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高二数学1-2章节训练题(1)


高二数学 1-2 章节训练题(1)
[课时达标检测] 一、选择题 1.为了研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直 - - 线 l1 和 l2,已知两人计算过程中 x , y 分别相同,则下列说法正确的是( A.l1 与 l2 一定平行 B.l1 与 l2 重合 - - C.l1 与 l2 相交于点( x , y ) D.无法判断 l

1 和 l2 是否相交 - - 解析:选 C 回归直线一定过样本点的中心( x , y ),故 C 正确. 2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量 x,y 的回归模型时,分别选择了 4 种不同模 型,计算可得它们的相关指数 R2 分别如下表: 甲 R
2

)

乙 0.78

丙 0.50

丁 0.85

0.98

建立的回归模型拟合效果最好的同学是( A.甲 B.乙 C.丙

) D.丁

解析:选 A 相关指数 R2 越大,表示回归模型的效果越好. 3.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系.根据一组 ^ 样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71,则下列 结论中不正确的是( )

A.y 与 x 具有正的线性相关关系 - - B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 解析:选 D 回归方程中 x 的系数为 0.85>0,因此 y 与 x 具有正的线性相关关系,A 正确; - - 由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心( x , y ),B 正确; ^ ^ 依据回归方程中b 的含义可知,x 每变化 1 个单位,y 相应变化约 0.85 个单位,C 正确; 用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论,故 D 不正确. 4.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)

4 49

2 26

3 39

5 54

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y =b x+a 中的b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售 额为( ) B.65.5 万元 D.72.0 万元 ^ - ^- 样本点的中心是(3.5,42),则a = y -b x =42-9.4×3.5=9.1,所以回归

A.63.6 万元 C.67.7 万元 解析:选 B

^ ^ 直线方程是y =9.4x+9.1,把 x=6 代入得y =65.5. 5.(福建高考)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

^ ^ ^ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y =b x+a ,若某同学根据上表中的前两组 数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( ^ ^ A.b >b′,a >a′ ^ ^ C.b <b′,a >a′ ^ ^ B.b >b′,a <a′ ^ ^ D.b <b′,a <a′ )

解析:选 C 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为 y=2x-2,b′=2,a′=-2.
6 7 13 -- ?xiyi-6 x · 58-6×2× 6 y =1 ^ i 而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据, 可求得b = 6 = 7 - ?x2-6 x 2 91-6×?2?2 i i= 1 ? ?

5 ^ - ^- 13 5 7 1 ^ ^ = ,a = y -b x = - × =- ,所以b <b′,a >a′. 7 6 7 2 3 二、填空题 6.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?,xn 不全相等) 1 的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据 2 的样本相关系数为________. 解析:根据样本相关系数的定义可知,当所有样本点都在直线上时,相关系数为 1. 答案:1 7.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y(cm) 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177

则 y 对 x 的线性回归方程为________. ^ ^ ^ - - ^ 1 解析:设 y 对 x 的线性回归方程为y =b x+a ,由表中数据得 x =176, y =176,b = , 2 1 ^ ^ 1 a =176- ×176=88,所以 y 对 x 的线性回归方程为y = x+88. 2 2 ^ 1 答案:y = x+88 2 8.关于 x 与 y 有如下数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

^ 为了对 x,y 两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型:甲:y =6.5x+17.5,乙: ^ y =7x+17,则________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好. ^ ? ?yi-y i?2
i=1 5

解析:设甲模型的相关指数为 R2,则 R2=1- 1 1

=1- - ? ?yi- y ?2
5 i=1

155 =0.845;设乙模 1 000

180 2 型的相关指数为 R2,则 R2=1- =0.82.因为 0.845>0.82,即 R2>R2,所以甲模型拟合 2 1 2 1 000 效果更好. 答案:甲 三、解答题 9.假设某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料: x y 试求: (1)y 与 x 之间的回归方程; (2)当使用年限为 10 年时,估计维修费用是多少? 解:(1)根据表中数据作散点图,如图所示: 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

从散点图可以看出,样本点都集中分布在一条直线附近,因此 y 与 x 之间具有线性相

关关系.利用题中数据得: 1 x = (2+3+4+5+6)=4, 5 1 y = (2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5, 5
5 i 1 5

