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武汉市重点中学高一上学期期中联考试题


部分重点中学高一上学期数学期中联考试题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1 ? 0} ,则下列式子表示正确的有( ①1? A A.1 个 2.以下四个对应: (1) A ? N * ,B= N * ,f:x→|x-3|

; (3)A= N * ,B=R,f:x→x的平方根; ② {?1} ? A B.2 个 ③? ? A C.3 个 ④ {1,?1} ? A D.4 个



(2)A=Z,B=Q,f:x→ ;
x

2

(4)A=N,B={-1,1,2,-2},f:x→(-1)x.其中能构成从A到B的映射的有( A.1 B 2 C 3 D 4 ) D. a ( C、 y1 ? y2 ? y3

)个

x y 3.若 lg x ? lg y ? a, 则 lg( ) 3 ? lg( ) 3 ? ( 2 2 3 A. 3a B. a C. 3a ? 2 2

?1? 4.设 y1 ? 40.9 , y2 ? 80.48 , y3 ? ? ? ? 2?
A、 y3 ? y1 ? y2

?1.5

,则



B、 y2 ? y1 ? y3

D、 y1 ? y3 ? y2

5.已知全集 U ? A ? B ? {x ? N x ? 7}, A ? (CU B) ? {2,3,5,7}.则 元素 4 属于哪一个集合判断正 确的是 A. 4 ? A B. 4 ? B C. 4 ? B D.不能确定 ( )

1 1 , 要使通过玻璃的光线强度为原来的 以下, 10 3 至少需要重叠这样的玻璃块数是 (lg3=0.4771) ( ) 7. A.10 B.11 C.12 D. 13

6.光线通过一块玻璃, 其强度要失掉原来的

7.对于任意实数 x, 符号[x]表示 x 的整数部分, 即[x]是“不超过 x 的最大整数”, 在数轴 上, 当 x 是整数, [x]就是 x,当 x 不是整数, [x]是点 x 左侧的第一个整数点, 这个函数叫做 “取整函数”, 也叫高斯(Gauss)函数, 如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2,
1 1 1 则 [log2 ] ? [log2 ] ?[log 2 ] ? [log 2 1] ? [log 2 2] ? [log2 3] ? [log2 4] ? ? ? [log2 16] 的值为( 2 4 3 A. 28 B. 32 C. 33 D. 34

)

8.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= A.e
x+1

B.ex-1

C.e-x+1

D.e-x-1

( (

). )

9.函数 y=2x-x2 的图象大致是

10.已知定义在 [?2, 2] 上的函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) ,其图象如下图所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确命题的序号 A.①②③ B. ②③④
2

②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 ( ) C. ①②④ D. ①③④ ;

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分

11. 已知幂函数 f(x)= x ? m 12.不查表,化简: log 2

? 2 m ?3

(m ? Z)为偶函数且在区间 (0, +?) 为增函数, 则 m=
. ;

7 1 ? log 2 12 ? log 2 42 为 48 2

13..若函数 y= a 2 x ? 2a x ?1(a ? 0且a ? 1) 在区间 ?- 1,1? 上的最大值为 7,则 a= 14.设定义在区间 ? ?b, b ? 上的函数 f ? x ? ? lg


1 ? ax b 是奇函数 ? a, b ? R, 且a ? ?2? ,则 a 的取值范围 1? 2x



15.对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2(x1≠x2),有如下结论: ①f ; ( x ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) 1 2 1 2 ②f ; ( x ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) 1 2 1 2

③( ; x ? x ) ? [ f ( x ) ? f ( x )] ? 0 1 2 1 2

x? x f( x ) ? f( x ) 2 ④ f( 1 2) ? 1 2 2

? x 当 f (x 时,上述结论正确结论的序号是 ) ?2

.(写出全部正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.已知函数 f ( x ) ? (1)求 M;

ax 1? x (a ? 0, x ? [2,4]) 的值域为 N. ? lg 2 ? 2 x ? x 2 的定义域为 M, g( x ) ? x ?1 1? x

?

?

(2)若 M ? N ? ? ,求实数 a 的取值范围.

17.定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 m,n 都有 f(m+n)=f(m)+f(n) (1)证明 f(x)为奇函数;
2 (2)若 f(x)是 R 上的单调函数且 f (5) ? 5 ,求不等式 f [log 2 ( x ? x ? 2)] ? 2 的解集.

18. 设函数 f(x)=x2+bx-1 (b ? R) (1)当 b=1 时证明:f(x)在区间( (2)若当 x ? ?1,2? 时,不等式 f(x) ? 1 有解.求实数 b 的取值范围.

1 ,1)内存在唯一零点; 2

19.“交通堵塞”是民众出行的一个头疼问题.十一黄金周期间,武汉市交通相当拥挤,尤 其是长江一桥及其附近.为此,武汉某高校研究发现:提高过江大桥的车辆通行能力可改变 整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度υ(单位:千米/小时)是车流密度

x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速
度为 0; 当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/小时. 研究表明: 当 20 ? x ? 200 时,车流速度υ是车流密度 x 的一次函数.(Ⅰ)当 0 ? x ? 200 ,求函数υ(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小 时)f (x)=x·υ(x)可以达到最大,并求出最大值.(最终运算结果精确到 1 辆/小时,按 照取整处理,例如[100.1]=[100.9]=100)

20. 已知函数 f ( x ) ? a ?

