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2016高考圆锥曲线最值


圆锥曲线最值问题
x2 y2 6 , 短轴一个端点到右焦点的距离为 3 。 1.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 3 a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求△AOB 面积的最大值。 2

x2 y2 3 2.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 E 的 a b 2
2 3 右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点.(1)求 E 的方程;(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 3 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

圆锥曲线最值问题答案
1.解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? ?
?c ?a ? a ? 3, ? 6 , ?b 3

? 1 ,? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1。 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) 。 (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 。 (2) 当 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 。 由已知

m 1? k 2

?

3 2 3 2 , 得 m ? (k ? 1) 。 4 2
3k ? 1

2 把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 , ? x1 ? x2 ? ?6km , x1 x2 ? 3(m ? 1) 。 2 2

3k ? 1

? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2

2

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2

? 3?

12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4。 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
1 3 ,即 k ? ? 时等号成立。当 k ? 0 时, AB ? 3 ,综上所述 AB max ? 2 。 2 k 3

2 当且仅当 9 k ?

1 3 3 。 ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2
2 2 3 c 3 2 2 2 2.解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3.又 = ,所以 a=2,b =a -c =1.故 E 的方程 c 3 a 2 为 +y =1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意,故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将 y=kx-2 代入 +y =1 4 8k±2 4k -3 2 2 2 2 3 2 得(1+4k )x -16kx+12=0, 当Δ =16(4k -3)>0, 即 k > 时, x1,2= , 从而|PQ|= k +1|x1 2 4 4k +1 - x2|=
2 2

x2

2

x2

2

4 k +1· 4k -3 2 1 . 又点 O 到直线 l 的距离 d = 2 . 所以△OPQ 的面积 S △ OPQ= d · |PQ|= 2 4k +1 2 k +1

2

2

4 4k -3 . 2 4k +1 设 4k -3=t,则 t>0,S△OPQ=
2

4t 4 4 7 = .因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立, t +4 4 t 2 t+
2

t

满足Δ >0,所以,当△OPQ 的面积最大时,k=±

7 7 7 ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2. 2 2 2


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