∑xiyi=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3, = ∑x2=22+32+42+52+62=90, i =
5

i 1

^ i 所以b =

∑xiyi-5 x =
1 i= 1

y
2

∑xi2-5 x

5

112.3-5×4×5 = =1.23, 90-5×42

^ ^ a = y -b x =5-1.23×4=0.08, ^ ∴线性回归方程为y =1.23x+0.08. ^ (2)当 x=10 时,y =1.23×10+0.08=12.38(万元),即当使用 10 年时,估计维修费用是 12.38 万元. 10.在一段时间内,某种商品的价格 x(元)和需求量 y(件)之间的一组数据为: 价格 x/元 需求量 y/件 14 56 16 50 18 43 20 41 22 37
5 5 i 1 i 1

求出 y 关于 x 的线性回归方程,并说明拟合效果的好坏.(参考数据:∑x2=1 660,∑ i = = xiyi=3 992)

解:从作出的散点图(图略)可看出,这些点在一条直线附近,可用线性回归模型来拟合 数据.由数据可得 x =18, y =45.4. ^ ^ ^ 由计算公式得b =-2.35,a = y -b x =87.7. ^ 故 y 关于 x 的线性回归方程为y =-2.35x+87.7. 列表: ^ yi-y i - yi- y
i 1

1.2 10.6

-0.1 4.6

-2.4 -2.4

0.3 -4.4

1 -8.4

5 5 ^ 所以∑ (yi-y i)2=8.3,∑ (yi- y )2=229.2. = = i 1 5 ^ ∑ ?yi-y i?2 =

相关指数 R2=1-

i 1

≈0.964. ∑ ?yi- y ?2 =

i 1 5

因为 0.964 很接近于 1,所以该模型的拟合效果好.

[课时达标检测] 一、选择题 1.判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中,最为精确的是( A.2×2 列联表 C.等高条形图 B.独立性检验 D.其他 )

解析:选 B A、C 只能直观地看出两个分类变量 x 与 y 是否相关,但看不出相关的程 度.独立性检验通过计算得出相关的可能性,较为准确. 2.假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其 2×2 列联表 为: Y X x1 x2 总 计 y1 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

对同一样本,以下数据能说明 X 与 Y 有关的可能性最大的一组为( A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=3,b=2,c=4,d=5

)

解析:选 D 对于同一样本,|ad-bc|越小,说明 x 与 y 相关性越弱,而|ad-bc|越大, 说明 x 与 y 相关性越强,通过计算知,对于 A,B,C 都有|ad-bc|=|10-12|=2.对于选项 D,有|ad-bc|=|15-8|=7,显然 7>2. 3.对于分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k,下列说法正确的是( A.k 越大,“X 与 Y 有关系”的可信程度越小 B.k 越小,“X 与 Y 有关系”的可信程度越小 C.k 越接近于 0,“X 与 Y 没有关系”的可信程度越小 D.k 越大,“X 与 Y 没有关系”的可信程度越大 解析:选 B k 越大,“X 与 Y 没有关系”的可信程度越小,则“X 与 Y 有关系”的可 信程度越大.即 k 越小,“X 与 Y 有关系”的可信程度越小.故选 B. 4.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时,若在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为事件 A 和 B 有关系,则具体计算出的数据应该是( A.k≥6.635 B.k<6.635 ) )

C.k≥7.879

D.k<7.879

解析:选 C 犯错误的概率为 0.5%,对应的 k0 的值为 7.879,由独立性检验的思想可 知应为 k≥7.879. 5.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

由 K2= 附表:

n?ad-bc?2 110×?40×30-20×20?2 算得,观测值 k= ≈7.8. ?a+b??c+d??a+c??b+d? 60×50×60×50

P(K2≥k0) k0 参照附表,得到的正确结论是(

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

)

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 解析:选 A 由 k≈7.8 及 P(K2≥6.635)=0.010 可知,在犯错误的概率不超过 1%的前 提下认为“爱好该项运动与性别有关”,也就是有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与 性别有关”. 二、填空题 6.下列关于 K2 的说法中,正确的有________. ①K2 的值越大,两个分类变量的相关性越大; n?ad-bc? ②K2 的计算公式是 K2= ; ?a+b??c+d??a+c??b+d? ③若求出 K2=4>3.841,则有 95%的把握认为两个分类变量有关系,即有 5%的可能 性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误; ④独立性检验就是选取一个假设 H0 条件下的小概率事件,若在一次试验中该事件发生 了,这是与实际推断相抵触的“不合理”现象,则作出拒绝 H0 的推断. 解析:对于①,K2 的值越大,只能说明我们有更大的把握认为二者有关系,却不能判 断相关性大小,故①错;对于②,(ad-bc)应为(ad-bc)2,故②错;③④对. 答案:③④