1 .(1)判断并证明函数 f ( x ) 的单调性; 2x ? 1

(2)是否存在实数 a 使函数 f ( x ) 为奇函数?若存在求出 a 的值,不存在请说明理由;
1 ? f ( x) ? 4 x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

(3)在(2)的条件下,若 1
2

21 . 对 于 在 ? a, b? 上 有 意 义 的 两 个 函 数 f ( x) 与 g ( x) , 如 果 对 任 意 的 x ?[ a, , b ], 均 有
| f ( x) ? g ( x) |? 1,则称 f ( x) 与 g ( x) 在 ? a, b? 上是接近的,否则称 f ( x) 与 g ( x) 在 ? a, b? 上是非接

近 的 . 现 在 有 两 个 函 数 f ( x) ? logt ( x ? 3t ) 与 g ( x) ? logt (
[t ? 2, t ? 3] .

1 )(t ? 0且t ? 1) , 现 给 定 区 间 x ?t

1 ,判断 f ( x) 与 g ( x) 是否在给定区间上接近; 2 (2)若 f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上都有意义,求 t 的取值范围; (3)讨论 f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是否是接近的.

(1)若 t ?

周练 11 参考答案
CAADB 11.1 BCDAD 1 12. ? 2 13.2 或 14. 1, 2 ? ? 3 3 - ≤a ? 0,0 ? a ? 4 4
1 2

?

15. ??④

16. M=[-1,1)

2)当 a ? 0 时, g ( x) 在区间 [2,4] 上单调递减.? g (4) ? g ( x) ? g (2)
4 4 即 a ? g ( x) ? 2a ,所以 N ? [ a,2a ] ????????????????8 分 3 3 3 又因为 M ? N ? ? ,可得 0 ? a ? ?????????????????9 分 4

当 a ? 0 时, g ( x) 在区间 [2,4] 上单调递增.? g (2) ? g ( x) ? g (4) 即 2a ? g ( x ) ?
4 4 a ,所以 N ? [2a, a ] 3 3

(2)由题意可得 f (5) ? 5 f (1) ? 5,? f (1) ? 1 , f (2) ? 2 f (1) ? 2 .??????6 分 因为 f ( x) 为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?1 ,可得 f (?1) ? f (1) 又 f ( x) 是 R 上的单调函数,

1 1 1 又 f ( ) ? ? , f (1) ? 1.即f ( ) ? f (1) ? 0 . 2 4 2 1 所以 f ( x) 在区间 ( ,1) 上存在唯一零点.???????????????????4 分 2

(2)方法一:由题意可知 x 2 ? bx ? 2 ? 0 在区间 [1,2] 上有解. 令 g ( x) ? x 2 ? bx ? 2 ,即等价于 g ( x) 在区间 [1,2] 上的最小值小于 0.

方法二:由题意可知 x 2 ? bx ? 1 ? 1 在区间 [1,2] 上有解. 即b ?

2 ? x2 2 ? ? x 在区间 [1,2] 上有解.??????????????????7 分 x x

当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;??7 分
1 200 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? ? x 2 ? x ,故当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ? 20, 200? 上取得最大 3 3 10000 值 .????????????????????????????10 分 3

?10000 ? 综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ? 20, 200? 上取得最大值 ? ? 3333 . ? 3 ? ?

即当车流密度为 100 辆/千米时车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.?12 分 20. (本题满分13分) 1 解:(1)函数 f ( x) ? a ? x 在定义域 R 上单调递增.对 ?x1 , x 2 ? R ,设 x1 ? x 2 2 ?1

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? a ?

1 1 1 1 2 x1 ? 2 x2 ?2分 ? ( a ? ) ? ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 ? x 2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ,2 x1 ? 2 x2 ? 0 .又 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 即不论 a 为何实数 f ( x) 总是为增函数.????????????4分
(2)假设存在实数 a 使得 f ( x) 为奇函数,则对任意的 x 都有 f (? x) ? ? f ( x) .

1 1 3 1 时 , f ( x) ? g ( x) ? log 1 [( x ? )( x ? )] ? log 1 [( x ? 1) 2 ? ] 2 2 2 4 2 2 5 7 1 令 h( x) ? log 1 [( x ? 1) 2 ? ] ,当 x ? [ , ] 时, h( x) ?[log 1 6, ?1] 2 2 2 2 4 即 | f ( x) ? g ( x) |? 1, f ( x) 与 g ( x) 是否在给定区间上是非接近的. ??????4 分 (2)由题意知, t ? 0 且 t ? 1 , t ? 2 ? 3t ? 0 , t ? 2 ? t ? 0 ?0 ? t ? 1 ??????8 分 2 2 (3) | f ( x) ? g ( x) |?| logt ( x ? 4tx ? 3t ) |

21.解:(1)当 t ?

假设 f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是接近的,则有 | logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) |? 1

??1 ? logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) ? 1
2 2

????(*)

令 G(x)= logt ( x ? 4tx ? 3t ) ,当? 0 ? t ? 1 时, [t ? 2, t ? 3] 在 x ? 2t 的右侧, 即 G(x)= logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) ,在 [t ? 2, t ? 3] 上为减函数, ?G( x)max ? logt (4 ? 4t ) ,?G( x)min ? logt (9 ? 6t ) 所以由(*)式可得 ?0 ? t ? 1 9 ? 57 ? ,解得 0 ? t ? ?log t (4 ? 4t ) ? 1 12 ?log (9 ? 6t ) ? ?1 ? t 因此,当 0 ? t ? 当t ?
9 ? 57 时, f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是接近的; 12

9 ? 57 时, f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是非 接近的. 12

???14 分


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