连 EO,A1O,由 EB=ED,A1B=A1D 即知 EO⊥⊥BD, A1O⊥BD,故∠EOA1 为所求二面角的平面角。

例 2、 分析与解 本题应用垂线法作出二面角的平面角,因 △VBC 为等腰三角形, E 为 VC 中点, 故 BE⊥VC, 又因 DE⊥VC, 故 VC⊥平面 BED, 所以 BD⊥VC, 又 VA⊥平面 ABC, 故 VA⊥BD, 从而 BD⊥平面 VAC。

例3 分析与证明 (1)要证 A1、E、C、F 四点共面,可证:A、 F//EC, 取 DC 中点 H,连 AH、FH,则 AH EC,又 FH A1A。

故 A1F//AH,即 A1F//EC,从而 A、E、C、F 四点共面。 (2) 要求二面角 A1-EC-D 的大小, 先要作出二面角的平面 角,本题可用三垂线法,因 FH⊥底面 ABCD 于 H,过 H 作 HM⊥EC 于 M,连 FM,则由三垂线定理知 FM⊥EC。 所以∠HMF 为所求二面角 A1-EC-D 的平面角。

例4 分析与解 由图, 平面 A'BD 与平面 ABC 只出现一个交点, 故延长 A'D 交 AC 延长线于 F 点, 连 BF, 则 BF 为所求二面 角的棱。 因 CD=C'D,则 A'C'=CF=BC=AC,所以∠ABF=90°,取 BF 中点 E,连 DE,则 CE⊥BF,又 DC⊥平面 ABF,即 DE⊥BF, 从而∠DEC 为所求二面角的平面角。

说明 例5

本题也可用射影法求二面角的度数。

分析与解:本题应用“射影法”求截面 B1D1M 与底面 ABCD 所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。 因是正方体,所以 B1、D1、M 在底面射影分别为 B、D、A, 设棱长为 a.


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