7.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名 电视观众,相关的数据如下表所示: 文艺节目 20 至 40 岁 大于 40 岁 总计 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100

由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关:________(填“是”或 “否”). 解析:因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目,而大于 40 岁的 42 名观众中有 27 名观众收看新闻节目,即 b d 18 27 = , = ,两者相差较大,所以经直观 a+b 58 c+d 42

分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的. 答案:是 8.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系,随机抽取了部分工人,得到如下列 联表: 文化程度与月收入列联表 月收入 2 000 元 以下 高中文化以上 高中文化及以 下 总计 20 30 30 75 50 105 10 (单位:人) 月收入 2 000 元及 以上 45 55 总计

由上表中数据计算得 K2 的观测值 k= ________把握认为文化程度与月收入有关系.

105×?10×30-45×20?2 ≈6.109,请估计有 55×50×30×75

解析:由于 6.109>5.024,所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,即有 97.5%的 把握认为文化程度与月收入有关系. 答案:97.5% 三、解答题 9.巴西医生马廷恩收集犯有各种贪污、受贿罪的官员与廉洁官员寿命的调查资料:500 名贪官中有 348 人的寿命小于平均寿命,152 人的寿命大于或等于平均寿命;590 名廉洁官 员中有 93 人的寿命小于平均寿命,497 人的寿命大于或等于平均寿命.这里,平均寿命是

指“当地人均寿命”.能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为官员在经济上是否清 廉与他们寿命的长短之间有关系? 解:据题意列 2×2 列联表如下: 短寿(B) 贪官(A) 廉洁官( A ) 总计 348 93 441 长寿( B ) 152 497 649 总计 500 590 1 090

假设官员是否清廉与他们寿命的长短无关. 由公式得 K2 的观测值 k= 1 090×?348×497-152×93?2 500×590×441×649

≈325.635. 因为 325.635>6.635,因此,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为官员在经济上 是否清廉与他们寿命的长短之间是有关系的. 10.某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行 1 700 次观测,列联表如 下: 有震 水位有变化 水位无变化 总计 98 82 180 无震 902 618 1 520 总计 1 000 700 1 700

利用图形判断地下水位的变化与地震的发生是否有关系,并用独立性检验分析是否有 充分的证据显示二者有关系. 解:相应的等高条形图如图所示.

图中两个阴影条的高分别表示水位有变化和水位无变化的样本中有震的频率.由图可 看出,水位有变化样本中有震的频率与水位无变化样本中有震的频率相差不大,因此不能 判断地震与水位变化有关系. 根据列联表中的数据,得 K2 的观测值为

k=

1 700×?98×618-902×82?2 ≈1.594<2.072, 1 000×700×180×1 520

所以题中数据没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生有关系,但也不能认 为二者无关系. 阶段质量检测 统计案例 (时间 90 分钟 满分 120 分)

综合迁移—反馈所学—评估知能—查漏补缺 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.对于自变量 x 和因变量 y,当 x 取值一定时,y 的取值带有一定的随机性,x,y 之 间的这种非确定性关系叫( A.函数关系 C.相关关系 ) B.线性关系 D.回归关系

解析:选 C 由相关关系的概念可知,C 正确. 2.在一线性回归模型中,计算其相关指数 R2=0.96,下面哪种说法不够妥当( A.该线性回归方程的拟合效果较好 B.解释变量对于预报变量变化的贡献率约为 96% C.随机误差对预报变量的影响约占 4% D.有 96%的样本点在回归直线上 解析:选 D 由相关指数 R2 表示的意义可知 A、B、C 三种说法都很妥当,相关指数 R2=0.96,其值较大,说明残差平方和较小,绝大部分样本点分布在回归直线附近,不一定 有 96%的样本点在回归直线上,故选 D. 3.下表显示出样本中变量 y 随变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能是( x y 4 14 5 18 6 19 7 20 8 23 9 25 10 28 ) )

A.线性函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 解析:选 A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近,故 最可能是线性函数模型. 4.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

^ 由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是y =

^ ^ -0.7x+a ,则a =( A.10.5 C.5.2

) B.5.15 D.5.25

^ 解析:选 D 样本点的中心为(2.5,3.5),将其代入线性回归方程可解得a =5.25. 5.下面的等高条形图可以说明的问题是( )

