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2012新课标人教A版数学同步导学课件:2-2.1.2《离散型随机变量的分布列》(选修2-3)


2.1.2 离散型随机变量的分布列

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概 念.认识分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 3.通过实例(如彩票抽奖),理解两点分布和超几何分布及 其导出过程,并能进行简单应用.

1.离散型随机变量及其分布列的概念.(重点) 2.离散型随机变量分布列的表示方法和性质.(重点) 3.两点分布与超几何分布.(难点)

在2008年北京奥运会上,姚明率领的中国男篮与美国、西 班牙、希腊、德国以及安哥拉分在“死亡之组”,最终他们以 与美国创造最小差距,四节比赛与西班牙战平,加时惜败,然 后战胜了安哥拉和德国的优异成绩成功出线,平了中国男子篮 球在奥运会上的最好成绩.据统计姚明的罚球命中率为81.4%, 若在一次比赛中,姚明得到5次罚球机会,那么姚明在这5次罚 球中能得多少分?

1.离散型随机变量的分布列 (1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…, xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=Pi, 以表格的形式表示如下: X P x1 P1 x2 P2 … … xi Pi … … xn Pn

此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称X的 分布 列 .

(2)离散型随机变量的表示法: 表格法 、 等式法 (3)性质 ① ②i=1. Pi≥0 ; 、 图象法 .

2.两点分布列 X P 0 1-P 1 P

像上面这样的分布列叫做两点分布列,如果随机变量X的分 布列为两点分布列,就称X服从两点分布,而称P= P(x=1) 为 成功概率.

3.超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件, 其中恰有 X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为 CMkCN-Mn-k CNn P(X=k)= ,k=0,1,2,…,m, 其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. 称分布列

X

0
-0

1 CM1CN-Mn CNn
-1



m
-m

CM0CN-Mn P CNn

CMmCN-Mn … CNn

为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列, 则称随机变量X服从超几何分布.

1.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是(

)

解析:

本题考查分布列的概念及性质,即ξ的取值应
n

互不相同且P(ξi)≥0,i=1,2,…,n, ∑P(ξi)=1.
i=1

A中ξ的取值出现了重复性; 1 B中P(ξ=0)=- <0, 4 1 2 3 6 C中 ∑P(ξi)= + + = >1. 5 5 5 5 i=1
3

答案: D

2.设离散型随机变量ξ的概率分布列为
ξ P 0 1 5 1 1 10 2 1 5 3 2 5

-1 1 10

则下列各式中成立的是( A.P(ξ=1.5)=0 C.P(ξ<3)=1

) B.P(ξ>-1)=1

D.P(ξ<0)=0

解析:

9 P(ξ>-1)=1-P(ξ=-1)= , 10

2 3 P(ξ<3)=1-P(ξ=3)=1- = , 5 5 1 P(ξ<0)=P(ξ=-1)= . 10

答案:

A

3.若离散型随机变量X的分布列为 X P 0 2a 1 3a

则a=________.
解析: 由离散型随机变量分布列的性质可知, 2a+3a=1, 1 解得 a= . 5

答案:

1 5

4.从某医院的3名医生,2名护士中随机选派2人参加抗震 救灾,设其中医生的人数为X,写出随机变量X的分布列.
解析: 依题意可知随机变量 X 服从超几何分布,所以 P(X C3kC22 k =k)= (k=0,1,2). C52


C30C22 1 P(X=0)= = =0.1, C52 10 C31C21 6 P(X=1)= = =0.6, C52 10

C32C20 3 P(X=2)= = =0.3 C52 10

(或P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-0.1-0.6=0.3). 故随机变量X的分布列为 X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3

? k? 设随机变量X的分布列P?X=5?=ak(k=1,2,3,4,5). ? ?

(1)求常数a的值;
? 3? (2)求P?X≥5?; ? ? ?1 7? (3)求P?10<X<10?. ? ?

由题目可获取以下主要信息: ①随机变量的分布列已知; ②求参数a的值及相应区间上的概率. 解答本题中的(1)可利用分布列的性质,对于(2)(3)两问可借 助互斥事件的概率求法求解.

[解题过程]

? k? (1)由P?X=5?=ak,k=1,2,3,4,5可知 ? ?

? k? 5 P?X=5?= ak=a+2a+3a+4a+5a=1, ? k =1 k =1 ?



5



1 解得a= . 15
? k? k (2)由(1)可知P?X=5?= (k=1,2,3,4,5), ? ? 15 ? ? ? 3? 3? 4? ∴P?X≥5?=P?X=5?+P?X=5?+P(X=1) ? ? ? ? ? ?

