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2012~2013学年珠海市高二数学下学期期末测试题文


珠海市 2012-2013 学年度第二学期期末学业质量检测 高二文科数学试题(B 卷)
考试用时:120 分钟 总分:150 分 考试内容:数学选修 1-2,数学选修 4-4,函数部分内容. 参考公式:
?

用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b =

? ( xi - x)( yi - y )
i =1

n

? x y - nx y
=
i =1 n i i

n

? (x
i =1

n

i

- x )2

?x
i =1

2 i

- nx

2

? = y -b x . , a

?

随机变量 K =
2

n(ad - bc) 2 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
0.50 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072

(其中 n = a + b + c + d )

临界值表

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024
来源:Z&xx&k.Com] [

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

0.455

一、选择题(本题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分). 1.函数 f ( x ) = ln( x - 1) 的定义域是 A. (1,+?) C. (0,+? ) 2.下列表述正确的是 ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特 殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④
2

B. [1,+?) D. [0,+?)
[来源:Zxxk.Com]

C.②④⑤

D.①③⑤

3.已知 i 是虚数单位,则 ( -2i ) = A. 2 B. - 2 C. 4 4.复数 - 2 + 5i 在复平面内对应的点位于 A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 5.已知 f ( x ) = í D. - 4 D.第三象限

ìlog 1 x, x > 0, ? 2 ? ?2 , x ? 0.
x

,则 f ( -2) 的值是

A. - 2 6.若直线的参数方程为 í

B. 2

C.

1 2

D.

1 4


ì x = 2 - 3t (t是参数) ,则直线的斜率为( ? y = 1+ t

A. -

1 3

B.

1 3

C. - 3

D. 3

7.(推理)三段论:“①只有船准时起航,才能准时到达目的港;②这艘船是准时到达目的港;③ 所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( ) B A.① B.② C.①② D.③ 8.(极坐标)以 直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长 度单位,点 M 的极坐标是 (4, A. ( 2, 3 )

2p ) ,则点 M 直角坐标是 3
C. ( 3 ,2)

B D. ( 3 ,-2)

B. ( -2, 3 )

9.( 奇函数)下列函数,奇函数是 C A. f ( x ) = ln x B. f ( x ) = e
x

C. f ( x ) = sin x + x

D. f ( x ) = cos x + x

2

10.(变换)正弦曲线 y = sin x 通过坐标变换公式 í A. Y = 2 sin

ì X = 3x ,变换得到的新曲线为 ?Y = 2 y
C. Y =

X 3

B. Y = 2 sin 3 X

1 sin 3 X 2

D. Y =

1 X sin 2 3

11 .(复数)复数计算: A.

3+i 4

1 = 3-i 3-i B. 4

C.

3-i 10

D.

3+i 10
D. ( n + 1) ×180°

12.(推理)三角形的内角和为 180?,凸四边形内角和为 360?,那么凸 n 边形的内角和为 A. n ×180° B. ( n - 1) ×180° C. ( n - 2) ×180°

二、填空题(本题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分). 13.在工商管理学中,MRP ( Material Requirement Planning )指的是物资需求计划,基本 MRP 的 体系结构如下图所示.从图中可以看出,主生产计划受______________________的影响.

14.右侧流程图输出的结果是_________.

15.将参数方程 í (标准方程)

ì x = 2 + cos q , (q是参数) 化为普通方程为 ? y = 1 - sin q ,



16.化极坐标方程 3r cos q + 4 r sin q = 2 为直角坐标方程为

.(请化为一般方程)

17.若 OA = 3 + 4i , OB = -1 - i , i 是虚数单位,则 AB = _________.(用复数代数形式表示) 18.(相关关系)下列结论:①函数关系是一种确定性关系;②相关关系是一种非确定性关系;③ 回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法;④回归分析是对具有相关关系的 两个变量进行统计分析的一种常用方法.其中正确的是 .(将所有正确的序号填上) 19.(类比)已知: 1 + 3 = 2 , 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 .
2 2

由以上两式,可以类比得到: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = _____.

20.已知 an +1 =

an , a1 = 1, n ? N * ,,则 an = an + 1



三、解答题(本题共有 5 个小题,每小题 10 分,共 50 分). 21.(本小题 10 分)(证明不等式)已知: m > 0, n > 0, 证法一(用分析法):Q m > 0,\ m + 1 > 0 , 要证

n n +1 n < 1, 证明: > . m m +1 m

(2 分)

n +1 n > ,(4 分) m +1 m
[来源:Zxxk.Com]

只须证: m( n + 1) > n( m + 1) ,(6 分) 即只须证: m > n ,(8 分)

Q m > 0,

n < 1 ,\ n < m 成立,即 m > n 成立, m n + 1 n m(n + 1) - n(m + 1) m-n - = = (4 分) m +1 m m(m + 1) m(m + 1)