A.“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B.“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C.此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D. “心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不 同的,但是没有 100%的把握 解析:选 D 由等高条形图可知选项 D 正确. 6.根据一位母亲记录儿子 3~9 岁的身高数据,建立儿子身高(单位:cm)对年龄(单位: ^ 岁)的线性回归方程为y =7.19x+73.93, 若用此方程预测儿子 10 岁时的身高, 有关叙述正确 的是( )

A.身高一定为 145.83 cm B.身高大于 145.83 cm C.身高小于 145.83 cm D.身高在 145.83 cm 左右 解析: D 用线性回归方程预测的不是精确值, 选 而是估计值. x=10 时, 当 y=145.83, 只能说身高在 145.83 cm 左右. 7.在 2×2 列联表中,下列哪两个比值相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越 大( ) a c A. 与 a+b c+d a c C. 与 a+d b+c a c B. 与 c+d a+b a c D. 与 b+d a+c

a c 解析: A 当 ad 与 bc 相差越大, 选 两个分类变量有关系的可能性越大, 此时 与 a+b c+d 相差越大.

8.如图,5 个(x,y)数据,去掉 D(3,10)后,下列说法错误的是(

)

A.相关系数 r 变大 B.残差平方和变大 C.相关指数 R2 变大 D.解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强 解析:选 B 由散点图知,去掉 D 后,x 与 y 的相关性变强,且为正相关,所以 r 变大, R 变大,残差平方和变小. 9.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机抽取了 60 名高 中生,通过问卷调查,得到以下数据: 作文成绩优秀 课外阅读量较大 课外阅读量一般 总计 22 8 30 作文成绩一般 10 20 30 总计 32 28 60
2

由以上数据, 计算得到 K2 的观测值 k≈9.643, 根据临界值表, 以下说法正确的是( A.没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B.有 0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C.有 99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D.有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

)

解析:选 D 根据临界值表,9.643>7.879,在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下, 认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关,即有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩 优秀有关. 10.两个分类变量 X 和 Y,值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数分别是 a=10, b=21,c+d=35.若 X 与 Y 有关系的可信程度不小于 97.5%,则 c 等于( A.3 B.4 C.5 D.6 )

解析:选 A 列 2×2 列联表如下: x1 y1 y2 总计 10 c 10+c x2 21 d 21+d 总计 31 35 66

66×[10?35-c?-21c]2 故 K2 的观测值 k= ≥5.024. 31×35×?10+c??56-c? 把选项 A,B,C,D 代入验证可知选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.给出下列关系: ①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系; ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系; ③苹果的产量与气候之间的关系; ④森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系; ⑤学生与他(她)的学号之间的关系. 其中有相关关系的是________. 解析:利用相关关系的概念判断.①是不确定关系.②曲线上的点与该点坐标是一种 对应关系,即每一个点对应一个坐标,是确定关系.⑤学生与其学号也是确定的对应关系. 答案:①③④ 12.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是 ________. ^ ^ ^ ^ 解析:设回归直线的方程为y =b x+a .回归直线的斜率的估计值是 1.23,即b =1.23,又 ^ ^ ^ 回归直线过样本点的中心(4,5), 所以 5=1.23×4+a , 解得a =0.08, 故回归直线的方程为y = 1.23x+0.08. ^ 答案:y =1.23x+0.08 13.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量 ^ ^ ^ ^ 与当天气温,并制作了对照表.由表中数据得线性回归方程y =b x+a ,其中b =-2.现预测 当气温为-4℃时,用电量的度数约为________. 用电量 y(度) 气温 x(℃) 24 18 34 13 38 10 64 -1

解析:由题意可知 1 x = (18+13+10-1)=10, 4 1 y = (24+34+38+64)=40, 4 ^ b =-2. ^ ^ 又回归直线y =-2x+a 过点(10,40),

^ 故a =60, ^ 所以当 x=-4 时,y =-2×(-4)+60=68. 答案:68 14.某部门通过随机调查 89 名工作人员的休闲方式是看电视还是运动,得到的数据如 下表: 看电视 女 男 总计 24 8 32 运动 31 26 57 总计 55 34 89

你认为性别与休闲方式有关系的把握为________. 解析:由列联表中的数据,得 K2 的观测值为 k= 89×?24×26-31×8?2 ≈3.689>2.706, 55×34×32×57