3 4 5 4 = + + = . 15 15 15 5

?1 ? ? ? 7? 1? 2? 3? (3)P?10<X<10?=P?X=5?+P?X=5?+P?X=5? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 3 2 =15+15+15=5.

[题后感悟] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个 问题. (1)X=xi的各个取值表示的事件是互斥的. (2)不仅要注意 ∑pi=1而且要注意pi≥0,i=1,2,…,n.
i=1 n

i 1.设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2,3,4),求: 10 (1)P(X=1 或 X=2);
?1 7? (2)P?2<X<2?. ? ?

解析: 分布列为

i 由P(X=i)= (i=1,2,3,4)可知,随机变量X的 10

X P

1 1 10

2 2 10

3 3 10

4 4 10

(1)P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2) 1 2 = + 10 10 3 = 10

?1 7? (2)P?2<X<2?=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) ? ?

1 2 3 = + + 10 10 10 3 = . 5

在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖 券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价 值10元的奖品;其余6张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布 列; (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张, ①求顾客乙中奖的概率; ②设顾客乙获得的奖品总价值Y元,求Y的分布列.

[解题过程]

(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情

况,故X的取值只有0和1两种情况. C41 4 2 P(X=1)= 1= = , C10 10 5 2 3 则P(X=0)=1-P(X=1)=1- = . 5 5 因此X的分布列为
X P 0 3 5 1 2 5

(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类:所抽取的2张奖券 中有1张中奖或2张都中奖. C41C61+C42C60 30 2 故所求概率P= = = . C102 45 3 ②X的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 C40C62 15 1 C31C61 18 2 P(Y=0)= = = ,P(Y=10)= = = , C102 45 3 C102 45 5 C32C60 3 1 C11C61 6 P(Y=20)= = = ,P(Y=50)= = = C102 45 15 C102 45 2 , 15

C11C31 3 1 P(Y=60)= = = . C102 45 15 因此随机变量Y的分布列为

Y P

0 1 3

10 2 5

20 1 15

50 2 15

60 1 15

[题后感悟] 求解超几何分布问题的注意事项 (1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽 到的次品数服从超几何分布. (2)在超几何分布公式中,P(X=k)= CMkCN-Mn-k CNn ,k=

0,1,2,…,m.其中,m=min{M,n}.这里的N是产品总数, M是产品中的次品数,n是抽样的样品数,且 0≤n≤N,0≤k≤n,0≤k≤M,0≤n-k≤N-M. (3)如果随机变量X服从超几何分布,只要代入公式即可求 得相应概率,关键是明确随机变量X的所有取值.

(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示.

2.袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.采取不放回抽样 方式,从中依次摸出两个球,记X为摸出的两球中白球的个数, 求X的分布列,并求至少有一个白球的概率.

解析: =2,n=2.

由题可知,X服从超几何分布,其中N=5,M

C20C32 3 C21C31 3 则有P(X=0)= = ,P(X=1)= = , C52 10 C52 5 C22C30 1 P(X=2)= = . C52 10 所以X的分布列为: X 0
P 3 10 1 3 5 2 1 10

所以至少有一个白球的概率为P(X≥1)=1-P(X=0) 3 7 =1- = . 10 10

3.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=
?0 ? ? ?1 ?

两球全红 .求X的分布列. 两球非全红

解析:

C62 3 显然X服从两点分布,P(X=0)= 2= . C11 11

3 8 ∴P(X=1)=1- = , 11 11 ∴X的分布列是
X P 0 3 11 1 8 11

袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3 个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的 可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求: (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量X的概率分布列; (3)计算介于20分到40分之间的概率.

解答本题(1)利用古典概型公式求解即可;解答本题(2)的关 键在于确定X的所有可能取值;解答本题(3)由题意知计算介于20 分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和,由(2)易得其 概率.