∴原不等式成立。(10 分) 证法二(用综合法):∵

∵m > 0,

n <1,∴ n < m ,(6 分) m

∴ m - n > 0 , m + 1 > 0 (8 分)



m-n > 0, m(m + 1) n +1 n - > 0 ,原不等式成立。(10 分) m +1 m ì x = 2 + 2 cos q (q是参数) . ? y = -1 + 2 sin q



22. (本小题 10 分) (极坐标与参数方程)已知直线的参数方程: í (1)求圆的圆心坐标和半径; (2)设圆上的动点 P ( x, y ) ,求 z = x + y 的最大值. 解:(1)圆心的坐标为: ( 2,-1) ,半径为 2 (4 分)

(2)设 P ( 2 + 2 cos,-1 + 2 sin q ) , q ? [0,2p ) ,则

z = 2 + 2 cos q - 1 + 2 sin q = 1 + 2(cos q + sin q )

(6 分)

p = 1 + 2 2 sin(q + ) (8 分) 4 p 当 q = 时,的最大值为 1 + 2 2 4
23.(本小题 10 分) 为考察某种药物预防甲型 H1N1 流感的效果,进行动物试验,调查了 100 个样本,统计结果为:服用 药的共有 60 个样本,服用药但患病的仍有 20 个样本,没有服用药且未患病的有 20 个样本. (Ⅰ)根据所给样本数据完成下面 2×2 列联表; (Ⅱ)请问能有多大把握认为药物有效? 不得流感 服药 不服药 总计 得流感 总计

(参考数据: 24 = 576 )
2

解:(Ⅰ)填表 : 不得流感 服药 不服药 总计 40 20 60 得流感 20 20 40 ……………6 分 总计 60 40 100

(Ⅱ)假设检验问题

:服药与动物得流感没有关系:

K2 =
2

100(40 ? 20 - 20 ? 20) 2 n(ad - bc) 2 = ? 2.778 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 60 ? 40 ? 60 ? 40
………10 分

由 P ( K ? 2.706 ) = 0.10 ,所以大概 90%认为药物有效。

24.(本小题 10 分)(线性回归)给出施化肥量(kg)对水稻产量(kg)影响的试验数据: 施化肥量 x 水稻产量 y 15 330
[来源:学科网]

20 345

25 365

30 405

(1)试求出回归直线方程; (2)请估计当施化肥 量为 10 时,水稻产量为多少? ( 已 知 : 7.5 × 31.25+2.5 × 16.25+2.5 × 3.75+ 7.5 × 43.75=612.5,2 × 7.5 × 7.5+2 × 2.5 × 2.5=125)

解:(1)用 x 表示施化肥量,y 表示水稻产量,那么 4 个样本数据为:(15,330)、(20,345)、 (25,365)、(30,405),则 x = 22.5, y = 361.25 , (2 分)

.于是回归直线的斜率为 b =

?

? (x
i =1 n

n

i

- x)( y i - y )
i

-

-

? (x
i =1

- x)

-

=4.9,(4 分)
2

?x =251,(6 分)所以所求的回归直线方程为 y = 4.9 x + 251 。(7 分) ? = y -b a
(2)根据 公式 y = 4.9 x + 251 ,当 x = 10 时, y = 300 .(9 分) 所以,当施化肥量为 10kg 时,水稻产量估计为 300kg.( 10 分)

回归直线方程 25.(本小题 10 分)(综合题)已知函数 f ( x ) = x + ax, x ? R .
2

(1)若 f ( x + 1) = f ( - x ) ,求 a 的值; (2)当 a = 2 时,求 g ( x) = xf ( x ) 的单调区间.

解:(1) f ( x + 1) = ( x + 1) + a ( x + 1) = x + (2 + a ) x + 1 + a
2 2

(1 分)

f (- x) = x 2 - ax

(2分)

所以有: 1 + a = 0,2 + a = - a ,解得 a = -1 (3分) (2)当 a = 2 时, g ( x) = xf ( x) = x ( x + 2 x ) = x + 2 x
2 3 2

(5 分)

4 g ?( x) = 3x 2 + 4 x = x(3 x + 4) = 3x( x + ) 3 4 当 x < - 时, g ?( x) > 0 , 3 4 x ? (- ,0) 当 3 时, g ?( x) < 0
当 x > 0 时, g ?( x) > 0 , (9 分)

(7 分)

所以 g ( x) = xf ( x ) 的单调递增区间为 ( -?,- ) 和 (0,+? ) ,单调递减区间为 ( -

4 3

4 ,0) 。(10 分) 3

参考答案
1、A 2、D 3、D 4、A 5、D 6、A 7、B 8、B 9、C 10、A 11、D 12、C

13、用户订单和需求预测
15、 ( x - 2) + ( y - 1) = 1
2 2

14、127
16、 3 x + 4 y - 2 = 0

17、 - 4 - 5i 19、 7
2

18、①②④ 20、 1 n n n +1 n > . < 1, 证明: m m +1 m

21.(本小题 10 分)(证明不等式)已知: m > 0, n > 0, 证法一(用分析法):Q m > 0,\ m + 1 > 0 , 要证

(2 分)

n +1 n > ,(4 分) m +1 m

只须证: m( n + 1) > n( m + 1) ,(6 分) 即只须证: m > n ,(8 分)