因此,在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与休闲方式有关系,即认为性别 与休闲方式有关系的把握为 90%. 答案:90% 三、 解答题(本大题共 4 小题, 50 分. 共 解答时应写出文字说明, 证明过程或运算步骤. ) 15.(本小题满分 12 分)有两个分类变量 x 与 y,其一组观测值如下面的 2×2 列联表所 示: y1 x1 x2 a 15-a y2 20-a 30+a

其中 a,15-a 均为大于 5 的整数,则 a 取何值时,在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下 认为 x 与 y 之间有关系? 解:查表可知,要使在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系,则 k≥2.706,而 65×[a?30+a?-?20-a??15-a?]2 k= 20×45×15×50 = = 65×?65a-300?2 20×45×15×50 13×?13a-60?2 . 60×90

由 k≥2.706 得 a≥7.19 或 a≤2.04.

又 a>5 且 15-a>5,a∈Z,即 a=8 或 9, 故 a 为 8 或 9 时,在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系. 16.(本小题满分 12 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间, 为此做了 4 次试验,得到数据如下: 零件的个数 x(个) 加工的时间 y(小时) 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

(1)在给定坐标系中画出表中数据的散点图; ^ ^ ^ (2)求 y 关于 x 的线性回归方程y =b x+a ; (3)试预测加工 10 个零件需要的时间. 解:(1)散点图如图所示:

- - (2)由题中表格数据得 x =3.5, y =3.5,
i 1 4 4 - - - ∑ (xi- x )(yi- y )=3.5,∑ (xi- x )2=5, = = i 1

^ ^ - ^- ^ 由公式计算得b =0.7,a = y -b x =1.05,所以所求线性回归方程为y =0.7x+1.05. ^ (3)当 x=10 时,y =0.7×10+1.05=8.05, 所以预测加工 10 个零件需要 8.05 小时. 17.(本小题满分 12 分)通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说 明,得到如下列联表: 男 看营养说明 不看营养说明 总计 50 10 60 女 30 20 50 总计 80 30 110

(1)从这 50 名女生中按是否看营养说明分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本,问样本中 看与不看营养说明的女生各有多少名? (2)从(1)中的 5 名女生中随机选取 2 名进行深度访谈,求选到看与不看营养说明的女生 各 1 名的概率;

(3)根据以上列联表,问能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“性别与在购 买食物时看营养说明有关系”? n?ad-bc?2 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d? 参考数据: P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

解:(1)根据分层抽样可得,样本中看营养说明的女生有 5 养说明的女生有 ×20=2 名. 50

5 ×30=3 名,样本中不看营 50

(2)记样本中看营养说明的 3 名女生为 a1,a2,a3,不看营养说明的 2 名女生为 b1,b2, 从这 5 名女生中随机选取 2 名,共有 10 个等可能的基本事件:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1), (a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2). 其中事件 A“选到看与不看营养说明的女生各 1 名”包含了 6 个基本事件:(a1,b1), (a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2). 所以所求的概率 P(A)= (3)根据题中的列联表得 K2= 110×?50×20-30×10?2 539 = ≈7.486. 72 80×30×60×50 6 3 = . 10 5

由 P(K2≥6.635)=0.010 可知, 在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营 养说明有关系”. 18. (本小题满分 14 分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中, 研究人员 获得了一组数据如下表: 年龄 x 脂肪 含量 y 9.5 17.8 23 27 39 21. 2 41 25. 9 45 27. 5 49 26. 3 50 28. 2 53 29. 6 54 30. 2 56 31. 4 57 30. 8 58 33.5 60 35. 2 61 34.6

(1)作出散点图,并判断 y 与 x 是否线性相关,若线性相关,求线性回归方程; (2)求相关指数 R2,并说明其含义; (3)给出 37 岁时人的脂肪含量的预测值. 解:(1)散点图如图所示.由散点图可知样本点呈条状分布,脂肪含量与年龄有比较好 的线性相关关系,因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系.

^ ^ ^ 设线性回归方程为y =b x+a , ^ ^ 则由计算器算得b ≈0.576,a ≈-0.448, ^ 所以线性回归方程为y =0.576x-0.448.
14 14 ^ ^ (2)残差平方和:∑ e 2=∑ (yi-y i)2≈37.20, i = = i 1 i 1 14 - 总偏差平方和:∑ (yi- y )2≈644.99, = i 1

R2=1-

37.20 ≈0.942, 644.99

表明年龄解释了 94.2%的脂肪含量变化. ^ (3)当 x=37 时,y =0.576×37-0.448≈20.9,故 37 岁时人的脂肪含量约为 20.9%.


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