[规范解答]

(1)方法一:“一次取出的 3 个小球上的数

字互不相同”的事件记为 A, C53C21C21C21 2 则 P(A)= = . C103 3 4分

方法二:“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的 事件记为 A,“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的 A 事件记为 B,则事件 A 和事件 B 是对立事件, C51C22C81 1 因为 P(B)= = , C103 3 1 2 所以 P(A)=1-P(B)=1-3=3. 2分 3分 4分

(2)由题意,X 所有可能的取值为 2,3,4,5.5 分 C22C21+C21C22 1 P(X=2)= = ; C103 30 C42C21+C41C22 2 P(X=3)= = ; 15 C103 C62C21+C61C22 3 P(X=4)= = ; C103 10 C82C21+C81C22 8 P(X=5)= = . C103 15 所以随机变量 X 的概率分布列为 6分 7分 8分 9分

X P

2 1 30

3 2 15

4 3 10

5 8 15

10 分 (3)“一次取球得分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C,则 P(C)=P(X=3 或 X=4)=P(X=3)+P(X=4) 2 3 13 = + = . 15 10 30 12 分

[题后感悟] (1)求离散型随机变量分布列的步骤

(2)在求解过程中注重知识间的融合,如在本例中用到了排 列组合,古典概型及互斥事件、对立事件的概率等知识.

4.某地为了解在公务员招考中考生考试成绩情况,从甲、乙 两个考场各抽取10名考生成绩进行统计分析,考生成绩的茎叶 图如图所示,成绩不小于90分为合格.

从甲场10人中取一人,乙场10人中取两人,三人中合格人 数记为X,求X的分布列.

解析: 格,

甲场10人中有4人合格,乙场10人中有5人合

X取值为0,1,2,3. C61C52 2 P(X=0)= 1 2= C10 C10 15 C61C51C51+C41C52 19 P(X=1)= = C101C102 45 C61C52+C41C51C51 16 = P(X=2)= C101C102 45 C41C52 4 P(X=3)= 1 2= C10 C10 45

所以X的分布列为
X P 0 2 15 1 19 45 2 16 45 3 4 45

1.离散型随机变量的分布列有哪些表示方法?各有什么优 缺点? 优点 能直观地得到随机变量X 取各个不同值的概率 缺点 当随机变量X取值个 数n比较大时,不容 易列表

表格法

能精确表达X取各个不同 解析法P(X 值的概率值,便于应用数 =xi)=pi i= 学工具对这些概率值进行 1,2, …,n 分析 图象法(条 形图) 能直观地表达X取各个不 同值的概率的大小

不直观

不能精确表达概率值

2.离散型随机变量的分布列的性质有什么作用? (1)检查写出的分布列是否正确. (2)在求出分布列中的某些参数时,可利用其概率和为1这一 条件求出参数值. 3.如何理解两点分布? (1)适用范围: ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律. ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律.

(2)说明: ①两点分布又称0-1分布或伯努利分布. ②两点分布反映随机试验的结果只有两种可能且其概 率之和为1. 4.如何理解超几何分布中事件{X=k}的概率公式 CMkCN-Mn k P(X=k)= ? CNn


事件{X=k}表示从含有M件次品的N件产品中,任取n 件,其中恰有k件次品这一随机事件,因为它的基本事件是 从N件产品中任取n件,且任意一个基本事件是等可能 的.所以它有CNn个基本事件,而其中恰有k件次品,则必有 n k n-k件正品,因此,事件{X=k}中含有CMkCN-Mn k个基本事 {X k} C


CMkCN-Mn k 件,由古典概型的概率公式知P(X=k)= . CNn


◎一盒中有9个正品零件和3个次品零件,每次取出1个 零件.如果取出的是次品不再放回.求在取得正品前已取
? 5? 出的次品数X的分布列,并求P?X≤2?的值. ? ?

【错解】

X的所有可能取值为1,2,3.

分别求出对应的概率: C31C91 9 P(X=1)= A 2 =44, 12 A32C91 9 P(X=2)= A 3 =220, 12 A33C91 1 P(X=3)= A 4 =220. 12 因此随机变量X的分布列为

X P

1 9 44

2 9 220

3 1 220

? 5? 9 9 27 ?X≤ ?=P(X=1)+P(X=2)= + 故P 2? 44 220=110. ?

【错因】

X的可能取值不是1,2,3,试验结果的所有可能情

况不全,漏掉X=0,即第一次取正品,试验中止情况. 综合考虑,分类全面,做到不重不漏.
【正解】 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

X=0表示第一次取到正品. C91 3 则P(X=0)= 1= . C12 4 X=1表示第一次取到次品,第二次取到正品. C31C91 9 则P(X=1)= = . A122 44

A32C91 9 A33C91 1 同理可求得 P(X=2)= = ,P(X=3)= = . A123 220 A124 220 因此随机变量 X 的分布列为

X P

0 3 4

1 9 44

2 9 220

3 1 220

? 5? 3 9 9 故P ?X≤2? =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= + + = 4 44 220 ? ?

219 220.


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