Q m > 0,

n < 1 ,\ n < m 成立,即 m > n 成立, m n + 1 n m(n + 1) - n(m + 1) m-n - = = (4 分) m +1 m m(m + 1) m(m + 1)

∴原不等式成立。(10 分) 证法二(用综合法):∵

∵m > 0,

n <1,∴ n < m ,(6 分) m

∴ m - n > 0 , m + 1 > 0 (8 分) ∴

m-n > 0, m(m + 1) n +1 n - > 0 ,原不等式成立。(10 分) m +1 m ì x = 2 + 2 cos q (q是参数) . ? y = -1 + 2 sin q



22. (本小题 10 分) (极坐标与参数方程)已知直线的参数方程: í (1)求圆的圆心坐标和半径; (2)设圆上的动点 P ( x, y ) ,求 z = x + y 的最大值.

解:(1)圆心的坐标为: ( 2,-1) ,半径为 2

(4 分)

(3)设 P ( 2 + 2 cos,-1 + 2 sin q ) , q ? [0,2p ) ,则

z = 2 + 2 cos q - 1 + 2 sin q = 1 + 2(cos q + sin q )

(6 分)

p = 1 + 2 2 sin(q + ) (8 分) 4 p 当 q = 时,的最大值为 1 + 2 2 4
23.(本小题 10 分) 为考察某种药物预防甲型 H1N1 流感的效果,进行动物试验,调查了 100 个样本,统计结果为:服用 药的共有 60 个样本,服用药但患病的仍有 20 个样本,没有服用药且未患病的有 20 个样本. (Ⅰ)根据所给样本数据完成下面 2×2 列联表; (Ⅱ)请问能有多大把握认为药物有效? 不得流感 服药 不服药 总计 得流感 总计

(参考数据: 24 = 576 )
2

解:(Ⅰ)填表: 不得流感 服药 不服药 总计 40 20 60 得流感 20 20 40 ……………6 分 (Ⅱ)假设检验问题
2

总计 60 40 100

:服药与动物得流感 没有关系:

n(ad - bc) 2 100(40 ? 20 - 20 ? 20) 2 K = = ? 2.778 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 60 ? 40 ? 60 ? 40
由 P ( K ? 2.706 ) = 0.10 ,所以大概 90%认为药物有效。
2

………10 分

24.(本小题 10 分)(线性回归)给出施化肥量(kg)对水稻产量(kg)影响的试验数据:

施化肥量 x 水稻产量 y

15 330

20 345

25 365

30 405

(1)试求出回归直线方程; (2)请估计当施化肥量为 10 时,水稻产量为多少? ( 已 知 : 7.5 × 31.25+2.5 × 1 6.25+2.5 × 3.75+7.5 × 43.75=612.5,2 × 7.5 × 7.5+2 × 2.5 × 2.5=125)

解:(1)用 x 表示施化肥量,y 表示水稻产量,那么 4 个样本数据为:(15,330)、(20,345)、 (25,365)、(30,405),则 x = 22.5, y = 361.25 , (2 分)

.于是回归直线的斜率为 b =

?

? ( xi - x)( yi - y)
i =1

n

-

-

? (x
i =1

n

i

- x)

-

=4.9,(4 分)
2

?x =251,(6 分)所以所求的回归直线方程为 y = 4.9 x + 251 。(7 分) ? = y -b a
(3)根据公式 y = 4.9 x + 251 ,当 x = 10 时, y = 300 .(9 分) 所 以,当施化肥量为 10kg 时,水稻产量估计为 300kg.(10 分)

回归直线方程 26.(本小题 10 分)(综合题)已知函数 f ( x ) = x + ax, x ? R .
2

(3)若 f ( x + 1) = f ( - x ) ,求 a 的值; (4)当 a = 2 时,求 g ( x) = xf ( x ) 的单调区间. 解:(1) f ( x + 1) = ( x + 1) + a ( x + 1) = x + (2 + a ) x + 1 + a
2 2

(1 分)

f (- x) = x 2 - ax

(2分)

所以有: 1 + a = 0,2 + a = - a ,解得 a = -1 (3分) (3)当 a = 2 时, g ( x) = xf ( x) = x ( x + 2 x ) = x + 2 x
2 3 2

(5 分)

4 g ?( x) = 3x 2 + 4 x = x(3 x + 4) = 3x( x + ) 3 4 当 x < - 时, g ?( x) > 0 , 3

(7 分)

4 x ? (- ,0) 当 3 时, g ?( x) < 0
当 x > 0 时, g ?( x) > 0 , (9 分)

所以 g ( x) = xf ( x ) 的单调递增区间为 ( -?,- ) 和 (0,+? ) ,单调递减区间为 ( -

4 3

4 ,0) 。(10 分) 3


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