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人教A版高中数学必修四1.4.2(1)


1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数和余弦函数的图象分别是什么? 二者有何相互联系? y 1 y=sinx
-6π -4π -5π -3π -1
?? ? 2

-2π


O

π 2π y

3π 4π

5π 6π

x

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

世界上有许多事物都呈现“周而复始” 的变化规律,如年有四季更替,月有阴 晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性, 在函数领域里,周期性是函数的一个重 要性质.
思考:正弦函数、余弦函数具不具有周期性? 怎么用数学语言表示这种周期性?

思考:由正弦函数的图象可知, 正弦曲线 每相隔2π个单位重复出现, 这一规律 的理论依据是什么?
sin( x ? 2k? ) ? sin x (k ? Z )

思考:设f(x)=sinx,则 sin(x ? 2k? ) ? sin x
可以怎样表示?其数学意义如何?

思考:为了突出函数的这个特性,我们把函 数f(x)=sinx称为周期函数,2kπ为这个函数 的周期.

对于函数f(x),如果存在一个非零常 数T,使得当x取定义域内的每一个值时, 都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周 期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.

思考:周期函数的周期是否惟一?正弦 函数的周期有哪些? 最小正周期:如果在周期函数f(x)的所 有周期中存在一个最小的正数, 则这个 最小正数叫做f(x)的最小正周期. 正、余弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z, k≠0)都是它的周期,最小 正周期是2π.

例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx; x∈R (2)y=sin2x,x∈R x ? (3) y ? 2 sin( ? ); x ? R 2 6


知识拓展 思考:函数 y ? A sin(? x ? ? ), x ? R的周 期为多少?其中 A, ?, ?为常数,且A ? 0,? ? 0
函数y ? A sin(? x ? ? )及函数y ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期为T ? 2?

?


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